1.3 集合的基本运算【知识清单+12大题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，系统梳理并集、交集的定义与性质，延伸至全集、补集的概念，结合德摩根律与容斥原理，构建从基础运算到规律应用的递进学习支架。 资料通过图形语言（Venn图）直观解析概念，典型例题分层设计（从基础运算到参数求解、新定义问题），培养学生数学眼光中的几何直观、数学思维中的推理能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

1.3 集合的基本运算 第一部分：知识清单 知识点1：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点2：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点3：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点4：德摩根律 (1) (2) 知识点5：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 第二部分：典型例题汇总 典例一 交集的概念及运算 典例二 根据交集结果求集合或参数 典例三 并集的概念及运算 典例四 根据并集结果求集合或参数 典例五 补集的概念及运算 典例六 根据补集运算确定集合或参数 典例七 交并补混合运算 典例八 根据交并补混合运算确定集合或参数 典例九 利用Venn图求集合 典例十 容斥原理的应用 典例十一 集合新定义 第三部分：典型例题 典例一 交集的概念及运算 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立方程组，解得或， 则交点为，得到. 2．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 集合，，∴. 3．（25-26高一下·湖南·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 4．（25-26高二下·福建南平·期末）若集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合相等、交集、子集的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此本选项不正确； B：因为，所以本选项不正确； C：因为，所以不正确，因此本选项不正确； D：因为中的所有元素都是集合中的元素， 所以，因此本选项正确. 典例二 根据交集结果求集合或参数 5．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，或.若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 6．（2026高一·全国·专题练习）已知集合.，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. 7．（25-26高一上·河北唐山·期末）（多选）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】AC 【分析】由题可得，分或讨论，结合集合的互异性求解. 【详解】由，得，所以或， 若，则，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，集合不满足互异性，不合题意； 综上，的值可以为或2. 故选：AC. 8．（25-26高一上·浙江温州·期末）设集合，集合. (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）根据集合的补集和并集的概念运算； （2）根据列不等式组求出. 【详解】（1）若，则， 因为，所以或， 则或； （2）若，则，，， 则且，得， 则实数的取值范围为. 典例三 并集的概念及运算 9．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，则 10．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，所以. 11．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以. 12．（25-26高二下·湖南益阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以. 典例四 根据并集结果求集合或参数 13．（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）设已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由题意得，分类讨论集合是否为空集并将结果取并集即可. 【详解】由，得. ①当时，即，解得，此时，符合题意； ②当时，即， 所以，解得； 所以实数的取值范围是. 14．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知集合，且，则_______． 【答案】1 【详解】因为，所以，即中的所有元素都属于， 因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则集合中的元素不满足互异性， 综上，. 15．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知集合满足，则（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】C 【分析】根据交并结果及元素与集合关系列举出所有可能情况，即可得. 【详解】由， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 综上，C对，A、B、D错. 故选：C 16．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，. (1)若，求实数、的值； (2)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据已知、，代入求得，进而确定，从而得，代入求得，注意验证，即可得； （2）由题设，根据包含关系有或或或，进而依次求出对应参数值，即可得. 【详解】（1）由题设，显然，而， 所以，，解得，则， 因此，，解得，则， 综上，，符合题意，故，； （2）当时，， 由，得或或或， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得，此时，符合题意； 当时，，无解， 所以实数的取值范围是. 典例五 补集的概念及运算 17．（25-26高二下·甘肃白银·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，故. 18．（25-26高二下·河北唐山·期末）设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，全集为小于等于8的正整数构成的集合，因此. 而是所有属于但不属于A的元素构成的集合， 代入，可得. 而 是所有既属于又属于B的元素构成的集合， 代入，可得. 19．