第十七章 因式分解【章末复习】 课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了因式分解的定义、提公因式法、公式法等核心知识，通过“前置概念-解题顺序-公式汇总”的结构建立与整式乘法的互逆关系，形成从基础到综合的知识网络。 其亮点在于“三步解题模板”和“避坑清单”设计，如提公因式时强调“奇次变号偶次不变”，公式法明确适用条件，培养学生抽象能力和推理意识。分层练习涵盖基础题到培优题，教师可精准教学，助力学生彻底掌握因式分解。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月9日 章末小结 第十七章 因式分解 第十七章 因式分解 全章超级总结（完整版） 【前置核心概念】因式分解定义 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。 必考区分 整式乘法：积 → 和差（展开、变多） 因式分解：和差 → 积（收拢、变少） 终极铁律：因式分解必须分解彻底，直到不能再分解为止！ 【全章万能解题顺序（必背）】 第一步：提公因式（提干净、提彻底） 第二步：套公式 两项 → 平方差公式 三项 → 完全平方公式 第三步：复查（有无剩余公因式、能否二次分解） 17.1 提取公因式法（全小节汇总） 17.1.1 简单提公因式 1. 找公因式三步法 系数：取最大公约数 字母：取全部都有的相同字母 指数：取字母的最低次幂 2. 基础公式 $$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$ 3. 基础易错点 某项全部提完，剩余是1，不能空； 只提公共部分，独有部分保留在括号内。 17.1.2 稍复杂提公因式（进阶核心） 1. 符号变形口诀（超级重要） 奇次变号，偶次不变 $$a-b=-(b-a)$$ $$(a-b)^2=(b-a)^2$$ $$(a-b)^3=-(b-a)^3$$ 2. 复杂题型 ① 整体公因式：把括号看作一个字母直接提取 ② 相反数变形：先统一结构，再提公因式 ③ 四项分组分解：两两分组 → 分组提公 → 整体再提公 3. 高阶易错 平方永远正：$$(a-b)^2$$ 不用变号 分组必须合理，保证两组分解后出现相同公因式 17.2 公式法分解因式（全小节汇总） 17.2.1 平方差公式（两项专用） 1. 公式 $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ 2. 适用三条件（缺一不可） ① 只有两项 ② 两项一正一负（异号） ③ 两项都能写成平方形式 3. 常见模型 普通型：$$x^2-25=(x+5)(x-5)$$ 系数型：$$4x^2-9y^2=(2x+3y)(2x-3y)$$ 整体型：$$(x+2)^2-16=(x+6)(x-2)$$ 17.2.2 完全平方公式（三项专用） 1. 两大公式 $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$ $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ 2. 判定三条件 ① 一共三项 ② 首尾两项是正的平方项 ③ 中间项 = 2×首底×尾底（可正可负） 3. 口诀 首平方，尾平方，首尾两倍放中央 4. 必考坑点 首尾为负 ❌ 不是完全平方式 中间没有2倍 ❌ 不能套公式 17.2.3 综合运用（本章压轴） 所有难题统一套路：先提干净公因式 → 再看项数套公式 → 复查彻底 三大综合模型 1. 提公因式 + 平方差（两项残留） 例：$$2x^2-50=2(x+5)(x-5)$$ 2. 提公因式 + 完全平方（三项残留） 例：$$3x^2-12x+12=3(x-2)^2$$ 3. 多次分解（二次、三次分解） 例：$$x^4-16=(x^2+4)(x+2)(x-2)$$ 【全章公式一页背完】 1. 提公因式：$$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$ 2. 平方差：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ 3. 完全平方和：$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$ 4. 完全平方差：$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ 【全章满分避坑清单（考试90%扣分点）】 1. 不先提公因式，直接套公式 → 分解不彻底必扣分 2. 平方差看错：两项同号不能分解 3. 完全平方漏2ab、看错首尾符号 4. 相反数括号乱变号：偶次不变，奇次才变 5. 高次式子分解一次就停，没有二次分解 6. 结果不是纯乘积形式（还有加减号就是错） 【全章标准解题模板（直接照着写）】 模板1：普通综合题 原式 = 提取公因式 = 判断两项/三项套用公式 = 化简、整理符号、分解到底 模板2：首项为负题型 原式 = −(括号内变号) = 提公因式/套公式 = 最终最简乘积 模板3：整体换元题型 把括号整体看作a，套平方差/完全平方，最后展开化简 第十七章 因式分解 综合测试题 一、填空题 1. $$6x^2-12x=$$________ 2. $$4-x^2=$$________ 3. $$x^2-14x+49=$$________ 4. $$3a^2-27=$$________ 5. $$-x^2+2x-1=$$________ 二、解答题（全章必考综合题型） 1. $$5x^3-5x$$ 2. $$4a^2-16ab+16b^2$$ 3. $$(x-1)^2-4$$ 4. $$x^2-y^2+2y-1$$ 5. $$2m^2-8(m-n)^2$$ 参考答案 一、填空题 1. $$6x(x-2)$$ 2. $$(2+x)(2-x)$$ 3. $$(x-7)^2$$ 4. $$3(a+3)(a-3)$$ 5. $$-(x-1)^2$$ 二、解答题 1. 解：原式$$=5x(x^2-1)=5x(x+1)(x-1)$$ 2. 解：原式$$=4(a^2-4ab+4b^2)=4(a-2b)^2$$ 3. 解：原式$$=(x-1+2)(x-1-2)=(x+1)(x-3)$$ 4. 解：原式$$=x^2-(y^2-2y+1)=x^2-(y-1)^2=(x+y-1)(x-y+1)$$ 5. 解：原式$$=2\left[m^2-4(m-n)^2\right]=2\left[m+2(m-n)\right]\left[m-2(m-n)\right]=2(3m-2n)(2n-m)$$ 知识结构 整式的乘法 因式分解 公式法 乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a±b)2=a2±2ab+b2 特殊形式 相反变形 提公因式法 相反变形 具体方法 知识回顾 概念：把一个多项式化为几个整式的______的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式___________. 与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形. 因式分解 乘积 分解因式 知识点一 因式分解 注意：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. 3 知识点二 提公因式法 公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式. 确定公因式：①定______，②定______，③定______. 提公因式：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式. 系数 字母 指数 知识点三 公式法 十字相乘法： x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 综合运用多种方法分解因式 复习巩固 分解因式（第1~3题）. 1.（1）15a3 + 10a2； （2）12abc – 3bc2； （3）6p(p + q) – 4q(p + q)；（4）m(a – 3) + 2(3 – a). 【教材P136复习题17 第1题】 解：(1) 原式 = 5a2(3a + 2) (2) 原式 = 3bc(4a – c) (3) 原式 = (6p – 4q)(p + q) = 2(3p – 2q)(p + q) (4) 原式 = m(a – 3) – 2(a – 3) = (m – 2)(a – 3) 随堂练习 2.（1）1 – 36b2； （2）12x2 – 3y2； （3）0.49p2 – 144；（4）(2x + y)2 – (x + 2y)2 . 解：(1) 原式 = (1 + 6b)(1 – 6b) (2) 原式 = 3(4x2 – y2) (3) 原式 = (0.7p + 12)(0.7p – 12) (4) 原式 = [(2x + y) + (x + 2y)][(2x + y) – (x + 2y)] = 3(2x + y)(2x – y) = (3x + 3y)(x – y) 【教材P136复习题17 第2题】 = 3(x + y)(x – y) 随堂练习 3.（1）1 + 10t2 + 25t2；（2）m2 – 14m + 49； 解：(1) 原式 = (5t + 1)2 (2) 原式 = (m – 7)2 【教材P136复习题17 第3题】 （4）25a2 – 80a + 64； (4) 原式 = (5a – 8)2 随堂练习 （5）(m + n)2 – 4m(m + n) + 4m2 ； （6）a2 + 2a(b + c) + (b + c)2 . (5) 原式 = (m + n – 2m)2 (6) 原式 = (a + b + c)2 = (n – m)2 随堂练习 综合运用 4. 利用因式分解计算： （1）21×3.14 + 62×3.14 + 17×3.14； （2）7582 – 2582 . 解：(1) 原式 = 3.14×(21 + 62 + 17) = 314 = 3.14×100 (2) 原式 = (758 + 258)(758 – 258) = 1016×500 = 508000 【教材P136复习题17 第4题】 随堂练习 5. 分解因式： （1）3ax2 – 3ay2；（2）4xy2 – 4x2y – y3 . 【教材P136复习题17 第5题】 解：(1) 原式 = 3a(x2 – y2) (2) 原式 = – y(4x2 – 4xy + y2) = – y(2x – y)2 = 3a(x + y)(x – y) 随堂练习 6. 如图，在半径为 R 的圆形钢板上，挖去半 径为 r 的四个小圆，计算当 R = 5.6 cm，r = 1.2 cm 时剩余部分的面积（π取3.14）. 解：S剩余部分 = πR2 – 4πr2 = π(R2 – 4r2) 【教材P132复习题17第6题】 = π(R + 2r)(R – 2r) 当 R = 5.6 cm，r = 1.2 cm 时， S剩余部分 = 3.14×(5.6 + 2×1.2)(5.6 – 2×1.2) = 3.14×8×3.2 = 80.384（cm2） 随堂练习 【核心考点整合】 考点1 因式分解的定义 1. ［2025上海黄浦区期中］下列等式中，从左向右的变形为 因式分解的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 13 2. 已知多项式因式分解的结果为 ， 则 的值为( ) A A. B. C. 2 D. 4 返回 考试考法 14 考点2 用提公因式法和公式法分解因式 3. 多项式；； ； .在分解因式后，结果含有相同因式的是 ( ) A A. ①④ B. ①② C. ③④ D. ②③ 返回 考试考法 15 4. 下列因式分解正确的是( ) A. B. C. D. C 返回 考试考法 5.因式分解： （1） _____________; （2） _____________________; （3） ___________. 返回 考试考法 17 6. 教材P136复习题 因式分解： （1） ； 【解】 . （2） . . 返回 考试考法 18 $