1.3集合的基本运算（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了集合的基本运算知识体系。从交集、并集、全集与补集的概念及性质出发，延伸到德·摩根定律、分配律等混合运算规则，再通过容斥原理、求参通用五步等方法，构建从基础运算到综合应用的学习支架。 知识链路按“概念-性质-应用”逻辑分层，每个知识点配套自然/符号/图形语言、易错警示及归纳总结。题型涵盖基础计算、混合运算、参数求解等，结合数轴与Venn图直观分析，培养数学眼光下的抽象能力，通过分步推理发展数学思维，提升用数学语言表达集合关系的能力。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.3集合的基本运算 🔷知识点一 交集 1.概念 自然语言：对于两个集合，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集。 符号语言： 图形语言：Venn图两集合重叠阴影区域；数轴取双线重叠区间。 2.性质 ① 交换律： ② 自等性： ③ 空集特性：，任意集合与空集无公共元素 ④ 包含等价：（A全部在B内部） ⑤ 范围规律：交集范围比原集合更小或相等 ⚠️特别提醒 条件词“且”代表双重约束，元素必须同时满足两个集合要求；区间求解时，数轴重叠双线对应的实数构成交集。 📌归纳总结 交集取公共元素，子集等价转化是求参高频突破口。 🔷 知识点二 并集 1.概念 自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集。 符号语言： 图形语言：Venn图两个集合全部区域；数轴合并两段取值区间。 2.关键辨析：“或”包含三类情况：；；，元素只写一次（满足互异性）。 3.性质 ① 交换律： ② 自等性： ③ 空集特性：，并上空集不变 ④ 包含等价： ⑤ 范围规律：并集范围比原集合更大或相等 ⚠️特别提醒 合并集合必须去重，重复元素只保留一个；区间并集连续、断开都直接合并。 📌归纳总结 并集合并全部元素，看到直接转化。 🔷 知识点三　全集与补集 1.概念 全集：研究问题时包含全部研究元素的集合，记作，无特殊说明实数题型默认。 补集：全集中所有不属于集合A的元素组成的集合，记作。 符号语言： 图形语言：Venn图矩形全集内除去集合A的空白区域；数轴挖去集合A对应区间。 2.性质 ① 互补成对：， ② 双重补还原： ③ 全集空集补：， ④ 包含传递：（大范围补集更小） ⚠️特别提醒 补集依附全集存在，更换全集则补集结果完全改变；区间补集端点取舍与原集合相反。 📌归纳总结 补集是全集剩余部分，正难则反优先用补集思想简化难题。 🔷 知识点四　 德·摩根定律 1交集的补集等于补集的并集： 2.并集的补集等于补集的交集： 3．集合的交、并、补混合运算求解策略 解决集合的交、并、补混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(CuA) ∩B）时，可先求出(CuA)，再求交集;求Cu(AB)时，可先求出AB,再求补集，即将集合的混合运算分成多步分别进行. 🔷 知识点五　 集合分配律 1. 2. 适用：三个及以上集合混合化简。 🔷 知识点六　容斥原理 1.容斥定理 在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两集合的交、并、补,如果用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有如下结论: (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 这一结论被称为容斥定理. 2．容斥定理的两种重要变形 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B). 3.集合实际应用中元素个数问题求解策略 对于这类问题，一般有两种策略：一是画出Venn图，设出未知数，借助Venn图列出方程（组）求解；二是利用容斥定理速解. 🔷 知识点七　集合运算求参通用五步 1.化简所有集合：解方程或求解不等式，写成区间或者列举元素的形式； 2.把交并运算的等式关系转换为集合间的包含关系： 、； 3.优先讨论空集：由含参一次不等式或二次不等式构成的集合，先令集合解集为空集，求出对应的参数取值范围； 4.画出数轴列出对应不等式，统一判断端点处等号能否成立，再单独检验区间端点数值； 5.检验集合元素满足互异性、同时查看区间之间有没有相互矛盾的情况，把不符合条件的参数剔除。 ⚠️特别提醒 二次不等式对应的解集为空集时：抛物线开口方向向上，并且；一次方程这种形式的集合为空集时，一次项系数。 易错点1 混淆“且与或”，交并运算颠倒 错例：，误写 错因：对 “且”“或” 对应的集合运算概念混淆，误将交集按并集计算，取了两个集合的全部元素而非公共元素。 规避方法：看到 “且” 取交集（只取公共元素），看到 “或” 取并集（取两个集合的所有元素）。 易错点2 补集忽略全集，端点取舍错误 错例：，误写；或实数集下，误写 错因：① 忽略补集必须在全集内取值；② 区间补集的端点方向判断错误。 规避方法：① 先明确全集范围，补集元素只能从全集中选取；② 区间补集的端点要反向：原集合包含的端点，补集里不包含；原集合不包含的端点，补集里包含。 易错点3 含参运算遗漏空集讨论 错例：，只计算、的情况，漏掉时的情况。 错因：忘记空集是任何集合的子集，含参数的集合可能为空集，未进行分类讨论。 规避方法：遇到含参数的集合包含问题，第一步先判断集合是否可能为空集，再讨论非空情况。 易错点4 并集不剔除重复元素，违反互异性 错例：，并集写成 错因：忽略了集合元素的互异性，重复元素未删除。 规避方法：计算并集后，检查所有元素，重复元素只保留一次。 易错点5 德摩根定律符号搞反 错例： 错因：混淆德摩根定律运算转换规则，忘记 “并集的补集变补集的交集，交集的补集变补集的并集”，并、交符号未互换。 规避方法： ①口诀记忆：先并后补变先交后补，先交后补变先并后补； ②分步运算：先算括号内交或并，取补集后，将外侧运算符号反向替换。 ③正确公式：， 易错点6 容斥原理重复重叠区域，多减或少减交集 错例：统计两个社团总人数，直接相加，未减去同时参加两个社团的重叠人数 错因：重叠区域的元素被两次累加，未剔除重复计数部分；三集合问题易忘记加回三者公共交集。 规避方法： ①两集合公式：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); ②三集合公式：card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). ③核心逻辑：重复统计的重叠部分，多加就减、多减就补，保证每个元素只计一次。 易错点7 Venn图阴影翻译错误 错例：阴影区域仅在集合内、不在集合内，误写作 错因：分不清 “只属于一个集合” 和 “同时属于两个集合” 的表达式，不会搭配补集描述单一区域。 规避方法 ①仅在、不在：写作； ②仅在、不在：写作； ③同时在：才是； ④画图标注区域，区分 “单独区域” 和 “公共相交区域”。 题型一：交集基础计算 📝方法技巧 先整理好两个集合，列举型找出共同存在的元素；区间型画数轴，选取两段区间重合的部分。只有两边同时包含的端点，才能写进结果，看到文字“且”选用交集运算。 1.（2026•郑州模拟）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，5}，则A∩B＝（　　） A．{1，5} B．{1，2，5} C．{2，3} D．{1，2，3，5} 【答案】C 【分析】由A与B，求出两集合的交集即可． 【详解】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，5}， ∴A∩B＝{2，3}， 故选：C． 2.（25-26高二下·云南德宏·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，即， 因为集合， 所以，故选项B正确. 3.设集合A＝{x|x是10的正约数}，B＝{x|x是小于10的素数}，则A∩B＝（　　） A．{1，2，5} B．{2，5} C．{2，3，5，7，10} D．{1，2，3，5，7，10} 【答案】B 【分析】先求出集合A，B，再利用集合的交集运算求解． 【详解】解：集合A＝{x|x是10的正约数}＝{1，2，5，10}，B＝{x|x是小于10的素数}＝{2，3，5，7}， 所以A∩B＝{2，5}． 故选：B． 4.（25-26高二下·河南新乡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知集合，， 联立，得，则. 题型二： 并集基础计算 📝方法技巧 先化简全部集合，把两个集合元素合并到一起，重复的元素只保留一次。区间在数轴上全部覆盖的范围就是结果，看到文字“或”选用并集运算。 1.（2026•佛山一模）已知集合A＝{2，3，5}，B＝{2，5，8}，则A∪B＝（　　） A．{3} B．{8} C．{2，5} D．{2，3，5，8} 【答案】D 【分析】根据并集的运算即可求解． 【详解】解：根据集合A，B得：A∪B＝{2，3，5，8}． 故选：D． 2.（25-26高二下·湖南益阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以. 3.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义计算即可得到结果. 【详解】首先化简集合：已知，其中指正整数集，不等式两边平方得， 结合，可得的取值为1,2,3，即. 已知，根据并集的定义可得. 4.（多选）（25-26•德州月考）{1，3}∪A＝{1，3，5}，则集合A可能是（　　） A．{5} B．{1，5} C．{3} D．{3，5} 【答案】ABD 【分析】由已知直接利用并集运算的定义得答案． 【详解】解：由{1，3}∪A＝{1，3，5}， 可得集合A可能是：{5}或{1，5}或{3，5}或{1，3，5}． 故选：ABD． 题型三：补集单独运算 📝方法技巧 先明确题目给定的全集，有限集合去掉原集合中的元素；区间在数轴上去掉原集合范围，剩余部分就是补集。端点包含关系和原来的集合相反。 无说明默认，更换全集答案完全改变。 1.（2026春•涪城区期末）已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{0，2}，则∁AB＝（　　） A．{﹣1，0} B．∅ C．{0，2} D．