（25-26高二下·福建福州·期末）已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故. 20．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再根据交集的概念求解. 【详解】，故. 典例六 根据补集运算确定集合或参数 21．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 22．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）求出集合，由确定集合中元素，进而求出的值及集合. （2）将全集用列举法表示，由补集的意义求出，进而求出集合即可求解. 【详解】（1）依题意，，由，且，，得， 即，因此，解得，经验证符合题意， 解方程，得或，， 所以，. （2）依题意，，由，得， 由（1）知，因此，有，解得，经验证符合题意， ，则， 所以，. 23．（25-26高一上·北京·期中）设全集，集合，. (1)若，求集合并写出的所有子集； (2)若，，求. 【答案】(1)，集合的所有子集为：、、、 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）分析可知，，，求出、的值，可求出集合、，再结合题意进行检验，利用并集的定义可求出集合. 【详解】（1）解：若，， 所以，集合的所有子集为：、、、. （2）解：因为，所以，，因为，所以，， 所以，，解得， 则， ， 所以，，，满足题意， 因此，. 24．（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. （2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 典例七 交并补混合运算 25．（26-27高三上·北京·开学考试）全集，集合，，则________． 【答案】 【详解】先求， . 26．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期中）若全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ． 27．（25-26高一下·贵州遵义·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，故. 28．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集，而，则 因此，所以集合. 典例八 根据交并补混合运算确定集合或参数 29．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 30．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 【答案】{或} 【分析】方法一，分类讨论化简集合A，由确定实数的取值范围；方法二，考虑的反面，利用补集思想求解. 【详解】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二  ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 31．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 32．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）已知或，，若，则m的取值范围是______. 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 典例九 利用Venn图求集合 33．（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图中阴影部分由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 所以所求集合为． 34．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）下列集合表示图中阴影部分的为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据韦恩图及集合的交并补的意义判断即可. 【详解】由题意可知阴影部分表示在集合中且不是集合中的元素， 所以阴影部分表示，故B正确； 对于A，因为中含有集合中的元素，与题意不符，故A错误； 对于C，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故C正确； 对于D，因为表示在集合中且不是集合中的元素，与题意相符，故D正确. 故选：BCD. 35．（25-26高一·全国·寒假作业）（多选）设全集为，下列选项中是的充要条件的为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合Venn图判断即可. 【详解】如图，由Venn图可知，ABC都是的充要条件，而D不是的充要条件． 故选：ABC． 36．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦恩图及集合的交集、补集运算求解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为， 又，，， 所以或， 所以， 故选：C. 典例十 容斥原理的应用 37．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 38．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）某同学调查了本校若干同学，以了解暑假观影情况，结果显示：有63人观看了《南京照相馆》，有89人观看了《浪浪山小妖怪》，有47人观看了《长安的荔枝》，这三部电影都观看了的有24人，恰好有46人观看了其中两部，有15人未观看任何一部.则接受调查的同学共有（  ） A．100人 B．120人 C．144人 D．178人 【答案】B 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，    不妨将观看了《南京照相馆》,《浪浪山小妖怪》,《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 则，，，． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》,《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》,《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》,《长安的荔枝》的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的同学共有人． 故选：B． 39．（25-26高一上·吉林·阶段检测）为了更加深入地了解辽宁，某地区高一某班倡导学生利用周末时间去参观沈阳故宫，兴城古城，本溪水洞这三个地方，经统计该班共有55名同学，其中31个同学去了沈阳故宫，21个同学去了兴城古城，30个同学去了本溪水洞，同时去了沈阳故宫和兴城古城的有10人，同时去了兴城古城和本溪水洞的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（   ） A．19人 B．22人 C．25人 D．28人 【答案】D 【分析】构造为集合问题，利用集合之间的关系，判定集合元素个数得解. 【详解】设去了沈阳故宫的同学组成集合， 去了兴城古城的同学组成集合，去了本溪水洞的同学组成集合， 依题意，，，，，，， 而，所以，解得， 所以只去了一个地方的有（人）. 故选：D. 40．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）某企业的员工共计购买了30辆新能源汽车.已知其中15辆汽车有智能驾驶功能，8辆汽车有婴儿与宠物模式，6辆汽车有露营功能，且有3辆汽车拥有上述所有功能.则至少有______辆汽车没有配备上述三种功能中的任意一种. 【答案】7 【分析】利用容斥原理可得答案. 【详解】设拥有智能驾驶功能的车辆集合为，拥有婴儿与宠物模式的车辆集合为， 拥有露营功能的车辆集合为. 若是有限集，常用来表示中元素的个数. 已知，，，且. 则至少具备一种功能的车辆数为： ， 由于、、都至少包含同时具备三种功能的3辆 车（即，，）， 因此. 所以 总共有30辆车，因此没有三种功能中任意一种的车辆数至少为：. 故答案为：7. 典例十一 集合新定义 41．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 42．（25-26高一上·北京房山·期中）设集合为正整数集的非空子集，对于任意，定义运算，若所有这些运算结果构成的集合记为，则称为集合的倍差集． (1)当时，写出集合的倍差集； (2)设集合，若其倍差集中恰好有两个元素，求的值； (3)若是由4个正整数构成的集合，求其倍差集中元素个数的最小值． 【答案】(1)； (2)1或8； (3)4. 【分析】（1）根据倍差集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与2、4的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“倍差集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）通过构造特殊集合使结果尽量重复，结合倍差集的定义证明最少元素个数. 【详解】（1）根据倍差集的定义，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 由集合中元素的互异性，可得. （2）已知，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为1或3. 当时，，，，， 此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故； 当时，，，，， 此时，不满足倍差集中恰好有两个元素，故； 当时，根据，得，，. 由于且，所以且，且， 因为倍差集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故， 综上，若其倍差集中恰好有两个元素，则的值为1或8. （3）设，，. 根据，，则，，，，，. 不妨设，则，，，，，， 由集合中元素的互异性，可得，元素个数为4. 下证元素个数不少于4： 将，，，，，， 这6个值分别记为：，，，，，. 从而有：，即，，即. 因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了3个不同的值， 如果倍差集中只有3个元素，那么，，必须在中取值，且不能引入新的数. 先看： 若，则，即； 若，则，即，与假设矛盾； 若，则，即，显然矛盾. 因此，此时. 再看： 若，则，即，与矛盾； 若，则，即； 若，则，即，而，则，与矛盾； 因此，此时，即. 最后看， 将代入，可得， 若，则，即，与矛盾； 若，则，即，与矛盾； 若，则，即，而，则，与矛盾. 所以无论如何，都不能在中取值，即一定是不同于的第四个数. 因此倍差集中元素个数的最小值为4. 43．（25-26高一上·北京房山·期中）设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（   ） A．15 B．24 C．27 D．32 【答案】C 【分析】根据给定的定义，分析并确定元素所属集合情况，即可列式计算得解. 【详解】依题意，元素1同时属于集合和集合，元素中每个元素不能同时属于集合和属于， 因此中每个元素只能属于集合中的一个， 即中每个元素有3种选择情况，则它们共有种选择情况， 所以所有优集的个数为27. 故选：C 44．（25-26高一上·上海·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为______个. ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，总有. 【答案】3 【分析】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【详解】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”，则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故答案为：3 第四部分：课后检测 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，则 2．（26-27高三上·北京·开学考试）如果集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合，再由集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 因为，可得. 3．（2026高三·全国·专题练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合是点集，元素是点；集合是数集，元素是实数，故. 4．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）对于任意集合，，定义集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例，结合交并补运算的定义即可求解ACD，根据交并补运算的定义即可求解B. 【详解】对于A,如图：若，如图所示，此时,，AC错误， 对于B, 但，而 但但 且，故，B正确， 对于D，如图：，而且，故D错误， 故选：B 5．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 6．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 7．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用集合补集的定义求解即可. 【详解】因为，集合，， 由补集的定义可知的可能取值为3或4， 当即时，不满足题意； 当即时，，此时满足题意， 综上， 故选：C 8．（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. 9．（25-26高一上·安徽·期中）（多选）设，集合，集合，则（    ） A．或 B．当时， C．当时， D．当且且时， 【答案】BD 【分析】根据交、并、补的定义逐项判断. 【详解】对于A：因为，所以且A错； 对于B：当时，B对； 对于C：当时，可以为2或5，此时C错； 对于D：当且且时，D对． 故选：BD． 10．（25-26高一上·湖北·期中）（多选）已知集合，满足，，若中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则下列说法正确的是（   ） A．可能为 B．不可能有4个元素 C．若中有3个元素，则不同的集合有15个 D．符合题意的不同的集合有44个 【答案】BCD 【分析】由，则可判断A；反证法可判断B；若中有3个元素，则，，可得集合的所有可能情况判断C；由中可能有1个、2个、3个、5个、6个、7个元素，据此计算可判断D. 【详解】若，则，中的元素个数6是中的元素，不符合题意，故A错误. 若中有4个元素，则中也有4个元素，则4不在集合中，不符合题意， 故B正确. 若中有3个元素，则，，共有个不同的集合，故C正确. 依题意，中可能有1个、2个、3个、5个、6个、7个元素， 若中只有1个元素时，则中有7个元素，故，， 所以对应的不同集合分别有1个、 以此类推，可得中只有2个、3个、5个、6个、7个元素时， 对应的不同集合分别有6个、15个、15个、6个、1个， 所以符合题意的不同集合有44个，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高一上·湖北武汉·期中）（多选）已知全集,集合M、N的关系如图所示,则下列结论中正确的（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据韦恩图可得，由反例判断AC，根据反证法判断B，根据集合彼此包含判断D. 【详解】由韦恩图可得. 对于A，取，， 则，故，故A错误； 对于C，，故， 而，， ，故C错误； 对于B，若，设，则， 故，而，故，矛盾，故， 故B正确； 对于D，，则有，故， 故，故，故； ，则有，故， 故，故，故， 故，故D正确. 故选：BD. 12．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 13．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 【答案】 2 【分析】（1）根据交集的定义求解即可； （2）由，可得，再根据集合的包含关系求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时，，则． （2）因为，所以，因为，所以， 所以2是关于x的方程的解，即，解得． 故答案为：；. 14．（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 15．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）设全集，已知集合，. (1)当时，求 ①； ②； (2)若满足，求实数m的取值范围. 【答案】(1)①；②或； (2). 【分析】（1）把代入，①利用交集的定义求解；②利用补集、并集的定义求解. （2）利用给定并集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）①当时，，而，所以. ②或，所以或. （2）由，得， 当时，，解得； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. 16．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）（1）已知全集，集合，求； （2）若集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或，或 （2） 【分析】（1）根据并集补集和交集的定义计算即可； （2）根据集合之间的包含关系，求出参数的取值范围； 【详解】（1）已知全集，集合， 所以，或 因为或，所以或. （2）由等价于 当时，即，解得满足； 当时，即，解得，要使，则需满足， 解得， 综上，实数的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 集合的基本运算 第一部分：知识清单 知识点1：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点2：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点3：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点4：德摩根律 (1) (2) 知识点5：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 第二部分：典型例题汇总 典例一 交集的概念及运算 典例二 根据交集结果求集合或参数 典例三 并集的概念及运算 典例四 根据并集结果求集合或参数 典例五 补集的概念及运算 典例六 根据补集运算确定集合或参数 典例七 交并补混合运算 典例八 根据交并补混合运算确定集合或参数 典例九 利用Venn图求集合 典例十 容斥原理的应用 典例十一 集合新定义 第三部分：典型例题 典例一 交集的概念及运算 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建南平·期末）若集合，，则（     ） A． B． C． D． 典例二 根据交集结果求集合或参数 5．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，或.若，求实数的取值范围. 6．（2026高一·全国·专题练习）已知集合.，求实数m的取值范围. 7．（25-26高一上·河北唐山·期末）（多选）已知集合，，若，则的值可以为（   ） A．3 B． C．2 D．1 8．（25-26高一上·浙江温州·期末）设集合，集合. (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围； 典例三 并集的概念及运算 9．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·湖南益阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 典例四 根据并集结果求集合或参数 13．（25-26高二下·贵州黔西南·阶段检测）设已知集合，若，求实数a的取值范围. 14．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知集合，且，则_______． 15．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知集合满足，则（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 16．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，. (1)若，求实数、的值； (2)若，，求实数的取值范围. 典例五 补集的概念及运算 17．（25-26高二下·甘肃白银·期末）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·河北唐山·期末）设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·福建福州·期末）已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 20．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 典例六 根据补集运算确定集合或参数 21．（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 22．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知全集，，，. (1)若，且，求的值及集合； (2)若，求的值及. 23．（25-26高一上·北京·期中）设全集，集合，. (1)若，求集合并写出的所有子集； (2)若，，求. 24．（25-26高一上·浙江金华·阶段检测）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 典例七 交并补混合运算 25．（26-27高三上·北京·开学考试）全集，集合，，则________． 26．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期中）若全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 27．（25-26高一下·贵州遵义·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 典例八 根据交并补混合运算确定集合或参数 29．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 30．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 31．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 32．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）已知或，，若，则m的取值范围是______. 典例九 利用Venn图求集合 33．（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）下列集合表示图中阴影部分的为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一·全国·寒假作业）（多选）设全集为，下列选项中是的充要条件的为（   ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 典例十 容斥原理的应用 37．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 38．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）某同学调查了本校若干同学，以了解暑假观影情况，结果显示：有63人观看了《南京照相馆》，有89人观看了《浪浪山小妖怪》，有47人观看了《长安的荔枝》，这三部电影都观看了的有24人，恰好有46人观看了其中两部，有15人未观看任何一部.则接受调查的同学共有（  ） A．100人 B．120人 C．144人 D．178人 39．（25-26高一上·吉林·阶段检测）为了更加深入地了解辽宁，某地区高一某班倡导学生利用周末时间去参观沈阳故宫，兴城古城，本溪水洞这三个地方，经统计该班共有55名同学，其中31个同学去了沈阳故宫，21个同学去了兴城古城，30个同学去了本溪水洞，同时去了沈阳故宫和兴城古城的有10人，同时去了兴城古城和本溪水洞的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（   ） A．19人 B．22人 C．25人 D．28人 40．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）某企业的员工共计购买了30辆新能源汽车.已知其中15辆汽车有智能驾驶功能，8辆汽车有婴儿与宠物模式，6辆汽车有露营功能，且有3辆汽车拥有上述所有功能.则至少有______辆汽车没有配备上述三种功能中的任意一种. 典例十一 集合新定义 41．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·北京房山·期中）设集合为正整数集的非空子集，对于任意，定义运算，若所有这些运算结果构成的集合记为，则称为集合的倍差集． (1)当时，写出集合的倍差集； (2)设集合，若其倍差集中恰好有两个元素，求的值； (3)若是由4个正整数构成的集合，求其倍差集中元素个数的最小值． 43．（25-26高一上·北京房山·期中）设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（   ） A．15 B．24 C．27 D．32 44．（25-26高一上·上海·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为______个. ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，总有. 第四部分：课后检测 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京·开学考试）如果集合，，那么（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）对于任意集合，，定义集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 8．（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·安徽·期中）（多选）设，集合，集合，则（    ） A．或 B．当时， C．当时， D．当且且时， 10．（25-26高一上·湖北·期中）（多选）已知集合，满足，，若中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则下列说法正确的是（   ） A．可能为 B．不可能有4个元素 C．若中有3个元素，则不同的集合有15个 D．符合题意的不同的集合有44个 11．（25-26高一上·湖北武汉·期中）（多选）已知全集,集合M、N的关系如图所示,则下列结论中正确的（   ）    A． B． C． D． 12．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 13．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 14．（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 15．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）设全集，已知集合，. (1)当时，求 ①； ②； (2)若满足，求实数m的取值范围. 16．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）（1）已知全集，集合，求； （2）若集合，若，求实数的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $