专题04有理数的加法与减法重难点题型专训（4个知识点+9大题型+5拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题04有理数的加法与减法重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数加法运算律 题型五 有理数的减法运算 题型六 有理数减法的实际应用 题型七 有理数加减混合运算 题型八 有理数加减中的简便运算 题型九 有理数加减混合运算的应用 拓展训练一 有理数加减法的规律计算 拓展训练二 有理数加减法与数轴结合 拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算 拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合 拓展训练五 有理数加减法的新定义运算 知识点一、有理数加法法则 同号两数相加 和取 相同 的符号，然后加数的绝对值 相加 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取 绝对值较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值中 较大者 与 较小者 的差 互为相反数两数相加，和为 0 。 a、b是互为相反数，则a+b= 0 一个数与0相加 仍得这个数 a+0=a 方法：一观察、二确定、三求和 第一步：观察两个数是同号还是异号，有没有0; 第二步：选择用哪一条加法法则; 第三步：先确定和的符号,后计算绝对值 注意： (1)在进行有理数加法运算时,要牢记“先定符号,后算绝对值”,写的时候不要忘记符号 (2)有理数加法可分为四种情况:①同号加;②异号加;③“相反"加;④与0加.每种情况都要注意符号和绝对值的确定。 【即时训练】 1.能与相加得的是（　　） A． B． C． D． 2.能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 知识点二、有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 【即时训练】 1.小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 2.计算： (1)； (2)； (3)． 知识点三、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 【即时训练】 1.下列计算结果为0的是（　　） A． B． C． D． 2.计算 (1) (2) 知识点四、有理数加减法混合运算 1、有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成 加法 ，再运用加法的 交换律 和 结合律 简化运算。 （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的 符号 一起交换。 2.省略加号的和式及读法:统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法。例如:-2-3+27-24,可读作负2、负3、正27、负 24 的和,也可以读作负2减3加27减24. 3、有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法：a+b-c=a+b+(-c) （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数的加法法则计算 （3）进行加减运算 方法：有理数加减混合运算中的技巧 对于既含有小数又含有分数的加减混合运算，可先将小数统一化成分数或将分数统一化成小数再相加减，也可以将小数与分数分别结合相加减，在计算时要灵活选用方法，以计算最简为原则。 【即时训练】 1.下列省略加号和括号的形式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2.把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 【经典例题一 有理数的加法运算】 【例1】（24-25七年级上·吉林·期末）比大的数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：． 1．（25-26七年级上·全国·周测）下列各式中，计算结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则S的整数部分为 ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）在七（2）班“数学兴趣小组”的某次活动中，有6名同学藏在6个大盾牌后面．男同学的盾牌前面算式的结果是一个正数，女同学的盾牌前面算式的结果是一个负数．这6个盾牌前面的算式如下表所示：           请你通过计算，说出盾牌后面男、女同学各有几名． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例1】（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（2023七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 1．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·周测）与的和取 号；与的和取 号；和的和取 号．（填“正”或“负”） 4．（24-25七年级上·广东·期中）已知有理数，在数轴上的位置如图所示． (1)确定符号（用“、”填空）： ______，______； (2)化简：． 【经典例题三 有理数加法在生活中的应用】 【例1】（24-25七年级上·全国·期末）恩施市元月份某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）某地一天早晨的气温为，中午比早晨上升了，夜间又比中午下降了，则这天夜间的气温是多少？ 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（年龄问题）20年前张华10岁，那么20年后张华（）岁． A．50 B．40 C．30 D．20 2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨）本周五天后这种小麦库存（   ）吨 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 A．413 B．414 C．415 D．416 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）五袋大米以每袋为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重（单位：）记录如下：，，，，．这五袋大米共超过标准 ，总质量是 kg． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）“神舟十八号”航天员叶光富在太空行走时穿着厚厚的太空服，其中一个重要的原因就是飞船舱外温度太低，只有，而舱内的最低温度比舱外温度约高，要想知道舱内的最低温度，该怎样计算呢？ 【经典例题四 有理数加法运算律】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）小明在做利用“加法运算律”的计算题：■时，不小心把墨水打翻，将接下来的步骤污染了，请你补全污染的部分： ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【经典例题五 有理数的减法运算】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）若，则a的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列计算，它正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． ． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，1，三个数中取两个数相减，结果不可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．减去一个数等于加上这个数 B．零减去一个数，仍得这个数 C．互为相反数的两个数相减得0 D．有理数的减法中，被减数不一定比减数大 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）设表示不超过x的整数中最大的整数，如：，．根据此规律计算： ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 【经典例题六 有理数减法的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）个位上的“5”与十分位上的“5”相差（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·周测）把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如和，我们称之为集合，并称其中的数为集合的元素．如果一个集合满足当有理数a是集合的元素时，有理数也必是这个集合的元素，那么我们称这样的集合为“好的集合”． (1)请你判断集合和是不是“好的集合”． (2)请你写出满足条件的两个“好的集合”． 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某日天气预报显示，哈尔滨白天平均气温，海南白天平均气温，两地当日白天的平均气温相差（    ）． A．15 B．12 C．9 D．6 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们知道，一年有春、夏、秋、冬四季，按照中国传统二十四节气划分，立春（2月4日左右）到立夏前（5月5日左右）为春季，立夏到立秋前（8月7日左右）为夏季，立秋到立冬前（11月7日左右）为秋季，立冬到次年立春前为冬季．二十四节气日是气候变化的节点，每天的日出、日落时刻与它们有着密切的联系，每天的白昼时长等于日落时刻-日出时刻．下表是大连地区立春、立夏、立秋、立冬这四天的日出和日落的大致时刻． 日出时刻 日落时刻 立春 立夏 立秋 立冬 小明测得大连某天的白昼时长大约11小时，那么这天属于的季节是（   ） A．春季 B．冬季 C．春季或夏季 D．春季或秋季 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某项国际高山滑雪比赛开幕式于2025年3月5日上午10时开始，在西班牙留学的乐乐准时观看了直播．已知北京时间的中午12时是西班牙的凌晨5时，那么直播开始时西班牙时间为 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）一架直升机在空中做升降练习，第一次上升210米，第二次下降232米，请问此时飞机是否又回到了原来的高度？如果没有，比原来升高了还是比原来降低了？ 【经典例题七 有理数加减混合运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为（   ） 4 a 2 1 3 b 5 c A． B． C．0 D．5 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）算式的正确读法是（    ） A．3，5，7，2，9的和 B．减3正5负7加2减9 C．负3、正5、减7、正2、减9的和 D．负3、正5、负7、正2、负9的和 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 3．（25-26七年级上·重庆·开学考试）规定“⊕”表示的运算是：，那么 ． 4．（25-26七年级上·全国·周测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【经典例题八 有理数加减中的简便运算】 【例1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）计算，正确的是（    ） A． B．5 C．19 D． 【例2】（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）计算： 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A．2025 B．-2025 C．-1013 D．1013 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算时，画线的步骤中使用了（   ）． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．加法结合律 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列式子：，，，…请计算( ) 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【经典例题九 有理数加减混合运算的应用】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜的气温是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）某水利勘察队沿着某河流进行野外作业，第一天从出发点向上游走了，第二天又向上游走了，第三天向下游走了，第四天又向下游走了，这时勘察队位于哪里？与出发点相距多少千米？ 1．（2025七年级上·全国·专题练习）一次外语小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有（ ）人． A．8 B．7 C．3 D．6 2．（2025·河北保定·二模）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入50元 B．支出40元 C．收入10元 D．支出10元 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某条河流的水位第一天上升了，第二天下降了，第三天又下降了，第四天又上升了．经测量得知此时的水位为，则该河流的初始水位为 ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）一位病人每天下午需要测量一次血压，下表是该病人周一至周五高压变化情况，该病人上个周日的高压为160单位． 星期 一 二 三 四 五 高压的变化（与前一天比较） 升25单位 降15单位 升13单位 升15单位 降20单位 (1)该病人哪一天的血压最高？哪一天的血压最低？ (2)与上周日比，本周五的血压是升了还是降了？ 【拓展训练一 有理数加减法的规律计算】 【例1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）计算：； 解：原式 ． （2）计算：． 解：原式 ． 1．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）若，，，…，照此规律试求： (1)计算：__________； (2)计算：； (3)计算： 2．（2024七年级上·广东佛山·阶段练习）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算：①______，②______； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运算结果正确的个数为（   ） ①；     ②； ③；           ④． A．4 B．3 C．2 D．1 4．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【拓展训练二 有理数加减法与数轴结合】 【例1】（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·云南临沧·阶段练习）如图，是一个数轴，请思考下列问题： (1)把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为______． A．     B． C．     D． 一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上、两点之间的距离为在的左侧，且折痕与折痕相同，且、两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． 若数轴上折叠后重合的两点分别表示数，则与折痕重合的点表示的数为______． 1．（24-25七年级下·广东东莞·开学考试）数轴上点表示的数是，点与点在数轴上相距4个单位长度．则点表示的数是（    ） A． B．1 C．或1 D．或7 2．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）有理数在数轴上的对应点位置如图所示，下列各式正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 4．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8． (1)若以B为原点，则数轴上点A所表示的数是______，点C所表示的数是______． (2)记A，B，C所对应的数的和为m，原点到B的距离为2，求m的值． 【拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算】 【例1】（24-25七年级上·四川资阳·阶段练习）如果，那么的值是（      ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，，且，求的值． 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，则的值是（） A． B． C．或 D．1或3 3．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）定义一个新运算 ，已知，则 ． 4．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）已知，，且，求的值． 【拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合】 【例1】（2025·湖南娄底·二模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·广东·阶段练习）某校七年级利用劳动实践课开展创意点心制作比赛活动．小龙制作了一盒精美点心（共计6枚），现在他把6枚点心质量称重后统计列表如下（单位：克）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量 68.4 71.3 70.7 68.6 69.1 72 (1)为了简化运算，小龙依据比赛的标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），则比赛的标准质量为________克，请你把表格补充完整； 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量 (2)按照比赛说明上标记，一盒点心的总质量合格标准为克，那么，小龙制作的这盒点心的实际总质量是合格的，你知道为什么吗？请通过计算说明理由． 1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【抽屉原理】袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，要保证摸出的球一定有两个颜色相同，至少要摸出（　　）个；要保证摸出的球一定有两个颜色不同，至少要摸出（　　）个． A．4；6 B．6；10 C．10；11 D．11；6 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 3．（2025·北京海淀·一模）某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 4．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：”． (1)这段文字表示这袋面粉的重量在________和________之间． (2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下： 袋号 1 2 3 4 5 质量 803 798 800 794 805 请你结合（1）和上表中的数据，以为标准，超出标准记为正，不足的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋． 【拓展训练五 有理数加减法的新定义运算】 【例1】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）探究规律，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的法则进行运算的算式： ；；； ；；． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的法则了．” 聪明的你看明白了吗？ (1)归纳※（加乘）的运算法则： ①非零两数进行※（加乘）运算时，______； ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______； (2)计算：______（括号的作用同在有理数运算中的作用）； (3)我们知道加法有交换律，请你判断加法交换律在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证（举一个例子即可）． 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：，则等于（   ） A． B． C．0 D．4 2．（23-24七年级上·安徽·期中）定义一种新运算“”，其运算法则为 ，则的值为(  ) A．－2 B．2 C．－4 D．4 3．（24-25七年级上·重庆梁平·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“绝对数”．定义：对于一个正整数m，若将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值，从大到小顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“绝对数”．例如：，将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值为6，5，1，那么的“绝对数”n为651．则645的“绝对数”为 ；若一个三位正整数x的“绝对数”431，则满足条件的所有x中最大为 ． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）定义：，计算的值． 1．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）数轴上有A、B两点，若将点A向左移动5个单位长度得到点B，则下列说法错误的是（   ） A．若点A表示的数为6，则点B表示的数为1 B．若点A表示的数为，则点B表示的数为 C．若点B表示的数为5，则点A表示的数为0 D．若点B表示的数为，则点A表示的数为0 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）数学课上，老师在黑板上写了四个式子，如图所示，其中计算结果为整数的是（    ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 3．（25-26七年级上·河南安阳·开学考试）期末考试以班级平均分为基准来评估每位同学的成绩．具体规则：如果高于班级平均分记为正数；如果低于平均分记为负数．根据这个规则，这次全班的平均分为80分，甲同学的成绩为86分，记为分，乙同学的成绩为77分，则记为（    ）分． A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）甲、乙、丙三人合买15瓶汽水，按照规定三个空瓶可以换回一瓶汽水，请问他们一共可喝到汽水（    ）瓶 A．20 B．21 C．22 D．23 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·河南郑州·期末）某班一个小组的10名学生参加体检，为了方便记录测得的体重结果，他们以为标准，超出记为正数，低于记为负数，得到如下数据：（单位：） ，，，，，0，，，， 则这10名学生中的最小体重是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如图是小明妈妈支付宝的连续四笔交易记录，已知在此之前小明妈妈支付宝账户的余额为1470元，则四笔交易后余额为（   ） A．1535元 B．1525元 C．1515元 D．1505元 10．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图所示，已知北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字，由此推断当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是（   ） A．9 B．7 C． D． 11．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）一支钢笔的笔杆长15厘米，笔帽长5厘米，将笔帽套在笔杆上，重叠部分长3厘米．套好后的钢笔长 厘米． 12．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，小胡同学在做作业时，不慎将数轴上的数字污染了一部分，那么被污损的部分中各个整数的和为 ． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）银行储蓄所办理了5件储蓄业务：取出9500元，存入5000元，取出8000元，存入12000元，存入25000元，这时银行存款增加或减少了多少元？ 完成下面的解答过程： 解：记取出为负，存入为正，则取出9500元为元，存入5000元为元，取出8000元为 元，存入12000元为 元，存入25000元为 元． 所以（ ）（ ）（ ） ＝（ ）（ ）（ ）＝ ， 所以 ． 14．（25-26七年级上·重庆·开学考试）电梯上升记为正，下降记为负．从一楼开始，电梯经过如下四次运动：层，层，层，层．现在电梯停在 楼． 15．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）下列运用有理数加法法则，思考、计算“”的正确排序为 ． 结果的符号是取的负号；    和的绝对值分别为和，大于； 是异号两数相加；    结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 16．（24-25七年级上·全国·期末）小李是一位铁路轨道维护员，他每天负责从站台开始沿铁路轨道巡视检查，规定向东巡视为正，向西巡视为负，以下是他某天巡视记录：（单位：千米） (1)当天巡视结束时，小李在站台的什么方向，离站台多远？ (2)小李当天走过的路程是多少？ 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，为泳池的水平面，一名运动员（看作一个点）从点A起跳，点，，为她三次跳水落入水中的位置．以水平面为基准，点A记为，点记为，点A与点的高度差为，点比点高． (1)点比点A低多少米？ (2)，，三个点中，最高点比最低点高多少米？ 18． （2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 19.（24-25七年级上·重庆·开学考试）甲从A地出发，先后经过B、C两地，最终到达M地；然后从M地原路返回至A地．甲在从A地去往M地的路上一开始匀速行驶，在BC两地之间某处，甲提速了，并且以后一直保持着这个速度直至返回到A地．已知在从A地去M地的过程中，A地到B地、B地到C地、C地到M地都用时12分钟；返程的路上，从C地到B地用时10分钟．如果甲再次以最开始的速度出发，在相同的地点加速，但这回加速，请问，他从A地出发到M地再返回A地需要多少分钟？ 20．（24-25七年级上·河北保定·开学考试）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04有理数的加法与减法重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数加法运算律 题型五 有理数的减法运算 题型六 有理数减法的实际应用 题型七 有理数加减混合运算 题型八 有理数加减中的简便运算 题型九 有理数加减混合运算的应用 拓展训练一 有理数加减法的规律计算 拓展训练二 有理数加减法与数轴结合 拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算 拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合 拓展训练五 有理数加减法的新定义运算 知识点一、有理数加法法则 同号两数相加 和取 相同 的符号，然后加数的绝对值 相加 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取 绝对值较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值中 较大者 与 较小者 的差 互为相反数两数相加，和为 0 。 a、b是互为相反数，则a+b= 0 一个数与0相加 仍得这个数 a+0=a 方法：一观察、二确定、三求和 第一步：观察两个数是同号还是异号，有没有0; 第二步：选择用哪一条加法法则; 第三步：先确定和的符号,后计算绝对值 注意： (1)在进行有理数加法运算时,要牢记“先定符号,后算绝对值”,写的时候不要忘记符号 (2)有理数加法可分为四种情况:①同号加;②异号加;③“相反"加;④与0加.每种情况都要注意符号和绝对值的确定。 【即时训练】 1.能与相加得的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义和有理数的加法，熟练掌握两个互为相反数的数相加得0是解题的关键．根据相反数的定义可进行求解． 【详解】解：与相加得的数是：． 故选C． 2.能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算与相反数的定义，利用有理数的加减混合运算与相反数的定义判断． 【详解】解：∵与互为相反数 ∴能与相加得0， 故选：B． 知识点二、有理数加法运算律 1. 有理数相加，两个数相加，交换加数的位置，和不变； 加法交换律：a＋b＝b＋a 2. 有理数相加，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 加法交换律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 在有理数加法运算中，常利用有理数加法运算律先把正数和负数分开计算，各自求和后再相加. 3. 有理数加法中的一些计算技巧： （1） 相反数结合法：互为相反数的两个数先相加； （2） 同号结合法：符号相同的数先相加； （3） 同分母结合法：分母相同的数先相加； （4） 凑整法：几个数相加能够得到整数的先相加. 【即时训练】 1.小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键．根据加法的结合律和交换律的定义解答即可．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 【详解】解：根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：． 2.计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 知识点三、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 【即时训练】 1.下列计算结果为0的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减法，熟练掌握有理数加减法法则是解题的关键． 根据有理数加减法法则计算并判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 2.计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1.5 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先化简绝对值，再计算减法即可； （2）先去括号，再计算加减即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 知识点四、有理数加减法混合运算 1、有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成 加法 ，再运用加法的 交换律 和 结合律 简化运算。 （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的 符号 一起交换。 2.省略加号的和式及读法:统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法。例如:-2-3+27-24,可读作负2、负3、正27、负 24 的和,也可以读作负2减3加27减24. 3、有理数加减混合运算的一般步骤 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法：a+b-c=a+b+(-c) （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数的加法法则计算 （3）进行加减运算 方法：有理数加减混合运算中的技巧 对于既含有小数又含有分数的加减混合运算，可先将小数统一化成分数或将分数统一化成小数再相加减，也可以将小数与分数分别结合相加减，在计算时要灵活选用方法，以计算最简为原则。 【即时训练】 1.下列省略加号和括号的形式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则判断即可. 【详解】解：. 故选：B. 【点睛】本题考查了有理数的加法，属于基本题目，掌握有理数的加法法则是关键. 2.把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式利用减法法则变形即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【经典例题一 有理数的加法运算】 【例1】（24-25七年级上·吉林·期末）比大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，比大的数是，解答即可． 本题考查了有理数的加法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，比大的数是， 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，首先把代分数拆成整数部分和分数部分，再利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别结合，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 1．（25-26七年级上·全国·周测）下列各式中，计算结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算及结果正负的判断，解题的关键是掌握有理数加法的运算法则，准确计算出各选项的结果并判断其正负． 根据有理数加法法则分别计算每个选项的结果，再判断结果是否为正数，排除结果为非正数的选项，选出正确答案． 【详解】解：A、，结果为负数，此选项不符合题意； B、，结果为负数，此选项不符合题意； C、，结果为正数，此选项符合题意； D、，结果为负数，此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减，根据有理数的加减法则计算即可得解，熟练掌握有理数的加减运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 3．（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则S的整数部分为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分数的加法运算，先结合，得出，，故S的整数部分为2．即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴S的整数部分为2． 答：S的整数部分为2． 故答案为：2． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）在七（2）班“数学兴趣小组”的某次活动中，有6名同学藏在6个大盾牌后面．男同学的盾牌前面算式的结果是一个正数，女同学的盾牌前面算式的结果是一个负数．这6个盾牌前面的算式如下表所示：           请你通过计算，说出盾牌后面男、女同学各有几名． 【答案】盾牌后面男同学有1名，女同学有5名 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键. 【详解】解：； ； ； ； ； ． 盾牌前面算式的结果的符号依次是“”， 则盾牌后面男同学有1名，女同学有5名． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例1】（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【例2】（2023七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)-10 (2)-10 【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可； （2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 1．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的新定义运算，正确运用公式是解题关键． 根据新定义的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·周测）与的和取 号；与的和取 号；和的和取 号．（填“正”或“负”） 【答案】 负 正 负 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键． 根据有理数的加法法则，“同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，当绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”逐一计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：负正 负 4．（24-25七年级上·广东·期中）已知有理数，在数轴上的位置如图所示． (1)确定符号（用“、”填空）： ______，______； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值以及有理数的加减法运算，熟练利用有理数的加法和减法法则判断两个有理数的和或差的符号是解决问题的关键． （1）利用有理数的加法和减法法则判断即可； （2）先化简每一个绝对值，然后再进行计算． 【详解】（1）解：由，在数轴上的位置，可知，且， 根据有理数加法法则得， 根据有理数减法法则得， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴ ． 【经典例题三 有理数加法在生活中的应用】 【例1】（24-25七年级上·全国·期末）恩施市元月份某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数加法的应用，用恩施市元月份某一天早晨的气温加上中午上升的温度，求出中午的气温是多少即可． 【详解】解：， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）某地一天早晨的气温为，中午比早晨上升了，夜间又比中午下降了，则这天夜间的气温是多少？ 【答案】 【分析】此题考查有理数加法的应用，根据题意列加法算式计算即可，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：， 则这天夜间的气温是． 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（年龄问题）20年前张华10岁，那么20年后张华（）岁． A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了年龄问题，可先根据“20年前张华10岁”求出今年的年龄，再求出20年后的年龄。 【详解】解：由题意可知，张华今年的年龄为：（岁），则20年后张华的年龄为：（岁）。 故选：A． 2．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨）本周五天后这种小麦库存（   ）吨 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 0 A．413 B．414 C．415 D．416 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的加法运算，根据有理数的加减法运算，可得答案． 【详解】解：本周五天后这种小麦库存为：（吨）， 故选：C． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）五袋大米以每袋为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重（单位：）记录如下：，，，，．这五袋大米共超过标准 ，总质量是 kg． 【答案】 1 251 【分析】本题考查了有理数加法的应用，正确理解题意是解题的关键．将5个记录数据相加，即得第一空答案，计算即得第二空答案． 【详解】解：， 这五袋大米共超过标准． 总质量是． 故答案为：1，251． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）“神舟十八号”航天员叶光富在太空行走时穿着厚厚的太空服，其中一个重要的原因就是飞船舱外温度太低，只有，而舱内的最低温度比舱外温度约高，要想知道舱内的最低温度，该怎样计算呢？ 【答案】，过程见详解 【分析】本题考查了有理数的加法应用，根据舱内的最低温度比舱外温度约高，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵飞船舱外温度太低，只有，而舱内的最低温度比舱外温度约高， ∴， 即舱内的最低温度为． 【经典例题四 有理数加法运算律】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，根据加法交换律和结合律解答即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将转化为小数，利用加法交换律和加法结合律将便于计算的数结合在一起进行简便运算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律便于计算的数结合在一起进行简便运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数加法交换律，注意在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动．根据有理数加法交换律逐项判断即可． 【详解】解：A、，原变形错误，不符合题意； B、，原变形错误，不符合题意； C、 ，原变形错误，不符合题意； D、 ，原变形正确，符合题意； 故选：D ． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，熟练掌握相关定义是关键．根据加法的结合律和交换律的定义解答即可．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 【详解】解：根据小明的解题过程，应用了加法交换律和结合律． 故选：． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）小明在做利用“加法运算律”的计算题：■时，不小心把墨水打翻，将接下来的步骤污染了，请你补全污染的部分： ． 【答案】 【分析】该题考查了有理数的加法运算律，根据有理数加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．利用加法交换律和结合律简化运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 【经典例题五 有理数的减法运算】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）若，则a的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查有理数的减法，若，则，根据有理数减法法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列计算，它正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． ． 【答案】不正确．正确的解答过程见解析 【分析】本题考查了有理数的减法运算，掌握有理数的减法法则是解题的关键． 根据有理数的减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，进行计算即可． 【详解】解：不正确．正确的解答过程如下： ． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在，1，三个数中取两个数相减，结果不可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法运算，解题的关键是列出所有两数相减的情况并计算结果． 列出从中取两个数相减的所有情况，计算出结果后判断哪个选项不可能出现． 【详解】解：列出所有两数相减的情况： 当被减数为，减数为1时：； 当被减数为，减数为时：； 当被减数为1，减数为时：； 当被减数为1，减数为时：； 当被减数为，减数为时：； 当被减数为，减数为1时：． 所有可能的差值为、、、、、，其中0未出现． 所以结果不可能是0， 故选：A． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．减去一个数等于加上这个数 B．零减去一个数，仍得这个数 C．互为相反数的两个数相减得0 D．有理数的减法中，被减数不一定比减数大 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法，掌握有理数减法法则是解题的关键． 根据有理数减法的法则：“减去一个数等于加上这个数的相反数”，逐一分析选项，判断其正确性即可． 【详解】解：A、有理数减法法则应为“减去一个数等于加上这个数的相反数”，而非直接加上这个数． 例如：，若按A选项则错误地得到．故A错误． B、零减去一个数，结果为该数的相反数． 例如：，而非原数．故B错误． C、互为相反数的两数相减，结果是被减数的两倍． 例如：，显然不等于．故C错误． D、被减数可以大于或小于减数． 例如：（被减数大），（被减数小），因此被减数不一定比减数大．故D正确． 故选：D 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）设表示不超过x的整数中最大的整数，如：，．根据此规律计算： ． 【答案】 【分析】根据题意直接计算即可．本题考查有理数的大小的认识及有理数减法的计算方法，掌握有理数减法的计算方法是解题的关键． 【详解】由题可知，， 故答案为：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）先去括号，再算加法即可； （2）根据有理数减法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）． 【经典例题六 有理数减法的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）个位上的“5”与十分位上的“5”相差（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了小数的认识以及小数的减法．求出，即可求解． 【详解】解：个位上的“5”与十分位上的“5”相差． 故选：C 【例2】（25-26七年级上·全国·周测）把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如和，我们称之为集合，并称其中的数为集合的元素．如果一个集合满足当有理数a是集合的元素时，有理数也必是这个集合的元素，那么我们称这样的集合为“好的集合”． (1)请你判断集合和是不是“好的集合”． (2)请你写出满足条件的两个“好的集合”． 【答案】(1)不是好的集合；是好的集合 (2)集合和（答案不唯一） 【分析】本题考查了新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合“好的集合”的定义进行分析，即可作答． （2）结合“好的集合”的定义进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，而7不是中的元素， ∴不是“好的集合”． 则，7是中的元素， 则，4也是中的元素， 则，1也是中的元素， ∴是“好的集合”． （2）解：依题意，集合和是“好的集合”（答案不唯一）， 过程如下： 则，4是中的元素， ∴是“好的集合”． 则，5是中的元素， 则，4也是中的元素， 则，3也是中的元素， ∴是“好的集合”． 1．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某日天气预报显示，哈尔滨白天平均气温，海南白天平均气温，两地当日白天的平均气温相差（    ）． A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的减法应用，根据哈尔滨白天平均气温，海南白天平均气温，列式计算得出两地当日白天的平均温差，即可作答． 【详解】解：∵哈尔滨白天平均气温，海南白天平均气温， ∴ 即两地当日白天的平均气温相差， 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）我们知道，一年有春、夏、秋、冬四季，按照中国传统二十四节气划分，立春（2月4日左右）到立夏前（5月5日左右）为春季，立夏到立秋前（8月7日左右）为夏季，立秋到立冬前（11月7日左右）为秋季，立冬到次年立春前为冬季．二十四节气日是气候变化的节点，每天的日出、日落时刻与它们有着密切的联系，每天的白昼时长等于日落时刻-日出时刻．下表是大连地区立春、立夏、立秋、立冬这四天的日出和日落的大致时刻． 日出时刻 日落时刻 立春 立夏 立秋 立冬 小明测得大连某天的白昼时长大约11小时，那么这天属于的季节是（   ） A．春季 B．冬季 C．春季或夏季 D．春季或秋季 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法的应用，先用日落日出时间，求出各节气白昼时长，再根据各节气白昼时长及季节划分判断即可． 【详解】解：计算各节气白昼时长： 立春：日落日出小时20分钟（620分钟）． 立夏：日落日出小时57分钟（837分钟）． 立秋：日落日出小时57分钟（837分钟）． 立冬：日落日出小时（600分钟）． 春季（立春至立夏前）：白昼时长从10小时20分钟逐渐增加到13小时57分钟． 秋季（立秋至立冬前）：白昼时长从13小时57分钟逐渐减少到10小时． 夏季（立夏至立秋前）和冬季（立冬至立春前）的白昼时长均不包含11小时． ∴白昼时长为11小时（660分钟）时，可能处于春季（时长递增阶段）或秋季（时长递减阶段）， 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某项国际高山滑雪比赛开幕式于2025年3月5日上午10时开始，在西班牙留学的乐乐准时观看了直播．已知北京时间的中午12时是西班牙的凌晨5时，那么直播开始时西班牙时间为 【答案】月日凌晨时 【分析】本题考查了有理数的减法的实际应用，根据题意列出算式是解题的关键． 根据北京与西班牙的时差为时时小时，进行计算即可解答． 【详解】解：∵北京与西班牙的时差为时时小时，北京时间的中午时是西班牙的凌晨时， ∴北京时间上午时时，西班牙的时间为时时时， 故答案为：月日凌晨时 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）一架直升机在空中做升降练习，第一次上升210米，第二次下降232米，请问此时飞机是否又回到了原来的高度？如果没有，比原来升高了还是比原来降低了？ 【答案】飞机没有回到原来的高度，比原来降低了 【分析】本题考查了有理数减法的应用，理解题意是解题关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得（米）． 答：飞机没有回到原来的高度，比原来降低了米． 【经典例题七 有理数加减混合运算】 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则的值为（   ） 4 a 2 1 3 b 5 c A． B． C．0 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意求出、、的值，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】根据有理数减法法则进行计算即可． 本题考查了有理数减法．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．熟练掌握有理数减法法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）算式的正确读法是（    ） A．3，5，7，2，9的和 B．减3正5负7加2减9 C．负3、正5、减7、正2、减9的和 D．负3、正5、负7、正2、负9的和 【答案】D 【分析】本题考查了有理数加减混合运算算式的读法，解题的关键是理解代数和的概念，区分数的性质符号与运算符号． 根据代数和概念，把算式中每个数及其前面符号看作性质符号，分析各选项读法是否正确． 【详解】解：原算式中，是负是正是负是正是负9，所以可拆解为：负3、正5、负7、正2、负9的和． A、只说的和，未包含数的符号，不符合代数和读法，错误； B、用“减、加”等运算符号描述，不是代数和的规范读法（应将符号视为数的性质符号读和），错误； C、出现“减7““减9”，混淆了运算符号与性质符号，错误； D、正确将每个数的符号作为性质符号，读作“负3、正5、负7、正2、负9的和”，正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 【答案】B 【分析】此题考查了有理数加减混合运算．把原式变为省略加号和括号的加法计算即可． 【详解】解： 故选：B． 3．（25-26七年级上·重庆·开学考试）规定“⊕”表示的运算是：，那么 ． 【答案】12 【分析】本题定义了一种新的运算“⊕”，需要按照给定公式进行计算．首先需要计算括号内的运算，再计算括号外的运算，按照运算规则逐步求解．本题主要考察了新定义运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 所以 故答案为：12． 4．（25-26七年级上·全国·周测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)14 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）根据有理数的加减运算法则计算即可； （4）根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题八 有理数加减中的简便运算】 【例1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）计算，正确的是（    ） A． B．5 C．19 D． 【答案】A 【分析】根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 【例2】（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算．首先根据加法交换律整理算式，然后利用有理数加减混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A．2025 B．-2025 C．-1013 D．1013 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，数字的规律探索． 解题时先观察数列规律，发现每两个相邻的数为一组，每组和为，总共有组，因此总和为. 【详解】解： 故选：D ． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算时，画线的步骤中使用了（   ）． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．加法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据算式的特点解答即可． 【详解】解： ， ∴画线的步骤中使用了加法结合律． 故选D． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察下列式子：，，，…请计算( ) 【答案】/ 【分析】该题考查了有理数的加减运算，观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，关键是找出规律进行简便运算． （1）通过观察可以发现第二个数和第三个数的和为，第三个数和第四个数之和也为， 所以可以将数据分组，即可以写成，然后算出结果． （2）通过观察可以发现前四个数之和为，后四个数之和也为，可以进行数据分组，则可以写成，计算得到为． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【经典例题九 有理数加减混合运算的应用】 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）某地一天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用早晨的气温加上上升的温度，再减去下降的温度即可得到答案． 【详解】解：， ∴午夜的气温是， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）某水利勘察队沿着某河流进行野外作业，第一天从出发点向上游走了，第二天又向上游走了，第三天向下游走了，第四天又向下游走了，这时勘察队位于哪里？与出发点相距多少千米？ 【答案】勘察队在出发点上游，距出发点 【分析】本题考查有理数的正负，有理数的加法的应用；规定向上游走为正，将数据相加后，根据结果正负即可判断． 【详解】解：规定向上游走为正，根据题意可得， ∴勘察队在出发点的上游，距出发点． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）一次外语小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有（ ）人． A．8 B．7 C．3 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了整数的运算，先确定只做对第一题的人数，再结合第二题做错的总人数，求出两题都错的人数． 【详解】解：∵两题都做对的有10人． ∴第一题做对的25人中，有10人全对， ∴只做对第一题的人数为人，这部分人第二题做错； ∵第二题共有18人做错，其中15人属于只做对第一题的情况， ∴剩余做错第二题的人即为两题都错的人数，即人． 综上，两题都做错的有3人． 故选：C． 2．（2025·河北保定·二模）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入50元 B．支出40元 C．收入10元 D．支出10元 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，解题关键是理解题意列出算式并进行正确的运算．根据题意列出算式，然后根据计算结果和正数表示收入，负数表示支出，求出答案即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴小陈当天微信收支的最终结果是收入10元． 故选：C． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）某条河流的水位第一天上升了，第二天下降了，第三天又下降了，第四天又上升了．经测量得知此时的水位为，则该河流的初始水位为 ． 【答案】67.6 【分析】将下降，再上升， 再上升，再下降，即可得到该河流的初始水位的高度． 本题考查了有理数加减混合运算的实际应用．正确的列出算式是解题的关键． 【详解】解：该河流的初始水位为： 故答案为：67.6． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）一位病人每天下午需要测量一次血压，下表是该病人周一至周五高压变化情况，该病人上个周日的高压为160单位． 星期 一 二 三 四 五 高压的变化（与前一天比较） 升25单位 降15单位 升13单位 升15单位 降20单位 (1)该病人哪一天的血压最高？哪一天的血压最低？ (2)与上周日比，本周五的血压是升了还是降了？ 【答案】(1)周四的血压最高，周二的血压最低 (2)升了 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别算出星期一~星期五的血压，再进行比较，即可作答． （2）结合上个周日的高压为160单位，且，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，，，，， ∴， ∴周四的血压最高，周二的血压最低； （2）解：由（1）得周五的血压为（单位）， ∵上个周日的高压为160单位，且， ∴本周五的血压升了． 【拓展训练一 有理数加减法的规律计算】 【例1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，原式结合后，相加即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）计算：； 解：原式 ． （2）计算：． 解：原式 ． 【答案】 0 0 42 42 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）先利用加法交换律，结合律得到，再计算即可； （2）先利用加法交换律，结合律得到，再计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 故答案为：；；；；0；0；；；；42；；42；． 1．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）若，，，…，照此规律试求： (1)计算：__________； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的性质，利用绝对值的性质化简绝对值是解题的关键． （1）根据绝对值的性质化简绝对值，即得答案； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，再根据有理数加法的交换律与结合律简化计算，即得答案； （3）根据绝对值的性质化简绝对值，再根据有理数加法的交换律与结合律简化计算，即得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为: ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（2024七年级上·广东佛山·阶段练习）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算：①______，②______； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】(1)①，② (2) (3)适合，见解析 【分析】（1）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可． （3）举例运算说明即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）解：适合．举例如下： 交换律  ，， 所以， 故交换律成立； ，， 所以， 故结合律成立． 【点睛】本题考查了实数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运算结果正确的个数为（   ） ①；     ②； ③；           ④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加法，根据有理数的加法法则逐一计算即可判断． 【详解】解：①，此小题计算正确； ②，此小题计算正确； ③，此小题计算正确； ④，此小题计算正确． 综上，四个运算均正确， 故选：A． 4．（23-24七年级上·浙江衢州·阶段练习）下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数加法的运算律，根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动，掌握加法的运算律是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【拓展训练二 有理数加减法与数轴结合】 【例1】（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与有理数，由数轴可得，，据此逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则和大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，故错误， ∵，，， ∴，故正确，错误， 故选：． 【例2】（24-25七年级上·云南临沧·阶段练习）如图，是一个数轴，请思考下列问题： (1)把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为______． A．     B． C．     D． 一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上、两点之间的距离为在的左侧，且折痕与折痕相同，且、两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． 若数轴上折叠后重合的两点分别表示数，则与折痕重合的点表示的数为______． 【答案】(1)①D；②1012； (2)①2019；②；1013；③． 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减混合运算，掌握平移和翻折的规律是解题的关键． （1）①根据题意和有理数的加法法则进行计算即可； ②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①根据题意得折叠中点表示的数为1，再根据重合点表示的数与中点表示的数的差相等列式计算即可； ②根据折叠中点表示的数为1，，可推出点A所表示的数和点B所表示的数与折叠中点表示的数的差为1022，结合A在B的左列式计算即可； ③折痕重合的点表示的数应是12.5465和-36.5465的中点，利用中点公式即可求解． 【详解】（1）解：①根据题意可知：， 故选：； ②根据题意可知， 机器人跳动过程用算式表示为： ， 故机器人跳次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：； （2）①表示的点与表示的点重合， 折叠中点表示的数为：， 设表示的点与表示的点重合， ， 解得， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：． ②折叠中点表示的数为，， 点所表示的数为：，点所表示的数为：， 故答案为：，； ③， 与折痕重合的点表示的数为． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·广东东莞·开学考试）数轴上点表示的数是，点与点在数轴上相距4个单位长度．则点表示的数是（    ） A． B．1 C．或1 D．或7 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、有理数的加减，关键是分点B在点A的左侧和右侧分别求解． 分点B在点A的左侧和右侧求解即可． 【详解】解：当点B在点A的左侧时，点B表示的数是， 当点B在点A的右侧时，点B表示的数是， 故选：C． 2．（24-25七年级上·辽宁营口·阶段练习）有理数在数轴上的对应点位置如图所示，下列各式正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与绝对值，由数轴可知：，结合有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置、有理数的加减运算及绝对值进行求解即可． 【详解】解：由数轴知，，， ①，故①错误； ②，故②正确； ③，故③正确； ④∵， ∴，故④错误； ∴正确的个数有2个， 故选：B． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．先根据题意找到点表示的数，再根据线段长，确定的中点表示的数． 【详解】解：，点B表示的数为4 ∴点表示的数为5或3， 当点表示的数为5时，， ， ∴点C表示的数为； 当点表示的数为3时，， ， ∴点C表示的数为， ∴点C表示的数是或， 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有A，B，C三个点，其中A到B的距离为3，B到C的距离为8． (1)若以B为原点，则数轴上点A所表示的数是______，点C所表示的数是______． (2)记A，B，C所对应的数的和为m，原点到B的距离为2，求m的值． 【答案】(1)，8； (2)或11 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离，有理数的加减法： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）分原点在点B右侧和左侧两种情况，分别求出点A，点B，点C表示的数，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：∵A到B的距离为3，B到C的距离为8， ∴当以点B为原点，点A表示的数是，点C表示的数是； 故答案为：，8； （2）解：当原点在点B右侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 当原点在点B左侧时， ∵原点到点B的距离为2， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数是，点C表示的数是， ∴； 综上所述，m的值为或11． 【拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算】 【例1】（24-25七年级上·四川资阳·阶段练习）如果，那么的值是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值非负性，有理数减法，根据绝对值的非负性，两个非负数之和为时，每个数都必须为，由此可解出和的值，再代入计算的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：． 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）如果，，且，求的值． 【答案】的值为或 【分析】此题考查绝对值的计算，有理数加减法计算法则，正确理解绝对值的计算是解题的关键，根据绝对值定义得到a，b的值，代入计算加减法即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或， ∵, ∴， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的减法，先利用绝对值的定义得出或，或，再根据，得，得出符合条件的a、b，再进行计算的值． 【详解】解：∵， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值是或， 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，则的值是（） A． B． C．或 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义和有理数的减法，根据绝对值的意义先确定的值，再代入求值，根据绝对值的意义确定的值是解决本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴当，或，时，满足， 当，时，， 当，时，， ∴的值是或， 故选：D． 3．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）定义一个新运算 ，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算的新定义，绝对值的意义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用新定义解决问题．先求出，再根据定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了化简绝对值、代数式求值等知识点，根据题意求得或、成为解题的关键． 根据绝对值的意义并结合已知条件分别求得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴或、， ∴或． 答：的值为或． 【拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合】 【例1】（2025·湖南娄底·二模）如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（   ） ★★★ 型号 3星级 质量 黄色 质量 直径 包装规格 10只/盒 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法在实际生活中的应用，根据题意算出直径上限和下限，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： 该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：， 直径下限是：， ∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的， ∴选项中，直径为的乒乓球不合格， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·广东·阶段练习）某校七年级利用劳动实践课开展创意点心制作比赛活动．小龙制作了一盒精美点心（共计6枚），现在他把6枚点心质量称重后统计列表如下（单位：克）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量 68.4 71.3 70.7 68.6 69.1 72 (1)为了简化运算，小龙依据比赛的标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），则比赛的标准质量为________克，请你把表格补充完整； 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量 (2)按照比赛说明上标记，一盒点心的总质量合格标准为克，那么，小龙制作的这盒点心的实际总质量是合格的，你知道为什么吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)70，1.3，，2； (2)见解析． 【分析】本题考查了正数与负数、有理数的运算；正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据第3枚的质量及与标准质量的差求出标准质量的克数，再依次求出其他枚与标准质量的差即可； （2）计算点心的总质量，判断是否在克的范围内，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得标准质量为（克）， 则第枚的质量为； 第4枚的质量为； 第6枚的质量为． （2），，所以一盒点心的总质量合格标准为克． 克． 因为，所以这盒点心的总质量是合格的． 1．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【抽屉原理】袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，要保证摸出的球一定有两个颜色相同，至少要摸出（　　）个；要保证摸出的球一定有两个颜色不同，至少要摸出（　　）个． A．4；6 B．6；10 C．10；11 D．11；6 【答案】A 【分析】本题考查了抽屉原理的实际应用，解题的关键是理解“最不利原则”，即考虑在最不利的情况下需要摸出球的数量，以此确定保证满足条件的最少摸球数．​ 对于“保证摸出的球一定有两个颜色相同”，需考虑最不利情况：先摸出每种颜色各1个球，再摸1个就一定有两个颜色相同，因此至少摸出的数量为颜色种类数加1；对于“保证摸出的球一定有两个颜色不同”，最不利情况是先摸出同一种颜色的所有球，再摸1个就一定有两个颜色不同，因此至少摸出的数量为一种颜色的球数加1．​ 【详解】解：第一个空，袋子有3种颜色，最不利情况先摸3个不同颜色的球，再摸1个即有两个颜色相同，个； 第二个空，最不利情况先摸完5个同色球，再摸1个即有两个颜色不同，个，此选项符合题意；​​ 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用每天的最高温度减去最低温度，然后相比即可得出答案． 【详解】解：第1天温差为：； 第2天温差为：； 第3天温差为：； 第4天温差为：； ∵， ∴第1天温差最大． 故选：A． 3．（2025·北京海淀·一模）某公司设有三个充电桩，分别为一个快充桩和两个慢充桩．每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有五辆车待充电，每辆车的充电需求如下表： 车辆序号 A B C D E 快充桩充电时间（分钟） 70 40 无法使用 90 60 慢充桩充电时间（分钟） 210 120 150 无法使用 170 车辆充电交接时间忽略不计，请回答下列问题： （1）若其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，则这四辆车的序号可以为 （写出一种即可）； （2）这五辆车完成充电总用时最短为 分钟． 【答案】 （答案不唯一） 200 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，解决本题的关键是根据每辆车的充电需求，合理安排时间． （1）根据其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，进行合理安排即可； （2）优先考虑慢充时间最长的应当安排快充，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）要使其中的四辆车完成充电的总用时不超过150分钟，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，两个慢充桩可分别提供给充电， 故答案为：（答案不唯一）； （2）要使五辆车完成充电总用时最短，可安排如下：快充桩可依次提供给充电，共需要（分钟），两个慢充桩可分别提供给充电，其中充电完成需要150分钟，充电完成需要170分钟， 这五辆车完成充电总用时最短为200分钟． 故答案为：200． 4．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：”． (1)这段文字表示这袋面粉的重量在________和________之间． (2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下： 袋号 1 2 3 4 5 质量 803 798 800 794 805 请你结合（1）和上表中的数据，以为标准，超出标准记为正，不足的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋． 【答案】(1)795，805 (2)袋分别标记为：，，，，，1． 【分析】本题考查正负数在实际质量误差问题中的应用．解题关键是理解“”所表示的合格质量范围，通过计算各袋面粉与标准质量的差值并用正负数表示，进而判断是否合格． （1）理解“”在“”中的含义，即表示在基础上可上下浮动，分别通过计算下限，计算上限，从而确定面粉重量范围． （2）以为标准，用每袋面粉实际质量减去得到差值，差值为正记为“” 、为负记为“” ，表示出各袋质量情况；再依据第一问得出的合格范围，判断超出此范围的袋数． 【详解】（1）(克) (克) 答：这段文字表示这袋面粉的重量在和之间． 故答案为：795；805． （2）1号袋：，1号袋面粉的质量是，1号袋面粉合格． 2号袋：，2号袋面粉的质量是，2号袋面粉合格． 3号袋：，3号袋面粉的质量是，3号袋面粉合格． 4号袋：，4号袋面粉的质量是，4号袋面粉不合格． 5号袋：，5号袋面粉的质量是，5号袋面粉合格． 所以，这5袋面粉中不合格的有1袋． 故答案为：1． 【拓展训练五 有理数加减法的新定义运算】 【例1】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为，则，再根据可进一步将原式变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选A． 【例2】（24-25七年级上·广东河源·阶段练习）探究规律，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的法则进行运算的算式： ；；； ；；． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的法则了．” 聪明的你看明白了吗？ (1)归纳※（加乘）的运算法则： ①非零两数进行※（加乘）运算时，______； ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，______； (2)计算：______（括号的作用同在有理数运算中的作用）； (3)我们知道加法有交换律，请你判断加法交换律在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证（举一个例子即可）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3)适用，举例见解析（答案不唯一） 【分析】此题考查了新定义运算，以及有理数的加法运算． （1）根据所给算式，归纳出※（加乘）运算的运算法则即可． （2）根据新定义，先算中括号里，再算中括号外即可． （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳※（加乘）运算的运算法则： ①两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． ②特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，结果等于这个数的绝对值． （2） ． 故答案为：； （3）加法交换律和加法结合律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 由※（加乘）运算的运算法则可知： ， ， 所以， 即加法交换律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）对于有理数、，定义一种新运算“※”，规定：，则等于（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算形式，以及对有理数混合运算的运算法则是解题的关键． 根据新定义的运算，把相应的数值代入运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 2．（23-24七年级上·安徽·期中）定义一种新运算“”，其运算法则为 ，则的值为(  ) A．－2 B．2 C．－4 D．4 【答案】B 【分析】弄懂新运算的运算法则，按有理数的加减运算进行即可． 【详解】 =2 故选：B 【点睛】本题是新定义运算问题，考查了有理数的加减运算，理解新定义的运算法则是关键． 3．（24-25七年级上·重庆梁平·期中）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“绝对数”．定义：对于一个正整数m，若将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值，从大到小顺次排列后，得到一个新数n，则称n是m的“绝对数”．例如：，将其各个数位上的数字两两作差后取绝对值为6，5，1，那么的“绝对数”n为651．则645的“绝对数”为 ；若一个三位正整数x的“绝对数”431，则满足条件的所有x中最大为 ． 【答案】 211 985 【分析】本题考查了有理数大小比较，根据题意求出符合题意的数值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 根据题意，计算出对应的“绝对数”即可． 【详解】解：∵，，， ∴645的“绝对数”为211； 欲使得x最大，则百位数最大，其次十位数， ∵x的“绝对数”为431， ∴不妨取百位数为9，十位数为8，个位数为5， ∴985的“绝对数”为431，是满足条件的所有x中最大的数． 故答案为：211；985． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）定义：，计算的值． 【答案】2024 【分析】本题考查新定义下有理数运算，根据题意代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 则原式， ∵， ∴， 故答案为：2024． 1．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）数轴上有A、B两点，若将点A向左移动5个单位长度得到点B，则下列说法错误的是（   ） A．若点A表示的数为6，则点B表示的数为1 B．若点A表示的数为，则点B表示的数为 C．若点B表示的数为5，则点A表示的数为0 D．若点B表示的数为，则点A表示的数为0 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，有理数的减法、有理数的加法，根据数轴上点的移动规律，结合有理数的加减运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若点A表示的数为6，则点B表示的数为，原说法正确，不符合题意； B、若点A表示的数为，则点B表示的数为，原说法正确，不符合题意； C、若点B表示的数为5，则点A表示的数为，原说法错误，符合题意； D、若点B表示的数为，则点A表示的数为，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）数学课上，老师在黑板上写了四个式子，如图所示，其中计算结果为整数的是（    ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数的加减运算法则是解本题的关键．分别计算四个式子的结果，判断是否为整数． 【详解】①（非整数）； ②（整数）； ③（非整数）； ④（非整数）． 综上，仅②的结果为整数，故选B． 3．（25-26七年级上·河南安阳·开学考试）期末考试以班级平均分为基准来评估每位同学的成绩．具体规则：如果高于班级平均分记为正数；如果低于平均分记为负数．根据这个规则，这次全班的平均分为80分，甲同学的成绩为86分，记为分，乙同学的成绩为77分，则记为（    ）分． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查正负数的意义，有理数减法的应用，正确理解各分数与平均数的差值即为所记分数，求出乙同学与平均成绩的差值即可得到答案． 【详解】解：平均分为80分，甲同学的成绩为86分，记为分， 则乙同学的成绩为77分与平均分的差值为， 所以乙同学的成绩为77分，则记为分， 故选：D． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列计算的过程中最简便的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法运算中的简便运算，熟练掌握有理数加法的交换律和结合律，是解题的关键．根据加法的交换律和结合律，进行求解即可． 【详解】解：计算的过程中最简便的是， 故选：D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的加减法，先化简绝对值，然后根据有理数的加减法则计算，最后逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算正确，但不符合题意； B．，故原计算正确，但不符合题意； C．，故原计算正确，但不符合题意； D．，故原计算错误，符合题意； 故选：D． 6．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）甲、乙、丙三人合买15瓶汽水，按照规定三个空瓶可以换回一瓶汽水，请问他们一共可喝到汽水（    ）瓶 A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，15个空瓶换5瓶，喝完再用3个空瓶换1瓶，喝完后再与之前剩余的2个空瓶换1瓶． 【详解】解：15个空瓶换5瓶，喝完再用3个空瓶换1瓶，喝完后再与之前次剩余的2个空瓶换1瓶， 即（瓶）， 故选：C． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若，则a、b在数轴上表示的点的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的意义，根据绝对值的意义，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、由数轴得，，不符合题意； B、由数轴得，，不符合题意； C、由数轴得，，不符合题意； D、由数轴得，，符合题意； 故选：D． 8．（24-25七年级上·河南郑州·期末）某班一个小组的10名学生参加体检，为了方便记录测得的体重结果，他们以为标准，超出记为正数，低于记为负数，得到如下数据：（单位：） ，，，，，0，，，， 则这10名学生中的最小体重是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，有理数加法运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先把这些数用据比较大小，然后进行计算即可； 【详解】解：∵ ∴ ∴这10名学生中的最小体重是 故选：B． 9．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如图是小明妈妈支付宝的连续四笔交易记录，已知在此之前小明妈妈支付宝账户的余额为1470元，则四笔交易后余额为（   ） A．1535元 B．1525元 C．1515元 D．1505元 【答案】A 【分析】本题考查正数与负数；理解正数与负数在实际问题的中的意义，用支付宝的1470分别与支出和收入部分求和即可． 【详解】解：元， 故选：A． 10．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图所示，已知北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字，由此推断当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是（   ） A．9 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，解决本题时需注意时间表上的数值越大说明时间越早，这与平时的计算稍有区别，需认真考虑． 根据已知可得，数轴上的原点表示某地2024年10月25日上午0时，距离这个时间的长短就是对应数的绝对值，没到的为负，已经超过的为正即可判断． 【详解】解：北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字， 故数轴上的原点表示某地2024年10月25日上午0时， ∴当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是， 故选C． 11．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）一支钢笔的笔杆长15厘米，笔帽长5厘米，将笔帽套在笔杆上，重叠部分长3厘米．套好后的钢笔长 厘米． 【答案】17 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，根据一支钢笔的笔杆长15厘米，笔帽长5厘米，将笔帽套在笔杆上，重叠部分长3厘米，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，（厘米） 故答案为：17 12．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图，小胡同学在做作业时，不慎将数轴上的数字污染了一部分，那么被污损的部分中各个整数的和为 ． 【答案】8 【分析】本题考查有理数的加法以及数轴的应用，根据数轴表示数的方法得到污损部分中的整数相加解答即可． 【详解】到之间的整数有，到之间的整数有，，，， 这些整数的和为， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）银行储蓄所办理了5件储蓄业务：取出9500元，存入5000元，取出8000元，存入12000元，存入25000元，这时银行存款增加或减少了多少元？ 完成下面的解答过程： 解：记取出为负，存入为正，则取出9500元为元，存入5000元为元，取出8000元为 元，存入12000元为 元，存入25000元为 元． 所以（ ）（ ）（ ） ＝（ ）（ ）（ ）＝ ， 所以 ． 【答案】 24500 银行存款增加了24500元 【分析】本题考查的是正负数的意义及有理数的加法运算，解题关键是有理数加法法则及加法运算律，根据正负数表示的意义及有理数加法运算律及法则计算即可． 【详解】解：记取出为负，存入为正，则取出9500元为元，存入5000元为元，取出8000元为元，存入12000元为元，存入25000元为元． 所以 ＝， 所以银行存款增加了24500元． 故答案为：；；；；；；；；；24500；银行存款增加了24500元． 14．（25-26七年级上·重庆·开学考试）电梯上升记为正，下降记为负．从一楼开始，电梯经过如下四次运动：层，层，层，层．现在电梯停在 楼． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算的应用；将四次数据相加，即可求解． 【详解】解： 现在电梯停在楼 故答案为：． 15．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）下列运用有理数加法法则，思考、计算“”的正确排序为 ． 结果的符号是取的负号；    和的绝对值分别为和，大于； 是异号两数相加；    结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 【答案】或 【分析】本题考查了异号两数相加的法则，先判断式子是异号两数相加，再运用异号两数相加的法则，结果的符号和绝对值大的数的符号相同，最后用较大绝对值减去较小绝对值即可，熟悉异号两数相加的计算步骤是解题的关键． 【详解】解：计算“”的步骤为， 是异号两数相加； 和的绝对值分别为和，大于； 结果的符号是取的负号； 结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 或是异号两数相加； 和的绝对值分别为和，大于； 结果的绝对值是用得到； 结果的符号是取的负号； 计算结果为； 故答案为：或． 16．（24-25七年级上·全国·期末）小李是一位铁路轨道维护员，他每天负责从站台开始沿铁路轨道巡视检查，规定向东巡视为正，向西巡视为负，以下是他某天巡视记录：（单位：千米） (1)当天巡视结束时，小李在站台的什么方向，离站台多远？ (2)小李当天走过的路程是多少？ 【答案】(1)小李在站台的正东方向，离站台1千米 (2)小李当天走过的路程是19千米 【分析】本题主要考查了有理数的加法，正数和负数的意义，以及绝对值，熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义是解题的关键． （1）先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定巡视在出发点的方向，相距多少千米； （2）把已知数据的绝对值相加，即可得到答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：小李在站台的正东方向，离站台1千米； （2）解：（千米）， 答：小李当天走过的路程是19千米． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，为泳池的水平面，一名运动员（看作一个点）从点A起跳，点，，为她三次跳水落入水中的位置．以水平面为基准，点A记为，点记为，点A与点的高度差为，点比点高． (1)点比点A低多少米？ (2)，，三个点中，最高点比最低点高多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正数和负数表示相反意义的量，有理数的加减法等相关内容，得出点C和点D的高度是解题关键．根据题意可得出点C和点D的高度，再进行计算即可． 【详解】（1）∵点比点高，∴点的高度为， ∴点比点A低． （2）∵点A与点的高度差为， ∴点的高度为， ∴，，三个点的高度分别为：，，， ∴这三点中，最高点为点，最低点为点， 最高点与最低点的高度差为． 18．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】16 【分析】本题考查有理数的减法运算，先去绝对值，再根据减法法则，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 19．（24-25七年级上·重庆·开学考试）甲从A地出发，先后经过B、C两地，最终到达M地；然后从M地原路返回至A地．甲在从A地去往M地的路上一开始匀速行驶，在BC两地之间某处，甲提速了，并且以后一直保持着这个速度直至返回到A地．已知在从A地去M地的过程中，A地到B地、B地到C地、C地到M地都用时12分钟；返程的路上，从C地到B地用时10分钟．如果甲再次以最开始的速度出发，在相同的地点加速，但这回加速，请问，他从A地出发到M地再返回A地需要多少分钟？ 【答案】54分钟 【分析】本题考查行程问题，理解题意是解题的关键． 设加速点为D，列比例式有，段往返时间差2分钟，， 段原速行驶6分钟，加速行驶4分钟，段加速行驶6分钟，则 则加速后，去时 返回时即可解答． 【详解】解：如图，设加速点为D，列比例式有，段往返时间差2分钟， ， ∴段原速行驶6分钟，加速行驶4分钟，段加速行驶6分钟，则 ， ∴． 则加速后，去时 返回时 ∴（分钟）． 答：他从A地出发到M地再返回A地需要54分钟． 20．（24-25七年级上·河北保定·开学考试）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考出来简便运算，解题的关键是∶ （1）仿照例1求解即可； （2）仿照例2求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$