专题 2.7 有理数的运算复习专题——有理数的混合运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义以有理数混合运算为核心，通过知识梳理构建“运算策略-新运算层次”的体系。知识梳理部分用框架图呈现加减混合运算的优先、形式、凑整策略，用列表归纳乘除与乘方的统一性方法，突出运算顺序和符号规则的重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，如含乘方混合运算（题型4）和运用型新运算（题型7），通过例题与变式题培养运算能力和创新意识。同步检测包含选择、填空、解答题，基础题巩固方法，综合题提升推理意识，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

专题 2.7 有理数的运算复习专题——有理数的混合运算（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、有理数的混合运算方法提炼与解读 1 【知识点一】有理数的加减混合运算 1 【方法1】有理数的加减混合运算基本策略 1 【方法2】有理数乘除与乘方的统一性 2 【方法3】有理数乘除与乘方的统一性 2 【知识点二】定义新运算 2 二.题型精析 2 【题型1】有理数加减混合运算 2 【题型2】有理数乘除混合运算 5 【题型3】有理数加减乘除混合运算 7 【题型4】含乘方有理数加减乘除混合运算 9 【题型5】模仿型新运算 12 【题型6】理解型新运算 15 【题型7】运用型新运算 17 三.同步检测 20 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 20 （二）填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 23 （三）解答题（本大题共8小题，共64分） 25 一、有理数的混合运算方法提炼与解读 【知识点一】有理数的加减混合运算 【方法1】有理数的加减混合运算基本策略 （1）优先策略:相反数优先、同分母优先、同号优先; （2）形式策略:分小互化、带分数拆项; （3）凑整策略:同号和凑整、异号差凑整 【方法2】有理数乘除与乘方的统一性 （1）形式统一：小数化为分数、带分数化为假分数; （2）运算统一：除变乘、取倒数; （3）符号统一：先定号（根据负因数的个数，结果的符号满足奇负偶正）再运算。 【要点提示】①小化分，统一数的形式；②减变如，统一运算形式；③去括号，统一省略形式，④同分母、倍分母优先合并。 【方法3】有理数乘除与乘方的统一性 （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【要点提示】①乘方的就近原則：中与指数最近的是2，故底数为2；中与指教最近的是括号，故底数是-2。②负数幂的链号：负数的奇次幂为负，偶次幂为王，与积的符号判定方法相同，奇负偶正。 【知识点二】定义新运算 1. 模仿”新运算”：新运算题型中的低阶考法,只需要根据定义的运算法则,进行模仿和运算即可； 2. 理解“新运算”：新运算题型中的中阶考法,在理解新运算符号的同时,还需要总结并归纳新运算的本质含义； 3运用“新运算”：新运算题型中的高阶考法,在充分理解新运算符号的同时,还需要学会运用符号进行化简、变形或探究。 二.题型精析 【题型1】有理数加减混合运算 【例题1】（25-26七年级上·重庆铜梁·阶段检测）计算： （1） （2） 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查有理数的加减法； （1）去括号后，按照有理数加减法法则计算即可； （2）去括号后，将同分母的分数先计算，再将所得结果相加即可. （1）解： . （2）解： . 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键．要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和即可得． 解：要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和． 即 ， 即这个运算结果最大值是21， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）_____. 【答案】 【分析】本题考查了裂项法进行有理数加减运算，关键是裂项相消法求和；观察原式，每一项为两个连续整数倒数的差的绝对值，利用绝对值的性质去掉绝对值符号，发现裂项相消，即中间项相互抵消，只剩首尾部分项化简即可． 解：原式， ， 故答案为： ． 【变式3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）去括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）去括号，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）去括号，再将同分母的分数结合起来计算即可； （4）把小数化为分数并去括号，再将同分母的分数结合起来计算即可． （1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【题型2】有理数乘除混合运算 【例题2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则是解题的关键； 根据有理数乘除混合运算法则计算即可求解； 解：； 故选：C 【变式2】（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算：______. 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘除法则． 先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 解：原式， ， ， 故答案为：． 【变式3】（2025七年级上·重庆·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算规则、乘法交换律与结合律的应用、乘法分配律（含逆运算）的运用，以及带分数的拆分技巧在简便运算中的应用． （）运用乘法交换律和结合律简便计算； （）先将带分数化为假分数，再把除法转化为乘法计算； （）带分数变形为整数与分数的差，再用乘法分配律计算； （）提取公因式，用乘法分配律的逆运算计算． （1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 【题型3】有理数加减乘除混合运算 【例题3】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）计算． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【变式1】（24-25七年级上·云南德宏·期末）下列运算，结果最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数混合运算法则计算每个选项的结果，再比较大小，即可得到结果最小的选项． 解：A、. B、. C、. D、. 又∵ ∴结果最小的是A． 【变式2】（2024七年级下·全国·竞赛）计算． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，数字的变化规律，找到变化规律，将分数合理裂项求解是关键． （1）利用“裂项，消项”法简化运算即可； （2）利用“裂项，消项”法简化运算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）； （2） 【答案】（1）1.6；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【题型4】含乘方有理数加减乘除混合运算 【例题4】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先算，再把除法转化为乘法，用； （2）先算中括号内为，再算，再把两个得数相加减即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26六年级上·山东泰安·期中）下列各组运算结果中，数值最小的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，需先计算各选项的数值，再比较大小． 解：∵A、， B、， C、， D、， 又∵， ∴数值最小的是D． 故选：D． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【答案】 解： ． 【变式3】（24-25六年级上·山东泰安·期中）计算∶ （1）； （2） （3） （4）． 【答案】（1）0；（2）3；（3）28；（4）13 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型5】模仿型新定义运算 【例题5】（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义一种运算符号“※”：m※例如：4※根据定义的运算法则，解决下列问题： （1）※______； （2）※※______． 【答案】（1）24；（2）18 【分析】（1）根据定义的运算列式计算即可； （2）根据定义的运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）解：原式 ； 故答案为：24； （2）解：※ ， 原式※ 故答案为： 【变式1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 解：根据新运算规则， 可得 ． 【变式2】（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 【答案】14 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的求解，根据题目中给出的定义代入数字进行计算即可． 解：，， ， 故答案为：14． 【变式3】（23-24七年级上·湖北恩施·期中）我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列式计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）解：； （2）解： ． 【题型6】理解型新定义运算 【例题6】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． （1）求的值； （2）求． 【答案】（1）6；（2）480 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算进行计算，即可解答． （1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 【变式1】（25-26七年级上·河北衡水·期中）用“■”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有，当时，都有．计算的值为（   ） A．32 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意代入数据进行计算即可． 解：由题意可得， ， ∴， 故选：C 【变式2】（25-26七年级上·四川泸州·期中）对任意的四个有理数a，b，c，，定义运算，则的相反数是______． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据定义运算列式并计算，然后求得结果的相反数即可，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 解：∵对任意的四个有理数a，b，c，，定义运算， ∴ ， 它的相反数为3， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）对于有理数定义运算，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，理解新定义的含义是解本题的关键，根据新定义运算的含义列式：，再计算即可． 解：∵， ∴ ． 【题型7】运用型新定义运算 【例题7】（25-26七年级上·福建漳州·期中）小明同学在学习完第一章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣，在有理数的范围内定义了一种新运算“”，并写出了一些按照新定义的运算规则进行计算的算式： ； ； ； ； …… （1）请你写出小明同学定义的的运算规则；（用含，的式子表示） （2）计算：； （3）有理数的加法和乘法均满足交换律，请你判断满足交换律吗？请举例验证．（写出一个例子即可） 【答案】（1）；（2）；（3）满足交换律 ， ， ， 故满足交换律． 【分析】（1）观察题目给出的算式，归纳出的通用运算公式； （2）先计算括号内的，再将结果代入外层算式计算最终结果； （3）根据交换律的定义，分别计算与，验证二者是否相等． （1）解：根据题意可知，． （2）解：， ． （3）略 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期中）定义一个运算：，其中．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算, 有理数的混合运算，根据所给新定义逐项列式计算即可． 解： ， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：，且，则的值为______． 【答案】 【分析】设，则，利用新定义的运算求得，即可求得的值． 解：设，则， ， 则的值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了新定义的有理数运算，理解新定义是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义运算：如果，记为，如，则；，则． （1）根据定义，填空：________；________． （2）若有如下运算性质：，根据运算性质填空： 若，则________；________． （3）表中与数对应的有且只有两个是错误的，请找出错误，说明理由并改正． 【答案】（1）1，3；（2），；（3）表中只有和的对应值是错误的，，． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，弄清定义、根据定义进行运算以及掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）按照定义运用法则进行计算即可； （2）由，，再将已知条件代入计算即可； （3）分类讨论；若，则，，从而表中有3个对应的是错误，与题设矛盾；若，则，，，从而表中有3个对应的是错误，与题设矛盾，则可得表中只有和的对应值是错误的，再由定义求出正确的、的值即可． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：1，3． （2）解：∵， ∴， ． 故答案为：，． （3）解：若，则，，从而表中有3个对应的是错误，与题设矛盾； ∴，，； 若，则，，，从而表中有3个对应的是错误，与题设矛盾； ∴，， ∵表中与数对应的有且只有两个是错误的， ∴表中只有和的对应值是错误的； ∴，． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 1．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，乐乐将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，正确看出规律是解题的关键． 已知每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，先求出中间一列的三数之和；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，求出、、的值，然后代入计算即可． 解：已知每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， 中间一列的三数之和为：， 第一行的数字之和为3，则，解得， 第二行的数字之和为，解得， 第三行的数字之和为，解得， 所以． 故选：C ． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期中）下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 3．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可． 解：由题意，得：； 故答案为：8． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义一种对正整数的“F”运算：①当n为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）.两种运算交替重复进行，例如，取，则第1次“”运算为，第2次“”运算为，第3次“”运算为…若，则第2021次“”运算的结果为（    ） A．1 B．4 C．2021 D． 【答案】B 【分析】计算出n=13时第1、2、3、4、5、6、7次运算的结果，通过计算从第4次开始，结果就只有4、1两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 解：当n=13时， 第1次“F”运算的结果是：， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：， 第4次“F”运算的结果是：， 第5次“F”运算的结果是：， 第6次“F”运算的结果是：， 第7次“F”运算的结果是：， …… 观察以上结果，从第4次开始，结果就只有1、4两个数循环出现， 且当次数为偶数时，结果是1，次数为奇数时，结果是4， 而2021为奇数，故其结果为4， 故选：B． 【点拨】本题考查了数字类的变化规律及有理数的混合运算，解决本题的关键是读懂题意中的新定义，严格按照定义来计算． （2） 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 5．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）定义新运算“◇”：对于两个有理数a，b，定义，例如，那么_________． 【答案】0 【分析】本题考查的是新定义的运算，有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 根据新定义的运算，将转化成，再根据有理数混合运算的法则进行计算即可． 解：∵， ∴ ． 故答案为：0． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出和的值，再利用有理数减法法则计算最终结果． 解：∵， ； ∵， ∴； ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是________． 【答案】4 【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可． 解：， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 8．（25-26七年级上·上海·期中）规定m，n两数之间的一种运算，记作，如果，那么．则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、含乘方的有理数的混合运算，理解题意，准确进行计算是解题的关键． 先利用定义将，，化简，再根据有理数的混合运算进行计算即可得到答案． 解：，，，，， ，，，，， ． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序． 根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 解： ． （3） 解答题（本大题共8小题，共64分） 10．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）现定义某种新运算：对任意两个有理数、，有．如：，． （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题考查新定义运算，绝对值，有理数的加减运算，理解新定义运算法则是解题的关键． （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义运算法则先计算，再计算． （1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）有理数的加减运算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数加减的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）去括号运算即可； （2）把小数变成分数运算即可． （1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 12．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）利用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法运算律是解此题的关键． （1）先将原式中的除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律提取公因数，合并括号内的项后进行计算即可； （2）先将式子变形为，再利用乘法运算律进行计算即可得到答案． （1）解： （2） 13．（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把小数化为分数，把分母相同的有理数结合在一起求解即可； （2）把小数化为分数，再逆用分配律求解即可． （1）解：原式 （2）解： ； 14．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）计算 （1）； （2） 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 15．（26-27六年级·上海·小升初衔接）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算加减即可得出结果． （1）解： ； （2）解： ． 16．（25-26七年级上·全国·寒假作业）（1）； （2）； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）﹣1122 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）根据乘法分配律计算； （3）先将化成，再进行简便运算即可． 解：（1） ； （2） ； （3）∵， ∴ ． 17．（25-26七年级上·海南海口·期末）计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）先将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算，然后利用乘法分配律计算即可； （3）先计算乘方，并将除法转化为乘法，再计算括号里的乘法和加号后的乘法，然后计算括号里的加减法，再计算括号外的乘法，最后计算括号外的加减法即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.7 有理数的运算复习专题——有理数的混合运算（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一、有理数的混合运算方法提炼与解读 1 【知识点一】有理数的加减混合运算 1 【方法1】有理数的加减混合运算基本策略 1 【方法2】有理数乘除与乘方的统一性 2 【方法3】有理数乘除与乘方的统一性 2 【知识点二】定义新运算 2 二.题型精析 2 【题型1】有理数加减混合运算 2 【题型2】有理数乘除混合运算 3 【题型3】有理数加减乘除混合运算 3 【题型4】含乘方有理数加减乘除混合运算 4 【题型5】模仿型新运算 4 【题型6】理解型新运算 5 【题型7】运用型新运算 6 三.同步检测 7 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 7 （二）填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 8 （三）解答题（本大题共8小题，共64分） 8 一、有理数的混合运算方法提炼与解读 【知识点一】有理数的加减混合运算 【方法1】有理数的加减混合运算基本策略 （1）优先策略:相反数优先、同分母优先、同号优先; （2）形式策略:分小互化、带分数拆项; （3）凑整策略:同号和凑整、异号差凑整 【方法2】有理数乘除与乘方的统一性 （1）形式统一：小数化为分数、带分数化为假分数; （2）运算统一：除变乘、取倒数; （3）符号统一：先定号（根据负因数的个数，结果的符号满足奇负偶正）再运算。 【要点提示】①小化分，统一数的形式；②减变如，统一运算形式；③去括号，统一省略形式，④同分母、倍分母优先合并。 【方法3】有理数乘除与乘方的统一性 （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【要点提示】①乘方的就近原則：中与指数最近的是2，故底数为2；中与指教最近的是括号，故底数是-2。②负数幂的链号：负数的奇次幂为负，偶次幂为王，与积的符号判定方法相同，奇负偶正。 【知识点二】定义新运算 1. 模仿”新运算”：新运算题型中的低阶考法,只需要根据定义的运算法则,进行模仿和运算即可； 2. 理解“新运算”：新运算题型中的中阶考法,在理解新运算符号的同时,还需要总结并归纳新运算的本质含义； 3运用“新运算”：新运算题型中的高阶考法,在充分理解新运算符号的同时,还需要学会运用符号进行化简、变形或探究。 二.题型精析 【题型1】有理数加减混合运算 【例题1】（25-26七年级上·重庆铜梁·阶段检测）计算： （1） （2） 【变式1】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 【变式2】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）_____. 【变式3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2】有理数乘除混合运算 【例题2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算：______. 【变式3】（2025七年级上·重庆·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 【题型3】有理数加减乘除混合运算 【例题3】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）计算． （1） （2） （3） （4） 【变式1】（24-25七年级上·云南德宏·期末）下列运算，结果最小的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级下·全国·竞赛）计算． （1） （2） 【变式3】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： （1）； （2） 【题型4】含乘方有理数加减乘除混合运算 【例题4】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26六年级上·山东泰安·期中）下列各组运算结果中，数值最小的是（） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【变式3】（24-25六年级上·山东泰安·期中）计算∶ （1）； （2） （3） （4）． 【题型5】模仿型新定义运算 【例题5】（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义一种运算符号“※”：m※例如：4※根据定义的运算法则，解决下列问题： （1）※______； （2）※※______． 【变式1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算__________ 【变式3】（23-24七年级上·湖北恩施·期中）我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： （1）； （2）． 【题型6】理解型新定义运算 【例题6】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． （1）求的值； （2）求． 【变式1】（25-26七年级上·河北衡水·期中）用“■”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有，当时，都有．计算的值为（   ） A．32 B． C．16 D． 【变式2】（25-26七年级上·四川泸州·期中）对任意的四个有理数a，b，c，，定义运算，则的相反数是______． 【变式3】（24-25七年级上·安徽亳州·期中）对于有理数定义运算，求的值． 【题型7】运用型新定义运算 【例题7】（25-26七年级上·福建漳州·期中）小明同学在学习完第一章有理数后，对运算产生了浓厚的兴趣，在有理数的范围内定义了一种新运算“”，并写出了一些按照新定义的运算规则进行计算的算式： ； ； ； ； …… （1）请你写出小明同学定义的的运算规则；（用含，的式子表示） （2）计算：； （3）有理数的加法和乘法均满足交换律，请你判断满足交换律吗？请举例验证．（写出一个例子即可） 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期中）定义一个运算：，其中．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：，且，则的值为______． 【变式3】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义运算：如果，记为，如，则；，则． （1）根据定义，填空：________；________． （2）若有如下运算性质：，根据运算性质填空： 若，则________；________． （3）表中与数对应的有且只有两个是错误的，请找出错误，说明理由并改正． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分） 1．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，乐乐将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 2．（24-25七年级上·浙江台州·期中）下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义一种对正整数的“F”运算：①当n为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）.两种运算交替重复进行，例如，取，则第1次“”运算为，第2次“”运算为，第3次“”运算为…若，则第2021次“”运算的结果为（    ） A．1 B．4 C．2021 D． （2） 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 5．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）定义新运算“◇”：对于两个有理数a，b，定义，例如，那么_________． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 7．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是________． 8．（25-26七年级上·上海·期中）规定m，n两数之间的一种运算，记作，如果，那么．则______． 9．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）计算：_______． （3） 解答题（本大题共8小题，共64分） 10．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）现定义某种新运算：对任意两个有理数、，有．如：，． （1）计算：； （2）计算：． 11．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）有理数的加减运算： （1） （2） 12．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）利用简便方法计算： （1）； （2）． 13．（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： （1）； （2）． 14．（25-26七年级下·河北石家庄·开学考试）计算 （1）； （2） 15．（26-27六年级·上海·小升初衔接）计算： （1）； （2）． 16．（25-26七年级上·全国·寒假作业）（1）； （2）； （3）已知，求的值． 17．（25-26七年级上·海南海口·期末）计算 （1）； （2）； （3）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $