3.3幂函数及3.4函数的应用（一）（讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦幂函数及函数应用核心知识点，系统梳理幂函数定义、五个常用幂函数（y=x,y=x²,y=x³,y=x⁻¹,y=x^(1/2)）的定义域、奇偶性、单调性、图像特征，进而衔接函数应用的基本步骤与一次、二次、幂函数模型，构建从概念到性质再到应用的递进式学习支架。 该资料通过“随学随练”即时巩固、“题型分类+解题贴士”深化理解，结合利润计算、销售问题等实际案例，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理性质规律、用数学语言建立函数模型的核心素养。课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性查漏补缺，强化知识应用能力。

第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数及3.4函数的应用（一） 课标要点 1.幂函数的定义及五个常用幂函数。 2.幂函数的定义域，奇偶性，单调性，图像特征。 3.解决实际问题基本步骤：审题 → 建立函数模型（一次、二次、幂函数等）→ 确定自变量实际取值范围 → 利用函数性质求解 → 检验结果、作答。 4.常见模型：一次函数模型、二次函数模型、简单幂函数模型；多为最值问题、变化趋势分析。 学习重难点 重点： 1.幂函数概念辨析，区分幂函数与指数函数。 2.五个基础幂函数图像与基本性质。 3.利用单调性比较同形式幂值大小。 4.根据题意建立函数解析式，利用单调性、二次函数最值解决实际问题。 难点： 1.根据指数判断定义域、奇偶性。 2.不同指数幂函数图像变化规律。 3.从文字情境抽象出数量关系，准确建立函数模型。 知识点 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数________叫做幂函数，其中是自变量，是常数． （2）幂函数的单调性 ①当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； ②当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减． 特别提醒 1） 定义中，解析式的单一性，系数要为1。 2） 幂函数的性质，注意看指数的符号. 随学随练 1.已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 知识点5种常见的幂函数（重点） 常见的5种幂函数的性质 函数 定义域 ________ 值域 ________ ________ 奇偶性 ________ 偶 ________ 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 ________ ________ ________ ________ 公共点 ________ 随学随练 1.（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）（多选）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 知识点 幂函数的图像及性质 1.常见的五种幂函数的图象 2.幂函数的性质 ①幂函数在上都有定义； ②当时，幂函数的图象都过点______和______，且在上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点______，且在上单调递减； ④当α为奇数时，为_________；当α为偶数时，为______． 随学随练 1.（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 知识点函数的应用（一） 1、用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 2.常见的函数模型 (1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． (2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． (3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． 随学随练 1.（2026高一·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 题型 幂函数 ▌例1． （25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）已知幂函数. (1)求的解析式； (2)设，证明：在其定义域上单调递减. ▌对点练1-1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 ▌对点练1-2．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． ▌对点练1-4．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 题型 幂函数的图像 解题贴士 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，y=x所分区域.根据α<0，0<α<1，α=1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. ▌例1．如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，- ▌对点练1-1．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． ▌对点练1-3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-4．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 题型 幂函数的性质 解题贴士 (1)当α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上单调递减.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1，1)，(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. ▌例1．（25-26高一下·四川眉山·期末）（多选）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 ▌对点练1-1．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 ▌对点练1-2．（25-26高一下·安徽·开学考试）若幂函数的图象过点，则（   ） A．在上单调递减，且图象过点 B．在上单调递增，且图象过点 C．在上单调递减，且图象过点 D．在上单调递增，且图象过点 ▌对点练1-3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 ▌对点练1-4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值： (2)求函数在上的最大值. 题型 函数的应用 解题贴士 ▌例1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ ▌对点练1-1．（2026高一·广东湛江·期中）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元/件）之间的关系满足一次函数：.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为______元/件. ▌对点练1-2．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? ▌对点练1-3．