专题1.7 整式的乘除80道计算题专项训练（8大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题1.7 整式的乘除80道计算题专项训练（8大题型） 题型一 幂的乘除基础运算及逆用 题型二 单项式、多项式相关基础计算 题型三 单项式、多项式相关应用 题型四 单项式、多项式相关求参数问题 题型五 （x+p）(x+q)型多项式乘法 题型六 运用乘法公式运算 题型七 乘法公式的应用 题型八 整式的混合运算 【经典计算题一 幂的乘除基础运算及逆用】 1．（25-26七年级下·江苏南通·月考）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级下·浙江金华·月考）解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）计算． (1) (2)（用科学记数法表示结果） 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 6．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算：． 7．（25-26七年级下·全国·专题练习）先计算，然后根据计算结果回答问题． 计算：(2×102)×(3×104)=________； (2×104)×(4×107)=________； (5×107)×(7×104)=________； (9×102)×(3×1011)=________． 已知式子(a×10n)×(b×10m)=c×10p(其中a，b，c均为大于或等于1而小于10的数；m，n，p均为整数)成立，你能说出m，n，p之间存在的等量关系吗? 8．（25-26七年级下·上海·月考）用简便方法进行计算： 9．（23-24七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 10．（25-26七年级下·安徽·月考）找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 【经典计算题二 单项式、多项式相关基础计算】 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）计算：； （2）化简：． 12．（25-26七年级下·云南昭通·期末）由多项式相乘法则，容易得到．显然，两个关于同一字母的一次二项式相乘，结果是这个字母的二次三项式．其中二次项系数就是两因式中一次项系数a、c的积，常数项是两个因式中常数项b、d的积，最容易算错的是一次项系数，可借助图计算：上下两行分别表示两个因式中的一次项系数和常数项，两斜线连结的数分别相乘，将所得的积相加即得积的一次项系数．这种方法通常称作十字相乘法． 应用这一方法计算下列各题： (1)； (2)． 13．（25-26七年级下·西藏林芝·期末）若，且，求的值． 14．（25-26七年级下·广东茂名·月考）在计算时，甲把错看成6，得到的结果是；乙把错看成了，得到的结果是． (1)求，的值； (2)计算的正确结果． 15．（2026七年级下·江苏·专题练习）先化简：，并求出，时，代数式的值． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 17．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（23-24七年级下·福建福州·期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 19．（25-26七年级下·北京·期中）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积； (3)若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为______． 20．（25-26七年级下·重庆·期末）定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式和，规定．例如：时， (1)若，求； (2)若，当x取任意数时，恒成立，求的值． 【经典计算题三 单项式、多项式相关应用】 21．（25-26七年级下·全国·月考）内蒙古赤峰市某牧民家有一片长方形牧场，长为x米，宽为y米． (1)若将牧场的长增加5米，宽减少3米，用含x、y的代数式表示变化后牧场的面积； (2)若原牧场的长为80米，宽为50米，按照（1）中方式变化后，牧场的面积是增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？ (3)若将原牧场的长和宽都扩大为原来的2倍，用含x、y的代数式表示扩大后牧场的面积，并说明扩大后面积与原面积的关系． 22．（25-26七年级下·甘肃武威·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 23．（25-26七年级下·上海）画出长方形，用长方形的面积分别表示下列各式及运算结果． (1)； (2)． 24．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“”，定义根据运算符合的意义完成下列各题． (1)求的值； (2)求的值； (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和⚪中，并比较它们的运算结果，你能发现什么？□*⚪和⚪*□； (4)根据以上方法，设为有理数，请猜测与的关系，并用式子把它们表示出来． 25．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 26．（25-26七年级下·山西临汾·期中）在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．八年级课外活动小组剪了若干个边长为的大正方形（类），边长为的小正方形（类）以及长为、宽为的长方形（类）卡片（如图），勤学组的同学拼出了如图的大正方形，发现这个图形可以直观解释等式：． (1)奋进组同学拼出了如图所示的长方形，这个图形可以解释的等式为___________； (2)从、、三种卡片中选取___________张类、___________张类、___________张类，可以拼成一个长为，宽为的大长方形，并画出所拼长方形． 27．（2026·七年级下 河北石家庄）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 28．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 29．（25-26七年级下·浙江丽水·期末）如图，，点D是线段上的一个动点，在右侧以为边作正方形；若，，连接．    (1)请用含k，m的代数式表示； (2)若，梯形的面积是三角形面积的4倍，求k的值； (3)下列三个条件：①；②；③，依次为易、中、难，对应的满分值为1分、2分、3分，选择其中一个条件，求三角形的面积（用含k的代数式表示）． 30．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）我们可以发现日历中某些数满足一定的规律，我们利用（，且为整数）的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的个数，设这个数分别为，计算“”的值，并探索其运算结果的规律． (1)图①是2026年1月份的日历，当时，小明在其中画出两个的方框，计算出 ， ． 小明猜想的规律是 请你利用整式的运算对其加以证明． (2)请你根据小明的方法，借助2026年2月份的日历，继续进行探究： 可得“”方框的 （用含的式子表示） 【经典计算题四 单项式、多项式相关求参数问题】 31．（24-25七年级下·河南周口·期末）若 ，则求的值． 32．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 33．（23-24七年级下·河北沧州·期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1）按图2的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别记为，，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且，． (1)当时，用含a，b的式子表示，； (2)若长度不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，而，的值总保持不变，求a，b满足的数量关系． 34．（25-26七年级下·四川达州·期末）若的积中不含项与项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 35．（25-26七年级下·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 36．（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 37．（25-26七年级下·吉林松原·期中）下面两道小题小明不会做，请你帮他写出解答过程． (1)如果，求m的值； (2)已知的结果中不含项，求m的值． 38．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式．并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数，通过观察，我们发现：一次项系数就是，即一次项为．参考材料中用到的方法，解决下列问题： 问题解答 (1)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为____． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，则直接写出，，，的值． 39．（25-26七年级下·广东深圳·期末）已知关于的三次三项式及关于的二次三项式（，均为非零常数）． (1)当为关于的三次三项式时，_______． (2)当多项式与的乘积中不含项时，________． (3)若写成（其中a，b，c，d均为常数），求的值． (4)若能被整除，求的值． 40．（25-26七年级下·陕西西安·月考）小丽、小宁和小明同时计算，下面是他们三人的一段对话：小丽：我的答案中常数项是；小宁：我的答案中没有一次项；小明：你们说得都正确，我还知道；请你根据他们的对话确定a、b的值． 【经典计算题五 （x+p）(x+q)型多项式乘法】 41．（25-26七年级下 上海）根据，直接计算下列题： (1)； (2)． 42．（23-24七年级下·湖南郴州·开学考试）如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．    (1)根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积． ______________________________ ______________________________ 根据条件你发现关于字母的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是____________________________________________________________． (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ①__________；②__________；③__________； (3)由（1）得到的关于字母的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用，即可对形如多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解： ①；② 43．（23-24七年级下·福建泉州·期中）对于任何数，我们规定：．例如：． (1)按照这个规定，请你化简： (2)按照这个规定，当时，求的值． 44．（25-26七年级下·山东青岛·月考）试说明对于任何正整数n，式子的值都能被3整除． 45．（25-26七年级下·广东惠州·月考）先化简，再求值：，其中． 46．（23-24七年级下·河南许昌·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2024年1月份的日历.我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7. 2024年1月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)将每个方框的左上角数字设为.请用含的式子表示你发现的规律：______； (2)请利用整式的运算对以上规律进行证明. 47．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12． (1)求出a的值； (2)在（1）的条件下，且b＝﹣3时，计算（x+a）（x+b）的结果． 48．（25-26七年级下·福建泉州·期中）一个长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米（x，y为正整数），如果将长方形的长和宽各增加5厘米得到新的长方形，面积记为，将长方形的长和宽各减少2厘米得到新的长方形，面积记为． (1)请说明：与的差一定是7的倍数． (2)如果比大196，求原长方形的周长． 49．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 50．（24-25七年级下·浙江台州·期中）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． 【经典计算题六 运用乘法公式运算】 51．（2026七年级下·重庆永川·专题练习）计算：． 52．（2026七年级下·北京·专题练习）已知，求代数式的值． 53．（25-26七年级下·广东揭阳·月考）化简与计算： (1)化简： (2)运用乘法公式计算：． 54．（2026·七年级下 福建泉州）已知实数满足，且是正整数，． (1)请判断是奇数，还是偶数？并说明理由； (2)求证：是完全平方数． 55．（25-26七年级下·江西上饶·期中）如图，老师在黑板上展示了代数式A和B． (1)当时，代数式A的值为______，代数式B的值为______；当时，代数式A的值为______，代数式B的值为______． (2)根据（1）中的结果，猜想代数式A与代数式B的数量关系．（直接写出答案，不必说明理由） 56．（25-26七年级下·北京·期中）如果一个整数可以表示为两个整数平方和的形式，那么我们称这个整数为“平方和数”．例如：．完成下列练习题： (1)在5，19，33三个数中，平方和数是_______； (2)“平方和数”53可表示为2和7的平方和，即．整数x也是“平方和数”．设（a，b为正整数）．发现53与x的积也是“平方和数”．即．若，若，求n（用含a，b的式子表示）； (3)证明：两个“平方和数”的积也是“平方和数”． 57．（2026·七年级下 浙江）请同学们认真阅读下面求代数值的方法． 已知实数、满足，计算的值． 解：因为， 所以． 借鉴上面的方法，解决下列问题： 若实数a、b满足． (1)求的值； (2)求的值． 58．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 59．（25-26七年级下·四川巴中·期末）配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 60．（24-25七年级下·重庆·月考）计算 (1) (2) (3) (4)为正整数） 【经典计算题七 乘法公式的应用】 61．（24-25七年级下·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 62．（25-26七年级下·重庆北碚·月考）如图是由4个长为m，宽为n的长方形纸片围成的大正方形． (1)通过计算大正方形的面积写出一个代数恒等式：______． (2)若长方形纸片的面积为12，且长比宽长4，求长方形的周长． 63．（23-24七年级下·广东深圳·期中）数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．如图1，用一张边长为a的正方形纸片减去一个边长为b的正方形，剩下部分通过剪拼可以得到一个新的长方形（图2），请你完成下面的探究： (1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用表示）； (2)若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果． (3)计算． 64．（24-25七年级下·山东济南·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②：； 公式③：； 公式④：． 图1对应公式___________，图2对应公式___________，图3对应公式___________，图4对应公式___________． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值； (3)两块完全相同的特制直角三角板如图5所示放置，其中，在同一直线上．连接，若，求一块特制直角三角板的面积． 65．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 66．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）探索规律． 乐乐在计算：、、⋯⋯这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的涂色部分表示，这个涂色部分可以转化成长是________，宽是________的长方形． (2)根据以上规律计算：________=________ (3)根据以上规律计算并写出过程： 67．（25-26七年级下·四川成都·月考）魏晋时期的大数学家刘徽，在为《九章算术》作注时，系统提出了出入相补原理．他认为一个图形，无论如何分割、移补，总面积始终不变．这一原理，成为中国古代数学证明面积、体积公式的核心工具．今天我们就在数与形的转化中，感受数学的统一之美． (1)直接写出图1中阴影部分的正方形的边长______；请写出下列三个代数式，，之间的等量关系______； (2)将两个正方形按图方式摆放，若大小正方形的边长之和为，边长之积为，请利用上述等式，求阴影部分的面积． (3)应用：如图，成都人民春日最是喜欢露营晒太阳吃烧烤，小丁同学测量发现他家的露营汽车天窗长米，宽米，天窗边缘离车顶边缘距离相等，设这个距离为． ①车顶宽______米，______米．（用含的代数式表示） ②若露营时需要展开遮阳棚扩展休息场地，扩展方式如下：分别以、为边向外展开正方形遮阳棚，若增加的面积为平方米，你能用所学知识算出小丁家车顶面积多大吗？ 68．（25-26七年级下·广东广州·期末）先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题． 【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．    【解决问题】 (1)求代数式的最小值； (2)判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值； (3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？ 69．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 70．（25-26七年级下·贵州遵义·期末）如图1是长为m,宽为n的长方形,将四个这样的长方形拼成如图2的“回字形”正方形和正方形. 【观察发现】 （1）①请用两种不同的方法表示正方形的面积： 方法1：； 方法2： ； ②根据①中的结论,直接写出,,之间的等量关系式为： ； 【结论应用】 （2）已知,,求的值； 【变式拓展】 （3）将正方形,正方形按如图的方式摆放（点P与点O重合,点T在上）,若两个正方形的面积之和为850,边长之差为10,求图中阴影部分的面积. 【经典计算题八 整式的混合运算】 71．（24-25七年级下·福建厦门·月考） 规定一种新运算“”，对于任意实数，如． (1)则 (2)计算： 72．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）计算题 (1) (2) 73．（23-24七年级下·江西九江·期中）已知，其中，．比较A和B的值的大小．小明说A的值大，小华说B的值大．请你判断一下，谁的说法正确，为什么？ 74．（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知，其中为整数．证明：能被4整除． 75．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知与 是同类项，先化简，再求值． 76．（23-24七年级下·山西晋中·期中）（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 77．（24-25七年级下·全国·课后作业）欢欢在计算时，因抄错运算符号，将乘号错写为加号，得到的结果是． (1)求正确的计算结果B． (2)若，在（1）的条件下，计算的结果． 78．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）设是关于的代数式，如果当时，代数式，则称A是“优美式”，例如：，当时，，故是“优美式”，根据约定，回答以下问题： (1)下列关于的代数式是“优美式”的有____________． ①；②；③． (2)设实数满足．问：关于的代数式是否为“优美式”？若是，请证明它；若不是，请说明理由． (3)已知关于的代数式是“优美式”且，求的值． 79．（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中 80．（25-26七年级下·四川成都·期末）（1）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣（x﹣y）（x＋y）﹣2y2]÷x，其中x＝2，y＝﹣3； （2）已知a为常数，关于x的代数式(x2﹣3x＋2)(x2＋ax)的化简结果中不含x3项，且（m﹣2）2＋|n﹣3|＝0，求am﹣n的值 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 整式的乘除80道计算题专项训练（8大题型） 题型一 幂的乘除基础运算及逆用 题型二 单项式、多项式相关基础计算 题型三 单项式、多项式相关应用 题型四 单项式、多项式相关求参数问题 题型五 （x+p）(x+q)型多项式乘法 题型六 运用乘法公式运算 题型七 乘法公式的应用 题型八 整式的混合运算 【经典计算题一 幂的乘除基础运算及逆用】 1．（25-26七年级下·江苏南通·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的计算法则化简各项，再合并计算，即可解题； （2）根据积的乘方，同底数幂的乘法化简各项，再合并计算，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级下·浙江金华·月考）解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)81 (2)32 【分析】（）由，得，然后由，最后代入求解即可； （）由，把，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·月考）计算． (1) (2)（用科学记数法表示结果） 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）首先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算即可； （2）根据同底数的乘法和负整数指数幂法则求解，然后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）逆用同底数幂相乘法则计算即可得出结果； （2）逆用同底数幂相除以及幂的乘方法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂乘法计算即可； （2）利用同底数幂乘法和幂的乘方、负整数指数幂计算即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴ （2）解： 6．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方运算，即可求解． 【详解】解： ． 7．（25-26七年级下·全国·专题练习）先计算，然后根据计算结果回答问题． 计算：(2×102)×(3×104)=________； (2×104)×(4×107)=________； (5×107)×(7×104)=________； (9×102)×(3×1011)=________． 已知式子(a×10n)×(b×10m)=c×10p(其中a，b，c均为大于或等于1而小于10的数；m，n，p均为整数)成立，你能说出m，n，p之间存在的等量关系吗? 【答案】6×106；8×1011；3.5×1012；2.7×1014；当时，m+n=p，当时，m+n+1=p 【分析】根据含乘方的有理数混合运算和科学记数法性质，对各个式子逐个分析，即可得到答案． 【详解】； ； (5×107)×(7×104)= 3.5×1012； (9×102)×(3×1011)= 2.7×1014； 根据题意，a，b，c均为大于或等于1而小于10的数 ∴ 当时，m+n=p 当时，m+n+1=p 故答案为：6×106；8×1011；3.5×1012；2.7×1014；当时，m+n=p，当时，m+n+1=p． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算、科学记数法的知识；解题的关键是熟练掌握科学记数法、含乘方的有理数混合运算的性质，从而完成求解． 8．（25-26七年级下·上海·月考）用简便方法进行计算： 【答案】2 【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．把拆分为，再利用积的乘方的逆运算，将与结合起来进行简便计算． 【详解】解：原式 ． 9．（23-24七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质； （1）把式子变形成进而可求解； （2）根据，再由，进而可解答； 【详解】（1）解： （2）解：， ， 10．（25-26七年级下·安徽·月考）找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 【答案】（1）；；（2）1622600；（3） 【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题； （2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可； （3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题． 【详解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝； 13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝； （2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103） ＝ ＝1622600； （3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503） ＝23×＝． 【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率． 【经典计算题二 单项式、多项式相关基础计算】 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）13；（2）． 【详解】（1）先根据绝对值、零指数幂、同底数幂的除法、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）先根据单项式乘单项式的运算法则计算，再合并同类项即可． 解：（1） ； （2） ． 12．（25-26七年级下·云南昭通·期末）由多项式相乘法则，容易得到．显然，两个关于同一字母的一次二项式相乘，结果是这个字母的二次三项式．其中二次项系数就是两因式中一次项系数a、c的积，常数项是两个因式中常数项b、d的积，最容易算错的是一次项系数，可借助图计算：上下两行分别表示两个因式中的一次项系数和常数项，两斜线连结的数分别相乘，将所得的积相加即得积的一次项系数．这种方法通常称作十字相乘法． 应用这一方法计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用的方法计算即可； （2）运用的方法计算即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴． 【点睛】本题考查多项式乘多项式．理解并掌握十字相乘，是解题的关键． 13．（25-26七年级下·西藏林芝·期末）若，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则及整体代入法．先将展开，再利用已知条件整体代入，即可求解的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·广东茂名·月考）在计算时，甲把错看成6，得到的结果是；乙把错看成了，得到的结果是． (1)求，的值； (2)计算的正确结果． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据题意得出，，再分别列出方程求解即可； （2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， 又， ，即：， 解得． （2）解：当，时，． 15．（2026七年级下·江苏·专题练习）先化简：，并求出，时，代数式的值． 【答案】，8 【分析】本题考查了整式的化简求值，在化简过程中要注意运算顺序以及符号的改变．先算乘方，再算乘法，最后代入求出即可． 【详解】解： 当， ， 原式 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 17．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题考查了整式的乘法运算，负整数指数幂，幂的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则. （1）分别计算幂的乘方、积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项； （2）先计算负整数指数幂，并且利用逆用同底数幂的乘法运算将其变形，再逆用积的乘方计算，最后再进行有理数的混合运算； （3）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项； （4）利用多项式乘以多项式法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（23-24七年级下·福建福州·期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 【答案】(1)不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”，理由见详解 (2)①是② 【分析】（1）根据新定义，分别求出两数的差与两数的2倍减1的结果，进行比较，然后判断即可； （2）①根据新定义，由得即可；②先化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：，， 故不是“同心有理数对” ． ，， ， 故是“同心有理数对”； （2）解：①是“同心有理数对”， ． ， 故是“同心有理数对”， 故答案为：是； ②由得：， ， 当时， 原式 【点睛】本题主要考查了新定义，解题关键是理解新定义运算的含义，并能够根据新定义解决问题． 19．（25-26七年级下·北京·期中）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于x的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积； (3)若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为______． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值是解题的关键． (1 )根据特征系数对的定义即可解答； (2)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可； (3)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令即可得出答案． 【详解】（1）解：关于x的二次多项式的特征系数对为， 故答案为：； （2）解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为， ； （3）解：根据题意得， 令，则， ， ， ． 故答案为：4． 20．（25-26七年级下·重庆·期末）定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式和，规定．例如：时， (1)若，求； (2)若，当x取任意数时，恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法的应用． （1）直接根据新运算的定义计算； （2）通过计算新运算后比较多项式系数，利用恒成立条件求解和，再求． 【详解】（1）解： 则 （2） 则 与比较系数 ∵项系数为0 ∴，得 ∵项系数为 ∴ 代入，得 ∴ 验证常数项：，符合； ∴ 【经典计算题三 单项式、多项式相关应用】 21．（25-26七年级下·全国·月考）内蒙古赤峰市某牧民家有一片长方形牧场，长为x米，宽为y米． (1)若将牧场的长增加5米，宽减少3米，用含x、y的代数式表示变化后牧场的面积； (2)若原牧场的长为80米，宽为50米，按照（1）中方式变化后，牧场的面积是增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？ (3)若将原牧场的长和宽都扩大为原来的2倍，用含x、y的代数式表示扩大后牧场的面积，并说明扩大后面积与原面积的关系． 【答案】(1)平方米 (2)面积减少了，减少5平方米 (3)扩大后面积为平方米，是原面积的4倍 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值的实际应用，解题的关键是根据长方形面积公式(面积=长×宽)，结合题目中长和宽的变化情况列出相应代数式，并代入具体数值计算比较． （1）先确定变化后牧场的长为米，宽为米，再根据长方形面积公式列出表示变化后面积的代数式； （2）先将原牧场长米、宽米代入(1)中代数式求出变化后面积，再计算原牧场面积，两者对比得出面积增减情况及具体数值； （3）先得出长和宽扩大为原来2倍后分别为米、米，列出扩大后面积的代数式，再与原面积对比说明两者关系． 【详解】（1）解：变化后牧场的长为米，宽为米，根据长方形面积公式，变化后牧场的面积为平方米． （2）原牧场面积为平方米，变化后牧场的长为米，宽为米，变化后牧场面积为平方米，因为，且平方米，所以牧场面积减少了，减少了5平方米． （3）长和宽扩大为原来2倍后，长为米，宽为米，扩大后牧场的面积为平方米，原牧场面积为平方米，所以扩大后面积是原面积的4倍． 22．（25-26七年级下·甘肃武威·期末）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图，长为，宽为的长方形是某校劳动实践基地的示意图，学校计划在该长方形的两角处分别隔出一个边长为a和b的正方形区域，用于摆放劳动教育相关资料，其他区域（图中阴影部分）用于实际劳动展示区． (1)用含a、b的式子表示实际劳动展示区的面积（结果化为最简）； (2)若米，米，求实际劳动展示区的面积． 【答案】(1) (2)475平方米 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的应用，代数式求值，解题的关键是正确列式． （1）用大长方形的面积减去两个小正方形的面积列式即可； （2）将米，米代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵米，米， ∴（平方米）． 23．（25-26七年级下·上海）画出长方形，用长方形的面积分别表示下列各式及运算结果． (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的乘法法则，进行求解作答即可． 【详解】（1）解：如图（1），      ∴； （2）解：如图2，        ∴； 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式的乘法法则的面积验证．解题的关键在于熟练掌握割补法的简单运用以及整式的乘法法则． 24．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“”，定义根据运算符合的意义完成下列各题． (1)求的值； (2)求的值； (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和⚪中，并比较它们的运算结果，你能发现什么？□*⚪和⚪*□； (4)根据以上方法，设为有理数，请猜测与的关系，并用式子把它们表示出来． 【答案】(1) (2) (3)相等，理由见解析 (4) 【分析】（1）根据新运算代入计算，即可求解； （2）根据新运算代入计算，即可求解； （3）先选择和2分别填入下列□和⚪中，再选选择有理数其中，分别填入下列□和⚪中验证，即可求解； （4）根据新运算代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：选择和2分别填入下列□和⚪中， ⚪； ⚪； 选择有理数其中，分别填入下列□和⚪中， ⚪； ⚪； 由此发现□*⚪和⚪*□相等； （4）解：， ， ∴． 【点睛】本题考查了阅读理解能力和知识迁移能力，掌握新运算所给的公式是解题的关键． 25．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）首先将整理化简，然后根据代数式的值与的取值无关，所以含有的项的系数之和为，可得，解方程即可求出的值； （2）首先计算出，根据的值与的取值无关，可得，，解方程求出、的值即可； （3）设的长为，可得：，根据当的长度变化时，与的差始终为定值，可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： 代数式的值与x的取值无关， ， 解得：； （2）解： ∵的值与无关， ，， 解得：，； （3）解：设的长为， 当的长度变化时，与的差始终为定值， ， ． 26．（25-26七年级下·山西临汾·期中）在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．八年级课外活动小组剪了若干个边长为的大正方形（类），边长为的小正方形（类）以及长为、宽为的长方形（类）卡片（如图），勤学组的同学拼出了如图的大正方形，发现这个图形可以直观解释等式：． (1)奋进组同学拼出了如图所示的长方形，这个图形可以解释的等式为___________； (2)从、、三种卡片中选取___________张类、___________张类、___________张类，可以拼成一个长为，宽为的大长方形，并画出所拼长方形． 【答案】(1)； (2)，，；图见解析； 【分析】本题主要考查了用图形解释多项式乘以多项式、列代数式，解决本题的关键是利用不同的方式列代数式表示出长方形的面积． 用不同的方式列代数式表示出大长方形的面积，根据同一个长方形的面积相同，可得等式； 根据拼成的长方形的长与宽计算出大长方形的面积为，根据多项式各项的形式判断各类卡片需要的张数． 【详解】（1）解：由图可知，大长方形的长为，宽为， 大长方形的面积为， 由图可知，大长方形是由个类卡片、个类卡片、个类卡片拼成的， 大长方形的面积为， 这个图形可以解释的等式为； （2）解：长为，宽为的大长方形， 大长方形的面积为， 需要张类卡片、张类卡片、张类卡片， 拼成的长方形如下图所示， 27．（2026·七年级下 河北石家庄）【观察发现】例如： 以上举例的两位数乘两位数，其十位数字相同，个位数字相加得，其计算规律总结为：两个数的个位数字相乘的积作十位和个位（积不足的十位用填充），十位数字与比十位数字大1的数字的积作百位（或者是千位和百位）． (1)【规律运用】用总结的规律计算： ①； ②； ③； (2)【规律证明】设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（），用，，表示上面的规律，并给予证明． 【答案】(1)①；②；③ (2)，证明见解析 【分析】（1）按照规律计算即可； （2）利用代数式表示两个乘数，根据总结的规律列出等式，再根据整式的运算进行证明即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； （2）解：设这两个两位数的十位数字都是，个位数字分别是和（）， 这两个两位数分别为，， 观察发现规律为：， 证明： ， ， ． 28．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，乘法分配律的应用，解题关键是掌握整式的混合运算． （1）结合长方形的性质分别表示即可． （2）利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：，， ， ， ∴． （2）解： ， ， ∴， ∵， ∴． 29．（25-26七年级下·浙江丽水·期末）如图，，点D是线段上的一个动点，在右侧以为边作正方形；若，，连接．    (1)请用含k，m的代数式表示； (2)若，梯形的面积是三角形面积的4倍，求k的值； (3)下列三个条件：①；②；③，依次为易、中、难，对应的满分值为1分、2分、3分，选择其中一个条件，求三角形的面积（用含k的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)当选择：①；②时，的面积为；当选择；③时，的面积为或 【分析】（1）观察图形，找出，和之间的数量关系，求出答案； （2）根据已知条件求出梯形的面积和的面积，然后根据梯形的面积是三角形面积的4倍，列出等式，再代入求值即可； （3）选择条件①，根据的面积梯形的面积的面积的面积，列出式子，进行计算；选择条件②，先求出，再根据条件①的思路求解；选择条件③，分两种情况、根据图形面积间的关系求解即可． 【详解】（1），，， ； （2），，，四边形是正方形， ， ， ， 梯形的面积为：，的面积为，梯形的面积是三角形面积的4倍， ， 整理可得， 把代入得： ， 解得：； （3）若选择：①，由（1），， ， 解得：， ，， ，， 梯形的面积为：，的面积为：，的面积为：， 的面积梯形的面积的面积的面积， 的面积为：； 若选择：②，由（1），， ， 解得：， ，， ，， 梯形的面积为：，的面积为：，的面积为：， 的面积梯形的面积的面积的面积， 的面积为：； 若选择：③，分两种情况讨论： （i）点在的外部，由（1），， ， ∵， ∴。 解得：， ∴，，， ，， 梯形的面积为：，的面积为：，的面积为：， 的面积梯形的面积的面积的面积， 的面积为：； （ii）点在的内部， 如图所示：由（1），，   ， ，即， ∴， ， ，，， 的面积，的面积，的面积，正方形的面积， 的面积的面积的面积的面积正方形的面积， 的面积， 综上可知：当选择：①；②时，的面积为；当选择；③时，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了整式乘法的应用、一元一次方程的应用，解题关键是理解线段与线段之间数量关系以及图形与图形之间的联系． 30．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）我们可以发现日历中某些数满足一定的规律，我们利用（，且为整数）的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的个数，设这个数分别为，计算“”的值，并探索其运算结果的规律． (1)图①是2026年1月份的日历，当时，小明在其中画出两个的方框，计算出 ， ． 小明猜想的规律是 请你利用整式的运算对其加以证明． (2)请你根据小明的方法，借助2026年2月份的日历，继续进行探究： 可得“”方框的 （用含的式子表示） 【答案】(1)，，；见解析 (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，关键是 （1）根据日历中前后上下数字的关系列代数式化简即可； （2）根据日历中前后上下数字的关系列代数式化简即可． 【详解】（1）解：；； 规律：； 证明：设 ，则 ，，（日历中横向差，纵向差）， ， （2）设 ，则 ，，， ； 故答案为：（1）；（2）． 【经典计算题四 单项式、多项式相关求参数问题】 31．（24-25七年级下·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法． 先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可． 【详解】解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 33．（23-24七年级下·河北沧州·期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1）按图2的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别记为，，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且，． (1)当时，用含a，b的式子表示，； (2)若长度不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，而，的值总保持不变，求a，b满足的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式混合运算的应用，确定长方形的长和宽并正确计算是解题的关键． （1）先确定所求长方形的长和宽，根据长方形的面积公式，结合整式乘法的法则求解即可； （2）先求出，把的值总保持不变，转化为与无关型问题，再利用无关型问题的方法求解即可． 【详解】（1）当时， ， ； （2）∵， ， ∴． ∵长度不变，变长，的值总保持不变， ∴， 解得． 即a、b满足的关系是． 34．（25-26七年级下·四川达州·期末）若的积中不含项与项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算，令含x项与项的系数为零即可求解； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解： ∵的积中不含x项与项， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴ ∴ 35．（25-26七年级下·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 36．（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 37．（2023七年级下·全国·专题练习）若的乘积中不含 与 项，求的值． 【答案】 【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为，建立关于，的等式，求出后再求代数式值． 【详解】解：原式， ， ∵乘积中不含 与 项， ∴，， 解得：，， ∴． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，根据不含某一项就是这一项的系数等于列式求解、的值是解题的关键． 37．（25-26七年级下·吉林松原·期中）下面两道小题小明不会做，请你帮他写出解答过程． (1)如果，求m的值； (2)已知的结果中不含项，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查同底数幂的乘除法，多项式乘以多项式法则， （1）根据同底数幂乘除法法则变形，即可得到关于m的方程，由此求出m的值； （2）先计算多项式乘以多项式，再根据不含项的系数为零求出m的值． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴． （2）解：原式， ∵结果中不含项， ∴， 解得：． 38．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式．并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数，通过观察，我们发现：一次项系数就是，即一次项为．参考材料中用到的方法，解决下列问题： 问题解答 (1)计算所得多项式的一次项系数为______，二次项系数为____． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值； (3)如果，则直接写出，，，的值． 【答案】(1)，26 (2)； (3)，，，． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据给定的方法计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； （3）根据给定的方法找出的系数即可． 【详解】（1）解：根据题意，一次项系数为， 二次项系数为， 故答案为：，26； （2）解：根据题意，一次项系数， 即， 解得； （3）解：， ∴，，，． 39．（25-26七年级下·广东深圳·期末）已知关于的三次三项式及关于的二次三项式（，均为非零常数）． (1)当为关于的三次三项式时，_______． (2)当多项式与的乘积中不含项时，________． (3)若写成（其中a，b，c，d均为常数），求的值． (4)若能被整除，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题意知，，由为关于的三次三项式，，均为非零常数，可得，计算求解即可； （2）由题意知，，由多项式与的乘积中不含项，可得，计算求解即可； （3）由，，可知当时，；当时，，则； （4）由能被整除，令，则，即，，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵为关于的三次三项式，，均为非零常数， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：由题意知， ， ∵多项式与的乘积中不含项， ∴， 解得，， 故答案为：2； （3）解：∵，， ∴当时，； 当时，， ∴， ∴； （4）解：∵能被整除， 令， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了整式的加法运算，多项式乘多项式，多项式的项，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 40．（25-26七年级下·陕西西安·月考）小丽、小宁和小明同时计算，下面是他们三人的一段对话：小丽：我的答案中常数项是；小宁：我的答案中没有一次项；小明：你们说得都正确，我还知道；请你根据他们的对话确定a、b的值． 【答案】， 【分析】先利用多项式乘多项式把原式展开，根据常数项是得到，根据没有一次项得到，求出a、b的值，再根据最终确定a、b的值． 【详解】解：， ∵常数项是， ∴， ∵没有一次项， ∴， 即， ∴， 则或， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴，． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则和根据条件得到正确结论是解题的关键． 【经典计算题五 （x+p）(x+q)型多项式乘法】 41．（25-26七年级下 上海）根据，直接计算下列题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题目给出一个新算法直接进行求值计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，本题类似于给出一个新算法根据新算法直接进行求值． 42．（23-24七年级下·湖南郴州·开学考试）如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．    (1)根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积． ______________________________ ______________________________ 根据条件你发现关于字母的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是____________________________________________________________． (2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算： ①__________；②__________；③__________； (3)由（1）得到的关于字母的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用，即可对形如多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解： ①；② 【答案】(1)，， (2)，， (3)， 【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘宽，求得甲的面积；把四个小长方形的面积加起来表示乙的面积；两个面积相等得出等式即可； （2）利用（1）中的等式直接计算即可； （3）利用（1）中的规律因式分解即可． 【详解】（1）解：； ； ∴， 故答案为：；，； （2）解：①， ②， ③； 故答案为：；；； （3）解：①； ②． 【点睛】此题考查多项式的乘法计算公式：，灵活运用公式计算和因式分解． 43．（23-24七年级下·福建泉州·期中）对于任何数，我们规定：．例如：． (1)按照这个规定，请你化简： (2)按照这个规定，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，理解定义的新运算是解题的关键． （1）根据定义的新运算计算即可； （2）先根据定义的新运算，然后进行计算，最后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1） （2） ， ∵，即， ∴． 44．（25-26七年级下·山东青岛·月考）试说明对于任何正整数n，式子的值都能被3整除． 【答案】见解析 【分析】先将原式展开并合并同类项进行化简，若化简结果为与某个整数的乘积，则可说明原式的值能被整除 【详解】证明：原式 又是正整数 是正整数 是的倍数 即对于任何正整数，式子的值都能被整除 45．（25-26七年级下·广东惠州·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 46．（23-24七年级下·河南许昌·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2024年1月份的日历.我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7. 2024年1月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)将每个方框的左上角数字设为.请用含的式子表示你发现的规律：______； (2)请利用整式的运算对以上规律进行证明. 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）根据题意用含的式子表示其余三个数，表达规律即可； （2）根据整式乘法公式，把化简，即可证明． 【详解】（1）解：设日历中所示的方框左上角数字为，则其余三个数从小到大依次是：，，， 规律用含的式子可表示为； 故答案为：； （2）证明： ． 47．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12． (1)求出a的值； (2)在（1）的条件下，且b＝﹣3时，计算（x+a）（x+b）的结果． 【答案】(1)a＝2 (2)x2−x−6 【分析】（1）根据多项式乘多项式计算（x＋a）（x＋6），与x2＋8x＋12对照即可得出a的值； （2）把a＝2，b＝−3代入计算即可． 【详解】（1）解：∵（x＋a）（x＋6） ＝x2＋6x＋ax＋6a ＝x2＋（6＋a）x＋6a， ∴x2＋（6＋a）x＋6a＝x2＋8x＋12， ∴6＋a＝8，6a＝12， 解得a＝2； （2）解：当a＝2，b＝−3时， （x＋a）（x＋b） ＝（x＋2）（x−3） ＝x2−3x＋2x−6 ＝x2−x−6． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． 48．（25-26七年级下·福建泉州·期中）一个长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米（x，y为正整数），如果将长方形的长和宽各增加5厘米得到新的长方形，面积记为，将长方形的长和宽各减少2厘米得到新的长方形，面积记为． (1)请说明：与的差一定是7的倍数． (2)如果比大196，求原长方形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)50cm 【分析】（1）分别计算、，再计算-=7(x+y+3)，即可证得结论； （2）由比大196，得到7(x+y+3)=196，求出x+y=25，即可求出原长方形的周长． 【详解】（1）解：由题意得，＝(x+5)(y+5)=xy+5(x+y)+25；=(x-2)(y-2)=xy-2(x+y)+4； ∴-=[ xy+5(x+y)+25]-[ xy-2(x+y)+4]=7(x+y)+21=7(x+y+3)， ∴与的差一定是7的倍数； （2）∵比大196， ∴7(x+y+3)=196， 解得x+y=25， ∴原长方形的周长=2（x+y）=50（cm）． 【点睛】此题考查了列代数式，整式的加减计算，已知式子的值求代数式的值，正确理解题意列得代数式计算是解题的关键． 49．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查多项式乘多项式和新定义问题，解题的关键是理解题意，对新定义的理解． 根据定义化简，可得出，，，， ，再化简，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 的值为． 50．（24-25七年级下·浙江台州·期中）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． 【答案】任务一：，，，；任务二：，；任务三： 【分析】此题考查多项式相乘，解题关键在于利用长方形面积进行证明． （1）直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式； （2）画一个长为、宽为的长方形即可求解； （3）由（2）的结论可求解． 【详解】任务1： 任务2：由图可知： 任务3：由任务2可知：， 又∵， ∴，， 又∵m，p，q均为整数，， ∴或，或， 综上所述：． 【经典计算题六 运用乘法公式运算】 51．（2026七年级下·重庆永川·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项，即可求出答案． 【详解】解： ． 52．（2026七年级下·北京·专题练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用乘法公式展开所求代数式，合并同类项后，根据已知等式整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 53．（25-26七年级下·广东揭阳·月考）化简与计算： (1)化简： (2)运用乘法公式计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 54．（2026·七年级下 福建泉州）已知实数满足，且是正整数，． (1)请判断是奇数，还是偶数？并说明理由； (2)求证：是完全平方数． 【答案】(1)是奇数，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据是正整数，，可知是一个奇数、一个偶数，进而可判断出、的奇偶，进而可得结论； （2）将代入中得、，再代入，得，将看作一个整体，根据完全平方公式的结构变形，即可得证． 【详解】（1）解：是奇数，理由如下： ∵是正整数，， ∴是一个奇数、一个偶数， ∴是偶数， ∵奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， ∴是奇数，是偶数， ∴是奇数加偶数，结果为奇数； （2）证明：∵， ∴，， ∴ ， 即是完全平方数． 55．（25-26七年级下·江西上饶·期中）如图，老师在黑板上展示了代数式A和B． (1)当时，代数式A的值为______，代数式B的值为______；当时，代数式A的值为______，代数式B的值为______． (2)根据（1）中的结果，猜想代数式A与代数式B的数量关系．（直接写出答案，不必说明理由） 【答案】(1)0；0；9；9； (2) 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意代入相应的代数式求值即可； （2）根据完全平方公式展开即可说明． 【详解】（1）解：当时， 代数式A的值为 代数式B的值为； 当时， 代数式A的值为 代数式B的值为； 故答案为：0；0；9；9； （2）根据（1）中的结果，猜想代数式A与代数式B的数量关系为． ， 所以． 56．（25-26七年级下·北京·期中）如果一个整数可以表示为两个整数平方和的形式，那么我们称这个整数为“平方和数”．例如：．完成下列练习题： (1)在5，19，33三个数中，平方和数是_______； (2)“平方和数”53可表示为2和7的平方和，即．整数x也是“平方和数”．设（a，b为正整数）．发现53与x的积也是“平方和数”．即．若，若，求n（用含a，b的式子表示）； (3)证明：两个“平方和数”的积也是“平方和数”． 【答案】(1)5 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，运用完全平方公式进行推导是解决本题的关键． （1）通过检查每个数是否能表示为两个整数的平方和，确定平方和数即可求解； （2）利用平方和数的恒等式性质，结合给定条件推导n的表达式即可； （3）通过代数恒等式证明两个平方和数的积仍是平方和数 【详解】（1）解：根据题意得，5可以表示为， 19不能表示为两个整数的平方和， 33也不能表示为两个整数的平方和， ∴平方和数是5， 故答案为：5； （2）解：由题意得，，， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， （3）证明：设两个平方和数分别为和（a，b，c，d均为整数）， ∴ ， ∵和均为整数， ∴可以表示为两个整数的平方和， ∴是平方和数． 57．（2026·七年级下 浙江）请同学们认真阅读下面求代数值的方法． 已知实数、满足，计算的值． 解：因为， 所以． 借鉴上面的方法，解决下列问题： 若实数a、b满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)18 (2)123 【分析】（1）阅读题目中所给的求代数值的方法，按照这个方法代数求值； （2）利用题目中所给的方法，结合（1）中的数据，变形代入数值计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）得，， ， ． 58．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)，；， (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的形式是关键． （1）根据两个完全平方公式的形式，分析出与，然后进行填空即可； （2）利用完全平方公式分别对和的代数式进行配方，利用平方的非负性得出原式的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可得，在代数式中，，，则， ∴， 同理，在代数式中，套用的形式，可得，， ∴． 故答案为：，；，． （2）解：， ， ， ∵，， ∴当，时，原式取得最小值． 59．（25-26七年级下·四川巴中·期末）配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【答案】(1)7或 (2)或 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的意义是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值； （2）根据“配方法定形数”和“特征点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是完全平方式， ∴， 解得或； 故答案为：7或； （2）解：∵， 则， ． ， ， 则；     当时，即 （舍去）， 当时，即 （舍去），， 综上所述：或， 即或 60．（24-25七年级下·重庆·月考）计算 (1) (2) (3) (4)为正整数） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据乘法分配律的逆运算法则把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可； （3）先利用积的乘方计算法则把原式变形为，再利用平方差公式分别计算得到，再利用多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （4）利用平方差公式把原式变形，然后计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典计算题七 乘法公式的应用】 61．（24-25七年级下·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； 【详解】（1）解：根据图1可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得， 故答案为：． （3）解：如图所示， 62．（25-26七年级下·重庆北碚·月考）如图是由4个长为m，宽为n的长方形纸片围成的大正方形． (1)通过计算大正方形的面积写出一个代数恒等式：______． (2)若长方形纸片的面积为12，且长比宽长4，求长方形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式与几何图形面积． （1）根据大正方形的面积为或，再建立恒等式即可； （2）由题意可得，，代入，进一步计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：大正方形的面积为或， ∴． （2）解：∵长方形纸片的面积为12，且长比宽长4， ∴，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴长方形的周长为． 63．（23-24七年级下·广东深圳·期中）数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．如图1，用一张边长为a的正方形纸片减去一个边长为b的正方形，剩下部分通过剪拼可以得到一个新的长方形（图2），请你完成下面的探究： (1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用表示）； (2)若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果． (3)计算． 【答案】(1) (2)画图见解析， (3) 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式及其应用 （1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即，而图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，可表示出面积为． （2）根据题意先画出图形，然后再根据图形得出的展开结果． （3）运用（2）中的结论，即可解得． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即；图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，其面积为． 故答案为：； （2）如图 由图可得：． （3）解：根据（2）中的结论可知 在中，把， 根据公式 可求得 64．（24-25七年级下·山东济南·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②：； 公式③：； 公式④：． 图1对应公式___________，图2对应公式___________，图3对应公式___________，图4对应公式___________． (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，求和的值； (3)两块完全相同的特制直角三角板如图5所示放置，其中，在同一直线上．连接，若，求一块特制直角三角板的面积． 【答案】(1)②，①，③，④ (2)， (3)27 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，多项式乘以多项式的图形问题， 对于（1），根据长方形的面积等于三个小长方形的面积和解答①；根据大长方形的面积等于四个小长方形的面积和解答②；根据大正方形的面积等于两个相等的长方形的面积加上两个小正方形的面积和解答③；最后根据中等正方形的面积等于大正方形的面积加上小正方形的面积减去两个长方形的面积解答④； 对于（2），根据解答，再根据解答即可； 对于（3），设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，由题意可得：，再根据求出，则此题可解． 【详解】（1）解：②①③④； （2）解：由（1）可知：； . ∵， ， ； ∵， ， ； （3）解：设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ， 即一块特制直角三角板的面积为27． 65．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①90000；② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）① ； ② ． 66．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）探索规律． 乐乐在计算：、、⋯⋯这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的涂色部分表示，这个涂色部分可以转化成长是________，宽是________的长方形． (2)根据以上规律计算：________=________ (3)根据以上规律计算并写出过程： 【答案】(1)9，1 (2)，199 (3)9996 【分析】本题考查数字类规律探索，平方差与几何图形，应用数形结合思想是解题的关键． （1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解； （2）根据（1）中所得规律可解； （3）根据（1）中所得规律将原式变形为即可求解． 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形， 故答案为：9，1； （2）解：， 故答案为：，199； （3）解： ． 67．（25-26七年级下·四川成都·月考）魏晋时期的大数学家刘徽，在为《九章算术》作注时，系统提出了出入相补原理．他认为一个图形，无论如何分割、移补，总面积始终不变．这一原理，成为中国古代数学证明面积、体积公式的核心工具．今天我们就在数与形的转化中，感受数学的统一之美． (1)直接写出图1中阴影部分的正方形的边长______；请写出下列三个代数式，，之间的等量关系______； (2)将两个正方形按图方式摆放，若大小正方形的边长之和为，边长之积为，请利用上述等式，求阴影部分的面积． (3)应用：如图，成都人民春日最是喜欢露营晒太阳吃烧烤，小丁同学测量发现他家的露营汽车天窗长米，宽米，天窗边缘离车顶边缘距离相等，设这个距离为． ①车顶宽______米，______米．（用含的代数式表示） ②若露营时需要展开遮阳棚扩展休息场地，扩展方式如下：分别以、为边向外展开正方形遮阳棚，若增加的面积为平方米，你能用所学知识算出小丁家车顶面积多大吗？ 【答案】(1)；； (2)； (3)①，；②平方米． 【分析】（1）先填写阴影正方形边长，再利用完全平方公式推导恒等关系式； （2）设大正方形边长为、小正方形边长为，按梯形面积求阴影面积； （3）①按修正边长关系用含代数式表示线段，②设明确含义，结合完全平方公式整体求值． 【详解】（1）解：阴影正方形边长：； ∵，， ∴； （2）解：设大正方形边长为，小正方形边长为． ∵，， ∴， ∴ ； （3）解：①，； ②设表示车顶长方形长，则；表示车顶长方形宽，则 ∴， ∴ 由题意得：， ∵， ∴ ∴即车顶的面积为平方米． 68．（25-26七年级下·广东广州·期末）先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题． 【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．    【解决问题】 (1)求代数式的最小值； (2)判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值； (3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？ 【答案】(1)最小值为 (2)代数式有最大值，最大值为12 (3)当时，生物园的面积有最大值，最大值为50 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）由，可知当时，代数式有最大值，最大值为12； （3）设，则，由题意得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解： ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：      ， 当时，代数式有最大值，最大值为12； （3）解：设，则， 由题意得，生物园的面积 ，      当时，生物园的面积有最大值，最大值为50． 答：当时，围成的生物园的面积最大． 69．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）根据题意可以得到； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）根据四边形的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； （2）解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； （3）解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 70．（25-26七年级下·贵州遵义·期末）如图1是长为m,宽为n的长方形,将四个这样的长方形拼成如图2的“回字形”正方形和正方形. 【观察发现】 （1）①请用两种不同的方法表示正方形的面积： 方法1：； 方法2： ； ②根据①中的结论,直接写出,,之间的等量关系式为： ； 【结论应用】 （2）已知,,求的值； 【变式拓展】 （3）将正方形,正方形按如图的方式摆放（点P与点O重合,点T在上）,若两个正方形的面积之和为850,边长之差为10,求图中阴影部分的面积. 【答案】（1）；；（2）或；（3） 【分析】本题考查图形面积表示及代数式关系，完全平方公式； （1）①正方形的面积由4个小长方形和正方形拼成的，据此即可表示出正方形的面积； ②通过用不同方法表示的正方形的面积是相等，即可得出,,之间的等量关系式； （2）由（1）可得，代入,,即可求出的值； （3）设正方形边长为a，正方形边长为b，由题意得：，，进而求出，再利用（1）的结论得可求出 可得，最后由即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形的面积由4个小长方形和正方形拼成的， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）由（1）可得：，即， ∵,, ∴， ∴， ∴或． （3）设正方形边长为a，正方形边长为b， 由题意得：，， ∴ ∴ 由（1）得 ∴或（舍去）， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【经典计算题八 整式的混合运算】 71．（24-25七年级下·福建厦门·月考） 规定一种新运算“”，对于任意实数，如． (1)则 (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的除法，定义新运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，运用单项式除以单项式进行计算即可； （2）根据新定义的运算，运用多项式除以单项式，再合并同类项进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． 72．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）计算题 (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，积的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据整式四则混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 73．（23-24七年级下·江西九江·期中）已知，其中，．比较A和B的值的大小．小明说A的值大，小华说B的值大．请你判断一下，谁的说法正确，为什么？ 【答案】；小明说的正确；理由见解析 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行求值，最后比较大小即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式； ， 把，代入得： 原式， ∵， ∴， ∴小明说的正确． 74．（25-26七年级下·福建厦门·期末）已知，其中为整数．证明：能被4整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了整数的混合运算，简化的表达式，得到，提取公因数4后，证明其为4的倍数，从而得证． 【详解】证明： ， 为整数，， 为整数， 故能被4整除． 75．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知与 是同类项，先化简，再求值． 【答案】， 【分析】本题考查同类项的概念，代数式的化简求值，熟练掌握相关知识是解题关键． 先根据代数式的混合运算的法则进行化简，再根据同类项的定义求出和的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵与 是同类项， ∴，， ∴，， 当，时， 原式， ， ． 76．（23-24七年级下·山西晋中·期中）（1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①平方差公式或完全平方公式或或（写出1种即可）；②一，丢了括号或去括号时符号出错（合理即可）；③-16 【分析】（1）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）①平方差公式或完全平方公式； ②根据去括号法则可知第一步出现了错误； ③根据整式的混合运算顺序解答即可． 【详解】解：（1）原式 （2）①第一步运算用到了乘法公式或； 故答案为：或． ②以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误； 故答案为：一；去括号时符号错误． ③ 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 77．（24-25七年级下·全国·课后作业）欢欢在计算时，因抄错运算符号，将乘号错写为加号，得到的结果是． (1)求正确的计算结果B． (2)若，在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据错误的运算（加号）求出整式，再通过正确的运算（乘号）计算结果； （2）先求出的表达式，再与进行整式乘法运算． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 则正确的计算结果． （2）解： ． 【点睛】本题考查了整式的加减与整式乘法运算，解题关键是先通过错误运算逆向求出整式，再按照整式运算的法则逐步计算． 78．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）设是关于的代数式，如果当时，代数式，则称A是“优美式”，例如：，当时，，故是“优美式”，根据约定，回答以下问题： (1)下列关于的代数式是“优美式”的有____________． ①；②；③． (2)设实数满足．问：关于的代数式是否为“优美式”？若是，请证明它；若不是，请说明理由． (3)已知关于的代数式是“优美式”且，求的值． 【答案】(1)② (2)是，说明见解析 (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握新定义及整式的相关运算． （1）根据新定义把代入计算即可得出答案； （2）对已知等式变形整理得出，据此得出，进一步求解即可； （3）根据新定义得出，结合知，即，代入得，据此可得答案． 【详解】（1）解：当时： ①； ②； ③． ∴②是优美式． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴是“优美式”． （3）解：∵关于的代数式是“优美式”， ∴， ∴，可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 79．（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，再根据非负数的性质求出x、y的值，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式． 80．（25-26七年级下·四川成都·期末）（1）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣（x﹣y）（x＋y）﹣2y2]÷x，其中x＝2，y＝﹣3； （2）已知a为常数，关于x的代数式(x2﹣3x＋2)(x2＋ax)的化简结果中不含x3项，且（m﹣2）2＋|n﹣3|＝0，求am﹣n的值 【答案】（1）3x−4y；18；（2） 【分析】（1）整式的混合运算，先算括号里的，分别用完全平方公式平方差公式，然后合并同类项，最后计算除法，最后代入求值即可； （2）用多项式乘法展开，根据化简结果中不含x3项，则其系数为0，可求得a的值，根据平方和绝对值的非负性确定m、n的值，代入求解即可． 【详解】（1）[（2x﹣y）2﹣（x﹣y）（x＋y）﹣2y2]÷x 当x=2，y=−3时，原式=3×2−4×(−3)=18 （2）（x2﹣3x＋2）（x2＋ax） 由题意，得：a−3=0     解得：a=3 ∵（m﹣2）2≥0，|n﹣3|≥0，且（m﹣2）2＋|n﹣3|＝0 ∴（m﹣2）2=0，|n﹣3|＝0 ∴m−2=0，n−3=0 ∴m=2，n=3 ∴ 【点睛】本题考查整式的混合运算，负整数指数幂的意义，掌握运算顺序和计算法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $