17.2 用公式法分解因式课件 2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦“用公式法分解因式”，涵盖平方差公式、完全平方公式及综合运用，通过回顾旧知（提公因式法、整式乘法与因式分解关系）搭建学习支架，衔接新知形成完整知识脉络。 其亮点是采用“辨一辨”“口诀”强化公式特征，例题分层培养数学思维，小结“一提二套三查”构建结构化知识。结合实际应用（面积计算、整除问题）提升学生运算能力与应用意识，为教师提供系统教学资源，助力高效教学。

第十七章 因式分解 17.2 用公式法分解因式 第1课时 运用平方差公式分解因式 学习目标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想． 2.理解用平方差公式分解因式的应用． 难点 重点 运用平方差公式进行因式分解. 用平方差公式分解因式的应用. 学习重难点 2 回顾旧知 1.什么叫多项式的因式分解? 把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作多项式的因式分解. 2.下列式子从左到右哪个是因式分解? 哪个整式乘法？它们有什么关系？ （1） a(x+y)=ax+ay （2） ax+ay=a(x+y) 整式乘法 因式分解 它们是互为方向相反的变形 3.已学过哪种因式分解的方法？ 提公因式法 3 新课讲授 知识点 用平方差公式进行因式分解 思考：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式. ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 平方差公式： 4 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 两数是平方， 减号在中央． （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 例1 分解因式： (1)4x2-9； (2)a2-25b2. a a b b ( ＋ ) ( - ) a2 - b2 = 解:(1)原式= 2x 3 2x 2x 3 3 (2)原式=a2-(5b)2 =(a+5b)(a-5b). 例题解读 6 方法总结：公式中的a，b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 7 例2 分解因式： (1)x2-y4； (2)(x+p)2-(x+q)2. (2)原式 整体思想 解：(1)原式=x2-y4 =x2-(y2）2 =(x+y2)(x-y2)； 8 方法总结： 一提：公因式； 二套：公式； 三查：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 9 例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值． ∴x－y＝－2②. 解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2， x＋y＝1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 总结：在与x2－y2，x±y有关的求值问题中，通常先因式分解，再整体代入或联立方程组求值. 10 运用平方差公式分解因式 公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 小结 11 随堂小测 1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 D 12 2. 把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2=_________________; (2) (a+b)2-(a-b)2=_________________; (3) -a4+16=_________________. (4a+3b)(4a-3b) 4ab (4+a2)(2+a)(2-a) 3. 若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为　 　. -21 13 4.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积． 解：根据题意，得 6.82－4×1.62 ＝6.82－ (2×1.6)2 ＝6.82－3.22 ＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2) ＝10×3.6 ＝36 (cm2). 答：剩余部分的面积为36 cm2. 5. 992-1能否被100整除？ 解：因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98， 所以992-1能被100整除. 6.n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 解:原式＝（2n+1+5）(2n+1-5) =(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2)， 所以（2n+1)2-25能被4整除. 15 第十七章 因式分解 17.2 用公式法分解因式 第2课时 运用完全平方公式分解因式 学习目标 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式． 2.理解公式法的概念，运用公式法分解因式． 难点 重点 学习重难点 会用完全平方公式分解因式. 熟练运用公式法分解因式. 17 回顾旧知 1.已学过哪种因式分解的方法？ （1）提公因式法 （2）利用平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 2.回忆完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 pa+pb+pc=p(a+b+c) 18 新课讲授 知识点 用完全平方公式进行因式分解 思考：多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？你能将它们分解因式吗？ a2+2ab+b2 a2－2ab+b2 每个多项式有几项？ 中间项和第一项，第三项有什么关系？ 每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 19 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式. 完全平方式的特点： （1）必须是三项式（或可以看成三项的）； （2）有两个同号的数或式的平方； （3）中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 20 这样就可以把形如完全平方式的多项式因式分解. a2 2 a b b2 ± . + . = （ a ± b)² 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 21 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. a2 2 a b b2 ± . + . 22 3. a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2. m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，你会填空吗？ m m - 3 a2 2 a b b2 ± . + . （ a ± b )² = 3 x 2 m 3 23 例1 分解因式：（1）x2+4x+4； 分析：在（1）中，由于4=2², 4x=2·x·2, 所以x2+4x+4是一个完全平方式， 即x2 + 4x +4= x2+ 2·x·2 + 22 (2)16x2- 24x +9 = (4x)2 - 2·4x·3 + (3)2 = (4x - 3)2. (a)²+2·a·b+(b)² （2）16x2-24x+9. 解：(1)x2+ 4x+4 =x2+ 2·x·2+22 =(x+2)2； 在(2)中，由16x2=(4x)2, 9=3²,24x=2·4x·3,所以16x2-24x+9是一个完全平方式. 例题解读 例2 分解因式： （1）（a+b)2-12(a+b)+36； 解: (1)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2； 分析：在(1)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36； （2）-x2+4xy-4y2. 对于(2)，可通过添括号将原式写成-(x2-4xy+4y2),括号内的式子为完全平方式. (2)原式=-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·2y+(2y)2] =- (x -2y)2. 25 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法. 26 检查是否分解彻底，若没有则继续分解 一提 考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式 二套 看有无公因式，若有应先提取公因式 因式分解的一般步骤： 三查 不能直接套公式时可适当变形整理 27 例3 把下列完全平方公式分解因式： 1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)² =1. 利用完全平方公式分解因式，大大减少计算量，结果准确. 28 小结 完全平方公式分解因式 公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 29 随堂小测 1.多项式4a²+ma+9是完全平方式，那么m的值是（ ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12 D 2. 下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y B 30 3. 把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36； （2）4a2-4a+1. （2）原式=（2a）² － 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2. 解：（1）原式 =x2－2·x·6+（6）2 =（x－6）2 解：原式 4. 计算： 32 第十七章 因式分解 17.2 用公式法分解因式 第3课时 复杂的因式分解 学习目标 1.会多次运用公式法进行因式分解. 2.会综合运用提公因式法和公式法因式分解． 难点 重点 选择合适的方法进行因式分解. 综合运用提公因式法和公式法因式分解． 学习重难点 34 回顾旧知 已学过哪种因式分解的方法？ （1）提公因式法 （2）利用平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) （3）利用完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 pa+pb+pc=p(a+b+c) 35 例1 分解因式： 新课讲授 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 36 例2 分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 ；（2）－ax2＋2a2x－a3. 分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式. 解：(1)原式＝3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； (2)原式＝－a(x2－2ax＋a2) ＝－a(x－a)2. 37 针对训练 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2. 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2； (2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2. 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 38 例3 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4. 解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800. 总结：运用因式分解对复杂的运算进行变形，使运算得以简化. 39 复杂的因式分解 方法 平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 小结 完全平方公式法 a2±2ab+b2=(a±b)2 提公因式法 pa+pb+pc=p(a+b+c) 40 随堂小测 1. 下列分解因式错误的是( ) A. a2−1=(a+1)(a−1) B. 1−4b2=(1+2b)(1−2b) C. 81a2−64b2=(9a+8b)(9a−8b) D. (−2b)2−a2=(−2b+a)(2b+a) D 41 2.因式分解：-m2-4mn-4n2= ． －（m+2n）2 3.若x+y+z=2，x2−(y+z)2=8，则x−y−z 的值为 . 4 42 4. 把下列多项式因式分解. (1) ax2 ＋2a2 x ＋ a3； (2) － 3x2 ＋ 6xy －3y2. 解：（1）原式 =a（x2 ＋2a x ＋ a2） =a(x ＋a)2； （2）原式=－ 3（x2 -2xy +y2） =－3(x－y )2. 5. 分解因式： 解：原式 44 6. 分解因式：(1)（m2-6)2-6(m2-6)+9；(2)2(x2-)-x4. 解：（1）原式=(m2-6-3)2 =(m2-9)2 =[(m+3)(m-3)]2 =(m+3)2(m-3)2； （2）原式=2x2-1-x4 =-(x4-2x2+1) =-(x2-1)2 =-(x+1)2(x-1)2. 45 $