（25-26高一下·四川泸州·期中）某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10万元，每生产千件，需要另外投入成本万元．当产量不足8千件时，；当产量不小于8千件时，．已知每件产品的售价均为0.05万元，且生产的产品能全部售出． (1)请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ ▌对点练1-4．（25-26高一下·河南开封·开学考试）为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 基础通关 1.（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 2.已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 4.（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 5.（25-26高一上·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 6.（25-26高二·全国·暑假作业）已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 8.（25-26高一上·贵州遵义·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 9.（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 10.（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知幂函数：，且函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数的奇偶性． 素养提升 11.（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 12.（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知函数满足：对任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13.（25-26高三下·重庆·阶段检测）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 14.（25-26高一上·四川成都·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．令函数，则不等式的解集为 D．若函数，，，则 15.（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 16.（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知幂函数的图象过点，函数，函数． (1)求实数的值及函数的函数解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17.（25-26高一上·安徽黄山·期末）鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18.（25-26高一上·江西景德镇·期末）国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 迁移创新 19.（25-26高一下·海南海口·期末）限幅函数，与的图象存在三个公共点、、． (1)解关于的不等式； (2)求的取值范围； (3)求面积的最大值． 20.（2025高一上·安徽·竞赛）对于函数，，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为． 则称为函数的“优美区间”. (1)判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； (2)若函数存在“优美区间”（m，），求实数a的最小值； (3)若函数（，）存在“优美区间”，当t变化时，求的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数及3.4函数的应用（一） 课标要点 1.幂函数的定义及五个常用幂函数。 2.幂函数的定义域，奇偶性，单调性，图像特征。 3.解决实际问题基本步骤：审题 → 建立函数模型（一次、二次、幂函数等）→ 确定自变量实际取值范围 → 利用函数性质求解 → 检验结果、作答。 4.常见模型：一次函数模型、二次函数模型、简单幂函数模型；多为最值问题、变化趋势分析。 学习重难点 重点： 1.幂函数概念辨析，区分幂函数与指数函数。 2.五个基础幂函数图像与基本性质。 3.利用单调性比较同形式幂值大小。 4.根据题意建立函数解析式，利用单调性、二次函数最值解决实际问题。 难点： 1.根据指数判断定义域、奇偶性。 2.不同指数幂函数图像变化规律。 3.从文字情境抽象出数量关系，准确建立函数模型。 知识点 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数________叫做幂函数，其中是自变量，是常数． （2）幂函数的单调性 ①当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； ②当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减． 【答案】 特别提醒 1） 定义中，解析式的单一性，系数要为1。 2） 幂函数的性质，注意看指数的符号. 随学随练 1.已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 【答案】 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以 ，即，解得 ，即， 则，定义域为 . 故所求幂函数的解析式为：. 知识点5种常见的幂函数（重点） 常见的5种幂函数的性质 函数 定义域 ________ 值域 ________ ________ 奇偶性 ________ 偶 ________ 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 ________ ________ ________ ________ 公共点 ________ 【答案】 奇 奇 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 随学随练 1.（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）（多选）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数； 根据幂函数性质，幂指数，在上单调递减，故A符合要求； 选项B：的定义域为，关于原点对称，，是奇函数； 且在上单调递减，故B符合要求； 选项C：是二次函数，满足，是偶函数，不符合； 选项D：是奇函数，但幂指数，在上单调递增，不符合. 知识点 幂函数的图像及性质 1.常见的五种幂函数的图象 2.幂函数的性质 ①幂函数在上都有定义； ②当时，幂函数的图象都过点______和______，且在上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点______，且在上单调递减； ④当α为奇数时，为_________；当α为偶数时，为______． 【答案】 奇函数 偶函数 随学随练 1.（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 知识点函数的应用（一） 1、用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 2.常见的函数模型 (1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． (2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． (3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． 随学随练 1.（2026高一·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围. 【详解】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故； 故选:C. 题型 幂函数 ▌例1． （25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）已知幂函数. (1)求的解析式； (2)设，证明：在其定义域上单调递减. 【答案】(1)； (2)，定义域为， 任取，则， 因为，则，， 则，即，则在上单调递减 【分析】（1）根据幂函数定义得到方程组，解出即可； （2）取值、作差再有理化即可判断其单调性. 【详解】（1）由题意得，解得， 则. ▌对点练1-1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. ▌对点练1-2．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. ▌对点练1-3．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出幂函数的解析式，进而求出，换元法即可求出函数的最值. 【详解】设函数，由题意，故， 于是，则， 令，则，且， 故的最值可转化为函数的最值， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值3. ▌对点练1-4．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由幂函数图象所过的点求出幂函数解析式，再由复合函数同增异减的原则可求其单调递增区间． 【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在   或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 题型 幂函数的图像 解题贴士 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，y=x所分区域.根据α<0，0<α<1，α=1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. ▌例1．如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，- 【答案】B 【解析】根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象：当n>0时，n越大，y=xn增长速度越快，所以曲线C1的n=2，C2的n=； 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-，C4的n=-2. ▌对点练1-1．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得函数的定义域，再求得为偶函数，且在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，则满足，解得， 即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除BD选项， 又由幂函数的性质，可得在上单调递减， 所以选项A的图象符合题意. ▌对点练1-2．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． ▌对点练1-3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． ▌对点练1-4．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 题型 幂函数的性质 解题贴士 (1)当α<0时，幂函数在区间(0，+∞)上单调递减.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1，1)，(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. ▌例1．（25-26高一下·四川眉山·期末）（多选）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可. 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. ▌对点练1-1．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质直接解题即可. 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. ▌对点练1-2．（25-26高一下·安徽·开学考试）若幂函数的图象过点，则（   ） A．在上单调递减，且图象过点 B．在上单调递增，且图象过点 C．在上单调递减，且图象过点 D．在上单调递增，且图象过点 【答案】A 【分析】设，代入点解得，即可得，进而分析单调性和函数值即可. 【详解】设， 由题意可得：，可得， 则在上单调递减， 且，即图象过点. ▌对点练1-3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 【答案】BD 【分析】根据幂函数的定义得出，再结合点的坐标得出解析式，根据解析式判断幂函数单调性及奇偶性即可求解． 【详解】由题意，解得，则， 将点，即代入，得，即， 定义域为，有， 故为奇函数，故B正确，C错误； 又，所以在和上为减函数，故A错误，D正确． ▌对点练1-4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值： (2)求函数在上的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义及函数的奇偶性求解即可. （2）根据二次函数的性质分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，即，解得或. 当时，，此时为奇函数，满足条件； 当时，，此时为偶函数，不满足条件； 所以. （2）由（1）知，，所以，对称轴为. 因为，所以. 结合二次函数的对称性可知， 当时， . 当时，. 综上，当时，函数在上的最大值为8，当时，最大值为. 题型 函数的应用 解题贴士 ▌例1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. ▌对点练1-1．（2026高一·广东湛江·期中）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元/件）之间的关系满足一次函数：.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为______元/件. 【答案】42 【分析】先建立二次函数，再利用配方法求出取得最大值时的销售定价． 【详解】设每天获得的销售利润为y元，则，， 所以当时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件. 故答案为：42 ▌对点练1-2．（2026高三·全国·专题练习）某企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润和投资单位：万元）. (1)分别将两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入两种产品的生产. （ⅰ）若平均投入生产两种产品，可获得多少利润? （ⅱ）问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元? 【答案】(1)， (2)（i）万元；（ii）当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元 【分析】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，，所获利润分别为万元、万元，可设，.过点，将此点代入函数得到，从而得到的表达式，过点，将此点代入函数得到，从而得到的解析式； （2）（ⅰ）根据和的解析式求出，，从而得到总利润的值； （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元.则，.令，，从而得到关于的二次函数，利用二次函数的图像和性质得到该企业获得的最大利润. 【详解】（1）设两种产品分别投资x万元，x万元，， 所获利润分别为万元、万元. 由题意可设，. 过点，则，则， 过点，则，解得，则， 故.. （2）（ⅰ）由（1）得，. 所以总利润万元. （ⅱ）设产品投入x万元，产品投入万元，该企业可获总利润为y万元. 则，. 令，，则. 所以当时，，此时，. 所以当两种产品分别投入2万元、16万元时， 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. ▌对点练1-3．（25-26高一下·四川泸州·期中）某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为10万元，每生产千件，需要另外投入成本万元．当产量不足8千件时，；当产量不小于8千件时，．已知每件产品的售价均为0.05万元，且生产的产品能全部售出． (1)请写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千件）的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为100千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为1240万元． 【分析】（1）根据给定条件，分段列式求出函数解析式. （2）利用二次函数的性质及基本不等式分段求解即得最大值. 【详解】（1）由每件产品的售价均为万元，得x千件产品的销售收入为万元，                                 当时，；                     当时，，               所以年利润关于年产量x的函数解析式为. （2）当时，，   函数在上单调递增， 此时（万元）；       当时，，                           当且仅当，即时取等号，而， 所以当年产量为100千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为1240万元． ▌对点练1-4．（25-26高一下·河南开封·开学考试）为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别利用二次函数，基本不等式求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 基础通关 1.（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 2.已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 3.（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 4.（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】已知是幂函数，则，解得或， 又因为在上单调递减，所以，即，所以． 5.（25-26高一上·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 6.（25-26高二·全国·暑假作业）已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项 A，因为函数在上是单调递增函数， 又 ，所以，A正确. 选项 B，令，， 则 ，，此时，B 错误. 选项 C，由 可得 ， 函数 在上单调递增，所以，C 错误. 选项 D，同样取，， 则 ， ，此时，D 错误. 7.（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 8.（25-26高一上·贵州遵义·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设幂函数解析式为，代入点，可得，，解得，解析式为，故A正确， 对于B，，，故B正确， 对于C，函数为幂函数，且，所以在区间上单调递减， 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故C错误， 对于D，由已知可得，，解得或， 又幂函数图象关于轴对称，，，在区间上单调递增， ，， ，故D正确. 9.（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)；. (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）结合幂函数和一次函数定义，通过待定系数法求解方程； （2）根据二次函数性质结合给定区间求解最值即可. 【详解】（1）设幂函数，因为过点， 代入得：，得，因此 . 设一次函数，由题意：，得， 又过点，则，解得，故. （2）由题意得：，对称轴为， 且，则最大值在对称轴处取得：； 由，，可得最小值为. 所以在上的最大值为，最小值为. 10.（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知幂函数：，且函数在上单调递增 (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)奇函数,证明见解析 【分析】(1)由幂函数的概念可得，再结合幂函数在单调递增可确定a的值，则解析式可求； (2)首先判断定义域是否关于原点对称，再看与的关系即可判断. 【详解】（1）由幂函数的概念可知，解得或， 又因为幂函数在单调递增，故，即； （2）为奇函数， 证明如下：定义域为，， 故是奇函数. 素养提升 11.（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数定义求出，根据函数解析式逐个判断即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 12.（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知函数满足：对任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单调性的定义，可得在R上单调递增，根据解析式，结合单调性，列出不等式，即可得答案. 【详解】因为对任意的，有， 所以在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 则实数的取值范围是. 13.（25-26高三下·重庆·阶段检测）（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，设幂函数（为实数）， 其图像经过点，，解得， ，其定义域为，不关于原点对称， 则函数不为奇函数，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在上为增函数，故B正确； 对于C，D，如图，作出符合题意的图形， 则函数是上凸函数，可得对定义域内任意的， 都有成立，故C正确，D错误. 14.（25-26高一上·四川成都·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．令函数，则不等式的解集为 D．若函数，，，则 【答案】ABD 【分析】求出幂函数解析式，由幂函数性质可判断AB；判断为偶函数且上为增函数，从而可将函数不等式转化为，故可求函数不等式的解，从而判断C，利用作差法结合基本不等式判断D. 【详解】设幂函数的解析式为， 因为幂函数 的图象经过点，所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，因为，且的定义域为， 故为偶函数，故B正确； 对于C，，故为偶函数， 因为在上为增函数，而在上为增函数， 故在上为增函数，而即为， 故，故即的解集为，故C错误； 对于D， ， 而 ， 因为，，故， 当且仅当等号成立，故， 故，即， 当且仅当等号成立，故D成立. 15.（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由幂函数的定义求解即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质即可求解； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 16.（25-26高一上·湖北宜昌·期末）已知幂函数的图象过点，函数，函数． (1)求实数的值及函数的函数解析式； (2)用单调性的定义证明：在上单调递增； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 由（1）可知，， 任取，不妨设， 则 ， 因为，所以， 则， 所以，则， 所以， 则，即， 故在上单调递增． (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义求出 并验证，进而求出 值. （2）由（1）求出，再利用增函数的定义推理论证. （3）先求出，方法一：利用换元法以及分离参数法，结合基本不等式可求出实数的取值范围；方法二：利用换元法，通过分类讨论思想求二次函数的最值，即可求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可知，解得， 当时，，， 又的图象不过点，显然不满足题意； 当时，，将点代入得． 综上所述，，且． （2）略 （3）法一：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 又∵，∴，整理得在恒成立， 令，则， ， 当且仅当时取等号， ∴， 综上，的取值范围是． 法二：由题可知， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，不等式化为：， 记，则恒成立． 抛物线开口向上，且对称轴：， ①，此时在上单调递增， 恒成立， 故满足条件 ②， 此时 ． 解不等式，即，解得， ∴， ③，此时在上单调递减， ， 解得，故此情况无解， 综上所述，的取值范围是． 17.（25-26高一上·安徽黄山·期末）鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)6万盏时所获年利润最大，最大年利润是110万元 【分析】（1）根据题设条件，求解分段函数的表达式即可； （2）利用二次函数和基本不等式求分段函数在各段的最大值，比较大小，即可求解. 【详解】（1）由题意知，鱼灯的售价为80元／盏，则2026年生产的万盏鱼灯售万元， 当时， ， 当时， ， 所以，. （2）当时时，， 所以时，取到最大值108. 当时，， 当且仅当时，取到最大值110. 综上可得：该厂家2026年的产量为6万盏时，所获年利润最大，最大年利润是110万元. 18.（25-26高一上·江西景德镇·期末）国产电影《哪吒2之魔童闹海》斩获2025年全球票房榜第一名.某企业借此契机推出一款“哪吒纪念玩偶”，前期研发与模具等固定成本为80（万元），每生产（万个）还需投入生产成本万元，且据测算，若该款玩偶年产量为万个每个售价50元且全部售完. (1)求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式； (2)当产量至少为多少个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本； (3)当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本 (3)当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元 【分析】（1）根据利润等于销售收入减去固定成本再减去生产成本，分段求出的解析式即可得解； （2）由题意可知要收回成本，须满足，求解不等式，比较得到使不等式成立的的最小值即可得解； （3）分、和三种情况，结合函数单调性和基本不等式求出的最大值，再比较即可得解. 【详解】（1）由题意可知：总销售额为万元，总成本为万元，利润， 故当时，； 当时，； 当时，. 综上所述：利润G（万元）关于年产量x万个的函数解析式为. （2）由题意可知：要收回成本，须满足， 当时，则，解得， 且，所以当产量至少为16162个时，该公司在该款玩偶生产销售中才能收回成本. （3）当时，则在内单调递增， 所以在内的最大值为； 当时，则， 因为的图象开口向下，对称轴为， 可知在内单调递增，所以在内的最大值为； 当时，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在内的最大值为； 且，所以当产量达到30万个时，该公司所获得的利润最大，最大利润为545万元. 迁移创新 19.（25-26高一下·海南海口·期末）限幅函数，与的图象存在三个公共点、、． (1)解关于的不等式； (2)求的取值范围； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）写出的解析式，分三种情况，得到不等式，求出不等式解集； （2）分，和三种情况，同一坐标系内，画出与的图象，数形结合得到答案； （3）求出三点坐标，作出辅助线，利用铅垂线法表达出的面积，利用基本不等式求出最值 【详解】（1）， 当时，，解得，所以， 当时，，解得，所以， 当时，，解得，所以， 综上，； （2）若，，此时与的图象无交点，不合要求，舍去； 若，同一坐标系内，画出与的图象，如下； 当过点时，，此时与的图象有两个公共点， 当过点时，，解得， 此时与的图象有两个公共点， 要想与的图象有三个公共点，需满足； 若，此时的图象位于第四象限，与无公共点， 综上，； （3）如图所示，中，令得，则， 令得，解得或0（舍去），则， 令得，所以， 设直线解析式为， 将和代入得，解得， 所以的解析式为， 过点作⊥轴，交于点， 则点的纵坐标与的纵坐标相等， 中，令得，解得， 故，则， 故，， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 故. 20.（2025高一上·安徽·竞赛）对于函数，，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为． 则称为函数的“优美区间”. (1)判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； (2)若函数存在“优美区间”（m，），求实数a的最小值； (3)若函数（，）存在“优美区间”，当t变化时，求的最大值． 【答案】(1)不是，因为函数在上为减函数，且，， 所以的值域为，所以不是函数的“优美区间”． (2)4 (3) 【分析】（1）根据在区间上单调递减求出的值域，再利用新定义判断即可； （2）函数在（m，）上为增函数，又（m，）为的“优美区间”，则，即是的两个不等的正整数根，结合根与系数的关系即可求解； （3）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解的最大值. 【详解】（1）略 （2）因为在（m，）上为单调增函数，又（m，）为的“优美区间”， 所以，，所以m，n是方程的两个不等正整数根， 即m，n是的两个不等的正整数根， 所以，解得或， 所以a的最小值为4． （3）定义域为，假设或， 在上为增函数，又是函数的“优美区间”，所以，， 所以m，n是方程的两个不等的实数根，即m，n是的两个同号且不等实数根， 所以或，又， 所以， 当时，取得最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $