2.4 有理数的乘方（七大题型）专项练习 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2.4 有理数的乘方 题型一 有理数幂的概念理解 1．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的概念，乘法的定义，列代数式，熟练掌握乘方的定义是解题的关键．利用乘法的定义得，利用乘方的定义得，进而得解． 【详解】解：由题意得，原式． 故选：C． 2．（上面“5”的个数是个，下面“3”的个数是个）计算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法与乘方的意义，根据乘法的意义，分子是个相加，表示为；分母是个相乘，表示为的次方，因此结果为． 【详解】解：分子有个相加，即；分母有个相乘，即． 故原式． 故答案为：． 3．阅读下列各式：解答下列问题： (1)猜想：（a·b）10=________． (2)计算：． 【答案】(1)a10·b10 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方和对幂的概念的理解，以及有理数的简便运算. （1）根据题干规律即可推导出结果； （2）利用有理数的乘方和乘法运算进行证明即可； （3）将小数化成分数，然后根据前两问得到的结论进行求解即可. 【详解】（1）解：根据题干的规律可得：（a·b）10=a10·b10 故答案为：a10·b10. （2）解：原式 ． 题型二 有理数的乘方运算 4．若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数和有理数的乘方运算，利用两个绝对值互为相反数，且绝对值非负，则两数均为0是解题的关键． 首先根据两个绝对值互为相反数，且绝对值非负的已知条件，得到两数均为0，进而解出a和b的值，最后计算的值即可． 【详解】∵与互为相反数，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 5．若，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性和平方的非负性，解决此题的关键是掌握非负性的性质．先根据非负数的性质求出，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（1）在数轴上把下列各数表示出来：，，，，； （2）将上面各数用“”号连接起来为___________． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数、利用数轴比较大小，涉及有理数的乘方，绝对值，熟练掌握相关概念是解题关键． （1）先化简各数，再根据数轴上表示数的特点表示出各数即可； （2）根据数轴上，右边的数大于左边的数进行依次大小比较即可． 【详解】解：（1），，，； 在数轴上表示如图： （2）由图可知：． 题型三 有理数乘方逆运算 7．无论x取何值，代数式的值都不变，则m等于（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式，掌握代数式的值与某一字母值无关即是关于该字母的代数式中，该字母各相应项的系数为0是解题的关键．先由无论x取何值，多项式的值不变，求得即可． 【详解】解： ， ∵无论x取何值，多项式的值不变， ∴， 解得：， 故选：C． 8．已知a、b互为倒数，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，有理数的混合运算，积的乘方的逆运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据倒数的意义可得，然后计算乘方，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴ ∴ 故答案为：． 9．已知. (1)求，的值； (2)化简求值：. 【答案】(1)，． (2)，值为 【分析】本题主要考查整式加减化简求值和非负数的性质， （1）根据非负数的性质求解即可； （2）先合并同类项化简，再将、的值代入计算可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ，． （2） ， 当，时，． 题型四 乘方运算的符号规律 10．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 11．已知，则的最小值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握表示数轴上a这个点到b这个点的距离是解题的关键． 根据绝对值的几何意义，分析出和的取值范围，再根据乘积为36，找到x和y的取值范围，最后结合具有非负性，即可求解． 【详解】解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上点x到点1和点5的距离之和， ，且仅当时，等号成立， 同理，且仅当时，等号成立， 又， ， ， ∴， ， 当时，有最小值，最小值为0． 故答案为：0． 12．如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍 (3)点表示的数为或0或3或4 【分析】（1）利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点表示的数为2，进而可求得，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点在点右侧，两点同向而行，②当点在点左侧，两点同向而行，③当点在点左侧，两点背向而行，④当点在点右侧，两点背向而行，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点在之间，且点到点的距离是到点距离的3倍， 所以， 因为点表示的数为8，点在点的左边， 所以点表示的数为：， 所以， 因为点以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍． （3）能，理由如下： 点从点运动到点需要秒，而点从点运动到点需要秒，点到达点时，此时点表示的数为2， 所以当点从点运动到点的过程中，点从点运动到点，又从点返回，因此可分为四种情况讨论： 点到达点之前： ①点在点右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ②当点在点左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； 点从点返回后： ③当点在点左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ④当点在点右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或0或3或4． 题型五 乘方的应用 13．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：图2表示的天数是， 故选：C． 14．有一种水草繁殖速度很快，每过1小时是原来的2倍，即一棵水草1小时后变成2棵，2小时后变成4棵…，如果一池塘放养一棵这样的水草，一昼夜覆满池塘，那么放养2棵水草， 小时覆满池塘． 【答案】23 【分析】本题主要考查了用代数式表示，乘方的应用， 水草每小时数量翻倍，一棵水草24小时后覆满池塘，即池塘容量为棵，放殖2棵水草时，设t小时后覆满池塘，则数量为棵，令其等于，求解t． 【详解】解：由题意，水草繁殖速度为每小时数量变为原来的2倍，一棵水草24小时后数量为棵，此为池塘容量，放养2棵水草，初始数量为2棵，t小时后数量为棵， 设， 则， 解得． 故答案为：23． 15．阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘方的应用，掌握“错位相减法”是解题关键． （1）仿造例题，设，则，作差求解即可； （2）仿造例题，设，则，作差求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得，则． （2）解：设，① 则，② 得， 则． 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 16．2024年深圳市总量为万亿元，按不变价格计算同比增长，人均为万元．数据“万元”用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，注意中a的范围是，n是正整数．本题，． 【详解】解：数据“万元”用科学记数法表示为元． 故选：C． 17．苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大数，熟练掌握用科学记数法表示较大数是解题的关键．用科学记数法表示较大数时，形式为 ，其中 ，为正整数．数据218000000用科学记数法表示时，， ，即可写出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 18．某快递站一名快递员以配送中心为基地，分别向东、西两方向各个小区送货，向东最远的洪林小区距离配送中心5000米，规定向东走为正，某一趟行程记录如下（单位：米） (1)他最终有没有到达洪林小区？如果没有，那么他离该小区还差多少米？ (2)送货时，这名快递员全程都使用电动三轮车，且每米要消耗电动三轮车的电量0.85毫安时，问他共消耗了多少毫安时电量？（将结果用科学记数法表示．） 【答案】(1)他们最终没有到达洪林小区，离小区还差1700米 (2)他们共使用了电量毫安时 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算以及绝对值的性质，关键是熟练利用加法的运算法则进行运算． （1）根据记录情况求和，进而得出计算得结果； （2）利用绝对值的性质以及有理数加法法则先求出总路程，进而求出即可． 【详解】（1）解：依题意得： （米） （米） 答：他们最终没有到达洪林小区，离小区还差1700米． （2）依题意得： （米） （毫安时） ， 答：他们共使用了氧气毫安时． 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 19．自2019年国家全面推进城镇老旧小区改造以来，呼和浩特市投入了巨额资金．根据公开报道和政府工作计划，近年来（大致从2020年至2024年），呼和浩特市在老旧小区改造上的累计投资规模已超过元．其中可表示为（   ） A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉即可． 将科学记数法转换为原数，再改写成以亿为单位的数即可． 【详解】解：∵1亿=， ∴元 亿． 故选：D． 20．若一个整数12500…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了利用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式． 将科学记数法表示的数 还原成原数，然后数出原数中“0”的个数． 【详解】解：，原数为12500000000，其中“0”的个数为 8个， 故答案为：8． 21．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)2003年10月15日，中国首次进行载人航天飞行，神舟五号飞船绕地球飞行了14圈，行程约为6×105千米； (2)一套《辞海》大约有1.7×107个字． (3)1972年3月发射的“先驱者十号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器，至2003年2 月人们最后一次收到它发回的信号时，它离地球1.22×1011千米． 【答案】(1)600 000 (2)17 000 000 (3)122 000 000 000 【分析】根据题意，将科学记数法表示的数变回原数． 【详解】（1）解：6×105=600 000； （2）解： 1.7×107=17 000 000 （3）解：1.22×1011=122 000 000 000； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 有理数的乘方 题型一 有理数幂的概念理解 1．计算（   ） A． B． C． D． 2．（上面“5”的个数是个，下面“3”的个数是个）计算结果是 ． 3．阅读下列各式：解答下列问题： (1)猜想：（a·b）10=________． (2)计算：． 题型二 有理数的乘方运算 4．若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 5．若，则的值为 ． 6．（1）在数轴上把下列各数表示出来：，，，，； （2）将上面各数用“”号连接起来为___________． 题型三 有理数乘方逆运算 7．无论x取何值，代数式的值都不变，则m等于（    ） A．0 B． C． D．2 8．已知a、b互为倒数，化简： ． 9．已知. (1)求，的值； (2)化简求值：. 题型四 乘方运算的符号规律 10．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 11．已知，则的最小值为 ． 12．如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 题型五 乘方的应用 13．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 14．有一种水草繁殖速度很快，每过1小时是原来的2倍，即一棵水草1小时后变成2棵，2小时后变成4棵…，如果一池塘放养一棵这样的水草，一昼夜覆满池塘，那么放养2棵水草， 小时覆满池塘． 15．阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 16．2024年深圳市总量为万亿元，按不变价格计算同比增长，人均为万元．数据“万元”用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 17．苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为 ． 18．某快递站一名快递员以配送中心为基地，分别向东、西两方向各个小区送货，向东最远的洪林小区距离配送中心5000米，规定向东走为正，某一趟行程记录如下（单位：米） (1)他最终有没有到达洪林小区？如果没有，那么他离该小区还差多少米？ (2)送货时，这名快递员全程都使用电动三轮车，且每米要消耗电动三轮车的电量0.85毫安时，问他共消耗了多少毫安时电量？（将结果用科学记数法表示．） 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 19．自2019年国家全面推进城镇老旧小区改造以来，呼和浩特市投入了巨额资金．根据公开报道和政府工作计划，近年来（大致从2020年至2024年），呼和浩特市在老旧小区改造上的累计投资规模已超过元．其中可表示为（   ） A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 20．若一个整数12500…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 21．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)2003年10月15日，中国首次进行载人航天飞行，神舟五号飞船绕地球飞行了14圈，行程约为6×105千米； (2)一套《辞海》大约有1.7×107个字． (3)1972年3月发射的“先驱者十号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器，至2003年2 月人们最后一次收到它发回的信号时，它离地球1.22×1011千米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $