专题01 正负数定义及有理数的概念重难点题型专训（3个知识点+6大题型+自我检测）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

本讲义聚焦正负数定义、相反意义的量、有理数概念及分类等核心知识点，从实际问题引入负数，建立正数负数概念，明确0的特殊性，再整合整数与分数形成有理数分类体系，构建递进式学习支架。 资料通过基础与提高分层题型设计，结合零件尺寸偏差、海拔表示等生活实例及算筹历史素材，培养抽象能力与应用意识，即时训练与自我检测助力课中教学实施，课后学生可自主巩固查漏补缺。

专题01 正负数定义及有理数的概念重难点题型专训（3个知识点+6大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、正负数的定义 1 题型二、相反意义的量 2 题型三、有理数的定义 3 题型四、0的意义 4 题型五、有理数的分类 5 题型六、正负数的实际应用 6 第二部分·练提高题型 题型一、正负数的实际应用标准偏差问题 1 题型二、有理数多重分类问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 【即时训练】 1．（24-25六年级下·黑龙江·阶段检测）下列各数中哪个是负数（   ） A．0 B．2.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数，根据负数的定义（小于0的数是负数），对各选项进行判断即可． 【详解】解：中，负数为； 故选C． 2．（24-25六年级下·黑龙江·开学考试）在、、、中，负数有___________个． 【答案】 【分析】依据负数的定义，找出所有小于的有理数，统计其数量即可． 【详解】解：在、、、中， ，，， 这三个数为负数，其余数中、、是正数，既不是正数也不是负数． 故负数有个． 知识点02 有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 【即时训练】 1．（25-26七年级上·四川广元·期中）在3.14，，0，，，…（每两个4之间依次多1个0）中，有理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的判断，解题的关键是掌握有理数是整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数，据此即可判断每个数是否属于有理数． 【详解】解：3.14是有限小数，故是有理数；是分数，是有理数；0是整数，是有理数；是无限不循环小数，不是有理数；是分数，是有理数；（每两个4之间依次多1个0）是无限不循环小数，不是有理数； ∴ 有理数有3.14、、0、，共4个， 故选：C． 2．（25-26七年级上·陕西安康·期末）请你将下面的数学概念正确、规范、工整地书写在横线上． 整数和分数统称为有理数． ______________________________________________ 【答案】整数和分数统称为有理数 【分析】本题考查了有理数的概念，熟记有理数的概念是解题关键． 【详解】解：整数和分数统称为有理数． 【基础题型一 正负数的定义】 【例1】（25-26七年级上·江西赣州·期末）下列各数中，负数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的辨认，掌握好正负数的定义是关键． 负数是指小于零的数，逐个判断选项即可． 【详解】解：负数是指小于零的数， 对于A，，不是负数，故A错误； 对于B，，是正数，故B错误； 对于C，，是正数，故C错误； 对于D，，是负数，故D正确． 故选：D． 【例2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数，，，，，，中，负数有______个． 【答案】 【分析】本题考查了正负数概念，根据负数的定义判断即可，熟知负数小于是解题的关键． 【详解】解：数，，，，，，中，负数有，，，共个， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【答案】A 【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【详解】解：∵30+0.03=30.03，30-0.02=29.98， ∴零件的直径的合格范围是：29.98mm≤零件的直径≤30.03mm． ∵29.8mm不在该范围之内， ∴不合格的是A． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． 2．（2026七年级上·江苏·专题练习）在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔为，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔，负数表示低于海平面的某地的海拔． （1）珠穆朗玛峰的海拔为，它表示的含义是 _______； （2）吐鲁番盆地的海拔为，它表示的含义是 _______． 【答案】 珠穆朗玛峰高出海平面 吐鲁番盆地低于海平面 【分析】本题主要考查正数和负数的定义，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键． （1）根据正数和负数的概念得出结论即可； （2）根据正数和负数的概念得出结论即可． 【详解】解：（1）珠穆朗玛峰的海拔为，它表示的含义是珠穆朗玛峰高出海平面， 故答案为：珠穆朗玛峰高出海平面； （2）吐鲁番盆地的海拔为，它表示的含义是吐鲁番盆地低于海平面， 故答案为：吐鲁番盆地低于海平面． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里． 【答案】5个正数：1、2、3、4、5；5个负数：-1、-2、-3、-4、-5； 【分析】根据正数和负数的定义，写出 个正数和 个负数，再按要求进行分类即可． 【详解】5个正数：1、2、3、4、5；5个负数：-1、-2、-3、-4、-5； 【点睛】本题主要考查了正数和负数的分类，熟练地掌握正数和负数的定义是解题的关键． 【基础题型二 相反意义的量】 【例1】（2026·江苏南通·二模）水文站将超过正常水位0.5米记作米，那么低于正常水位0.3米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵超过正常水位米记作米， ∴低于正常水位米记作米． 【例2】（25-26六年级上·山东济南·期末）月球表面温度白天最高，记为；则夜间最低零下，记为_____________________ 【答案】 【分析】本题考查负数的意义，熟练掌握“负数表示和正数意义相反的量”是解题的关键． 负数表示和正数意义相反的量。当零上温度记为正数时，零下温度应记为负数． 【详解】解：由于白天最高温度，记为， 则夜间最低零下，记为， 故答案为：． 1．（2026·陕西西安·三模）如果电梯向上6层记作，那么表示（    ） A．向上1层 B．向上5层 C．向下1层 D．向下5层 【答案】D 【详解】解：∵题目规定电梯向上层记作，即向上运动记为正方向， ∴负数表示向下运动，数字对应层数， 因此表示向下层． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意为：今有两数若其意义相反，则分别称为正数与负数．现有如下记分规则：85分为基准分，得分高于85分的部分记为正数（如90分记作分），某同学得分83分，则该得分应作______分． 【答案】 【分析】本题考查了对正数和负数的理解和运用，理清正数与负数所表示的意义是解答本题的关键． 根据90分记作分，进行求解判断即可． 【详解】解：， ∴应记作分， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如果节约电记作，那么浪费电记作什么？ （2）如果元表示亏本20.50元，那么元表示什么？ （3）如果表示增加，那么表示什么？ 【答案】（1）；（2）元表示盈利100.57元；（3）表示减少． 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两个量，根据正数与负数的意义即可得出． 【详解】解：（1）节约与浪费是具有相反意义的量， 若节约电记作，那么浪费电记作； （2）盈利与亏本是具有相反意义的量， 若元表示亏本20.50元，那么元表示盈利100.57元； （3）增加和减少是具有相反意义的量， 若表示增加，那么表示减少． 【点睛】本题考查了正数与负数的意义，掌握与理解正数与负数的意义是解题的关键． 【基础题型三 有理数的定义】 【例1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列各数，，0，，中，有理数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数的定义（能表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数），逐一判断每个数是否属于有理数即可． 【详解】解：，，0，，中，有理数有，，0，，共4个， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·江苏南京·期中）在数，0， ， ，，（每两个1之间依次增加一个0）中，有理数的个数是______． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数，根据整数和分数统称为有理数判断即可，熟练掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，，0，，是有理数， 所以有理数的个数是4， 故答案为：4 1．（25-26七年级上·重庆·期中）已知数3.14，，，，其中有理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的概念，根据有理数的定义（能表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数），逐一判断每个数是否为有理数． 【详解】∵ 3.14是有限小数，是有理数； ∵中含有，不是有理数； ∵是分数（无限循环小数），是有理数； ∵是整数，是有理数． ∴ 有理数有3个． 故选：C． 2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）在数，，，中，有理数的个数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的定义，熟知有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，据此判定即可． 【详解】解：有理数有：，，，因此有3个， 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）把下列各数填在相应的大括号内： 27，，，0， 正数集合： 负数集合： 整数集合： 非负数集合： 【答案】，，； ，，；，，；，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握负数，正数，非负数，以及整数的定义是解题的关键； 根据负数，正数，非正数，以及整数的定义分类即可． 【详解】解：正数集合：{，，… }； 负数集合：{ ，，… }； 整数集合：{，，… }； 非负数集合：{，，，… }． 故答案为：，，； ，，；，，；，，， 【基础题型四 0的意义】 【例1】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段检测）下面关于0的结论错误的是（   ） A．0是有理数 B．0的绝对值是它本身 C．0的倒数是0 D．0的相反数是它本身 【答案】C 【分析】本题考查了0的意义．熟练掌握0的意义是解题的关键． 根据0的意义对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，0是有理数，A正确，故不符合要求； 0的绝对值是它本身，B正确，故不符合要求； 0没有倒数，C错误，故符合要求； 0的相反数是它本身，D正确，故不符合要求； 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·全国·单元测试）下列关于“0”的说法正确的有________个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 【答案】4 【分析】本题考查了对数字0的认识，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数． 依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，零是自然数，零是偶数，从而即可根据以上内容判断求解． 【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确； 存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故答案为：4． 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正、负数的分界点，故①正确； ②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误， ③可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误； ⑤0是自然数，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤，共3个， 故选：B． 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）__________既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线． 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数的分类，属于基础知识．根据有理数的分类可求解． 【详解】解：0既不是正数，也不是负数． 故答案为：0． 3．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 【答案】 ①零既不是正数也不是负数； ②零小于正数，大于负数； ③零不能做分母； ④零是最小的非负数； ⑤零的相反数是零; ⑥任何不为零的数的零次幂为1； ⑦零乘以任何数都是零等． 【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决． 【详解】略 【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性． 【基础题型五 有理数的分类】 【例1】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）下列各数中，既是分数，又是负数的是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分数和负数的定义，在有理数的分类中，分数是指整数以外的有理数，负数是指小于零的数． 【详解】解：∵分数是非整数的有理数，负数是小于零的数， ∴选项A：2是正整数，不是负数， 选项B：是分数且是负数， 选项C：是负整数，不是分数， 选项D：是正分数，不是负数， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在“，，，，”中，分数有___________个． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类． 根据分数的定义作答即可． 【详解】解：在“，，，，”中，分数有，，共个． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各数中，是负数也是分数的是（    ） A．0 B． C． D．20.25 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，正数和负数，解题的关键是掌握有理数的定义，正数和负数的意义．根据负数和分数的定义，负数小于0，分数表示部分整体，分析各选项即可． 【详解】解：四个选项中只有是负分数，符合题意． 故选：B． 2．（25-26七年级上·内蒙古通辽·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，，，，，， （1）分数集合：____________； （2）负数集合：____________ ； （3）整数集合：____________ ； 【答案】 【分析】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 按照有理数分类，逐一填写即可． 【详解】解：分数集合： 负数集合：， 整数集合：． 3．（25-26七年级上·重庆万州·期中）把下列各数填在相应的大括号内： 4，，，，，，0，，． 整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 【答案】4，，0，；，，；，，；4，0， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握整数、正分数、负有理数，非负整数的定义是解题的关键． 根据整数、正分数、负有理数，非负整数的定义即可解答． 【详解】解：整数集合； 正分数集合； 负有理数集合； 非负整数集合． 【基础题型六 正负数的实际应用】 【例1】（2026·云南昆明·二模）等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，某盆地低于海平面，在等高线上标注为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件和一对具有相反意义的量可以用正负数表示，进行解答即可． 【详解】解：由于高于海平面的山峰，在等高线上标注为， 则低于海平面，在等高线上标注为． 【例2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图是加工零件的尺寸要求，现有四个下列直径尺寸的产品（单位：）：①44.96；②45.01；③44.99；④45.04．其中不合格的是___________．（填写序号） 【答案】④ 【分析】本题主要考查正负数的应用，解题的关键是理解题意；根据图形可知尺寸在都为合格，由此问题可求解． 【详解】解：由图可知：， ∵， ∴④为不合格； 故答案为④． 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正斜摆放，分别表示正数和负数，如图①．那么图②表示的数分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：∵算筹（小棍形状的计数工具）正斜摆放，分别表示正数和负数， ∴观察图中信息，得如图①．那么图②表示的数分别是和． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数，如“”表示-723，则“”所表示的数是_____． 【答案】 【分析】本题考查古代数学问题，读懂题意是解决问题的关键． 由算筹与数字的对应表，以及在个位数上划上斜线以表示负数即可得到答案． 【详解】 解：由算筹与数字的对应表，以及在个位数上划上斜线以表示负数，可知，“”所表示的数是， 故答案为：． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）某面粉车间生产一批面粉，要求每袋面粉的质量为“”．这表明每袋面粉的标准质量是，只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的．现称得一袋面粉的质量是，这袋面粉的质量合格吗？请说明理由． 【答案】 这袋面粉的质量合格，理由如下： ∵只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的． 即，， ∵， ∴这袋面粉的质量合格． 【分析】本题考查了正负数的应用，先理解题意，算出，，结合，故这袋面粉的质量合格． 【详解】略 【提高题型一 正负数的实际应用标准偏差问题】 【例1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）我们要检测4颗大白菜的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正、负数和绝对值，绝对值表示的意义，先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近． 【详解】解：∵， ∴从质量的角度看，最接近标准的是：选项C． 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）王老师负责准备趣味运动会体育器材，在一批同款跳绳中抽取6根进行长度测量，超过标准长度的厘米数记为正数，不足的记为负数．测量结果分别为①，②，③，④，⑤，⑥．其中误差最大的是_____，误差最小的是_____．（填序号） 【答案】 ① ⑥ 【分析】本题考查了正数和负数，弄清题意是解本题的关键. 绝对值越大，误差就越大，反之也成立. 【详解】解：在记录的6个数中，的绝对值最大，的绝对值最小， 所以误差最大的是①，误差最小的是⑥， 故答案为： ①；⑥． 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键 ． 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：，，，， 而， 最接近标准的是选项D． 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）某车间生产一批圆柱形机器零件，从中抽出了6件进行检验，把标准直径的长记为0，比标准直径长的记为正数，比标准直径短的记为负数，检查记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 与标准直径的差值 则第______个零件最符合标准． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，理解正负数的意义是解题的关键． 根据正负数的意义：与标准尺寸差值的绝对值越小越符合标准解答． 【详解】解：，，，，，， ， 第个零件最符合标准， 故答案为： ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么 （1）和各表示什么？ （2）水面低于标准水位和高于标准水位各怎样表示？ 【答案】（1）表示水面高于标准水位，表示水面低于标准水位；（2）水面低于标准水位用表示，高于标准水位用表示． 【分析】（1）根据整数表示水面高于标准水位的高度，结合正负数的意义，即可求解； （2）根据正负数的意义，即可求解． 【详解】解：（1）标准水位记为，正数表示水面高于标准水位的高度， 则表示水面高于标准水位，表示水面低于标准水位； （2）根据正负数的意义可得，水面低于标准水位用表示，高于标准水位用表示． 【点睛】本题主要考查正负数的含义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【提高题型二 有理数多重分类问题】 【例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）小学阶段我们学了很多数学知识，它们之间有着密切的联系．下面表示的关系中正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整数的分类，平行四边形、长方形、正方形的定义和从属关系，三角形的分类标准以及正比例关系和反比例关系的定义判断即可． 【详解】A．整数分为正整数、0、负整数，图里缺少0，分类不全，错误，不符合题意； B．正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形，三者是层层包含关系，符合题意； C．等腰三角形按边分类，直角、钝角三角形按角分类，分类标准不同，不能并列分成三块，错误，不符合题意； D．正比例关系和反比例关系是两种并列的比例关系，不存在谁包含谁，错误，不符合题意． 【例2】（25-26七年级上·辽宁营口·期中）在7、、、、0、、、中，_____是非负有理数，_____是整数． 【答案】 7、、、0、 7、、0 【分析】本题主要考查非负有理数的定义和整数的知识，解决本题的关键是要熟练掌握非负有理数的定义． 非负有理数包括0和正有理数，正有理数包括正整数、正分数、正有限小数和正无限循环小数；整数包括正整数、负整数和0．根据定义判断每个数是否符合条件． 【详解】解：根据非负有理数的定义，7是正整数，是正分数，是正有限小数，是正无限循环小数，0是整数， ∴它们都是非负有理数； 根据整数的定义，7是正整数，是负整数，0是整数， ∴它们是整数． 故答案为：7、、、0、；7、、0． 1．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）对于数2.4，，，，0，1，下列说法中正确的是（     ） A．是负数但不是负整数 B．有理数有5个 C．非负数有3个 D．是以上数中最大的数 【答案】A 【详解】本题考查有理数的概念与分类，包括负数、负整数、非负数的定义，以及有理数的大小比较．通过直接验证每个选项即可得出答案． 【分析】解：∵在数2.4，，，， 0， 1中， 是负数，但不是整数，故不是负整数，故A正确； 所有数都是有理数，共6个，故B错误； 非负数有2.4，，0，1，共4个，故C错误； 是负数，小于其他正数，故不是最大的数，故D错误， 故选：A． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）把下列各数填到相应的集合中；，，，，，0，6，，则阴影部分应该填入的数为__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的分类，根据图形可得，阴影部分表示负数但不是整数，进而可得答案． 【详解】解：根据图形，阴影部分应填入的数为， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入相应的大括号里． ，，，，260，0，，，，，． 整数集合：{________________________…}；负有理数集合：{________________________…}； 【答案】；． 【分析】本题考查有理数的分类，需要根据整数和负有理数的定义，将给定的数进行正确归类． 整数包括正整数、负整数和零；负有理数包括所有负的有理数，即负整数和负分数． 【详解】解：整数集合：； 负有理数集合：． 故答案为：；． 1．（25-26七年级上·广西玉林·期末）下列各数中，属于负数的是（    ） A．2026 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负数的概念，解题的关键是明确负数是小于的数，据此对各选项逐一判断． 【详解】解：A、，是正数，此选项不符合题意； B、既不是正数也不是负数，此选项不符合题意； C、，是正数，此选项不符合题意； D、，是负数，此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段检测）在数0，，，中，属于负分数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负分数的概念：负分数是小于0的分数，即负的有理数且具有分数形式，据此解答即可． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，不符合题意； B、是正分数，不符合题意； C、是负整数，不是分数, 不符合题意； D、是负小数，可化为分数，符合负分数定义，符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）在，，，，，，，，中，有理数有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的识别，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数．根据定义，逐个判断每个数是否是有理数即可得到答案． 【详解】解：在，，，，，，，，中，有理数有，，，，，，，，共8个， 故选：C． 4．（25-26七年级上·云南昆明·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果风车顺时针旋转记作，那么表示（     ） A．减少 B．旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】D 【详解】解：∵风车顺时针旋转，记作， ∴正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转； ∴表示逆时针旋转. 5．（2026·云南昆明·模拟预测）我国魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时指出：“今两算得失相反，要令正、负以名之．”意思是说，遇到具有相反意义的量时，要用正、负加以区别．在学校足球比赛中，如果某班足球队进2个球记作，那么该队失1个球记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，根据题目给定的规则，即可得到失球的记法． 【详解】解：∵进球与失球是相反意义的量，题目规定进球记为正， ∴与进球相反的失球应记为负，因此失1个球记作个，故选B． 6．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）在有理数中，负数有_____个． 【答案】2 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是熟练掌握负数的定义． 根据负数的定义判断得出答案即可． 【详解】解：在有理数中， 小于0的数是，，它们是负数，负数有2个， 故答案为：2． 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）七年级学生小宇记录自己的零花钱收支情况，规定零花钱收入为正．若他周末通过做家务获得零花钱25元，记作元，则周一用零花钱购买学习文具花去元，记作______． 【答案】元 【分析】本题主要考查了相反意义的量，根据正负数表示相反意义的量的定义，收入记为正，则支出记为负，由此确定花去零花钱的记法． 【详解】解：由题意可知，规定零花钱收入为正，那么支出（花去零花钱）与收入是具有相反意义的量，所以花去元记作元. 故答案为：元． 8．（24-25七年级上·广东江门·阶段检测）如图表示的是整数集合与负数集合，则图中重合部分A处可以填入的数是__________（只需填入一个满足条件的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的分类和定义，根据整数含有正整数、零、负整数；负数含负整数和负分数，则可得出两者的交集应该是负整数，根据负整数的定义写一个满足条件的数即可． 【详解】解：∵整数含有正整数、零、负整数；负数含负整数和负分数， ∴两者的交集应该是负整数， ∴A处只需填上一个负整数即可，如，等． 故答案为：（答案不唯一） 9．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】根据有理数的分类，整数的定义，偶数和自然数的定义，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确； ②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0， ∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误； ④0是偶数，也是自然数，原说法错误； ⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确． 10．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． 【答案】 【分析】对照表格，从左到右，找到每个算筹对应的数，再注意个位数上的斜放的算筹即可． 【详解】 解：由“”对照表格可得，从左到右，依次对应的数为、、， 又∵个位数上斜放了一筹，表示负数， ∴“”表示的数是． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 【答案】，19，，，都是正数；，，都是负数 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 【详解】解：在这些数中，正数：，19，，，； 负数：，，． 12．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）将下列有理数分类：，，，，，，，，，． (1)正有理数集合： (2)负有理数集合： (3)整数集合： 【答案】(1)，，， (2)，，，， (3)，，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握整数，负有理数以及正有理数的意义是解题的关键； 根据有理数的分类进行分类即可． 【详解】（1）正有理数集合：，，，； （2）负有理数集合：，，，，； （3）整数集合：，，，，． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）与0之间有负数吗？0与1之间呢？如果有，请举例；如果没有，请说明理由． （2）与之间有负整数吗？与2之间有哪些整数？ （3）有比还大的负整数吗？ （4）写出3个小于并且大于的数． 【答案】 （1）与0之间有负数，如；0与1之间没有负数，原因是负数小于0； （2）和之间有负整数；与2之间有整数，0，1； （3）没有比大的负整数； （4）例如，． 【分析】本题主要是考查有理数的大小的比较和有理数的分类，认真掌握有理数比较大小的方法及负数、整数、负整数的定义与特点，负数：任何正数前加上负号都等于负数，负数比零，正数小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）正数负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，据此解答即可； （2）据负数、整数、负整数的定义与特点回答； （3）据负数、整数、负整数的定义与特点回答； （4）几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，据此解答即可 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 14．（24-25七年级上·全国·期末）假期中小明和父母一起到甲、乙两个城市旅游，小明发现两个城市中使用的人民币的新旧程度不同：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度基本相同；在乙城市中，面值10元的人民币比较旧，而面值50元和100元的人民币比较新．你能通过这些信息判断两个城市的发展水平哪个更高吗？ 【答案】甲城市的发展水平更高 【分析】根据面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度，可得面值10元、50元和100元的三种人民币的使用程度，依此可得两个城市的发展水平哪个更高． 【详解】解：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度基本相同； 在乙城市中，面值10元的人民币比较旧，而面值50元和100元的人民币比较新； 在甲城市中，面值50元和100元的三种人民币的使用程度多， 甲城市的发展水平更高． 【点睛】考查了数学常识，关键是理解面值10元、50元和100元的三种人民币的使用程度． 15．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)5.5千克 (2)不足10千克 (3)1470元 【分析】（1）将最大的正数与最小负数相减即可； （2）将每个正数，负数与对应的数量相乘，并相加可得到总重量与标准总重量的差值； （3）先计算出总重量，再乘以单价即可． 【详解】（1）解：最重的一筐比标准重2.5千克，最轻的一筐比标准轻3克， 故最重的一筐比最轻的一筐重：（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克． （2）解：， 答：20筐白菜总计不足10千克， （3）解：（元）， 答：出售这20筐白菜可卖1470元． 【点睛】本题考查正负数的应用，能够熟练掌握正负数的实际意义是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 正负数定义及有理数的概念重难点题型专训（3个知识点+6大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、正负数的定义 1 题型二、相反意义的量 2 题型三、有理数的定义 3 题型四、0的意义 4 题型五、有理数的分类 5 题型六、正负数的实际应用 6 第二部分·练提高题型 题型一、正负数的实际应用标准偏差问题 1 题型二、有理数多重分类问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 正数与负数 1. 负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2. 正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正数前面加上“+”（正） 3. 0既不是正数也不是负数 4.非负数：0和正数统称为非负数；则非正数是指0和负数 【即时训练】 1．（24-25六年级下·黑龙江·阶段检测）下列各数中哪个是负数（   ） A．0 B．2.5 C． D． 2．（24-25六年级下·黑龙江·开学考试）在、、、中，负数有___________个． 知识点02 有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 【即时训练】 1．（25-26七年级上·四川广元·期中）在3.14，，0，，，…（每两个4之间依次多1个0）中，有理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级上·陕西安康·期末）请你将下面的数学概念正确、规范、工整地书写在横线上． 整数和分数统称为有理数． ______________________________________________ 【基础题型一 正负数的定义】 【例1】（25-26七年级上·江西赣州·期末）下列各数中，负数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D． 【例2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数，，，，，，中，负数有______个． 1．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 2．（2026七年级上·江苏·专题练习）在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔为，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔，负数表示低于海平面的某地的海拔． （1）珠穆朗玛峰的海拔为，它表示的含义是 _______； （2）吐鲁番盆地的海拔为，它表示的含义是 _______． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里． 【基础题型二 相反意义的量】 【例1】（2026·江苏南通·二模）水文站将超过正常水位0.5米记作米，那么低于正常水位0.3米记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（25-26六年级上·山东济南·期末）月球表面温度白天最高，记为；则夜间最低零下，记为_____________________ 1．（2026·陕西西安·三模）如果电梯向上6层记作，那么表示（    ） A．向上1层 B．向上5层 C．向下1层 D．向下5层 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意为：今有两数若其意义相反，则分别称为正数与负数．现有如下记分规则：85分为基准分，得分高于85分的部分记为正数（如90分记作分），某同学得分83分，则该得分应作______分． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）如果节约电记作，那么浪费电记作什么？ （2）如果元表示亏本20.50元，那么元表示什么？ （3）如果表示增加，那么表示什么？ 【基础题型三 有理数的定义】 【例1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）下列各数，，0，，中，有理数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【例2】（25-26七年级上·江苏南京·期中）在数，0， ， ，，（每两个1之间依次增加一个0）中，有理数的个数是______． 1．（25-26七年级上·重庆·期中）已知数3.14，，，，其中有理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）在数，，，中，有理数的个数有______个． 3．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）把下列各数填在相应的大括号内： 27，，，0， 正数集合： 负数集合： 整数集合： 非负数集合： 【基础题型四 0的意义】 【例1】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段检测）下面关于0的结论错误的是（   ） A．0是有理数 B．0的绝对值是它本身 C．0的倒数是0 D．0的相反数是它本身 【例2】（25-26七年级上·全国·单元测试）下列关于“0”的说法正确的有________个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）__________既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界线． 3．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 【基础题型五 有理数的分类】 【例1】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）下列各数中，既是分数，又是负数的是（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在“，，，，”中，分数有___________个． 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各数中，是负数也是分数的是（    ） A．0 B． C． D．20.25 2．（25-26七年级上·内蒙古通辽·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，，，，，， （1）分数集合：____________； （2）负数集合：____________ ； （3）整数集合：____________ ； 3．（25-26七年级上·重庆万州·期中）把下列各数填在相应的大括号内： 4，，，，，，0，，． 整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 【基础题型六 正负数的实际应用】 【例1】（2026·云南昆明·二模）等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，某盆地低于海平面，在等高线上标注为（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图是加工零件的尺寸要求，现有四个下列直径尺寸的产品（单位：）：①44.96；②45.01；③44.99；④45.04．其中不合格的是___________．（填写序号） 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正斜摆放，分别表示正数和负数，如图①．那么图②表示的数分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（2025七年级上·全国·专题练习）算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如下表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数，如“”表示-723，则“”所表示的数是_____． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）某面粉车间生产一批面粉，要求每袋面粉的质量为“”．这表明每袋面粉的标准质量是，只要每袋面粉的质量不超出，且不低于，就是合格的．现称得一袋面粉的质量是，这袋面粉的质量合格吗？请说明理由． 【提高题型一 正负数的实际应用标准偏差问题】 【例1】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）我们要检测4颗大白菜的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）王老师负责准备趣味运动会体育器材，在一批同款跳绳中抽取6根进行长度测量，超过标准长度的厘米数记为正数，不足的记为负数．测量结果分别为①，②，③，④，⑤，⑥．其中误差最大的是_____，误差最小的是_____．（填序号） 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）某车间生产一批圆柱形机器零件，从中抽出了6件进行检验，把标准直径的长记为0，比标准直径长的记为正数，比标准直径短的记为负数，检查记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 与标准直径的差值 则第______个零件最符合标准． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么 （1）和各表示什么？ （2）水面低于标准水位和高于标准水位各怎样表示？ 【提高题型二 有理数多重分类问题】 【例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）小学阶段我们学了很多数学知识，它们之间有着密切的联系．下面表示的关系中正确的是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·辽宁营口·期中）在7、、、、0、、、中，_____是非负有理数，_____是整数． 1．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期中）对于数2.4，，，，0，1，下列说法中正确的是（     ） A．是负数但不是负整数 B．有理数有5个 C．非负数有3个 D．是以上数中最大的数 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）把下列各数填到相应的集合中；，，，，，0，6，，则阴影部分应该填入的数为__________． 3．（25-26七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入相应的大括号里． ，，，，260，0，，，，，． 整数集合：{________________________…}；负有理数集合：{________________________…}； 1．（25-26七年级上·广西玉林·期末）下列各数中，属于负数的是（    ） A．2026 B．0 C． D． 2．（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段检测）在数0，，，中，属于负分数的是（   ） A．0 B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）在，，，，，，，，中，有理数有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．（25-26七年级上·云南昆明·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果风车顺时针旋转记作，那么表示（     ） A．减少 B．旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 5．（2026·云南昆明·模拟预测）我国魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时指出：“今两算得失相反，要令正、负以名之．”意思是说，遇到具有相反意义的量时，要用正、负加以区别．在学校足球比赛中，如果某班足球队进2个球记作，那么该队失1个球记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（25-26七年级上·河南驻马店·阶段检测）在有理数中，负数有_____个． 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）七年级学生小宇记录自己的零花钱收支情况，规定零花钱收入为正．若他周末通过做家务获得零花钱25元，记作元，则周一用零花钱购买学习文具花去元，记作______． 8．（24-25七年级上·广东江门·阶段检测）如图表示的是整数集合与负数集合，则图中重合部分A处可以填入的数是__________（只需填入一个满足条件的数即可）． 9．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 10．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 12．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）将下列有理数分类：，，，，，，，，，． (1)正有理数集合： (2)负有理数集合： (3)整数集合： 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）与0之间有负数吗？0与1之间呢？如果有，请举例；如果没有，请说明理由． （2）与之间有负整数吗？与2之间有哪些整数？ （3）有比还大的负整数吗？ （4）写出3个小于并且大于的数． 14．（24-25七年级上·全国·期末）假期中小明和父母一起到甲、乙两个城市旅游，小明发现两个城市中使用的人民币的新旧程度不同：在甲城市中，面值10元、50元和100元的三种人民币的新旧程度基本相同；在乙城市中，面值10元的人民币比较旧，而面值50元和100元的人民币比较新．你能通过这些信息判断两个城市的发展水平哪个更高吗？ 15．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（千克） ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 0 1 2.5 筐数 1 8 2 3 2 4 (1)20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价3元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $