专题4.6 三角形28道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

**基本信息** 聚焦三角形核心素养，以7大题型28道压轴题构建“性质应用-辅助线构造-综合探究”递进体系，提炼倍长中线、面积法等可迁移方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |构成三角形条件|4道|三边关系不等式应用|从基本性质到概率、参数计算| |等腰三角形应用|4道|分类讨论边长关系|结合“优美比”等新定义深化性质| |重心性质|4道|中线分比及面积关系|连接特殊点与几何直观| |三角形高计算|4道|面积法转化线段关系|渗透同一图形面积双解模型| |全等证明|4道|SSS/SAS等判定应用|从静态证明到动态情境（雨伞开合）| |全等辅助线|4道|倍长中线构造全等|突破中点条件下的线段转化| |全等综合|4道|规律探究与多证法|整合性质、判定及辅助线解决复杂问题|

专题4.6 三角形28道压轴题型专训（7大题型） 题型一 构成三角形的条件及第三边的取值范围 题型二 等腰三角形的相关应用 题型三 重心的有关性质 题型四 与三角形的高有关的计算问题 题型五 证明三角形全等 题型六 全等三角形的辅助线问题 题型七 全等三角形综合问题 【经典例题一 构成三角形的条件及第三边的取值范围】 1．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）有5根细木棒，它们的长度分别是、、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列举法求概率和构成三角形的条件，先列举出所有的取法，再根据构成三角形的条件确定能构成三角形的取法，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：从5根木棒中任取3根，所有可能情况有10种：、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、； ∵三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴只有、、；、、；、、；这三种情况能搭成三角形， ∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是， 故选：B． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：①当腰长是3时，则底边长为9，不符合构成三角形的条件，②当底边为3时，则腰长为6，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的腰长． 【详解】解：等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3， 有以下两种情况： ①当腰长是3时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为：3，3，9， ，不符合构成三角形的条件； ②当底边为3时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为：6，6，3， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：该等腰三角形的腰长为6， 故选：． 3．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）若中三边长是a，b，c，若，且三角形的周长是偶数，则c的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查三角形三边关系．根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合周长为偶数的条件，求出c的值． 【详解】解：∵的三边长为a，b，c，， ∴根据三角形三边关系，有，即． ∵三角形的周长为偶数，且周长，6为偶数， ∴c为偶数． 在范围内，c为整数，且为偶数， ∴． 故答案为：4． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知a、b、c是的三边，a、b使等式成立，且c是偶数，求的周长． 【答案】10 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，三角形三边关系． 根据完全平方公式将原式转化为，根据非负数的性质求出，，根据三角形三边关系得到，进而可知，即可求出的周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵a、b、c是的三边， ∴， ∴， ∵c是偶数， ∴， 故的周长为：． 【经典例题二 等腰三角形的相关应用】 1．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）使用如图所示的两根直铁丝做成一个等腰三角形框架，需要将其中的一根铁丝折成两段，小明认为：可将线段折成，；小亮认为：可将线段折成，，下列说法正确的是（   ） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分别分析小明和小亮的折法，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），判断能否构成等腰三角形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：小明的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，， 因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形， 所以小明的折法正确； 小亮的折法，将线段折成，，此时三角形三边为，，， 因为，满足三角形三边关系，能构成等腰三角形， 所以小亮的折法也正确， 综上，两人都正确， 故选：． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为，则腰长为_______． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解本题的关键．设腰长为，列出方程或，求出，最后根据三角形三边关系进行验证作答即可． 【详解】解：设腰长为，则 或， 解方程，得, ， 解方程，得， ， 当三角形的三边为，符合三角形三边关系定理； 当三角形的三边为，，不符合三角形三边关系定理； 三角形的腰长为， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．    (1)当点在上运动时，线段的长为_______用含的代数式表示； (2)当是以为腰的等腰三角形时，的值为________； (3)当点运动过点时，求线段的表达式用含的代数式表示； (4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)4 (3)的长度为或 (4)的值为或或 【分析】（1）观察图形用来求解； （2）由等腰三角形的性质可知，表示出，即可列式求解； （3）分两种情况：当点在上时，当点在上时，分别求解即可； （4）先求出周长的一半，再利用当点在上时，，此时；当点在上时，，此时；当点在上时，，此时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，， ． 故答案为：． （2）解：是以为腰的等腰三角形时，    ， ， （秒）， 故答案为：秒． （3）解：当点在上时，， ； 当点在上时， ． 综上所述，的长度为或． （4）解：，，，， 的周长为， 点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，每一部分的周长为， 当点在上时，，此时，    ， （秒）， 当点在上时，，此时，    ， （秒）， 当点在上时，，此时，    ， 秒）， 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【经典例题三 重心的有关性质】 1．（25-26七年级下·贵州遵义·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的重心，悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是三角形的重心，即三角形三条中线的交点， 故选：． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）在中，AD是BC边上的中线，点G是重心，如果，那么线段DG的长为（   ） A．3 B．4 C．9 D．12 【答案】A 【分析】根据三角形重心的定义求解即可. 【详解】∵AD是BC边上的中线，点G是重心， ∴AG：DG=2：1, ∵， ∴DG=3. 故选A. 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，熟记重心的性质，并能灵活运用是解题的关键. 3．（23-24七年级下·湖北十堰·月考）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为2，则的面积为_____． 【答案】12 【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案． 【详解】解：，的面积为2， 的面积为4， 的面积为， 点为的中点， 的面积的面积， 的面积为， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键． 4．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 【经典例题四 与三角形的高有关的计算问题】 1．（2026·七年级下 安徽阜阳）如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 【答案】B 【分析】过B作，与的延长线交于D，连接，利用等积法即可得出结论． 【详解】解：过B作，与的延长线交于D，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴的大小为定值．其余选项均不能得到是定值. 2．（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法错误的个数有（　　） ①点到的距离等于． ②点到直线的距离等于．③点到直线的距离等于． ④点到的距离等于 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 【详解】解：因为， 所以点到的距离等于线段的长度，即点到的距离等于． ①错误． 因为， 所以点到直线的距离等于线段的长度，即点到直线的距离等于． ②正确． 因为， 所以点到直线距离等于线段的长度，即点到直线距离等于． ③正确． 如图所示，过点作的垂线，交于点． 点到的距离等于线段的长度． 因为， 所以． ④错误． 综上所述，说法错误的为①④，共个． 故选：B 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积______． 【答案】16 【分析】本题主要考查三角形的面积公式求解，设，．可可得出，由已知条件得出结合等高的三角形面积比为底边边长之比得出，进而得出，联立方程组解出x，y的值，再由已知条件得出，最后代入求值即可求得答案． 【详解】解：设， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点A，B到的高为：，， ， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∴ ∴ 解得：， ， 故答案为：16． 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图1，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示为，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法表示从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，根据图2中图形的面积关系，写出一个等式：________． (2)如图3，中，，，，，是斜边上的高，求的长． (3)如图4，等腰中，，为底边上任意一点，，，垂足分别为，，，连接，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了整式乘法的几何背景、图形的拆分前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆分前后的面积相等分析、推理和计算． （1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大正方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）根据，代入数值解之即可； （3）由和三角形面积公式即可得证． 【详解】（1）解：如图2，大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和， 即， 同时大长方形的面积也可以为， 所以． （2）解：如图，在中， ∵，， ， ． （3）证明：如图，，，，， ． ， ． 【经典例题五 证明三角形全等】 1．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，由线段中点定义得到，又，，因此，得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（2024七年级下·全国）如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．，与不全等 C．与不全等， D．与全等，与不全等 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， 在和中， ，， ∵， ∴， ∴与不全等， 故选：． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，，，点是的中点，连接、，且满足，若，则________．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：如图，延长至点，使，连接、，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即， ，， ， ， ， ， ． 4．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）问题引入：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小华在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接，把集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中．    (1)请你用小华的方法证明； (2)由第（1）问方法的启发，请你证明下面命题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，求证：； (3)如图3，在Rt和Rt中，，，，连接，点为中点，连接，请你直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）延长，延长至点，使，连接，证明，再利用三角形三边关系即可； （2）添加辅助线，先证明，根据性质得出，从而可证明，最后根据性质即可求证； （3）延长至，使，连接，可证：，根据全等三角形性质可以得出，再证明，则可以得出结论． 【详解】（1）如图，延长至点，使，连接，则：， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∴； 即：， （2）如图，延长至点，使得，连接，则，      ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，，, ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）如图，延长至，使，连接，则     同（2）理可证：， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题六 全等三角形的辅助线问题】 1．（24-25七年级下·重庆永川·月考）中，若，则中线的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：延长到E，使，连接，如下图： ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴ ∴ 根据三角形的三边关系得∶ ， 即： ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故选：C． 3．（23-24七年级下·江苏·专题练习）在中，若，则中线的最大整数值是 ___． 【答案】5 【分析】延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ， ， 根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ∴中线的最大整数值是5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出是解此题的关键． 4．（25-26七年级下·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过倍长中线法，构造全等三角形，将、与转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求解的取值范围． （2）延长至点，使，连接，先证，再证，从而得到 （3）延长到点，使，连接，先证，再结合翻折性质和角的关系证，进而得到 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 由翻折性质可知：，，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、倍长中线法以及图形翻折的性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题七 全等三角形综合问题】 1．（23-24七年级下·山西·期末）如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，图形规律，根据全等三角形的判定得到全等三角形的数量，找出规律即可求解． 【详解】解：图1中，， ∴，共有1对，即； ∴，，则， 图2中，同理，， ∵， ∴， ∵， ∴，共3对，即， 同理，图3中，，，，共有对，即 ， ∴第n个图形中全等三角形有对， 故选：C ． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）图中三个叠放在一起的三角形纸板被墨水污染损坏了一部分，想要重新作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形纸板，下列说法错误的是（   ） A．只能作出三角形①，② B．作出三角形①的依据可以是 C．作出三角形②的依据只能是 D．作出三角形③的依据是 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：三角形①知道三个角的大小，知道两条边的大小，可利用，，作图； 三角形②知道两个角的大小，且知道这两个角的夹边的大小，可利用作图； 三角形③只知道一个角的大小，不能作出与③完全相同的三角形； ∴说法错误的是， 故选：． 3．（25-26七年级下·河南商丘·月考）如图，点，，，在的边上，，且，，且，于点，于点，，，，图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用全等三角形的判定和性质，求不规则图形的阴影面积；熟练掌握和应用全等三角形的判定和性质是关键． 利用可得≌，≌，进而得到，，，，最后用梯形面积减去四个直角三角形的面积即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中： ∴≌， ∵，， 同理≌， ∴，， ∴， ∵ ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·山西朔州·月考）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形； （1）证明，即可得证； （2）过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，得到，根据三角形的面积公式，即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点H，先证明，求出的长，再证明，根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：， ，即． 在和中， ． ． （2）证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，． ∵， ∴， ， ． 在和中， ． ． ，， ； （3）如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ． ， ． ， 又∵， ∴， ． ， ， ， 即的长为2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.6 三角形28道压轴题型专训（7大题型） 题型一 构成三角形的条件及第三边的取值范围 题型二 等腰三角形的相关应用 题型三 重心的有关性质 题型四 与三角形的高有关的计算问题 题型五 证明三角形全等 题型六 全等三角形的辅助线问题 题型七 全等三角形综合问题 【经典例题一 构成三角形的条件及第三边的取值范围】 1．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）有5根细木棒，它们的长度分别是、、、、．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 3．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）若中三边长是a，b，c，若，且三角形的周长是偶数，则c的值为________． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知a、b、c是的三边，a、b使等式成立，且c是偶数，求的周长． 【经典例题二 等腰三角形的相关应用】 1．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）使用如图所示的两根直铁丝做成一个等腰三角形框架，需要将其中的一根铁丝折成两段，小明认为：可将线段折成，；小亮认为：可将线段折成，，下列说法正确的是（   ） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人都正确 D．两人都错误 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为，则腰长为_______． 4．（23-24七年级下·吉林长春·月考）如图，在中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．    (1)当点在上运动时，线段的长为_______用含的代数式表示； (2)当是以为腰的等腰三角形时，的值为________； (3)当点运动过点时，求线段的表达式用含的代数式表示； (4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值． 【经典例题三 重心的有关性质】 1．（25-26七年级下·贵州遵义·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）在中，AD是BC边上的中线，点G是重心，如果，那么线段DG的长为（   ） A．3 B．4 C．9 D．12 3．（23-24七年级下·湖北十堰·月考）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为2，则的面积为_____． 4．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【经典例题四 与三角形的高有关的计算问题】 1．（2026·七年级下 安徽阜阳）如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 2．（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法错误的个数有（　　） ①点到的距离等于． ②点到直线的距离等于．③点到直线的距离等于． ④点到的距离等于 A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积______． 4．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图1，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示为，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法表示从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，根据图2中图形的面积关系，写出一个等式：________． (2)如图3，中，，，，，是斜边上的高，求的长． (3)如图4，等腰中，，为底边上任意一点，，，垂足分别为，，，连接，求证：． 【经典例题五 证明三角形全等】 1．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国）如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．，与不全等 C．与不全等， D．与全等，与不全等 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，，，点是的中点，连接、，且满足，若，则________．（用含的代数式表示） 4．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）问题引入：课外兴趣小组活动时，老师提出这样的问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小华在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得，再连接，把集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．从中他总结出：解题时，条件中若出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件和需求证的结论集中到同一个三角形中．    (1)请你用小华的方法证明； (2)由第（1）问方法的启发，请你证明下面命题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，求证：； (3)如图3，在Rt和Rt中，，，，连接，点为中点，连接，请你直接写出的值． 【经典例题六 全等三角形的辅助线问题】 1．（24-25七年级下·重庆永川·月考）中，若，则中线的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．20 3．（23-24七年级下·江苏·专题练习）在中，若，则中线的最大整数值是 ___． 4．（25-26七年级下·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究： 【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧． (1)【问题背景】 如图，中，，，是中线，则的取值范围是______； (2)【变式思考】 如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：； (3)【探究延伸】 如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长． 【经典例题七 全等三角形综合问题】 1．（23-24七年级下·山西·期末）如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（   ）对 A．n B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）图中三个叠放在一起的三角形纸板被墨水污染损坏了一部分，想要重新作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形纸板，下列说法错误的是（   ） A．只能作出三角形①，② B．作出三角形①的依据可以是 C．作出三角形②的依据只能是 D．作出三角形③的依据是 3．（25-26七年级下·河南商丘·月考）如图，点，，，在的边上，，且，，且，于点，于点，，，，图中阴影部分的面积为______． 4．（25-26七年级下·山西朔州·月考）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $