专题09 有理数及其运算 章末56道压轴题型专训 -2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦有理数核心素养，以8大压轴题型构建“概念-运算-应用”递进体系，通过56道典例实现方法迁移与逻辑深化。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义计算|7道|定义转化法、分类讨论|从抽象符号到运算规则的建模| |含乘方混合运算|7道|分级运算技巧、符号法则|乘方与四则运算的优先级融合| |正负数应用|7道|数据统计法、误差分析|实际情境中数感与量感的建立| |规律计算|7道|归纳通项法、递推分析|从特殊到一般的推理意识培养| |数轴数形综合|7道|数形结合法、距离公式|数轴与数的对应及几何直观| |数轴移动问题|7道|动态轨迹法、方程思想|点运动与数变化的逻辑关联| |四则应用|7道|等量关系法、利润模型|运算能力在实际问题中的应用| |绝对值最值|7道|几何意义法、分段讨论|绝对值与距离的空间观念构建|

专题09 有理数及其运算章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、有理数的新定义计算 1 题型二、含乘方的有理数混合运算 2 题型三、正负数实际应用 3 题型四、有理数中的规律计算压轴问题 4 题型五、数轴数形综合问题 5 题型六、数轴中移动综合问题 6 题型七、有理数四则混合运算的实际应用 7 题型八、绝对值几何意义一一距离最值问题 8 【经典例题一 有理数的新定义计算】 1．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）对于有理数m，n，定义新运算“”，规定：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)76 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算，理解新定义，正确进行有理数混合运算是解题的关键． （1）按新定义表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解； （2）按新定义分步表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，知， 所以的值为8． （2）解：由题意，知， 所以， 所以的值为76． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式并完成问题：现定义一种新运算：a⊗b＝ab＋a﹣b，如1⊗3＝1×3＋1﹣3＝1． （1）求[（﹣2）⊗5]⊗（6） （2）新定义的运算满足交换律吗？试举例说明． 【答案】（1）-125；（2）不满足，举例见解析 【分析】（1）根据新运算的定义新计算出，然后计算的值即可； （2）分别算出，，然后举例，，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，代入这种新运算， ∴， ∴． ∴的值为-125； （2）∵新运算， ∴， ∴， 故新定义的运算不满足交换律， 例如：，，显然． 【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数运算，解题的关键在于能够准备读懂题意． 3．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)6 (2)480 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）设、都表示有理数，规定一种新运算“”：当时，；当时，． 例如：；． (1) ， ； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，两个有理数的乘法运算等知识点，弄清题中的新定义是解题的关键． （1）利用题中的新定义计算即可得出答案； （2）利用题中的新定义计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解： ． 5．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 【答案】(1)11 (2)7 (3)． 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）根据的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）根据，由构造出4，由6构造出5，写出定义的新运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴； 故答案为：7； （3）解：要使得数字和6在你定义的新运算下运算的结果为20， 我定义的新运算为：， ∴，符合题意． 6．（25-26七年级上·广东惠州·期中）甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 【答案】(1)； (2)正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； (3) 解：新运算不具有结合律， 例如：， ， ∴ 故新运算不具有结合律． 【分析】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键． （1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算即可； （2）根据题意归纳可得加乘运算的运算法则即可； （3）对于加乘运算的结合律，可举例，进行运算后再判断即可． 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；， ； 故答案为：； （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； （3）略 7．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读材料】 （一）当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作； 把3个相同的有理数x的除法运算记作； 把4个相同的有理数x的除法运算记作； …； 特别地，规定． （二）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义一种新运算：． 【解决问题】 (1)若，则______；______． (2)______；则的值______． (3)计算：． 【答案】(1)4，9 (2)24，8 (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义，有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键． （1）根据运算的定义即可得到答案； （2）根据运算的定义计算即可得到答案； （3）根据运算的定义和有理数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴； ； （2）解：； ∵，， ∴； （3）解： ． 【经典例题二 含乘方的有理数混合运算】 8．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 9．（2026·河北·三模）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力中，计算错误的学生有________； (2)请给出正确的计算过程． 【答案】(1)佳佳，昊昊 (2)答案见解析 【分析】（1）根据有理数混合运算的法则进行计算即可，注意负数的乘方； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：，计算，除法没有分配律， 佳佳计算错误， 昊昊应先计算乘除，最后算加减，不能先计算， 昊昊计算错误， 计算错误的学生有：佳佳，昊昊； （2） ． 10．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 11．（2026·河北衡水·模拟预测）计算及列式计算： (1)计算：； (2)现有4张卡片，上面分别写有不同的有理数，请按照下面的要求列式计算： 用最大的有理数减去最小的有理数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意得： ． 12．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步 (2) 解：原式． 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则分析判断即可． （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步． （2）略 13．（2026·湖南张家界·模拟预测）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 【答案】(1)；4 (2)； (3) 【分析】（1）根据题中所给定义进行计算即可； （2）根据题中所给示例进行计算即可； （3）结合（1）和（2）的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解： ． 14．（2026·湖北襄阳·二模）综合与实践 活动主题 进位制的认识与探究 背景 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统、约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几，为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法，十进制数一般不标注基数． 素材一 十进制数，记作345； 六进制数，记作； 说明：各进制之间可以进行转化，如：六进制数转化成与其相等的十进制数，只要将六进制数的每个数字，依次乘6的相应正整数次幂（指数比数的位数少1），然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数 素材二 将十进制数化为与其相等的六进制数，用十进制的数除以6，然后将商继续除以6，直到商小于6，这个商作为最下面的余数，将最后的商与各次所得的余数按倒序排列即可．如： ……3（第1位余数） 0（第1位余数） ……3（第2位余数） 1（第2位余数） 1 ……1（最后的商为1） 1 1（最后的商为1） 根据以上材料，解决下列问题： (1)将二进制数与五进制数转化成为十进制数：______，______； (2)将十进制数13化成二进制数：______； (3)利用二进制四则运算法则进行计算： ______；______； 【答案】(1)5，252 (2)1101 (3)100010，100 【分析】（1）参考素材一进行求解； （2）参考素材二进行求解； （3）参考素材三进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， 故； （3）解： ； ． 【经典例题三 正负数实际应用】 15．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)5.5千克 (2)不足10千克 (3)1470元 【分析】（1）将最大的正数与最小负数相减即可； （2）将每个正数，负数与对应的数量相乘，并相加可得到总重量与标准总重量的差值； （3）先计算出总重量，再乘以单价即可． 【详解】（1）解：最重的一筐比标准重2.5千克，最轻的一筐比标准轻3克， 故最重的一筐比最轻的一筐重：（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克． （2）解：， 答：20筐白菜总计不足10千克， （3）解：（元）， 答：出售这20筐白菜可卖1470元． 【点睛】本题考查正负数的应用，能够熟练掌握正负数的实际意义是解决本题的关键． 16．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）： 零件号数 1 2 3 4 5 数据 (1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？ 【答案】(1)1，3，4，5符合要求 (2) 的绝对值最小， 第3个零件质量最好． 【分析】（1）根据绝对值的意义，找到绝对值小于零件即为所求答案； （2）根据绝对值的意义，找到绝对值最小的零件即可. 【详解】（1）解：零件的长度可以有的误差， ，，， ，， 1，3，4，5符合要求； （2）略 【点睛】此题考查了正数和负数的概念以及绝对值的意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据，绝对值也能反映一组数据的离散程度；我们必须熟记并能灵活应用这些基本性质. 17．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 【答案】(1)102个 (2)192分 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据表格可直接进行求解； （2）先求出该班的总积分，然后问题可求解； 【详解】（1）由题意得：因为， 所以平均每人跳绳个， 答：这个班42人一分钟内平均每人跳绳102个． （2）（分） 答：这个班跳绳总共获得192分． 18．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）《道路交通安全法实施条例》规定：在一个记分周期（12个月）内扣满12分，将扣留其机动车驾驶证．如果超速50%以上扣12分；超速20%以上未达50%扣6分；超速10%以上未达20%扣3分．刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上，前方出现限速标志（如图）．如果他保持原来的速度继续行驶，他将受到扣几分的处罚？（通过计算说明） 【答案】6分 【分析】根据实际背景解决问题，，然后参考条例要求可以查看处罚标准 【详解】根据图片所示，限速应该是80千米/时，而刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上 ∴刘师傅超速 ∴依照《道路交通安全法实施条例》规定：超速20%以上未达50%扣6分，因此刘师傅超速，应该被扣6分 答：刘师傅将受到扣6分的处罚 【点睛】本题关键是抓住考查百分比，理解百分比的计算方式，通过题意即可解决问题 19．（25-26七年级上·天津静海·阶段检测）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的苹果放到网上销售，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周苹果的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 苹果销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周实际销售苹果超过或不足多少千克？实际销售苹果的总量是多少千克？ (2)若小王按元千克进行苹果销售，成本为元千克，且平均运费为1元千克，则小王第一周销售苹果的利润一共多少元？ 【答案】(1)超过千克，实际销售苹果的总量为千克； (2)利润一共为元． 【分析】（）先计算出第一周实际销售的量比第一周计划销售的量是多多少，再加上第一周计划的销售量即可求得实际销售的总量； （）求出每千克苹果的利润，则可求得第一周销售苹果的总利润． 【详解】（1）由题意有：（千克）， ∴小王第一周实际销售苹果超过千克， ∴小王第一周实际销售苹果的总量为：（千克）， 答：小王第一周实际销售苹果超过千克，实际销售苹果的总量为千克． （2）由题意有： 每千克苹果的利润为：（元）， ∴小王第一周销售苹果的利润一共为：（元）， 答：小王第一周销售苹果的利润一共为元． 【点睛】此题考查了正数和负数，有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，列式计算并掌握相关运算法则． 20．（25-26七年级上·河南南阳·期末）聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据上表回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义． (2)把上表补充完整． 【答案】(1) 10是收入10元，0是收支平衡，-2是支出了2元． (2)-4，1 【分析】（1）10意义是收入10元，0意义是收支平衡，-2意义是支出了2元． （2）先计算聪聪本周日的收支数等于本周的结余数-2减去周一到周六的收支总和，结果为-4，慧慧本周的结余数等于本周一到周日的收支总和，结果为1，然后填入下表． 【详解】（1）略 （2）聪聪周日的收支情况为：-2-（10-5.20+0-4.80+5-3）=-2-2=-4， 慧慧本周的结余情况为：8+0+0-6-1+0+0=1， 根据计算完成下表 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 -4 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 1 【点睛】本题考查了有理数加减的应用，解决问题的关键是清楚知道收支的正负，熟练进行有理数的加减运算．（1）按收入为正，支出为负回答．（2）先计算出聪聪本周日的收支数据，慧慧本周的结余数据，而后填表． 21．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）每年的4月7日是世界卫生日——（翻译为中文也叫世界健康日），旨在引起世界对卫生、健康工作的关注，提高人们对卫生、健康领域的素质和认识、强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性．为了迎接世界健康日的来临，小明决定以跑步的方式践行“健康人人参与”，小明从家出发，沿着家门口的东西方向道路开始跑步（家到路的距离忽略不计），如果规定向东跑步为正，向西跑步为负，小明七次跑步记录如下（单位：m）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -400 +700 -900 +800 +600 -500 -200 (1)求跑步结束时小明距离家多远？ (2)在第几次记录时小明距离家最远？ (3)若每千米消耗60千卡的热量，则小明跑步共消耗多少千卡热量? 【答案】(1) (2)第五次 (3)246千卡 【分析】（1）将七次跑步记录相加即可； （2）第一次小明距家400米，第一次跑步记录加第二次跑步记录为小明第二次距家的米数，结果加第三次的得数为第三次小明距家的米数，以此类推，然后结果的绝对值作比较即可； （3）将七次跑步记录的绝对值相加，结果变成千米，然后乘60即可． 【详解】（1）． 答：跑步结束时小明距离家100米． （2）第一次记录时距离家：（米）； 第二次记录时距离家：（米）； 第三次记录时距离家：（米）； 第四次记录时距离家： （米）； 第五次记录时距离家： （米）； 第六次记录时距离家： （米）； 第七次记录时距离家： （米）． 第五次记录时小明距离家最远． （3）． （千卡）． 答：小明跑步共消耗246千卡热量． 【点睛】本题考查正负数和数轴，能够理解正负数的含义解答本题的关键． 【经典例题四 有理数中的规律计算压轴问题】 22．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）下面是按一定规律得到的一列数． 第1个数：；第2个数：； 第3个数：；第4个数：___________； 第5个数：；第6个数：___________； (1)将上述内容进行填空； (2)按照以上规律，用算式表示出第7，第8和第10个数； (3)将（2）中的三个数用“”连接起来． 【答案】(1)，； (2)第7个数是，第8个数是，第10个数是； (3)． 【分析】（1）根据所给的式子依次计算即可得解； （2）根据所给的式子，发现括号中的运算第奇数个数是加法，第偶数个数是减法，由此规律即可求解； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，比较即可得解． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解∶第7个数是， 第8个数是， 第10个数是， ∴第7个数是，第8个数是，第10个数是； （3）解：∵，， ，， ∴． 【点睛】本题考查数字的变化规律以及比较两个负数的大小，通过所给的式子，探索出式子的一般规律是解题的关键． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； （2）当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：． 【答案】（）；；；；；（），；总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身；（）． 【分析】本题主要考查了化简多重符号，相反数的定义，有理数的加法，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． （）根据相反数的定义分别化简即可； （）根据前面的结果猜想即可求解； （）根据（）的规律得出算是，然后通过有理数加法法则即可求解． 【详解】解：（） ；；；；； 故答案为：，，，，； （）根据（）可得，当前面有个负号时，化简后的结果是，当前面有个负号时，化简后的结果是， 总结规律：一个数的前面有奇数个符号，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个符号，化简后的结果等于它本身， 故答案为：，； （）根据（）的规律可得， ． 24．（25-26七年级上·陕西西安·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； … (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第6个等式； (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式； (3)请利用上述规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律写出第6个等式即可； （2）由（1）归纳出第个等式即可； （3）根据（2）的规律裂项相消进行计算即可． 【详解】（1）第四个等式：； （2）第个等式：； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据数字变化归纳出第个等式为是解题的关键． 25．（24-25七年级上·云南昭通·期中）观察下列等式： 等式1：； 等式2：； 等式3：； …． (1)根据规律可得 ； (2)根据规律可得 ；（n为正整数） (3)根据规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算规律的探究，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题干提示两个因数的规律求解即可． （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解即可． 【详解】（1）解：等式1：； 等式2：； 等式3：； ∴； （2）解：由（1）归纳可得： ； （3）解： ． 26．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）仔细观察下列规律： ； ； ； 现在你一定得到某个规律了吧！接着完成以下的题目，结果可以保留指数形式． (1)______； (2)______； (3)计算：（别忘了写全计算过程哦）． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，含乘方的有理数混合运算，准确找到规律是解题的关键． （1）根据所给式子对照可得答案； （2）根据所列出的式子的变化规律，类推出第个式子的情况，从而得出结果 ； （3）利用（2）中所得规律变形，再消项计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：原式 ， ， ， ． 27．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）【阅读与思考】张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们打开眼界，……，‘代’的方法用途很广，它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．”例如，有些有理数的运算蕴含着有趣的规律，这些运算规律也可以用代数的方法表示． (1)①              ②              ③              在下列两组有理数中，符合上述式子蕴含的运算规律的是 （填写正确选项前的字母代号）： A．2、        B．、7 (2)对于有理数a、b，请你“用字母来代替数”，表示出（1）中式子蕴含的有理数之间的特殊的运算规律： ； (3)若有理数m、n符合上述运算规律，试判断有理数、是否一定符合上述运算规律？并说明理由． 【答案】(1)A (2)； (3) 若有理数m、n符合上述运算规律，有理数、不一定符合上述运算规律，理由如下： 由题意得，符合运算规律， ∵，， ∴此时 ∴若有理数m、n符合上述运算规律，有理数、不一定符合上述运算规律． 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算： （1）观察式子可知，两数的积等于1减去这两个数的和的2倍，这样的两个有理数就符合对应的运算规律，据此求解即可 （2）观察式子可知，两数的积等于1减去这两个数的和的2倍，这样的两个有理数就符合对应的运算规律，据此求解即可； （3）由题意得，符合运算规律，而可证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：，； ，； ∴A组符合规律，B组不符合题意； 故答案为：A； （2）解：由题意得，， 故答案为：；； （3）略 28．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图是“分数三角形”数表，记第i行从左往右数第j个数为（其中i、j均为正整数且），如，；请认真观察此数表的规律并完成下列作答． (1)第10行的第一个数为______，第10行的第二个数为______； (2)我发现了此数表有以下规律： ①第i行的第一个数与最后一个数均为______；（用字母i来表示） ②请仔细观察每行相邻两个数与它们头顶上的那个数的关系，并完成下面填空：=______；（其中i为正整数且） (3)请利用第（2）问②的规律计算：．（请给出运算过程） 【答案】(1)， (2)①，② (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）根据已知数表写出答案即可； （2）①根据已知数表可知第i行的第一个数与最后一个数均为，②根据已知数表可知； （3）根据（2）中规律可得，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，第10行的第一个数为，第10行的第二个数为； 故答案为：， （2）解：①第i行的第一个数与最后一个数均为， ②由题意可得，， 故答案为：， （3）由题意可得， 【经典例题五 数轴数形综合问题】 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知一条直线上有四个点A，B，C，D，其中，，．请在给定的直线上确定一点作为原点，建立数轴，并写出这四个点所表示的数． 【答案】 解：如图，以点C为原点，向右方向为正方向，长为1个单位长度建立数轴， 四个点A，B，C，D所表示的数分别为，，，． 【分析】本题考查在直线上建立数轴，熟练掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）是解题的关键．根据给定的线段长度和方向，在直线上建立数轴，并确定A，B，C，D所表示的数． 【详解】略 30．（24-25七年级上·山东聊城·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，也体现了“数形结合”的数学思想．在数轴上画出表示下列各数的点：，6，0，2.5，5，，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来． 【答案】 用数轴上点表示有理数，如图所示： 用“”号把各数连接起来：． 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 画出数轴，将数据标注在数轴上即可；根据数轴上的点，左边的总比右边的小，即可排列出大小关系； 【详解】略 31．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 【答案】(1)原点 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据绝对值的定义可以解答本题； （2）根据题意可以画出相应的数轴； （3）根据（2）中的数轴可以解答本题． 【详解】（1）解：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值； （2）解：如图，点A、B、C、D即为所求； （3）解：由数轴可得，． 32．（24-25六年级上·山东青岛·期中）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴帮助我们把数和点建立起对应关系，可以用它揭示数与形之间的内在联系，体现了数形结合的数学思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，请同学们利用数轴进行以下探究活动： (1)如图1，在数轴上点表示的数是____________，点表示的数是____________，，两点的距离是____________； (2)在数轴上，移动点，使它到点的距离为2，则点移动的距离为____________； (3)小明将刻度尺放在图1的数轴下面，使刻度尺上的刻度0对齐数轴上的点，如图2．此时点对应刻度尺上的刻度，点E对应刻度，求数轴上点表示的数． 【答案】(1)，5，8 (2)10或6 (3)数轴上点表示的数为 【分析】本题考查了用数轴表示有理数、数轴上两点间的距离及数轴上动点问题： （1）根据在数轴上表示有理数的方法即两点间的距离公式可得解； （2）根据数轴上两点间的距离即可求解； （3）根据A，B两点的距离可得数轴与刻度尺之间的比例尺，再根据比例尺即可求解； 解题的关键是掌握数轴上表示有理数的方法及两点间的距离公式． 【详解】（1）解：由数轴得： 点A表示的数是，点B表示的数是5， 则A，B两点的距离为：， 故答案为：；5；8． （2）解：∵到点A的距离为2的点表示的数是或， ∴将点B向左移动个单位长度或个单位长度， 故答案为： 10或6． （3）解：由（1）得：， ， 则数轴上1个单位长度对应刻度尺为， ， 点E距离点A两个单位长度， 故点E所表示的有理数为：． 33．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由： 解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点． 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为； （3）点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； （3）略 34．（25-26六年级上·山东淄博·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，请同学们利用数形结合的思想研究绝对值的几何意义． 【阅读理解】 的几何意义是数轴上x对应的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上x对应的点与2对应的点之间的距离；的几何意义是数轴上x对应的点与对应的点之间的距离加上x对应的点与2对应的点之间的距离，即线段与的长度之和，如下图． 【发现问题】在数轴上，点A，B，P分别表示的是，2，x，当点P在数轴上运动时，是否有最小值？ 【探究问题】 (1)点A到点B的距离是________，若，则________． (2)请结合点在数轴上的位置，思考P点可能的3种情况： ①当点P在点A的左侧时，_____3；（用“”“”“”回答）， ②当点P在点B的右侧时，______3；（用“”“”“”回答）， ③当点P在之间（包括在点A，B上）时，____3；（用“”“”“”回答）， 【解决问题】 (3)根据刚才的探究，的最小值是________． 【应用问题】 (4)①请利用数轴，探索时x的值； ②请直接写出的最小值． 【答案】(1)3；5或 (2)①；②；③ (3)3 (4)①或3；② 【分析】本题考查了数轴，理解题意是解决本题的关键． （1）根据题意求解即可； （2）①根据题意可得；②根据题意可得；③根据题意可得； （3）由（2）进行计算即可； （4）①分别讨论当时和当时进行计算即可；②根据题意可得，当时，有最小值并进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，点A到点B的距离是， 由可得，x与2的距离为3， ∵， ∴或， 故答案为：3，5或； （2）解：根据题意得，当点P在点A的左侧时，， 故答案为：； ②当点P在点B的右侧时，； 故答案为：； ③当点P在之间（包括在点A，B上）时，； 故答案为：； （3）解：由（2）可得，当x在和2之间时， ∴的最小值是， 故答案为：3； （4）解：①∵表示x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 当时，表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为1，表示与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为4， ∴， ∴符合题意， 当时，表示3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为4，表示3与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为1， ∴， ∴符合题意． 综上所述：当时，x的值是：或3 ②根据题意可得，当时，有最小值， 最小值为： ． 35．（25-26六年级上·山东东营·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的重要工具，能将数与形结合．若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离． 【综合运用】 如图①，在数轴上，点A、B表示的数分别为a、b，且满足． （1）则______，______，A、B两点之间的距离为______． （2）点P和点Q分别从点A、点B同时出发，都沿数轴负方向运动．点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）．t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______（用含t的代数式表示）． 【延伸拓展】 （3）如图②，半径为2的圆从点A沿正方向在数轴上滚动． ①滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是______，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是______； ②滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是多少？ 【答案】（1），12，16；（2）；；（3）①，；②． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，非负数的性质，数轴上的动点问题， （1）根据非负数的性质求出a、b的值，进而根据两点间的距离公式计算即可； （2）表示出、的值，进而根据点A、B表示的数作答即可； （3）①求出圆的周长，进而求出滚动后圆与数轴的接触点移动的距离，根据点A表示的数作答即可； ②求出滚动n周后圆与数轴的接触点移动的距离，根据点A表示的数作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴A、B两点之间的距离为． 故答案为：，12，16； （2）解：∵点P和点Q分别从点A、点B同时出发，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）， ∴、， ∵点A、B表示的数分别为、12，点P和点Q都沿数轴负方向运动， ∴点P对应的数是，点Q对应的数是． 故答案为：；； （3）解：①∵圆的半径为2， ∴圆的周长为， ∴滚动一周后圆与数轴的接触点移动了个单位，滚动两周后圆与数轴的接触点移动了个单位， ∵点A表示的数为， ∴滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是． 故答案为：，； ②滚动n周后圆与数轴的接触点移动了个单位， ∵点A表示的数为， ∴滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是． 【经典例题六 数轴中移动综合问题】 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题： (1)将B点向左移动3个单位长度后，三个点所表示的数中谁最小？是多少？ (2)将A点向右移动4个单位长度后，三个点所表示的数中谁最小？是多少？ (3)将C点向左移动6个单位长度后，这时B点表示的数比C点表示的数大多少？ (4)若每个点只能移动一次，怎样移动A、B、C中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【答案】(1)点B表示的数最小，是； (2)点B表示的数最小，是； (3)1； (4) 解：有三种移动方法： ①点A向右移动7个单位长度，点B向右移动5个单位长度； ②点A向右移动2个单位长度，点C向左移动5个单位长度； ③点B向左移动2个单位长度，点C向左移动7个单位长度． 【分析】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． （1）根据向左移动减，求出点B表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向右移动加，求出点A表示的数，然后作出判断即可； （3）根据向左移动减，求出点C表示的数，然后作出判断即可； （4）根据要使三个点表示的数相同，由向左移动减，向右移动加，在三个点中任取两点，使得三点中的两个点到另外一点，由此写出所有移动的方法即可． 【详解】（1）解：将B点向左移动3个单位长度后，表示的数是， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最小，是； （2）解：将A点向右移动4个单位长度后，表示的数是0， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最小，是； （3）解：将C点向左移动6个单位长度后，表示的数是， 这时B点表示的数比C点表示的数大1； （4）略 37．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 【答案】(1)在数轴上点A所表示的数的相反数是，是点C (2)它应该往左爬2个单位长度 (3)当E在C的右侧时，C应该向右爬行9个单位，当E在C的左侧时，C应该向左爬行1个单位 【分析】（1）先根据运动方向和单位长度依次确定A、B、C三点所表示的数，再找出点A表示数的相反数对应的点即可； （2）由相反数定义确定点D表示的数，再比较点C与点D在数轴上的左右位置及距离，判断爬行方向与长度即可； （3）根据点E到原点距离为5个单位长度，分点E在原点左侧和右侧两种情况，分别确定点E表示的数，再计算其与点C的距离和相对位置，得出爬行方案． 【详解】（1）解：因为蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A， 所以点A表示的数为， 从点A向右爬了2个单位长度到达点B，所以点B表示的数为， 又从点B向左爬了10个单位长度到达点C，所以点C表示的数为， 所以数轴上点A所表示的数的相反数是，即点C． （2）解：因为点D和点B所表示的两数互为相反数，所以点D表示的数为， 在左边，距离两个单位，所以蚂蚁从点C出发要爬到点D，它应该往左爬2个单位长度． （3）点E到原点的距离为5个单位长度，当E在原点的右侧时，点E表示的数为，在C的右侧，与点C距离为个单位，所以C应该向右爬行9个单位； 当E在原点的左侧时，点E表示的数为，在C的左侧，与点C距离为个单位，所以C应该向左爬行个单位； 38．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 39．（25-26七年级上·海南·期中）阅读以下材料，并回答问题． 如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上，它的两端分别落在点处．将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点处时，点对应的数为20；当点移动到点处时，点对应的数为5．（注：本题中，数轴上1个单位长度代表1cm．） 由此可得，的值为5 借助上述方法解决下面的问题： 一天，小明问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁的老寿星了．”请问小明的爷爷到底多少岁？ 请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】如图， 爷爷现在的年龄是64岁，小明现在的年龄是12岁 【分析】本题考查了数轴、有理数四则混合运算的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点表示小明现在的年龄，点表示爷爷现在的年龄，将分别落在数轴上的点处，画出示意图（见解析），先求出，再根据数轴的性质列式，分别求出点所表示的数，由此即可得． 【详解】解：设点表示小明现在的年龄，点表示爷爷现在的年龄，将分别落在数轴上的点处． 由题意可知，当点移动到点处时，点对应的数为， 当点移动到点处时，点对应的数为116． 所以， 所以点表示的数为，点表示的数为， 即爷爷现在的年龄是64岁，小明现在的年龄是12岁． 40．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）【问题背景】已知数轴上有不重合的三个点A、B、C，点A表示的数为，点B与点A到原点的距离相等，点C在原点的左侧，且到点B的距离为7． 【问题初现】（1）求点B、C表示的数； 【问题推广】（2）假设动点M、N分别从点B、C同时出发相向而行，动点M的速度为每秒2个单位长度，动点N的速度为每秒1个单位长度，当动点M与动点N距离为1个单位长度时，设运动时间为t，求动点M与动点N相遇前的时间t及此时动点M表示的数； 【拓展提升】（3）在数轴上，有一个动点P，从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点，向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点，……，按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，求点表示的数，并说明理由． 【答案】（1）点B表示的数为5，点C表示的数为； （2），点M表示的数为； （3）点表示的数是，理由： 根据题意可知，动点P第2024次运动后向右运动个单位长度，      即此时点P表示的数为，               又因为第2025次点P是向左运动2025个单位长度， 所以点表示的数是． 【分析】（1）根据题意得到点表示的数为5，两点间的距离求出点C表示的数； （2）根据时间等于路程除以速度求出，进而求出点表示的数即可； （3）根据题意，得到点每移动2次，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】解：（1）点A表示的数为，且点B与点A到原点的距离相等， 所以点B表示的数为5．                 又因为点C在原点的左侧，且到点B的距离为7， 所以点C表示的数为．                     （2）当M、N相遇前，且相距1个单位长度时， 则， 此时点M表示的数为．                   （3）略 41．（25-26七年级上·广西防城港·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点表示的数为6，点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向A匀速运动，当点Q到达终点A后，P，Q两点都停止运动，设运动时间为秒（）． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ， (2)填空：当时，则点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，此时线段的中点表示的数为 ； (3)当点Q到达终点A时，运动时间t为多少？此时线段的中点表示的数是多少？ 【答案】(1)10，1 (2)，2，0 (3)，3.5 【分析】本题考查数轴与有理数，熟练掌握两点间的距离公式和线段的中点计算公式，是解题的关键： （1）根据题干给定的2个公式进行计算即可； （2）根据点的移动规则，求出点表示的数，进而求出线段PQ的中点表示的数即可； （3）根据时间等于路程除以速度，求出，进而求出此时点表示的数，再根据线段中点公式进行计算即可． 【详解】（1）解：；线段的中点表示的数为； 故答案为：10，1； （2）由题意，点表示的数为；点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为； 故答案为：，2，0； （3）由（1）知：， ∴， 此时点表示的数为，线段的中点表示的数是． 42．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少． 