{﹣1} 【答案】D 【分析】由补集的运算求解． 【解答】解：因为B＝{0，2}，A＝{﹣1，0，2}， 所以∁AB＝{﹣1}． 故选：D． 2.（2026•北京模拟）已知全集U＝{x∈Z|x≥3}，集合A＝{x∈Z|x≥6}，则∁UA＝（　　） A．{x|0＜x＜6} B．{4，5} C．{x|0≤x＜6} D．{3，4，5} 【答案】D 【分析】利用集合的补集运算求解． 【详解】解：因为全集U＝{x∈Z|x≥3}，集合A＝{x∈Z|x≥6}， 所以∁UA＝{3，4，5}． 故选：D． 3.（2026•盐山县校级一模）已知全集U＝{x|x是小于12的素数}，集合A＝{5，7，11}，则∁UA＝（　　） A．{3} B．{2，3} C．{3，9} D．{1，2，3} 【答案】B 【分析】先求出全集U中的元素（素数（质数）），再利用概念以及补集的运算求解即可． 【详解】解：A＝{5，7，11}，全集U＝{x|x是小于12的素数}＝{2，3，5，7，11}， 所以∁UA＝{2，3}． 故选：B． 4.（2026春•博野县校级期末）已知全集U＝{x∈N|﹣1＜x≤5}，集合A＝{0，2，4}，则∁UA＝（　　） A．{1} B．{0，1，2} C．{1，3，5} D．{0，1，3，5} 【答案】C 【分析】应用补集定义计算求解． 【详解】解：因为集合A＝{0，2，4}，U＝{x∈N|﹣1＜x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}， 所以∁UA＝{1，3，5}． 故选：C． 题型四：交并补混合运算 📝方法技巧 1.运算顺序：先计算括号内部的式子，之后再计算补集，最后计算交集与并集 2.复杂式子先用德摩根定律化简再计算； 3.区间题全程画数轴，避免端点出错。 1.（2026·山东聊城·二模）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合并集和补集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合，可得， 又由集合，可得. 2．（25-26高二下·河北唐山·期末）设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，全集为小于等于8的正整数构成的集合，因此. 而是所有属于但不属于A的元素构成的集合， 代入，可得. 而 是所有既属于又属于B的元素构成的集合， 代入，可得. 3．（25-26高二下·江西上饶·期末）设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知全集为且，可得， 又，则. 4.（2026春•余干县校级期末）已知集合A＝{x|2≤x＜5}，集合B＝{x|3≤x＜7}，集合C＝{x|x≥4}．求： （1）求A∩B，A∪B； （2）求A∩（B∩C），C∪（A∩B）． 【答案】（1）A∩B＝{x|3≤x＜5}，A∪B＝{x|2≤x＜7}； （2）A∩（B∩C）＝{x|4≤x＜5}，C∪（A∩B）＝{x|x≥3}． 【分析】（1）根据集合的交集和并集的定义求解； （2）根据交集定义求B∩C，再求A∩（B∩C），再结合（1）结合并集定义求C∪（A∩B）． 【详解】解：集合A＝{x|2≤x＜5}，集合B＝{x|3≤x＜7}，集合C＝{x|x≥4}， （1）A∩B＝{x|3≤x＜5}，A∪B＝{x|2≤x＜7}， （2）B∩C＝{x|4≤x＜7}，又A＝{x|2≤x＜5}， 故A∩（B∩C）＝{x|4≤x＜5}， 由（1）A∩B＝{x|3≤x＜5}，C＝{x|x≥4}， 故C∪（A∩B）＝{x|x≥3}． 5.（2026春•潍城区校级月考）设集合U＝{x|x≤5}，A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，求： （1）A∩B； （2）（∁UA）∩B； （3）（∁UA）∪（∁UB）． 【答案】（1）{x|1≤x≤4}； （2）{x|﹣1≤x＜1}； （3）{x|x＜1或4＜x≤5}． 【分析】（1）结合交集的定义，即可求解； （2）结合补集、交集的定义，即可求解； （3）结合补集、并集的定义，即可求解． 【详解】解：（1）A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1≤x≤4}， 则A∩B＝{x|1≤x≤4}； （2）∁UA＝{x|x＜1}，B＝{x|﹣1≤x≤4}， 则（∁UA）∩B＝{x|﹣1≤x＜1}； （3）A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1≤x≤4}， 则∁UA＝{x|x＜1}，∁UB＝{x|x＜﹣1或4＜x≤5}， 故（∁UA）∪（∁UB）＝{x|x＜1或4＜x≤5}． 题型五：由运算等式求参数 📝方法技巧 1.把交并关系式改写为集合包含关系：；； 2.讨论集合为空集的情况：分、两类列式； 3.画出数轴列出不等式，单独检验端点数值，最后剔除相互矛盾的参数。 1．（2026春•望都县校级期中）已知集合M＝{x|1＜x≤3}，N＝{x|x＜a}，且M∪N＝{x|x≤3}，则实数a的取值范围为（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合并集运算的定义求解． 【详解】解：由题意可知，M＝{x|1＜x≤3}，N＝{x|x＜a}，且M∪N＝{x|x≤3}， 所以1＜a≤3， 所以实数a的取值范围为． 故选：D． 2．（25-26•云南月考）已知集合，B＝{1，0，2}，若A∩B＝{0，1}，则a＝（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 【答案】A 【分析】根据交集求参数，再代入检验即可． 【详解】解：，集合，B＝{1，0，2}，A∩B＝{0，1}， 则a﹣1＝0，解得a＝1，经验证此时A＝{1，0}，A∩B＝{0，1}满足题意． 故选：A． 3.（25-26•什邡市校级月考）集合A＝{x|0}，B＝{x|ax+1≤0}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合A，由A∪B＝A，得B⊆A，然后对B是否为空集进行分类讨论即可． 【详解】解：因为A＝{x|0}＝{x|x≥3或x＜﹣1}，B＝{x|ax+1≤0}， 若A∪B＝A，则B⊆A， 当a＝0时，B＝∅，满足题意； 当a＞0时，B＝{x|x}，则1，解得0＜a＜1， 当a＜0时，B＝{x|x}，则3， 解得a，所以a＜0， 综上，a的取值范围为{a|a＜1}． 故选：A． 4.（25-26•大同期末）已知集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则实数a的取值是（　　） A．或 B．2或﹣3 C．2或﹣3或0 D．或或0 【答案】D 【分析】由题设可得A＝{﹣3，2}，根据交集的结果及集合B的描述求参数值，即可得． 【详解】解：集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}， 因为A∩B＝B，所以集合B是集合A的子集， A的子集有∅，{2}，{﹣3}，{﹣3，2}，显然集合B最多有一个元素， 所以a的可能取值有、、0． 故选：D． 5.（25-26•中山市校级月考）设集合U＝R，A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}． （1）m＝3，求A∩（∁UB）； （2）若A∩B＝B，求m的取值范围． 【答案】（1）A∩（∁UB）＝{x|0≤x＜2}； （2） 【分析】（1）直接根据集合的交集及补集运算可得； （2）由交集的结果转化为包含关系，进而求解结论． 【详解】解：（1）当m＝3时，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}＝{x|2≤x≤6}， 所以∁UB＝{x|x＜2或x＞6}， 所以A∩（∁UB）＝{x|0≤x＜2}； （2）若A∩B＝B，则B⊆A． 当B≠∅时，，解得； 当B＝∅时，m﹣1＞2m，得m＜﹣1，满足条件； 综上，m的取值范围是 题型六：Venn图图形转化题 📝方法技巧 只属于其中一个集合的部分，要搭配另一个集合的补集列式。相交区域才可以直接写成交集，写好之后再对照图形核对一遍。 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 1.（25-26高二下·江西上饶·期末）设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知全集为且，可得， 又，则. 2．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 3．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A. B． C． D． 【答案】C 【分析】应用韦恩图及集合的并集，补集计算求解. 【详解】阴影部分表示的是，因为，所以 5．（25-26高一上·重庆·期末）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图表示的集合含义，即可求出答案. 【详解】根据韦恩图可知，阴影部分表示的集合是, 故选：D 6．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得和，结合补集的运算，即可求得阴影部分表示的集合. 【详解】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 7．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集、补集的概念求出. 【详解】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D 题型七：容斥原理实际应用题 📝方法技巧 对于这类问题，一般有两种策略：一是画出Venn图标注每一块区域，设出未知数，借助Venn图列出方程（组）求解；二是利用容斥定理速解. 容斥定理： (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C) +card(A∩B∩C) 1.（2026·浙江温州·二模）表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则______． 【答案】17 【详解】. 2.（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 3．（25-26高一上·浙江温州·期中）浙BA比赛正在如火如荼进行中，某市篮球协会成员45人，统一去抢购该市参与的前后两场比赛门票，第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，则该协会两场门票都没抢购到的人数为（   ）. A．6 B．10 C．13 D．15 【答案】B 【分析】首先求出仅第一场抢购成功和仅第二场抢购成功的人数，即可得解. 【详解】因为第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人， 则仅第一场抢购成功的有（人），仅第二场抢购成功（人）， 所以两场门票都没抢购到的人数为（人）. 故选：B 4.（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有__________名，最少有__________名． 【答案】 60 40 【分析】本题可根据集合的性质，通过分析选A菜品和选B菜品的顾客人数，利用集合交集的性质来确定A、B两种菜品都选了的顾客人数的最大值和最小值． 【详解】当选了B菜品的顾客也选了A菜品时，两种菜品都选了的顾客最多，最多有60名， 当这100名顾客至少选了两种菜品中的一种时，两种菜品都选了的顾客最少， 最少有名． 故答案为：60；40． 题型八： 补集思想逆向解题 📝方法技巧 对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决. 1.（2026春•沧州期末）已知集合A＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，B＝{x|x≤﹣1或x≥4}． （1）当m＝4时，求A∩B； （2）若m＞0，且A∩（∁RB）＝A，求实数m的取值范围． 【答案】（1）A∩B＝{x|﹣3≤x≤﹣1或4≤x≤5}； （2）{m|0＜m＜2}． 【分析】（1）利用集合的交集运算求解； （2）由A∩（∁RB）＝A可得A∩B＝∅，进而列出不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】解：（1）由题意可知，当m＝4时，集合A＝{x|﹣3≤x≤5}， 又因为B＝{x|x≤﹣1或x≥4}， 所以A∩B＝{x|﹣3≤x≤﹣1或4≤x≤5}； （2）因为m＞0，则A＝{x|1﹣m≤x≤1+m}≠∅， 由A∩（∁RB）＝A，可得A∩B＝∅， 又因为B＝{x|x≤﹣1或x≥4}， 则，解得0＜m＜2， 所以m的取值范围是{m|0＜m＜2}． 2.已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为 3.（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 4.（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，结合集合补集、交集、并集的定义进行求解即可； （2）根据子集的运算性质、结合补集的定义进行求解即可. 【详解】（1）当时，， ，或， ， ， ； （2）由（1）可知， 当时，显然成立，此时，解得， 当时，此时，解得， 要想，只需，而，所以， 综上所述：实数a的取值范围为. 题型九： 集合运算新定义拓展 📝方法技巧 ①通读题干，读懂自定义运算文字规则，明确运算取值要求； ②将新定义运算转化为交集、并集、补集等常规集合运算； ③按照基础集合运算规则分步计算，整理结果后验证集合元素互异性；有序数对类运算不可调换前后元素顺序。 1.（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 2.（25-26高一上·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 3.（25-26高一上·四川内江·阶段检测）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 【答案】BCD 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可. 【详解】对于A，因为⊕，所以,，故，故A错误； 对于B，，且⊕，则,， 即与是相同的，所以，故B正确； 对于C，，且⊕，则,， 故，且中元素不能出现在中，故，故C正确； 对于D，⊕,， 其中，， 故⊕，,， 而⊕,，故⊕⊕，故D正确． 故选：BCD． 4.（25-26高一·全国·专题练习）（多选）设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 【答案】BC 【分析】由集合新定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，则，，显然，故A错误； 对于B，，含有6个元素，故B正确； 对于C，， ， ，含有9个元素，故C正确； 对于D，集合是所有偶数的集合，集合是所有奇数的集合， 因此，包含所有形如（偶数，奇数）的有序对，包含所有形如（奇数，偶数）的有序对， 显然并不能覆盖所有形如（整数，整数）的有序对，因为缺少（偶数，偶数）和（奇数，奇数）的有序对，故D错误． 故选：BC． 所以，即D正确. 故选：ABD 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3集合的基本运算 🔷知识点一 交集 1.概念 自然语言：对于两个集合，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集。 符号语言： 图形语言：Venn图两集合重叠阴影区域；数轴取双线重叠区间。 2.性质 ① 交换律： ② 自等性： ③ 空集特性：，任意集合与空集无公共元素 ④ 包含等价：（A全部在B内部） ⑤ 范围规律：交集范围比原集合更小或相等 ⚠️特别提醒 条件词“且”代表双重约束，元素必须同时满足两个集合要求；区间求解时，数轴重叠双线对应的实数构成交集。 📌归纳总结 交集取公共元素，子集等价转化是求参高频突破口。 🔷 知识点二 并集 1.概念 自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集。 符号语言： 图形语言：Venn图两个集合全部区域；数轴合并两段取值区间。 2.关键辨析：“或”包含三类情况：；；，元素只写一次（满足互异性）。 3.性质 ① 交换律： ② 自等性： ③ 空集特性：，并上空集不变 ④ 包含等价： ⑤ 范围规律：并集范围比原集合更大或相等 ⚠️特别提醒 合并集合必须去重，重复元素只保留一个；区间并集连续、断开都直接合并。 📌归纳总结 并集合并全部元素，看到直接转化。 🔷 知识点三　全集与补集 1.概念 全集：研究问题时包含全部研究元素的集合，记作，无特殊说明实数题型默认。 补集：全集中所有不属于集合A的元素组成的集合，记作。 符号语言： 图形语言：Venn图矩形全集内除去集合A的空白区域；数轴挖去集合A对应区间。 2.性质 ① 互补成对：， ② 双重补还原： ③ 全集空集补：， ④ 包含传递：（大范围补集更小） ⚠️特别提醒 补集依附全集存在，更换全集则补集结果完全改变；区间补集端点取舍与原集合相反。 📌归纳总结 补集是全集剩余部分，正难则反优先用补集思想简化难题。 🔷 知识点四　 德·摩根定律 1交集的补集等于补集的并集： 2.并集的补集等于补集的交集： 3．集合的交、并、补混合运算求解策略 解决集合的交、并、补混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(CuA) ∩B）时，可先求出(CuA)，再求交集;求Cu(AB)时，可先求出AB,再求补集，即将集合的混合运算分成多步分别进行. 🔷 知识点五　 集合分配律 1. 2. 适用：三个及以上集合混合化简。 🔷 知识点六　容斥原理 1.容斥定理 在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两集合的交、并、补,如果用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有如下结论: (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 这一结论被称为容斥定理. 2．容斥定理的两种重要变形 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B). 3.集合实际应用中元素个数问题求解策略 对于这类问题，一般有两种策略：一是画出Venn图，设出未知数，借助Venn图列出方程（组）求解；二是利用容斥定理速解. 🔷 知识点七　集合运算求参通用五步 1.化简所有集合：解方程或求解不等式，写成区间或者列举元素的形式； 2.把交并运算的等式关系转换为集合间的包含关系： 、； 3.优先讨论空集：由含参一次不等式或二次不等式构成的集合，先令集合解集为空集，求出对应的参数取值范围； 4.画出数轴列出对应不等式，统一判断端点处等号能否成立，再单独检验区间端点数值； 5.检验集合元素满足互异性、同时查看区间之间有没有相互矛盾的情况，把不符合条件的参数剔除。 ⚠️特别提醒 二次不等式对应的解集为空集时：抛物线开口方向向上，并且；一次方程这种形式的集合为空集时，一次项系数。 易错点1 混淆“且与或”，交并运算颠倒 错例：，误写 错因：对 “且”“或” 对应的集合运算概念混淆，误将交集按并集计算，取了两个集合的全部元素而非公共元素。 规避方法：看到 “且” 取交集（只取公共元素），看到 “或” 取并集（取两个集合的所有元素）。 易错点2 补集忽略全集，端点取舍错误 错例：，误写；或实数集下，误写 错因：① 忽略补集必须在全集内取值；② 区间补集的端点方向判断错误。 规避方法：① 先明确全集范围，补集元素只能从全集中选取；② 区间补集的端点要反向：原集合包含的端点，补集里不包含；原集合不包含的端点，补集里包含。 易错点3 含参运算遗漏空集讨论 错例：，只计算、的情况，漏掉时的情况。 错因：忘记空集是任何集合的子集，含参数的集合可能为空集，未进行分类讨论。 规避方法：遇到含参数的集合包含问题，第一步先判断集合是否可能为空集，再讨论非空情况。 易错点4 并集不剔除重复元素，违反互异性 错例：，并集写成 错因：忽略了集合元素的互异性，重复元素未删除。 规避方法：计算并集后，检查所有元素，重复元素只保留一次。 易错点5 德摩根定律符号搞反 错例： 错因：混淆德摩根定律运算转换规则，忘记 “并集的补集变补集的交集，交集的补集变补集的并集”，并、交符号未互换。 规避方法： ①口诀记忆：先并后补变先交后补，先交后补变先并后补； ②分步运算：先算括号内交或并，取补集后，将外侧运算符号反向替换。 ③正确公式：， 易错点6 容斥原理重复重叠区域，多减或少减交集 错例：统计两个社团总人数，直接相加，未减去同时参加两个社团的重叠人数 错因：重叠区域的元素被两次累加，未剔除重复计数部分；三集合问题易忘记加回三者公共交集。 规避方法： ①两集合公式：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); ②三集合公式：card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). ③核心逻辑：重复统计的重叠部分，多加就减、多减就补，保证每个元素只计一次。 易错点7 Venn图阴影翻译错误 错例：阴影区域仅在集合内、不在集合内，误写作 错因：分不清 “只属于一个集合” 和 “同时属于两个集合” 的表达式，不会搭配补集描述单一区域。 规避方法 ①仅在、不在：写作； ②仅在、不在：写作； ③同时在：才是； ④画图标注区域，区分 “单独区域” 和 “公共相交区域”。 题型一：交集基础计算 📝方法技巧 先整理好两个集合，列举型找出共同存在的元素；区间型画数轴，选取两段区间重合的部分。只有两边同时包含的端点，才能写进结果，看到文字“且”选用交集运算。 1.（2026•郑州模拟）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，5}，则A∩B＝（　　） A．{1，5} B．{1，2，5} C．{2，3} D．{1，2，3，5} 2.（25-26高二下·云南德宏·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 3.设集合A＝{x|x是10的正约数}，B＝{x|x是小于10的素数}，则A∩B＝（　　） A．{1，2，5} B．{2，5} C．{2，3，5，7，10} D．{1，2，3，5，7，10} 4.（25-26高二下·河南新乡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型二： 并集基础计算 📝方法技巧 先化简全部集合，把两个集合元素合并到一起，重复的元素只保留一次。区间在数轴上全部覆盖的范围就是结果，看到文字“或”选用并集运算。 1.（2026•佛山一模）已知集合A＝{2，3，5}，B＝{2，5，8}，则A∪B＝（　　） A．{3} B．{8} C．{2，5} D．{2，3，5，8} 2.（25-26高二下·湖南益阳·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4.（多选）（25-26•德州月考）{1，3}∪A＝{1，3，5}，则集合A可能是（　　） A．{5} B．{1，5} C．{3} D．{3，5} 题型三：补集单独运算 📝方法技巧 先明确题目给定的全集，有限集合去掉原集合中的元素；区间在数轴上去掉原集合范围，剩余部分就是补集。端点包含关系和原来的集合相反。 无说明默认，更换全集答案完全改变。 1.（2026春•涪城区期末）已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{0，2}，则∁AB＝（　　） A．{﹣1，0} B．∅ C．{0，2} D．{﹣1} 2.（2026•北京模拟）已知全集U＝{x∈Z|x≥3}，集合A＝{x∈Z|x≥6}，则∁UA＝（　　） A．{x|0＜x＜6} B．{4，5} C．{x|0≤x＜6} D．{3，4，5} 3.（2026•盐山县校级一模）已知全集U＝{x|x是小于12的素数}，集合A＝{5，7，11}，则∁UA＝（　　） A．{3} B．{2，3} C．{3，9} D．{1，2，3} 4.（2026春•博野县校级期末）已知全集U＝{x∈N|﹣1＜x≤5}，集合A＝{0，2，4}，则∁UA＝（　　） A．{1} B．{0，1，2} C．{1，3，5} D．{0，1，3，5} 题型四：交并补混合运算 📝方法技巧 1.运算顺序：先计算括号内部的式子，之后再计算补集，最后计算交集与并集 2.复杂式子先用德摩根定律化简再计算； 3.区间题全程画数轴，避免端点出错。 1.（2026·山东聊城·二模）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北唐山·期末）设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江西上饶·期末）设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 4.（2026春•余干县校级期末）已知集合A＝{x|2≤x＜5}，集合B＝{x|3≤x＜7}，集合C＝{x|x≥4}．求： （1）求A∩B，A∪B； （2）求A∩（B∩C），C∪（A∩B）． 5.（2026春•潍城区校级月考）设集合U＝{x|x≤5}，A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，求： （1）A∩B； （2）（∁UA）∩B； （3）（∁UA）∪（∁UB）． 题型五：由运算等式求参数 📝方法技巧 1.把交并关系式改写为集合包含关系：；； 2.讨论集合为空集的情况：分、两类列式； 3.画出数轴列出不等式，单独检验端点数值，最后剔除相互矛盾的参数。 1．（2026春•望都县校级期中）已知集合M＝{x|1＜x≤3}，N＝{x|x＜a}，且M∪N＝{x|x≤3}，则实数a的取值范围为（　　） A．B． C． D． 2．（25-26•云南月考）已知集合，B＝{1，0，2}，若A∩B＝{0，1}，则a＝（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 3.（25-26•什邡市校级月考）集合A＝{x|0}，B＝{x|ax+1≤0}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4.（25-26•大同期末）已知集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则实数a的取值是（　　） A．或 B．2或﹣3 C．2或﹣3或0 D．或或0 5.（25-26•中山市校级月考）设集合U＝R，A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|m﹣1≤x≤2m}． （1）m＝3，求A∩（∁UB）； （2）若A∩B＝B，求m的取值范围． 题型六：Venn图图形转化题 📝方法技巧 只属于其中一个集合的部分，要搭配另一个集合的补集列式。相交区域才可以直接写成交集，写好之后再对照图形核对一遍。 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 1.（25-26高二下·江西上饶·期末）设全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A. B． C． D． 5．（25-26高一上·重庆·期末）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 题型七：容斥原理实际应用题 📝方法技巧 对于这类问题，一般有两种策略：一是画出Venn图标注每一块区域，设出未知数，借助Venn图列出方程（组）求解；二是利用容斥定理速解. 容斥定理： (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C) +card(A∩B∩C) 1.（2026·浙江温州·二模）表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则______． 2.（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 3．（25-26高一上·浙江温州·期中）浙BA比赛正在如火如荼进行中，某市篮球协会成员45人，统一去抢购该市参与的前后两场比赛门票，第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，则该协会两场门票都没抢购到的人数为（   ）. A．6 B．10 C．13 D．15 4.（25-26高一上·辽宁葫芦岛·期中）某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有__________名，最少有__________名． 题型八： 补集思想逆向解题 📝方法技巧 对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.. 1.（2026春•沧州期末）已知集合A＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，B＝{x|x≤﹣1或x≥4}． （1）当m＝4时，求A∩B； （2）若m＞0，且A∩（∁RB）＝A，求实数m的取值范围． 2.已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 3.（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 4.（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围. 题型九： 集合运算新定义拓展 📝方法技巧 ①通读题干，读懂自定义运算文字规则，明确运算取值要求； ②将新定义运算转化为交集、并集、补集等常规集合运算； ③按照基础集合运算规则分步计算，整理结果后验证集合元素互异性；有序数对类运算不可调换前后元素顺序。 1.（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 2.（25-26高一上·四川凉山·期末）对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·四川内江·阶段检测）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 4.（25-26高一·全国·专题练习）（多选）设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有9个元素 D．若，，则 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $