专题03 丰富的图形世界章末易错与压轴题型专训（9易错5压轴）-2026-2027学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

**基本信息** 聚焦立体图形与平面图形转化，通过9类易错点+5类压轴题构建空间观念，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |组合几何体构成|3题|小正方体组合体表面积/体积计算|从具体组合体到空间构成分析| |立体图形分类|3题|按形状/面/顶点分类|概念辨析与分类标准建立| |点线面体关系|3题|生活现象抽象（如灯笼折叠）|面动成体等几何原理应用| |平面图形旋转|3题|旋转形成几何体判断|平面到立体的转化推理| |三视图|3题|视图判断与小立方块个数|空间几何体的平面表示| |展开图|3题|展开图与几何体对应|立体与平面的互化| |正方体相对面|3题|展开图中数字/字母对应|空间位置关系推理| |七巧板拼图|3题|面积计算与图案拼合|平面图形的组合应用| |截几何体|3题|截面形状判断|平面截立体的几何直观| |压轴题|5类|展开图还原/截面分类/三视图综合等|多知识点综合应用与逻辑推理|

专题03 丰富的图形世界章末易错与压轴题型专训（9易错5压轴） 【易错必刷一 组合几何体的构成】 1．（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（    ） A．33平方分米 B．24平方分米 C．21平方分米 D．42平方分米 2．（25-26七年级上·山东泰安·期中）在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为______． 3．（26-27七年级上·北京·随堂练习）如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的． 【易错必刷二 立体图形的分类】 4．（2026·四川自贡·一模）下面四个立体图形中，和其他三个立体图形不同类型的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．（24-25七年级上·全国·课前预习）常见几何体的分类： （1）按形状 （2）按围成几何体的面 （3）按有无顶点 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）(1)下面这些基本图形和你很熟悉，试写出它们的名称； (2)将这些几何体分类，并写出分类的理由． 【易错必刷三 点、线、面、体四者之间的关系】 7．（24-25七年级上·河南郑州·期中）在中国传统文化中，折叠灯笼是一种既美观又富有创意的手工艺品．当它折叠起来时看起来是平面的，当被提起来后又变成了如图所示的圆柱形的灯笼，这种现象说明的数学道理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 8．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不觉》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为______． 9．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图中圆柱的底面周长是cm，高是dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需cm）    【易错必刷四 平面图形旋转后所得的立体图形】 10．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）下列图形绕虚线旋转一周，能形成如图所示立体图形的是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·广东云浮·期末）如图，直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是__________，这其中蕴含的数学事实是__________．    12．（25-26七年级上·山东滨州·期末）请把下图中的平面图形与其绕所画直线旋转一周之后形成的立体图形用线连接起来． 【易错必刷五 从不同方向看几何体】 13．（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列几何体中，从前面看是矩形的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图是由若干个小正方体木块搭建成的几何体从正面和上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是_____个． 15．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）用5个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，其从正面看到的形状如图，请画出这个几何体从左面和从上面看到的形状图． 【易错必刷六 几何体展开图的认识】 16．（25-26七年级上·江苏·期末）把图中的纸片分别沿虚线折叠成一个几何体，则这个几何体的名称是（    ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 17．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是某几何体的平面展开图，该几何体是______． 18．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）有一种牛奶包装盒如图所示．为了生产这种包装盒．    (1)你能画出牛奶盒的侧面展开图吗？ (2)求牛奶盒的侧面积和表面积． 【易错必刷七 正方体相对两面上的字】 19．（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～11，折叠成正方体后，与数字6重合的数字是（   ） A．8，10 B．7，9 C．2，7 D．4，8 20．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图是一个长方体的表面展开图（图中字母在外表面上），如果从正面看是面，从左面看是面，那么从上面看是面___________．（填字母） 21．（25-26七年级上·福建泉州·期末）下图是一个正方体纸盒的展开图，请把－22，12，22，－2，－12，2分别填入六个正方形中，使得折成正方体后相对面上的两数互为相反数 【易错必刷八 用七巧板拼图形】 22．（25-26七年级下·河南郑州·期末）今年是牛年，在班级“牛年拼牛画”的活动中，小刚同学用一个边长为8cm的正方形做成的七巧板（如图1）拼成了一头牛的图案（如图2），则牛头部所占的面积为（    ） A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．20 cm2 23．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）如图是用一副七巧板拼成的正方形，边长是10cm．图中小正方形（涂色部分）的面积是_____． 24．（25-26七年级上·河北·期末）请用七巧板图，拼成图的图案．（提示：先在图中用1、2、3、4、5、6、7等七个数字标明七巧板的七个部分，再在图中标出这七个部分的位置．） 【易错必刷九 截一个几何体】 25．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）用一个平面去截如图所示的4个几何体，能得到长方形截面的几何体有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（假期作业3截一个几何体）写出如图所示的四个几何体的截面的形状： （1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 27．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）分别指出图中几何体截面形状的标号． (1) (2) 【压轴经典例题一 正方体展开图带图案还原】 1．（2025七年级下·四川成都·专题练习）下面是一个正方体，有三个面上绘有图案．请在它右边的展开图上画出缺少的图案． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？ （1）    A．     B.     C.     D. （2）    A．     B.     C.     D. 3．（26-27七年级上·全国·课前预习）折一折，连一连． 4．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整． (2)如果正方体纸盒的棱长是4分米，求涂色部分的面积． 5．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践： 小明在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，他在家用剪刀剪开 了一个长方体纸盒（图3），可是他一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分． 请你根据所学的知识，回答以下问题： (1)【观察判断】小明一共剪开了 条棱； (2)【动手操作】现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成 一个长方体纸盒（图3），一共有 种不同的还原方法，请你帮助小明在图1中补全其中一种图形， 并求出图3纸盒的体积； (3)【解决问题】小明爷爷的生日即将到来，小明给爷爷准备了4份小礼物，分别放进了4个这样的长方体纸盒．现在小明打算用一张包装纸把4个纸盒包装在一起作为一个大礼物送给爷爷，请你说出这4个纸盒应该如何摆放才能使得包装纸材料最少，并计算出最少需要多少包装纸材料？(忽略重合粘贴部分) 【压轴经典例题二 截面形状分类讨论问题】 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列几何体的截面分别是什么形状？ 7．（25-26七年级上·河南郑州·期中）（1）把图中各几何体的截面形状填在横线上；      图①的截面形状是 ，图②的截面形状是 ， 图③的截面形状是 ，图④的截面形状是 ， 图⑤的截面形状是 ，图⑥的截面形状是 ． （2）结合上图中图⑤、图⑥，想一想，如果用一个平面截一个正方体，截面的形状还可能是几边形？ 8．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）将一个长方体展开后如图所示，已知E、B两个面的面积之和是，且F面是一个长为5cm，宽为2cm的长方形．    (1)求这个长方体的表面积； (2)若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是什么？（写出两个即可） 9．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）如图1，一个五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都是． (1)这个五棱柱共多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？ (2)如图2，图3，用一个平面去截该五棱柱，分别写出图2，图3中截面的形状．用任意一个平面去截五棱柱，写出一个你认为截面不可能出现的平面图形． 10．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）综合与实践 (1)如图1是一个粮仓，是由一个圆柱和圆锥组成． ①用一个平面去截图1，截面可能是 ；（写出一个即可） ②图1可以用 中的图形绕虚线旋转一周得到． (2)一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图2所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【压轴经典例题三 三视图综合问题】 11．（25-26七年级上·河南焦作·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 12．（24-25七年级上·广东茂名·期末）如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 13．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图，是由6个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，①添加小正方体的方法共有________种； ②请画出各种添加小正方体后，从上面看到的几何体的形状图． 14．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）完成下面两个小题． (1)下面物体从正面看到的分别是什么形状?连一连． (2)下面的立体图形是用5个小正方体搭成的，分别画出从正面，左面和上面看到的形状． 15．（25-26七年级上·广东清远·阶段检测）某物体的三视图如图： (1)此物体是什么几何体； (2)求此物体的侧面积； (3)求此物体的体积． 【压轴经典例题四 几何体中的点、棱、面问题】 16．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是几棱柱？ (2)它有多少个面？多少个顶点？ (3)求这个棱柱的所有侧面的面积之和． 17．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图是一个圆柱纵向切开后的图形， (1)图中有几个面？有几个平面和曲面？ (2)图中有几条线，他们是直线还是曲线？ (3)图中线与线之间一共有多少交点？ 18．（假期作业23立体图形与平面图形）观察下列几何体，并把下表补充完整． 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 观察上表中的结果，写出之间的关系式． 19．（25-26六年级下·全国·假期作业）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 20．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知新长方体的长、宽、高分别为1，1，2．第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2，这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为． 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： (1)如图④，长方体的长、宽、高分别为2，3，1，请计算这个长方体的表面积． (2)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (3)取四个长、宽、高分别为2，3，的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，求的取值范围． 【压轴经典例题五 正方体展开图找相对面】 21．（25-26七年级上·陕西·期末）小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖．请你把它补上，使其成为一个有盖的正方体盒子．请你任意画出一种成功的设计图，并将这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0． 22．（25-26六年级下·全国·假期作业）将数字，，，8，9，11写在每一枚骰子的6个面上，做成6枚完全相同的骰子，将它们叠放成如图所示的A，B两个柱体，柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？ 23．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图是一个立体图形的展开图． (1)该立体图形的名称是________． (2)若将展开图折叠成立体图形后，相对两个面上的数互为相反数，求的值． 24．（25-26七年级上·重庆·期中）如图所示，图1为一个棱长为3的正方体，图2为图1的表面展开图（每个面表示的数字写在外表面上），请根据要求回答问题： (1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x=　 　，y=　 　； (2)如果面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是 　 　（填0或或x或y）； (3)图1中，点P为所在棱的中点，在图2中找到点P的位置，并直接写出图2中的面积． 25．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）【问题背景】 七（2）班综合实践小组开展废纸再利用的环保小卫士活动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图①中的______（填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 （2）图②是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“保”字相对面的文字是“______”． 【实践操作】 （3）如图③，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图③中画出示意图，并用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求折成的无盖纸盒的容积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 丰富的图形世界章末易错与压轴题型专训（9易错5压轴） 【易错必刷一 组合几何体的构成】 1．（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（    ） A．33平方分米 B．24平方分米 C．21平方分米 D．42平方分米 【答案】A 【分析】把每一层的面积求出，相加即可得出答案． 【详解】棱长为1分米的正方体每个面的面积为1平方分米， 最上层，侧面积为4平方分米，上表面积为1平方分米， 总面积为（平方分米）， 中间一层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米）， 总面积为（平方分米）， 最下层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米）， 总面积为（平方分米）， （平方分米）， 被涂上颜色的部分面积为33平方分米． 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的表面积，分别把每层的面积求出来是解题的关键． 2．（25-26七年级上·山东泰安·期中）在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为______． 【答案】10 【分析】本题考查由小正方体堆砌的几何体的体积，用小正方体的体积乘以个数即可得出结果． 【详解】解：由图可知，第1层有1个，第二层有3个，第三层有6个，共10个小正方体， ∴此几何体的体积为； 故答案为：10． 3．（26-27七年级上·北京·随堂练习）如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的． 【答案】见解析． 【分析】根据生活中常见的几何体的特征进行求解即可得到答案． 【详解】解：图①是由底面完全重合的圆锥和圆柱组合而成的； 图②是由底面完全重合的两个圆锥组合而成的； 图③是由完全相同的四个正方体组合而成的． 【点睛】本题主要考查了立体图形中的几何体，解题的关键在于能够熟练掌握常见的几何体的特征． 【易错必刷二 立体图形的分类】 4．（2026·四川自贡·一模）下面四个立体图形中，和其他三个立体图形不同类型的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形．根据棱锥，棱柱的特征，逐项判断，即可求解． 【详解】解：B是棱锥，A，C，D是棱柱． 所以和其他三个立体图形不同类型的是B． 故选：B 5．（24-25七年级上·全国·课前预习）常见几何体的分类： （1）按形状 （2）按围成几何体的面 （3）按有无顶点 【答案】①柱体②锥体 【分析】立体几何按形状分类可分为：柱体、锥体和球体，根据立体图形的特征分类即可． 【详解】解：按形状分类，圆柱和棱锥属于柱体，圆锥和棱锥属于锥体， 故答案为：柱体；锥体． 【点睛】本题考查立体几何图形的分类，熟练掌握分类方法和图形的特征是解题的关键． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）(1)下面这些基本图形和你很熟悉，试写出它们的名称； (2)将这些几何体分类，并写出分类的理由． 【答案】(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱． (2)按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体 【分析】(1)针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可； (2)按柱体、锥体、球体进行分类即可． 【详解】解：(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱． (2)观察图形，按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体． 【点睛】本题考查了立体图形的认识和几何体的分类，熟记立体图形的特征是解决本题的关键． 【易错必刷三 点、线、面、体四者之间的关系】 7．（24-25七年级上·河南郑州·期中）在中国传统文化中，折叠灯笼是一种既美观又富有创意的手工艺品．当它折叠起来时看起来是平面的，当被提起来后又变成了如图所示的圆柱形的灯笼，这种现象说明的数学道理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体的相关知识．熟练掌握由平面图形变成立体图形的过程是面动成体是解题的关键． 根据由平面图形变成立体图形的过程是面动成体判断作答即可． 【详解】解：由题意知，这种现象说明的数学道理是面动成体， 故选：C． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）“鸣语既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不觉》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇漾如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为______． 【答案】点动成线 【分析】本题考查了点、线、面、体四者之间的关系，根据点线之间的关系即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：数学语言解释这一现象为点动成线， 故答案为：点动成线． 9．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图中圆柱的底面周长是cm，高是dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需cm）    【答案】647厘米 【分析】所需包装绳的长度等于4条高，4条直径，再加上接头处用的cm即可． 【详解】解： 底面直径：（厘米） （厘米） 答：至少需要647厘米的包装绳． 【点睛】本题考查圆柱体知识的实际应用．弄清楚所需包装绳长度的组成是解题关键． 【易错必刷四 平面图形旋转后所得的立体图形】 10．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）下列图形绕虚线旋转一周，能形成如图所示立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查基本图形的旋转，熟练掌握旋转的定义是关键．根据基本图形旋转的性质和相关知识，结合题意解答即可． 【详解】解：A. 旋转后得到的形状为锥体，不符合题意； B. 旋转后得到的形状为球体，不符合题意； C. 旋转后得到的形状为圆台，符合题意； D. 旋转后得到的形状为圆柱，不符合题意． 故选：C． 11．（25-26七年级上·广东云浮·期末）如图，直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是__________，这其中蕴含的数学事实是__________．    【答案】 圆锥 面动成体 【分析】根据直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆锥，以及面、体之间的关系进行作答即可． 【详解】解：由题意知，直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆锥，这其中蕴含的数学事实是面动成体， 故答案为：圆锥，面动成体． 【点睛】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，面、体之间的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 12．（25-26七年级上·山东滨州·期末）请把下图中的平面图形与其绕所画直线旋转一周之后形成的立体图形用线连接起来． 【答案】 解：如图所示： 【分析】本题考查了点线面体，熟记各种图形旋转得出的立体图形是解题关键．直角三角形绕直角边旋转一周得到的立体图形是圆锥，长方形绕一边旋转一周得到的立体图形是圆柱，直角梯形绕如图所示的一边旋转一周得到的立体图形是圆台，半圆绕直径旋转一周得到的立体图形是球． 【详解】略 【易错必刷五 从不同方向看几何体】 13．（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列几何体中，从前面看是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，常见的几何体等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先逐一从前面看四个图形，根据看到的结果作出判断． 【详解】 解：从前面看是圆， 故A不符合； 从前面看是梯形， 故B不符合； 从前面看是矩形， 故C符合； 从前面看是三角形， 故D不符合； 故选：C． 14．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图是由若干个小正方体木块搭建成的几何体从正面和上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是_____个． 【答案】11 【分析】本题考查从不同方向看几何体，从上面看确定位置，从正面看确定个数进行判断即可． 【详解】解：如图 最多有个小立方体； 故答案为：11． 15．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）用5个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，其从正面看到的形状如图，请画出这个几何体从左面和从上面看到的形状图． 【答案】 解：如下图所示，即为所求． 【分析】此题主要考查了从不同方向看立体图，分别根据几何体图画出这个几何体从左面和从上面看到的形状图即可． 【详解】略 【易错必刷六 几何体展开图的认识】 16．（25-26七年级上·江苏·期末）把图中的纸片分别沿虚线折叠成一个几何体，则这个几何体的名称是（    ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体的展开图，根据展开图得到几何体是解题的关键． 根据展开图得到几何体即可． 【详解】解：根据展开图可知，该几何体为三棱柱， 故选：C． 17．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是某几何体的平面展开图，该几何体是______． 【答案】六棱柱 【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有8个面，两个六边形的底面，6个长方形的侧面， 因此该几何体是六棱柱． 故答案为：六棱柱． 18．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）有一种牛奶包装盒如图所示．为了生产这种包装盒．    (1)你能画出牛奶盒的侧面展开图吗？ (2)求牛奶盒的侧面积和表面积． 【答案】(1) 解：如图所示 ：    (2)牛奶盒的侧面积为，表面积为 【分析】（1）根据标注数据即可作图； （2）根据侧面展开图即可计算侧面积，表面积侧面积上下底面面积． 【详解】（1）略 （2）解：牛奶盒的侧面积为： 牛奶盒的表面积为： 【点睛】本题考查长方体的展开图，以及侧面积和表面积的求解．掌握相关结论是解题关键． 【易错必刷七 正方体相对两面上的字】 19．（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图是正方体的平面展开图，在顶点处标有自然数1～11，折叠成正方体后，与数字6重合的数字是（   ） A．8，10 B．7，9 C．2，7 D．4，8 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的平面展开图，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据正方体的平面展开图解题即可 【详解】解：观察题图可知，折叠后与数字6重合的数字是2，7． 故选：C． 20．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图是一个长方体的表面展开图（图中字母在外表面上），如果从正面看是面，从左面看是面，那么从上面看是面___________．（填字母） 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．根据左侧面是，前面是，则可得出其他面的字母，从而可得上面的字母． 【详解】解：由题意知，左侧面是，前面是， 则底面是，后面是，右侧面是，上面是， 故答案为：． 21．（25-26七年级上·福建泉州·期末）下图是一个正方体纸盒的展开图，请把－22，12，22，－2，－12，2分别填入六个正方形中，使得折成正方体后相对面上的两数互为相反数 【答案】答案见解析． 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握根据正方体的表面展开图确定相对面的方法是解本题的关键． 【易错必刷八 用七巧板拼图形】 22．（25-26七年级下·河南郑州·期末）今年是牛年，在班级“牛年拼牛画”的活动中，小刚同学用一个边长为8cm的正方形做成的七巧板（如图1）拼成了一头牛的图案（如图2），则牛头部所占的面积为（    ） A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．20 cm2 【答案】C 【分析】由图1的正方形的边长为8cm，可求正方形的面积，再根据牛头所占面积为正方形面积的可得答案． 【详解】解：∵图1的正方形的边长为8cm， ∴正方形的面积是64cm2， 由牛的拼法可知，牛的头部占正方形的， ∴牛头部所占的面积是64×=16cm2， 故选：C． 【点睛】本题是一道趣味性探索题，结合我国传统玩具七巧板，用七巧板来拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力． 23．（25-26七年级上·湖北黄石·期末）如图是用一副七巧板拼成的正方形，边长是10cm．图中小正方形（涂色部分）的面积是_____． 【答案】12.5 【分析】如图，将正方形分成4个大三角形，再将右面的三角形分成4个小三角形，阴影部分占2个小三角形，所以占右下大三角形的一半，它的面积就用正方形的面积除以4再除以2求得． 【详解】解：正方形的面积为10×10=100（） ∴100÷4÷2=12.5（） ∴涂色正方形的面积是12.5． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查了七巧板，利用了正方形的性质和等腰直角三角形的性质．解答本题的关键是把阴影部分的面积转化为正方形面积的几分之几． 24．（25-26七年级上·河北·期末）请用七巧板图，拼成图的图案．（提示：先在图中用1、2、3、4、5、6、7等七个数字标明七巧板的七个部分，再在图中标出这七个部分的位置．） 【答案】 所拼图案，如图-2所示： 【分析】本题考查了七巧板拼图．根据题意拼出图形即可． 【详解】略 【易错必刷九 截一个几何体】 25．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）用一个平面去截如图所示的4个几何体，能得到长方形截面的几何体有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了截面的相关知识，熟练掌握截面的分类是解题的关键． 根据截面的相关知识解答即可． 【详解】解：圆柱，三棱柱，长方体能截出长方形截面，球体不能截出长方形截面，故能截出长方形截面的，有3个． 故选：C 26．（假期作业3截一个几何体）写出如图所示的四个几何体的截面的形状： （1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 【答案】 圆 长方形 六边形 三角形 【分析】本题考查了截一个几何体，目的是培养学生的空间想象能力和动手操作能力．根据截面的方式解答即可． 【详解】解：（1）由图可知，截面是圆； （2）由图可知，截面是长方形； （3）由图可知，截面是六边形； （4）由图可知，截面是三角形； 故答案为：（1）圆；（2）长方形；（3）六边形；（4）三角形． 27．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）分别指出图中几何体截面形状的标号． (1) (2) 【答案】(1)B (2)C 【分析】本题考查截一个几何体，正确判断出截面形状是解题关键． （1）图中截面形状是长方形，据此即可解答； （2）图中截面形状是圆形，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：图中截面形状是长方形，故选B． （2）解：由题意可知：图中截面形状是圆形，故选C． 【压轴经典例题一 正方体展开图带图案还原】 1．（2025七年级下·四川成都·专题练习）下面是一个正方体，有三个面上绘有图案．请在它右边的展开图上画出缺少的图案． 【答案】 如图展开： 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．利用正方体及其表面展开图的特点进行解答即可． 【详解】略 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？ （1）    A．     B.     C.     D. （2）    A．     B.     C.     D. 【答案】（1）D；（2）C 【分析】根据正方体三个面上的图案特征以及位置分析，进而可得展开图． 【详解】（1）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为D选项； （2）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为C选项 【点睛】本题考查了含图案的正方体的表面展开图，找到图案的特征与位置对应关系是解题的关键． 3．（26-27七年级上·全国·课前预习）折一折，连一连． 【答案】第一行各图分别对应于第二行（3）（2）（1）． 【分析】将正方体的展开图进行折叠，然后与下面的正方体进行比对，图案位置符合即是对应的正方体． 【详解】解：由题意得： 【点睛】此题考查了正方体的平面展开图，解题的关键是根据平面展开图确定立体图形． 4．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）图1是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色． (1)图2是该纸盒的展开图，请将涂色部分在图2中补充完整． (2)如果正方体纸盒的棱长是4分米，求涂色部分的面积． 【答案】(1) 如图所示： (2)48 【分析】此题考查了几何体的展开图，掌握立体和平面的关系及矩形的面积公式是解题的关键， （1）根据几何体的展开图求解； （2）根据矩形的面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）（平方分米）． 5．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践： 小明在学习了《从立体图形到平面图形》后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，他在家用剪刀剪开 了一个长方体纸盒（图3），可是他一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了如图1、图2所示两部分． 请你根据所学的知识，回答以下问题： (1)【观察判断】小明一共剪开了 条棱； (2)【动手操作】现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成 一个长方体纸盒（图3），一共有 种不同的还原方法，请你帮助小明在图1中补全其中一种图形， 并求出图3纸盒的体积； (3)【解决问题】小明爷爷的生日即将到来，小明给爷爷准备了4份小礼物，分别放进了4个这样的长方体纸盒．现在小明打算用一张包装纸把4个纸盒包装在一起作为一个大礼物送给爷爷，请你说出这4个纸盒应该如何摆放才能使得包装纸材料最少，并计算出最少需要多少包装纸材料？(忽略重合粘贴部分) 【答案】(1)8 (2)4； (3)摆放，最少 【分析】本题主要考查了几何展开图． （1）根据图形回答即可； （2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况； （3）根据题意得，装4个这样的长方体纸盒，重叠在一起面越多，表面积越小，且尽量使得的面重叠在一起，包装纸所用材料就尽可能少，即可． 【详解】（1）解：小明一共剪开了条棱； 故答案为：8 （2）解：如图，在图1中补全图形，如下： 一共有4种不同的还原方法， 图3纸盒的体积为； （3）解∶因为长方体的高为，宽为，长为， 所以装4个这样的长方体纸盒，重叠在一起面越多，表面积越小，且尽量使得的面重叠在一起，包装纸所用材料就尽可能少， 如图，叠放即可， 此时纸盒的表面积为∶． 【压轴经典例题二 截面形状分类讨论问题】 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列几何体的截面分别是什么形状？ 【答案】长方形，三角形，圆，五边形，长方形 【分析】本题考查了一个几何体的截面问题．理解截面的定义，通过观察平面与几何体的相交情况，准确识别截面的形状，需熟悉常见几何体（如正方体、圆锥、棱柱、圆柱等）不同截取方式下的截面特征是解题的关键．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．当截面的角度和方向不同时，截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形．据此求解即可． 【详解】解：由图可知： 各个几何体的截面的形状分别为长方形，三角形，圆，五边形，长方形． 7．（25-26七年级上·河南郑州·期中）（1）把图中各几何体的截面形状填在横线上；      图①的截面形状是 ，图②的截面形状是 ， 图③的截面形状是 ，图④的截面形状是 ， 图⑤的截面形状是 ，图⑥的截面形状是 ． （2）结合上图中图⑤、图⑥，想一想，如果用一个平面截一个正方体，截面的形状还可能是几边形？ 【答案】（1）圆，长方形，三角形，圆，长方形，三角形；（）五边形，六边形 【分析】此题考查判断几何体的名称以及截面形状． （1）首先观察图形，先判断出各个几何体的名称，然后根据平面截几何体的方向和角度，判断出截面的形状； （）正方体共有六个面，故用平面截一个正方体时，最多与六个面都相交，此时截面为六边形，最少与三个面相交，此时为三角形，因此，截面图形的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形． 【详解】解：（1）图①的截面形状是圆，图②的截面形状是长方形， 图③的截面形状是三角形，图④的截面形状是圆， 图⑤的截面形状是长方形，图⑥的截面形状是三角形． 故答案为：圆，长方形，三角形，圆，长方形，三角形； （2）正方体共有六个面，故用平面截一个正方体时，最多与六个面都相交，此时截面为六边形，最少与三个面相交，此时为三角形，因此，截面图形的形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形． ∴如果用一个平面截一个正方体，截面的形状还可能是五边形、六边形． 8．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）将一个长方体展开后如图所示，已知E、B两个面的面积之和是，且F面是一个长为5cm，宽为2cm的长方形．    (1)求这个长方体的表面积； (2)若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是什么？（写出两个即可） 【答案】(1) (2)三角形、长方形（答案不唯一） 【分析】本题主要考查长方体的性质，长方体展开图的表面积以及长长方体的截面． （1）根据长方体的性质得对应面的面积相等解题即可． （2）用一个平面去截长方体，所得到的截面形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形． 【详解】（1）解：由题意可知：E与C对应，B与D对应，A与F对应， 所以C、D两个面的面积之和是， A的面积的面积， 所以这个长方体的表面积为：． （2）三角形、长方形．（答案不唯一） 9．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）如图1，一个五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都是． (1)这个五棱柱共多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？ (2)如图2，图3，用一个平面去截该五棱柱，分别写出图2，图3中截面的形状．用任意一个平面去截五棱柱，写出一个你认为截面不可能出现的平面图形． 【答案】(1)7个面：2个五边形底面和5个矩形侧面，底面形状相同，侧面形状相同 (2)图2中截面的形状为三角形，图3中截面的形状为五边形；；不可能出现圆形截面 【分析】本题考查了棱柱的特征，包含面的数量，形状以及截面相关知识，解决本题的关键是熟练掌握棱柱的特征． （1）此五棱柱是由上下2个底面以及5个矩形侧面组成，由此求解即可； （2）根据图示的截面求解即可． 【详解】（1）解：这个五棱柱共7个面， 包括2个五边形底面和5个矩形侧面， 其中2个五边形底面形状、面积完全相同， 5个矩形侧面形状、面积完全相同； （2）解：图2中截面的形状为三角形，图3中截面的形状为五边形； 用任意一个平面去截五棱柱，不可能出现圆形截面． 10．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）综合与实践 (1)如图1是一个粮仓，是由一个圆柱和圆锥组成． ①用一个平面去截图1，截面可能是 ；（写出一个即可） ②图1可以用 中的图形绕虚线旋转一周得到． (2)一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图2所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】(1)①圆（答案不唯一，合理即可）； ②C (2) 如图： 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，从不同方向看几何体． （1）①根据截面的方向，结合立体图形的特点分析即可；②根据选项一一判断即可． （2）从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为1，3，2；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此画出图形即可． 【详解】（1）解：①当截面平行于底面时，截面是圆． 故答案为：圆（答案不唯一，合理即可）． ②A、此选项的图形旋转一周所得的图形中间是圆柱，两端是圆锥，不符合题意； B、此选项的图形旋转一周所得的图形为圆台，不符合题意； C、此选项的图形旋转一周所得的图形即为题干所示立体图形，符合题意； D、此选项的图形旋转一周所得的图形是两个圆锥，不符合题意； 故选：C． （2）略 【压轴经典例题三 三视图综合问题】 11．（25-26七年级上·河南焦作·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 【分析】根据从上面看组合体得到的形状图及相应数字可以想象该组合体的空间立体结构，进而得到从正面看与从左面看的形状图． 【详解】略 12．（24-25七年级上·广东茂名·期末）如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】(1) (2)如图， 【分析】（1）分层数出几何体每层小立方块数量，相加得到总个数． （2）分别从正面、上面、左面观察几何体，确定每一行每一列正方形的分布，画出对应形状图． 【详解】（1）解：由图可得底层：4个，第二层：1个； 故构成这个几何体的小立方块的个数为：（个）； （2）略 13．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）如图，是由6个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，①添加小正方体的方法共有________种； ②请画出各种添加小正方体后，从上面看到的几何体的形状图． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)①2；② 【分析】（1）根据从三个方向看到的图形形状进行画图即可； （2）①根据图形形状进行解答即可； ②根据添加情况画图即可． 【详解】（1）略 （2）解：①可以从前排左一或左三处再摆放一个相同的小正方体，能保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，故添加小正方体的方法共有2种； ②略 14．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）完成下面两个小题． (1)下面物体从正面看到的分别是什么形状?连一连． (2)下面的立体图形是用5个小正方体搭成的，分别画出从正面，左面和上面看到的形状． 【答案】(1) 如图： (2) 如图： 【分析】本题考查了从不同方向看几何体. （1）根据从正面看到形状连线即可； （2）根据从不同方向看到形状作图即可. 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26七年级上·广东清远·阶段检测）某物体的三视图如图： (1)此物体是什么几何体； (2)求此物体的侧面积； (3)求此物体的体积． 【答案】(1)圆柱 (2) (3) 【分析】本题考查了从不同角度看几何体，圆柱的全面积的计算． （1）根据从不同方向看到的图形，判断几何体； （2）根据从左面看到的图形，判断几何体； （3）根据图形的尺寸计算体积即可． 【详解】（1）解：根据从不同方向看到的图形，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为圆柱； （2）解：该几何体的侧面积为； （3）解：该几何体的体积为． 【压轴经典例题四 几何体中的点、棱、面问题】 16．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是几棱柱？ (2)它有多少个面？多少个顶点？ (3)求这个棱柱的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)七棱柱 (2)有9个面，14个顶点 (3) 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）由棱柱有 条棱求解可得； （2）由棱柱有个顶点，有个面求解可得； （3）将侧面长方形的底面周长乘以长方形的宽可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以这个直棱柱是七棱柱． （2）解：因为这个直棱柱是七棱柱，所以它有9个面，14个顶点． （3）解：所有侧面的面积之和为． 答：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 17．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图是一个圆柱纵向切开后的图形， (1)图中有几个面？有几个平面和曲面？ (2)图中有几条线，他们是直线还是曲线？ (3)图中线与线之间一共有多少交点？ 【答案】(1)图中有个面，有个平面，个曲面 (2)图中有条线，它们是条直线，条曲线 (3)图中线与线之间一共有个交点 【分析】本题主要考查了几何体中的点、棱、面，熟练掌握几何体的定义和基本特征是解题的关键． （1）根据平面和曲面的定义即可求解； （2）根据直线和曲线的定义即可求解； （3）找到图中线与线之间的交点个数即可求解． 【详解】（1）解：根据平面和曲面的定义可以看出： 图中有个面，有个平面，个曲面， 答：图中有个面，有个平面，个曲面； （2）解：根据直线和曲线的定义可以看出： 图中有条线，它们是条直线，条曲线， 答：图中有条线，它们是条直线，条曲线； （3）解：从图中可以看出： 图中线与线之间一共有个交点， 答：图中线与线之间一共有个交点． 18．（假期作业23立体图形与平面图形）观察下列几何体，并把下表补充完整． 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 观察上表中的结果，写出之间的关系式． 【答案】8，  15，  18，  6，  7；关系式为 【分析】此题考查了棱柱中顶点数、棱数、面数的关系． 探索出n棱柱中顶点数、棱数、面数之间的关系（即欧拉公式）结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与n棱柱的关系，可知n棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出答案， 利用前面的规律得出a，b，c之间的关系． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，个顶点和条棱； 故a，b，c之间的关系：． 19．（25-26六年级下·全国·假期作业）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)所填数据如表所示： 正方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 (2) (3)100 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）中根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可； （2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）因为， 所以． （3）由，得，所以，所以这个多面体的面数为100． 20．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知新长方体的长、宽、高分别为1，1，2．第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2，这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为． 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： (1)如图④，长方体的长、宽、高分别为2，3，1，请计算这个长方体的表面积． (2)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (3)取四个长、宽、高分别为2，3，的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，求的取值范围． 【答案】(1)22 (2)52 (3) 【分析】本题考查长方体的表面积公式，考查学生审题能力，空间想象能力，理解题意是解题的关键． （1）根据表面积公式计算即可； （2）根据题意得出重叠后新的长方体的长是4，宽是3，高是2，表面积最小，求解即可； （3）据图形得，小长方体的3个不同的面的面积分别为：，重叠的图形的四个面的面积分别为：，，然后得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：表面积为：； （2）解：要使长方体的表面积最小，使得面积最大的面重叠即可， ∴重叠后新的长方体的长是4，宽是3，高是2， 此时最小的表面积为：； （3）根据图形得，小长方体的3个不同的面的面积分别为：， ∵使得新长方体表面积最小， ∴重叠的四个面的面积要最大， 由图得：重叠的图形的四个面的面积分别为：，， ∴是最小的一个面， ∴， ∴， ∴． 【压轴经典例题五 正方体展开图找相对面】 21．（25-26七年级上·陕西·期末）小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖．请你把它补上，使其成为一个有盖的正方体盒子．请你任意画出一种成功的设计图，并将这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0． 【答案】 如图（答案不唯一）： 【分析】本题考查了正方体展开图的知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正方体展开图的特征，通过分析图形可知，要使其成为有盖的正方体盒子，共有种补法；根据正方体相对面上的两个数相加得0，把数字填上即可． 【详解】解：根据正方体展开图特点，可设计为： ，将这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0， 可将和，和，和分别填 在相对的面上，图略． 22．（25-26六年级下·全国·假期作业）将数字，，，8，9，11写在每一枚骰子的6个面上，做成6枚完全相同的骰子，将它们叠放成如图所示的A，B两个柱体，柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是多少？ 【答案】柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是36，31 【分析】本题考查了立体图形，关键在于熟练掌握立体图形的特征．根据题意，与相邻的数字有：，，8，9，所以与11相对；与相邻的数字有，，8，11，所以与9相对，则与8相对；柱体A、B每个表面的数字可得，相加求和即可． 【详解】解：根据题意得，与11相对，与9相对，与8相对， 柱体A后面的3个数字分别是：11、11、；左面的3个数字分别是8、、； 柱体B后面的3个数字分别是：、、；左面的3个数字分别是、9、9； 因此，柱体A的表面（不含底面）点数之和为， 柱体B的表面（不含底面）点数之和为， 答：柱体A，B的表面（不含底面）点数之和分别是36，31． 23．（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图是一个立体图形的展开图． (1)该立体图形的名称是________． (2)若将展开图折叠成立体图形后，相对两个面上的数互为相反数，求的值． 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】本题考查长方体的展开图，展开图的相对面，熟练掌握长方体的展开图的相对面必定相隔一个小长方形是解题的关键： （1）观察可知，该立方体为长方体； （2）先确定相对面，再根据相反数的定义，求出的值，进而求出算式的结果即可． 【详解】（1）解：观察可知，该立方体为长方体； 故答案为：长方体； （2）解：由图可知，和1为相对面，和为相对面，和5为相对面， ∴， ∴． 24．（25-26七年级上·重庆·期中）如图所示，图1为一个棱长为3的正方体，图2为图1的表面展开图（每个面表示的数字写在外表面上），请根据要求回答问题： (1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x=　 　，y=　 　； (2)如果面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是 　 　（填0或或x或y）； (3)图1中，点P为所在棱的中点，在图2中找到点P的位置，并直接写出图2中的面积． 【答案】(1)6，2 (2) (3) 如图： 【分析】（1 ）根据两个面相隔一个面是对面，对面的和是14，可得答案； （2 ）根据临面，对面的关系，可得答案； （3）根据展开图面与面的关系，可得P的位置，根据三角形的面积公式，可得答案． 【详解】（1）如果长方体相对面上的两个数字之和相等，则， 解得：； 故答案为：6，2； （2）面“3”是上面，面“5”是后面，则右面是“”． 故答案为：； （3）． ∴的面积为：． 【点睛】本题考查了正方体的相对两个面上的文字，三角形的面积，解题的关键是掌握正方体展开图中相隔一个面的两个面互为对面，相对的面不相邻以及三角形的面积公式． 25．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）【问题背景】 七（2）班综合实践小组开展废纸再利用的环保小卫士活动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图①中的______（填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 （2）图②是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“保”字相对面的文字是“______”． 【实践操作】 （3）如图③，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图③中画出示意图，并用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求折成的无盖纸盒的容积． 【答案】（1）C；（2）卫； （3）①如图： ② 【分析】本题主要考查了展开图折叠几何体，正方体相对两面上的字，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）无盖正方体有五个面，的组合不能折叠成立方体，据此解答； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①在现有正方形四个角画出全等的四个小正方形，然后依次用虚线连接相邻两个小正方形在大正方形内的顶点； ②长方体的高即为小正方形的边长，长和宽为大正方形边长减去两个小正方形的边长，然后根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】解：（1）无盖正方体有五个面， ∴B和D不符合题意， 的组合不能折叠成立方体，∴A不符合题意； 故选：C； （2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“保”字相对的字是“卫”， 故答案为：卫； （3）① 略 ②折成的无盖纸盒的容积为： ． 学科网（北京）股份有限公司 $