【答案】（1），3；（2）或0；（3）5；（4）；（5）28 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，绝对值的意义； （1）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离，即可求解； （2）根据为与在数轴上所对应的两点之间的距离为，即可求解； （3）表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和，当时，有最小值； （4）当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，据此结合数轴即可求解； （5）先求得的长，进而根据相遇问题可得秒后相遇，进而求得点的路程，即可得出点表示的数 【详解】（1）解：表示与的差的绝对值，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：，可理解为与在数轴上所对应的两点之间的距离为， 则或， 故答案为：或； （3）解：表示与和在数轴上所对应的两点之间的距离之和， 当时，的最小值是， 故答案为：； （4）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示：当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时，               （5）解：，之间的距离为， 依题意有：秒，即秒后相遇， 即相同时间点运动路程为：（个单位）， 则从数向右运动个单位到数， 故点对应的数是． 【经典例题七 有理数四则混合运算的实际应用】 43．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 ．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．这批苹果一共有多少千克? 【答案】这批苹果一共有500千克 【分析】先计算出这些苹果的原利润及降价后的利润，进而可得总售价、成本价，然后计算重量即可． 【详解】解：原来需要这些苹果获利（元）， 降价后需要这些苹果获利（元）， 价格降低，少获利（元）， 则这些苹果总售价为（元）， 成本为（元）， 这批苹果一共有（千克）， 答：这批苹果一共有500千克． 44．（26-27七年级上·湖南·开学考试）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)吨 【分析】（1）根据收费的三个区间分界点，结合缴费的计算求解即可； （2）根据用水量，结合第二阶段收费的计算求解即可； （3）根据缴费情况，判定用水量，即可求解． 【详解】（1）解：吨吨， 按第一档计费：（元）； 答：小明家月份用水吨，应缴水费元； （2）解：吨吨吨， 分两档计费：吨费用：（元） ， 超出吨的部分：（吨），费用（元）， 总水费：（元）； 答：月份用了吨水，应缴水费元； （3）解：吨总水费元， 吨总水费： （元） ， ， 用水量在吨之间， 超出吨的费用：（元） ，超出吨的水量：（吨）， 总用水量：（吨）． 答：她家月份用水吨． 45．（25-26七年级上·山东德州·期中）某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 【答案】(1)最高分是分，最低分是分 (2)数学成绩低于80分的占的百分比是 (3)总分是分，平均分是分 【分析】（1）利用80加上记录数字中的最大数可得最高分；利用80加上记录数字中的最小数可得最低分； （2）利用负数的个数除以抽查的学生总人数即可； （3）将记录数字相加，再计算10名同学的基准总分数可得总分，再除以人数可得平均分． 【详解】（1）解：由题意得：最高分是（分）， 最低分是（分）， 答：这10名同学的数学成绩中最高分是分，最低分是分． （2）解：在记录的结果中，负数共有5个， ∴10名同学中，数学成绩低于80分的人数为5人， ∴， 答：数学成绩低于80分的占的百分比是． （3）解：总分是 （分）， 平均分是（分）， 答：10名同学数学成绩的总分是分，平均分是分． 46．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）若将正整数1，2，3，…，98写在一起，则可以构成一个新数：12345…91011…9798． (1)这个新数是一个几位数？ (2)这个新数各个数位上的数字之和为多少？ (3)在黑板上写上数，，，…，，每次擦去任意的两个数，换上这两个数的和或差，重复这样的操作连续若干次，直到黑板上仅留下一个数为止，这个数是否可能为？请说明理由． 【答案】(1)187位 (2)882 (3)不可能，理由： 由于两个数的和和两个数的差的奇偶性是相同的， 所以若干次后剩余数的差和98个数的和的奇偶性相同， 因为是奇数， 不是奇数，所以没有这种可能性． 【分析】（1）前面到都是一位数，故有位，后面接下来从到每个数都是两位，总共有位数，所以到总共要位数； （2）前面到位数，是到的和，后面接下来是个的和，再接下来是到的和，再接下来是个的和，再接下来是到的和，…，最后是个的和以及到的和，所以各个位上的数字之间和为 （3）根据两个数的和和两个数的差的奇偶性是相同的，所以若干次后剩余数的差和个数的和的奇偶性相同，根据，，，…，的和是是奇数不是奇数，所以没有这种可能性． 【详解】（1）解： 所以，这个新数是一个位数； （2）解： （3）解：略． 【点睛】本题考查了学生对数的构成、对大数的认识以及分析能力，两个数的和和两个数的差的奇偶性是相同的是解（3）的关键． 47．（25-26七年级上·云南普洱·期末）普洱市某茶叶加工厂从生产的袋装茶叶中抽出样品30袋（每袋的标准质量为），检测每袋的质量是否符合标准，超过和不足的部分分别用正数、负数表示，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 袋数 3 1 4 6 8 6 2 (1)茶叶外包装袋上标有“净重”的字样，则这批抽样茶叶中有几袋质量合格？ (2)这30袋样品一共多少克？总计超过或者不足多少克？ 【答案】(1)24 (2)30袋样品一共3003克，总计超过3克 【分析】（1）先求出超过部分多于及不足部分多于的不合格袋数，即可求得质量合格的袋数； （2）计算出30袋的标准总质量和30袋与标准质量的总偏差， 即可求得样品总质量和超过或者不足多少克． 【详解】（1）解：由表知：超过部分多于及不足部分多于的袋数共有：（袋）， ∴这批抽样茶叶中质量合格的共有（袋）． （2）解：30袋的标准总质量为， 30袋与标准质量的总偏差为 ， ∴30袋样品一共，总计超过标准质量， 答：30袋样品一共3003克，总计超过3克． 48．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包装商品，受到年轻消费者的青睐．某商店购进一批盲盒，进价为每个元；为合理定价，前五天试行机动价格，售出时以每个元为标准价格，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，该店记录的前五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计个）如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 (1)该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第________天，最高单价为________元/个，最高单价比最低单价多________元/个； (2)以标准价格为准，前五天这个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ (3)不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润． 【答案】(1)；； (2) 前五天这个盲盒的售价总计不足元 (3) 前五天该店出售这批盲盒的总利润为元 【分析】（1）根据以每个25元为标准价格，通过表格直接计算每天的商品售价，并比较确定单价最高的天数； （2）计算每天售价偏差带来的总金额变化：每天偏差当天销量，将5天的金额变化相加，结果为负表示不足标准总价； （3）计算总进价：进价总销量，计算总售价：标准价总销量偏差总和，总利润：总售价总进价． 【详解】（1）解：第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， ，， 单价最高的是第天，最高单价为元/个，最高单价比最低单价多元/个； （2）解：第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， （元）， 前五天这个盲盒的售价总计不足元． （3）解：总进价：（元）， 总售价：（元）， 总利润：（元）， 前五天该店出售这批盲盒的总利润为元． 49．（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图为王阿姨从记账软件中下载并打印的一周（2025年10月6日~10月12日）收支账单（用“”表示收入，用“”表示支出）： 请根据信息解决下列问题： (1)王阿姨本周买了一件衣服，但因尺寸不合适又马上申请了退货退款，这件衣服的价格是___________元． (2)2025年10月6日为我国传统佳节---中秋节，当天，王阿姨收到了一些红包，也发出了一些红包，求当天的收支总和． (3)账单中，本周支出的最后一项数据不小心被遮盖了，请计算被遮盖的数据． 【答案】(1) (2)当日收支总和为元 (3)被遮盖的数据为 【分析】本题考查正数和负数的实际应用，有理数混合运算的应用，理解正负数的实际应用是解题的关键． （1）根据收支信息即可解答； （2）将王阿姨收红包的收入减去发红包的支出，若为负数，则亏了，若为正数，则赚了，据此即可解答； （3）将本周收支变化量减去收入再减去前四项支出，即可解答． 【详解】（1）解：由信息可得，退款收入元， 所以这件衣服的价格是元． 故答案为： （2）解：本周王阿姨收红包收入：（元）， 发红包支出：（元） （元） 答：当日收支总和为元． （3）本周收入为（元）． 由题意，得本周支出为（元）． （元）． 因此，被遮盖的数据为． 【经典例题八 绝对值几何意义一一距离最值问题】 50．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ （2）当取何值时，有最大值，这个最大值是多少？ 【答案】（1），0；（2），2025 【分析】此题考查绝对值的性质，代数式的最值问题， （1）根据是非负数且最小得时，有最小值，这个最小值是0； （2）根据时，有最小值为0，得有最大值，这个最大值是2025． 【详解】解：（1）因为是非负数，且非负数中最小的数是0， 所以当时，有最小值，这个最小值是0； （2）当时，有最小值，这个最小值为0， 此时有最大值，这个最大值是2025． 51．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【答案】(1)； (2)5 (3)1001000 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）当时，取得最小值5． （3）由题意得出当时，的值最小． 【详解】（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离， 故答案为：； （2）解：可理解为数轴上表示数  ��  的点到表示数和 2的点的距离之和，当点  ��  位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5． 故答案为：5； （3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和， 当时，距离之和最小， 最小值为： . 52．（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）我们都知道，表示8与3的差的绝对值，也可以理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____两点间的距离． (2)表示数轴上数与数_____两点间的距离和数与数_____两点间的距离的和． (3)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在最小值，最小值为 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）根据绝对值的几何意义即可解答； （3）根据绝对值的几何意义画出图形，结合图形，根据与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，即可求解． 【详解】（1）解：表示数轴上数与数两点间的距离． 故答案为：． （2）表示数轴上数与数两点间的距离和数与数2两点间的距离的和． 故答案为：，． （3）存在，的最小值为5． 如图，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，， 当点在点的左边时，大于5； 当点在点的右边时，大于5； 当点在点和点之间或者与点或点重合时， ． 所以的最小值为5． 53．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读下面材料：小牛在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的个数：称为数列：，其中为整数且．定义．例如，若数列，2，3，4，5，则．根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列，5，3，求； (2)已知数列，其中为4个互不相等的整数，且，，，直接写出所有满足条件的数列； (3)已知数列中5个数均为非负数，且．直接写出的最大值和最小值及对应的数列． 【答案】(1)9 (2)数列为：5，6，7，9；5，6，8，9；5，7，8，9； (3)的最大值为30，对应数列为：30，0，0，0，0或0，0，0，0，30；最小值为0，对应数列为：6，6，6，6，6． 【分析】（1）根据定义，代入数据即可求出结论； （2）由题意可得，、在5到9之间，再根据为4个互不相等的整数，求解即可； （3）由，然后进行分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：可看成3条线段的长度和， ， 、在5到9之间， 为4个互不相等的整数， 数列为：5，6，7，9；5，6，8，9；5，7，8，9； （3）解：数列中5个数均为非负数， ∴当时，取得最小值0； 当，或时， 取得最大值，且最大值为， 即， 的最大值为60，对应数列为：或；最小值为0，对应数列为：6，6，6，6，6． 【点睛】本题考查了绝对值及有理数，准确理解题意，熟练掌握新定义是解题的关键． 54．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，用线在数轴上表示了一个“范围”，这个“范围”包含所有大于1且小于2的数（数轴上1与2这两个数的点空心，表示这个范围不包含数1和2）． 请你在数轴上表示出一个“范围”，使得这个范围：（用类似于本题的表示形式） (1)请在图一中画出包含所有大于且小于0的数； (2)请在图二中画出包含和这两个数，且只含有5个整数（端点必须是整数）； (3)直接写出的最小值__________． 【答案】(1) 如图1所示： (2) 如图2所示： (3)4 【分析】本题考查了数轴与有理数，理解题意是解题的关键． （1）在数轴上找出和的点，由此可画出图形； （2）在数轴上找出比小的数，例如，找出比大的数，例如，和之间包含着个整数（不含和），由此可画出图形； （3）根据表示数x的点到表示数的点和表示数1的点的距离之和，可得当距离之和最小时，x应位于和1之间，根据距离公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：表示数x的点到表示数的点和数1的点的距离之和， ∴当距离之和最小时，x应位于和1之间，此时距离为和1两点之间的距离，即， 故答案为：4； 55．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们常常会运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知是有理数，当取不同数时，式子的值也会发生变化，直接写出式子的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，理解题意，熟练掌握绝对值的几何意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可得解； （2）的几何意义是在数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为，由此即可得解； （3）的几何意义是在数轴上表示数的点与表示数和的点之间的距离之和，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：在数轴上与原点距离为的点对应的数为，即； （2）解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为． 在数轴上与表示数的点的距离为的点对应的数为，，即或； （3）解：，故的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数和的点之间的距离之和， 故当在和之间（包括端点）时，距离和最小，最小值为， 即的最小值为． 56．（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，；当A、B两点都不在原点时， ①如图乙，点都在原点的右边，； ②如图丙，点都在原点的左边， ③如图丁，点在原点的两边， 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和 的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点分别是点和，则之间的距离是 ，如果，那么 ； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (4)当代数式的最小值． 【答案】(1)3；3；4 (2)，1 或 (3) (4)90 【分析】本题考查绝对值的意义；能够熟练掌握绝对值的意义，将绝对值问题转化为两点距离问题，借助数轴求解是解题的关键. （1）由绝对值表示的距离的意义，直接代入公式即可求解； （2）由绝对值表示的距离的意义，直接代入公式即可求解； （3）表示点到与的距离和， 当取最小值时， 在与之间； （4）表示到的距离，所以当到的距离等于到的距离时， 取最小值. 【详解】（1）解：与两点距离为； 和的两点之间的距离为； 和的两点之间的距离为； 故答案为：， ， （2）解：和的两点距离为； 时， 或， ∴或； 故答案为， 或； （3）解：表示点到与的距离和， 当取最小值时， 在与之间，即； 故答案为：； （4）解：∵表示到的距离， ∴当到的距离等于到的距离时， 取最小值，最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 有理数及其运算章末56道压轴题型专训（8大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、有理数的新定义计算 1 题型二、含乘方的有理数混合运算 2 题型三、正负数实际应用 3 题型四、有理数中的规律计算压轴问题 4 题型五、数轴数形综合问题 5 题型六、数轴中移动综合问题 6 题型七、有理数四则混合运算的实际应用 7 题型八、绝对值几何意义一一距离最值问题 8 【经典例题一 有理数的新定义计算】 1．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）对于有理数m，n，定义新运算“”，规定：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式并完成问题：现定义一种新运算：a⊗b＝ab＋a﹣b，如1⊗3＝1×3＋1﹣3＝1． （1）求[（﹣2）⊗5]⊗（6） （2）新定义的运算满足交换律吗？试举例说明． 3．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）设、都表示有理数，规定一种新运算“”：当时，；当时，． 例如：；． (1) ， ； (2)求． 5．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： (1)求的值； (2)对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； (3)请你定义一种新运算，使得数字和6在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算． 6．（25-26七年级上·广东惠州·期中）甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 7．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读材料】 （一）当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作； 把3个相同的有理数x的除法运算记作； 把4个相同的有理数x的除法运算记作； …； 特别地，规定． （二）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义一种新运算：． 【解决问题】 (1)若，则______；______． (2)______；则的值______． (3)计算：． 【经典例题二 含乘方的有理数混合运算】 8．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（2026·河北·三模）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力中，计算错误的学生有________； (2)请给出正确的计算过程． 10．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 11．（2026·河北衡水·模拟预测）计算及列式计算： (1)计算：； (2)现有4张卡片，上面分别写有不同的有理数，请按照下面的要求列式计算： 用最大的有理数减去最小的有理数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和． 12．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 13．（2026·湖南张家界·模拟预测）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 14．（2026·湖北襄阳·二模）综合与实践 活动主题 进位制的认识与探究 背景 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统、约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几，为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法，十进制数一般不标注基数． 素材一 十进制数，记作345； 六进制数，记作； 说明：各进制之间可以进行转化，如：六进制数转化成与其相等的十进制数，只要将六进制数的每个数字，依次乘6的相应正整数次幂（指数比数的位数少1），然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数 素材二 将十进制数化为与其相等的六进制数，用十进制的数除以6，然后将商继续除以6，直到商小于6，这个商作为最下面的余数，将最后的商与各次所得的余数按倒序排列即可．如： ……3（第1位余数） 0（第1位余数） ……3（第2位余数） 1（第2位余数） 1 ……1（最后的商为1） 1 1（最后的商为1） 根据以上材料，解决下列问题： (1)将二进制数与五进制数转化成为十进制数：______，______； (2)将十进制数13化成二进制数：______； (3)利用二进制四则运算法则进行计算： ______；______； 【经典例题三 正负数实际应用】 15．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 16．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）： 零件号数 1 2 3 4 5 数据 (1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？ 17．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为七年级某班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个． 跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6 人数 6 12 2 7 10 5 (1)求这个班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？ (2)规定跳绳达到标准数量记0分；规定跳绳超过标准数量，每多跳1个加2分；规定跳绳未达到标准数量，每少跳1个，扣1分，求这个班跳绳总共获得多少分？ 18．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）《道路交通安全法实施条例》规定：在一个记分周期（12个月）内扣满12分，将扣留其机动车驾驶证．如果超速50%以上扣12分；超速20%以上未达50%扣6分；超速10%以上未达20%扣3分．刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上，前方出现限速标志（如图）．如果他保持原来的速度继续行驶，他将受到扣几分的处罚？（通过计算说明） 19．（25-26七年级上·天津静海·阶段检测）科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的苹果放到网上销售，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周苹果的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 苹果销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周实际销售苹果超过或不足多少千克？实际销售苹果的总量是多少千克？ (2)若小王按元千克进行苹果销售，成本为元千克，且平均运费为1元千克，则小王第一周销售苹果的利润一共多少元？ 20．（25-26七年级上·河南南阳·期末）聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支，每天坚持记录自己当天的收支情况如下表，是她们上周各天收支情况（记收入为正，单位：元） 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 根据上表回答下列问题： (1)分别说出聪聪这一行中10，0，－2各数的实际意义． (2)把上表补充完整． 一 二 三 四 五 六 日 结余 聪聪 10 －5.20 0 －4.80 5 －3 -4 －2 慧慧 8 0 0 －6 －1 0 0 1 21．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）每年的4月7日是世界卫生日——（翻译为中文也叫世界健康日），旨在引起世界对卫生、健康工作的关注，提高人们对卫生、健康领域的素质和认识、强调健康对于劳动创造和幸福生活的重要性．为了迎接世界健康日的来临，小明决定以跑步的方式践行“健康人人参与”，小明从家出发，沿着家门口的东西方向道路开始跑步（家到路的距离忽略不计），如果规定向东跑步为正，向西跑步为负，小明七次跑步记录如下（单位：m）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -400 +700 -900 +800 +600 -500 -200 (1)求跑步结束时小明距离家多远？ (2)在第几次记录时小明距离家最远？ (3)若每千米消耗60千卡的热量，则小明跑步共消耗多少千卡热量? 【经典例题四 有理数中的规律计算压轴问题】 22．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）下面是按一定规律得到的一列数． 第1个数：；第2个数：； 第3个数：；第4个数：___________； 第5个数：；第6个数：___________； (1)将上述内容进行填空； (2)按照以上规律，用算式表示出第7，第8和第10个数； (3)将（2）中的三个数用“”连接起来． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）　　 ；　　 ；　　 ；　　 ；　　 ； （2）当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；当前面有个负号时，化简后的结果是 　　 ；你能总结出什么规律？ （3）计算：． 24．（25-26七年级上·陕西西安·期中）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； … (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第6个等式； (2)根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式； (3)请利用上述规律计算： 25．（24-25七年级上·云南昭通·期中）观察下列等式： 等式1：； 等式2：； 等式3：； …． (1)根据规律可得 ； (2)根据规律可得 ；（n为正整数） (3)根据规律计算：． 26．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）仔细观察下列规律： ； ； ； 现在你一定得到某个规律了吧！接着完成以下的题目，结果可以保留指数形式． (1)______； (2)______； (3)计算：（别忘了写全计算过程哦）． 27．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）【阅读与思考】张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们打开眼界，……，‘代’的方法用途很广，它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．”例如，有些有理数的运算蕴含着有趣的规律，这些运算规律也可以用代数的方法表示． (1)①              ②              ③              在下列两组有理数中，符合上述式子蕴含的运算规律的是 （填写正确选项前的字母代号）： A．2、        B．、7 (2)对于有理数a、b，请你“用字母来代替数”，表示出（1）中式子蕴含的有理数之间的特殊的运算规律： ； (3)若有理数m、n符合上述运算规律，试判断有理数、是否一定符合上述运算规律？并说明理由． 28．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图是“分数三角形”数表，记第i行从左往右数第j个数为（其中i、j均为正整数且），如，；请认真观察此数表的规律并完成下列作答． (1)第10行的第一个数为______，第10行的第二个数为______； (2)我发现了此数表有以下规律： ①第i行的第一个数与最后一个数均为______；（用字母i来表示） ②请仔细观察每行相邻两个数与它们头顶上的那个数的关系，并完成下面填空：=______；（其中i为正整数且） (3)请利用第（2）问②的规律计算：．（请给出运算过程） 【经典例题五 数轴数形综合问题】 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知一条直线上有四个点A，B，C，D，其中，，．请在给定的直线上确定一点作为原点，建立数轴，并写出这四个点所表示的数． 30．（24-25七年级上·山东聊城·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，也体现了“数形结合”的数学思想．在数轴上画出表示下列各数的点：，6，0，2.5，5，，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来． 31．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）已知，且，你会借助数轴，将a、b、、、0按从小到大的顺序排列吗？ 分析、解题步骤如下： (1)【理解概念】 数轴上表示一个数的点与 的距离叫做这个数的绝对值． (2)【由数到形】 在数轴上先描出表示a、b的点A、B，再描出表示、的点C、D． (3)【由形到数】 借助数轴，可将a、b、、、0按从小到大的顺序排列为 ． 32．（24-25六年级上·山东青岛·期中）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴帮助我们把数和点建立起对应关系，可以用它揭示数与形之间的内在联系，体现了数形结合的数学思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，请同学们利用数轴进行以下探究活动： (1)如图1，在数轴上点表示的数是____________，点表示的数是____________，，两点的距离是____________； (2)在数轴上，移动点，使它到点的距离为2，则点移动的距离为____________； (3)小明将刻度尺放在图1的数轴下面，使刻度尺上的刻度0对齐数轴上的点，如图2．此时点对应刻度尺上的刻度，点E对应刻度，求数轴上点表示的数． 33．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 34．（25-26六年级上·山东淄博·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法，请同学们利用数形结合的思想研究绝对值的几何意义． 【阅读理解】 的几何意义是数轴上x对应的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上x对应的点与2对应的点之间的距离；的几何意义是数轴上x对应的点与对应的点之间的距离加上x对应的点与2对应的点之间的距离，即线段与的长度之和，如下图． 【发现问题】在数轴上，点A，B，P分别表示的是，2，x，当点P在数轴上运动时，是否有最小值？ 【探究问题】 (1)点A到点B的距离是________，若，则________． (2)请结合点在数轴上的位置，思考P点可能的3种情况： ①当点P在点A的左侧时，_____3；（用“”“”“”回答）， ②当点P在点B的右侧时，______3；（用“”“”“”回答）， ③当点P在之间（包括在点A，B上）时，____3；（用“”“”“”回答）， 【解决问题】 (3)根据刚才的探究，的最小值是________． 【应用问题】 (4)①请利用数轴，探索时x的值； ②请直接写出的最小值． 35．（25-26六年级上·山东东营·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的重要工具，能将数与形结合．若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离． 【综合运用】 如图①，在数轴上，点A、B表示的数分别为a、b，且满足． （1）则______，______，A、B两点之间的距离为______． （2）点P和点Q分别从点A、点B同时出发，都沿数轴负方向运动．点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒3个单位，设运动的时间为t（秒）．t秒后，点P对应的数是______，点Q对应的数是______（用含t的代数式表示）． 【延伸拓展】 （3）如图②，半径为2的圆从点A沿正方向在数轴上滚动． ①滚动一周后圆与数轴的接触点对应的数是______，滚动两周后圆与数轴的接触点对应的数是______； ②滚动n周后圆与数轴的接触点对应的数是多少？ 【经典例题六 数轴中移动综合问题】 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题： (1)将B点向左移动3个单位长度后，三个点所表示的数中谁最小？是多少？ (2)将A点向右移动4个单位长度后，三个点所表示的数中谁最小？是多少？ (3)将C点向左移动6个单位长度后，这时B点表示的数比C点表示的数大多少？ (4)若每个点只能移动一次，怎样移动A、B、C中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 37．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 38．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 39．（25-26七年级上·海南·期中）阅读以下材料，并回答问题． 如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上，它的两端分别落在点处．将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点处时，点对应的数为20；当点移动到点处时，点对应的数为5．（注：本题中，数轴上1个单位长度代表1cm．） 由此可得，的值为5 借助上述方法解决下面的问题： 一天，小明问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁的老寿星了．”请问小明的爷爷到底多少岁？ 请你画出示意图，求出爷爷和小明现在的年龄，并说明解题思路． 40．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）【问题背景】已知数轴上有不重合的三个点A、B、C，点A表示的数为，点B与点A到原点的距离相等，点C在原点的左侧，且到点B的距离为7． 【问题初现】（1）求点B、C表示的数； 【问题推广】（2）假设动点M、N分别从点B、C同时出发相向而行，动点M的速度为每秒2个单位长度，动点N的速度为每秒1个单位长度，当动点M与动点N距离为1个单位长度时，设运动时间为t，求动点M与动点N相遇前的时间t及此时动点M表示的数； 【拓展提升】（3）在数轴上，有一个动点P，从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点，向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点，……，按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，求点表示的数，并说明理由．               41．（25-26七年级上·广西防城港·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点A表示的数为，点表示的数为6，点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向A匀速运动，当点Q到达终点A后，P，Q两点都停止运动，设运动时间为秒（）． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离 ，线段的中点表示的数为 ， (2)填空：当时，则点P表示的数为 ，点Q表示的数为 ，此时线段的中点表示的数为 ； (3)当点Q到达终点A时，运动时间t为多少？此时线段的中点表示的数是多少？ 42．（25-26七年级上·广东揭阳·期中）【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 （1）可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）若，则的值为______； 【问题解决】 （3）请你结合数轴探究：的最小值是______； （4）借助数轴思考，当x为何值时，与的值相等． 【拓展应用】 （5）如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点所对应的数是多少．          【经典例题七 有理数四则混合运算的实际应用】 43．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 ．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．这批苹果一共有多少千克? 44．（26-27七年级上·湖南·开学考试）为鼓励居民节约用水，长沙市自来水公司制定了下面的收费方式：每户每月用水吨以内（含吨），按元/吨收取；超出吨但不超过吨（含吨）的部分，按元/吨收取，超过吨的部分，按元/吨收取． (1)小明家月份用水吨，应缴水费多少元？ (2)小明家月份用了吨水，应缴水费多少元？ (3)小红家月份缴水费元，她家月份用水多少吨？ 45．（25-26七年级上·山东德州·期中）某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 46．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）若将正整数1，2，3，…，98写在一起，则可以构成一个新数：12345…91011…9798． (1)这个新数是一个几位数？ (2)这个新数各个数位上的数字之和为多少？ (3)在黑板上写上数，，，…，，每次擦去任意的两个数，换上这两个数的和或差，重复这样的操作连续若干次，直到黑板上仅留下一个数为止，这个数是否可能为？请说明理由． 47．（25-26七年级上·云南普洱·期末）普洱市某茶叶加工厂从生产的袋装茶叶中抽出样品30袋（每袋的标准质量为），检测每袋的质量是否符合标准，超过和不足的部分分别用正数、负数表示，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 袋数 3 1 4 6 8 6 2 (1)茶叶外包装袋上标有“净重”的字样，则这批抽样茶叶中有几袋质量合格？ (2)这30袋样品一共多少克？总计超过或者不足多少克？ 48．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包装商品，受到年轻消费者的青睐．某商店购进一批盲盒，进价为每个元；为合理定价，前五天试行机动价格，售出时以每个元为标准价格，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，该店记录的前五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计个）如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 (1)该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第________天，最高单价为________元/个，最高单价比最低单价多________元/个； (2)以标准价格为准，前五天这个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ (3)不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润． 49．（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图为王阿姨从记账软件中下载并打印的一周（2025年10月6日~10月12日）收支账单（用“”表示收入，用“”表示支出）： 请根据信息解决下列问题： (1)王阿姨本周买了一件衣服，但因尺寸不合适又马上申请了退货退款，这件衣服的价格是___________元． (2)2025年10月6日为我国传统佳节---中秋节，当天，王阿姨收到了一些红包，也发出了一些红包，求当天的收支总和． (3)账单中，本周支出的最后一项数据不小心被遮盖了，请计算被遮盖的数据． 【经典例题八 绝对值几何意义一一距离最值问题】 50．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ （2）当取何值时，有最大值，这个最大值是多少？ 51．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 52．（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）我们都知道，表示8与3的差的绝对值，也可以理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____两点间的距离． (2)表示数轴上数与数_____两点间的距离和数与数_____两点间的距离的和． (3)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 53．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读下面材料：小牛在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的个数：称为数列：，其中为整数且．定义．例如，若数列，2，3，4，5，则．根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列，5，3，求； (2)已知数列，其中为4个互不相等的整数，且，，，直接写出所有满足条件的数列； (3)已知数列中5个数均为非负数，且．直接写出的最大值和最小值及对应的数列． 54．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，用线在数轴上表示了一个“范围”，这个“范围”包含所有大于1且小于2的数（数轴上1与2这两个数的点空心，表示这个范围不包含数1和2）． 请你在数轴上表示出一个“范围”，使得这个范围：（用类似于本题的表示形式） (1)请在图一中画出包含所有大于且小于0的数； (2)请在图二中画出包含和这两个数，且只含有5个整数（端点必须是整数）； (3)直接写出的最小值__________． 55．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们常常会运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知是有理数，当取不同数时，式子的值也会发生变化，直接写出式子的最小值． 56．（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，；当A、B两点都不在原点时， ①如图乙，点都在原点的右边，； ②如图丙，点都在原点的左边， ③如图丁，点在原点的两边， 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和 的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点分别是点和，则之间的距离是 ，如果，那么 ； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (4)当代数式的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $