专题07 有理数的混合运算 重难点专题提升精讲精练 -2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的混合运算与近似数两大核心知识点，系统梳理混合运算的法则（先乘方再乘除后加减，有括号先算括号内）和顺序，以及近似数的概念、有效数字与精确度，搭建从基础运算到实际应用的学习支架。 资料通过算“24”点游戏、程序流程图计算、幻方问题等多样化题型，引导学生用数学眼光发现现实情境中的数量关系，在运算训练中发展数学思维，自我检测环节助力课后查漏补缺，有效提升教学效果与学生知识掌握度。

专题07 有理数的混合运算重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、算“24”点 1 题型二、含乘方的有理数混合运算 2 题型三、程序流程图与有理数计算 3 题型四、计算器——有理数 4 题型五、求一个数的近似数 5 题型六、求近似数的精确度 6 题型七、近似数推断取值范围 7 第二部分·练提高题型 题型一、幻方问题 1 第三部分・自我检测 知识点01 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）六进制数表示为十进制是（    ） A．457 B．445 C．2706 D．451 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）规定一种运算：，则的值为__________． 知识点02 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．0.70精确到十分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到万位 2．（25-26七年级上·广西河池·期末）近似数万精确到_____位． 【基础题型一 算“24”点】 【例1】（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【例2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，5张卡片上面分别标注了一个数，请你从中选取4张卡片，仅使用“+，－，×，÷”四种运算符号（可用括号）将这些卡片上的数连起来，组合成一个式子，使其计算结果为24．请写出两个不同的式子． 方案一：我选的是________，列出的算式是________． 方案二：我选的是________，列出的算式是________． 2．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）“24点”游戏规则如下：在一副扑克牌（去掉大、小王）中取出4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌限用一次），使结果为24或，其中红色牌代表负数，黑色牌代表正数，，，，分别代表1，11，12，13．例如黑、黑2、黑3和红2，可进行如下运算：或． (1)现有四张牌为黑3、黑4、黑10和红6，运用上述规则写出三种不同的算式，使其结果为24或，则算式为： ①_______________________； ②_______________________； ③_______________________． (2)若四张牌为黑、黑3、黑4和红3，则应如何运算（写出一种算式即可）？ 3．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【基础题型二 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【例2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：___________． 1．（2026·四川攀枝花·模拟预测）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 2．（2026七年级下·安徽合肥·模拟预测）定义：，则________． 3．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【基础题型三 程序流程图与有理数计算】 【例1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【例2】（25-26七年级上·河南漯河·阶段检测）如图是一个数值转换机，若输入的数为，则输出的数是______． 1．（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，…，那么第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）按程序输入数，先乘，若结果为负，再将此结果乘，直到结果为正输出，则输出结果为______________． 3．（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【基础题型四 计算器——有理】 【例1】（25-26六年级上·山东烟台·期末）用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：，则计算结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【例2】（25-26六年级上·山东烟台·期末）运用科学计算器进行计算，按键顺序为，则计算器显示的结果是_____． 1．（25-26六年级上·山东烟台·期中）用计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是(   ) A．按键顺序为显示结果为 B．按键顺序为显示结果为 C．按键顺序为显示结果为 D．按键顺序为显示结果为 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）使用计算器计算：，其按键顺序如表第一行，计算结果是，那么根据第二行的按键顺序得到的计算结果是_______． 行 按键顺序 第一行 第二行 3．（25-26七年级上·全国·随堂练习）用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果保留小数点后三位）． 【基础题型五 求一个数的近似数】 【例1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）精确到百分位，应等于（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27七年级上·河北邯郸·开学考试）6045809090读作______________，“四舍五入”到万位的近似数记作________万． 1．（25-26七年级上·云南红河·期末）已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 2．（25-26七年级上·广西·开学考试）（大数的读写）世界上最大的海洋是太平洋，包括属海的面积约是平方千米，这个数读作__________，改写成以“万”为单位的数是__________万，省略亿位后面的尾数约为__________亿． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列问题中的数据，哪些是近似数？哪些是准确数？ (1)某年我国国民经济增长； (2)一星期有7天； (3)检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌约8亿个； (4)我国古代有四大发明； (5)某校有36个班级； (6)小明的体重是． 【基础题型六 求近似数的精确度】 【例1】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【例2】（25-26六年级上·山东威海·期末）由四舍五入得到的近似数1.25万，精确到______位． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）地球的半径约为，精确到（    ）位 A．千 B．百 C．十 D．个 2．（25-26七年级上·河南开封·期中）我国最长河流长江长度约为米，这个数是近似数它精确到__位． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 【基础题型七 近似数推断取值范围】 【例1】（25-26七年级上·全国·期末）数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·湖南长沙·专题练习）一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是___________． 1．（25-26七年级上·江西吉安·期中）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）一个三位小数“四舍五入”保留两位小数是6.80，这个小数最小可能是________，最大可能是________． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）老师黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是，老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，正确答案应该是什么？ 【提高题型一 幻方问题】 【例1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（   ） A．512 B．64 C．128 D． 【例2】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则的值为___________． 1．（25-26七年级上·浙江温州·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为________．    2．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）数学游戏题 (1)如图是一个三阶幻方，有9个数字构成，并且每横行，竖行和对角线上的3个数字的和都相等，试填出空格中的数． 14 9 16 (2)有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：（上述运算与视为相同方法的运算），在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩，如，，4，5可以列出算式；现给出3，，6，四个数，请你写出一个算式使其结果为24． 1．（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 2．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 3．（2026·山东淄博·二模）下列关于计算器的按键说法中，错误的是（    ） A．按键显示结果：45 B．按键 显示结果： C．按键 显示结果： D．按键显示结果：66 4．（24-25七年级上·河北沧州·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…，第10次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26七年级上·山东滨州·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）近似数精确到______位． 7．（25-26六年级上·山东烟台·期中）若用课本上采用的计算器进行计算，按键顺序如下： ，则计算的算式是______． 8．（25-26七年级上·北京·期中）数学课上，老师给出如图所示的运算程序：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数x进行第二次运算，依次运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止．当输入的数x是时，需要经过________次运算才能输出结果，求出输出的结果为________． 9．（25-26七年级上·广西南宁·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．类比十进制的计数原理：，把一个五进制数转化为十进制数的方法为：．二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一，请根据上面相关知识，计算________________． 10．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为________． 11．（25-26七年级上·重庆江北·期末）计算： (1) (2) 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）用计算器计算下列各式，将结果写在横线上．________；________；________；________． （2）根据（1）的计算结果，你发现了什么规律？ （3）不用计算器，你能直接写出的结果吗？ 13．（24-25六年级上·山东淄博·期中）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 14．（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 15．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），第一次捏合后，得到2根面条，第二次捏合后，得到4根面条，第三次捏合后，得到8根面条，如图所示，    (1)经过3次捏合后，可以拉出______根细面条．经过次捏合后，可以拉出______根细面条．（用含的式子表示） (2)到第几次捏合后可拉出32根细面条？ (3)假设每根细面条的长度是60cm，则捏合10次后，拉出的细面条的总长度为多少cm？（结果精确到万位） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 有理数的混合运算重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、算“24”点 1 题型二、含乘方的有理数混合运算 2 题型三、程序流程图与有理数计算 3 题型四、计算器——有理数 4 题型五、求一个数的近似数 5 题型六、求近似数的精确度 6 题型七、近似数推断取值范围 7 第二部分·练提高题型 题型一、幻方问题 1 第三部分・自我检测 知识点01 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）六进制数表示为十进制是（    ） A．457 B．445 C．2706 D．451 【答案】D 【分析】只需将六进制数按位权展开后求和，即可得到对应的十进制数． 【详解】解： ， ∴六进制数表示为十进制是． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）规定一种运算：，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据新定义代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 知识点02 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．0.70精确到十分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到万位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数． 根据题意利用近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：∵ 选项A：0.70的最后一位数字0在百分位上， ∴ 0.70精确到百分位，不是十分位，故A错误，不符合题意； ∵ 选项B： 3.6万中，数字6在千位上， ∴ 3.6万精确到千位，不是个位，故B错误，不符合题意； ∵ 选项C：，系数5.078的最后一位数字8在千分位上，但乘以后对应十位， ∴ 精确到十位，不是千分位，故C错误，不符合题意； ∵ 选项D：，系数2.9的最后一位数字9在十分位上，但乘以后对应万位， ∴ 精确到万位，故D正确，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·广西河池·期末）近似数万精确到_____位． 【答案】百 【分析】确定近似数的精确度，需先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看近似数的末位数字实际在哪一位，即为精确到哪一位． 【详解】解：， 14200中近似数1.42的末位数字2，对应原数中的百位，因此近似数1.42万精确到百位． 【基础题型一 算“24”点】 【例1】（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【例2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，5张卡片上面分别标注了一个数，请你从中选取4张卡片，仅使用“+，－，×，÷”四种运算符号（可用括号）将这些卡片上的数连起来，组合成一个式子，使其计算结果为24．请写出两个不同的式子． 方案一：我选的是________，列出的算式是________． 方案二：我选的是________，列出的算式是________． 【答案】 解：有如下几种方案： （1）选择，，，3，列出的算式是等； （2）选择，，，6，列出的算式是等； （3）选择，，3，6，列出的算式是等； （4）选择，，3，6，列出的算式是等； （5）选择，，3，6，列出的算式是等． 【分析】此题考查有理数的四则混合运算．解答此题应根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数即可解决问题． 【详解】略 2．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）“24点”游戏规则如下：在一副扑克牌（去掉大、小王）中取出4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌限用一次），使结果为24或，其中红色牌代表负数，黑色牌代表正数，，，，分别代表1，11，12，13．例如黑、黑2、黑3和红2，可进行如下运算：或． (1)现有四张牌为黑3、黑4、黑10和红6，运用上述规则写出三种不同的算式，使其结果为24或，则算式为： ①_______________________； ②_______________________； ③_______________________． (2)若四张牌为黑、黑3、黑4和红3，则应如何运算（写出一种算式即可）？ 【答案】(1)①；②；③； (2)． 【分析】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键． （1）把数字3、4、10、利用运算符号和括号组成算式，使运算结果为24或； （2）把数字12、3、4和利用运算符号和括号组成算式，使运算结果为24或即可． 【详解】（1）解：根据题意得，①； ②； ③； （2）解：根据题意得，． 3．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 【基础题型二 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【详解】解：，，且， 是的倍． 【例2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算：___________． 【答案】1 【详解】解： ． 1．（2026·四川攀枝花·模拟预测）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 2．（2026七年级下·安徽合肥·模拟预测）定义：，则________． 【答案】 【分析】根据给出的新运算定义，将对应数值代入公式计算即可． 【详解】解：由定义可知， ∴． 3．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【答案】(1)； (2)， (3)0 【分析】（1）根据题目中的例子计算即可得解； （2）根据题目中的例子计算即可得解； （3）先求出、、，再结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ； （3）解：，， 原式 ． 【基础题型三 程序流程图与有理数计算】 【例1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 【例2】（25-26七年级上·河南漯河·阶段检测）如图是一个数值转换机，若输入的数为，则输出的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据数值转换机可得，第一次：当时，；第二次：当时，，从而输出结果，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：第一次：当时，； 第二次：当时，； ∴输出的数是， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，…，那么第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的变化规律． 根据数值转换机中的规律，确定出第2025次输出的结果即可． 【详解】解：把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 故输出的结果是1、4、2循环， 依此类推， ， 第2025次输出的结果为2． 故选：B． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）按程序输入数，先乘，若结果为负，再将此结果乘，直到结果为正输出，则输出结果为______________． 【答案】6 【分析】根据程序规则，将输入的数乘，判断结果符号，若结果为负则重新计算，若结果为正则输出，按照有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意进行计算：， ∵，满足输出条件， ∴输出结果为6． 3．（2026·河北石家庄·模拟预测）图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 【基础题型四 计算器——有理】 【例1】（25-26六年级上·山东烟台·期末）用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：，则计算结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算，先理解题意，得出，即可作答． 【详解】解：观察题干，得出， 则计算结果是 故选：C． 【例2】（25-26六年级上·山东烟台·期末）运用科学计算器进行计算，按键顺序为，则计算器显示的结果是_____． 【答案】 【分析】本题考查了用计算器计算的知识点．根据计算器的按键代表的运算可得答案． 【详解】解：根据题意可知：， 故答案为：． 1．（25-26六年级上·山东烟台·期中）用计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是(   ) A．按键顺序为显示结果为 B．按键顺序为显示结果为 C．按键顺序为显示结果为 D．按键顺序为显示结果为 【答案】A 【分析】本题考查了计算器计算有理数的混合运算；根据计算器的按键写出计算的式子，然后求值． 【详解】解：根据计算器的按键写出计算的式子，计算如下： A、得到的式子为，故该选项错误； B、按键顺序可得：，故该选项正确； C、得到的式子为：，故该选项正确； D、得到的式子为：，故该选项正确． 故选：A 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）使用计算器计算：，其按键顺序如表第一行，计算结果是，那么根据第二行的按键顺序得到的计算结果是_______． 行 按键顺序 第一行 第二行 【答案】 【分析】此题考查了计算器的使用和有理数的四则混合运算，根据题意正确列式是关键．根据列式，再根据有理数的四则混合运算顺序计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·全国·随堂练习）用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果保留小数点后三位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，四则混合计算，正确在计算器中输入是解题的关键． （1）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （2）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （3）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （4）在计算器中正确输入对应的算式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 【基础题型五 求一个数的近似数】 【例1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）精确到百分位，应等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据精确到百分位需观察千分位数字四舍五入，结果保留两位小数，末尾的0不能省略，即可解决． 【详解】解：∵将精确到百分位，观察千分位数字为， ∴向百分位进， ∴百分位，向十分位进，百分位记， ∴十分位， ∴最终结果为． 【例2】（26-27七年级上·河北邯郸·开学考试）6045809090读作______________，“四舍五入”到万位的近似数记作________万． 【答案】 六十亿四千五百八十万九千零九十 【详解】6045809090读作六十亿四千五百八十万九千零九十，“四舍五入”到万位的近似数记作604581万． 1．（25-26七年级上·云南红河·期末）已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 【答案】B 【分析】精确到百分位即保留小数点后两位，只需观察千分位数字进行四舍五入即可得到结果． 【详解】将π精确到百分位的结果是3.14． 2．（25-26七年级上·广西·开学考试）（大数的读写）世界上最大的海洋是太平洋，包括属海的面积约是平方千米，这个数读作__________，改写成以“万”为单位的数是__________万，省略亿位后面的尾数约为__________亿． 【答案】 一亿八千一百三十四万 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的都不读出来，其他数位连续几个都只读一个“零”．改写成用“万”作单位的数，就是把万位后面的个去掉，再在数的后面写上“万”字．省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字． 【详解】读作一亿八千一百三十四万；数中，万位上的数字为，去掉末尾的个为，所以改写成以“万”为单位的数是万；数中，亿位上数字为，千万位上的数为，满向前进，故亿． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列问题中的数据，哪些是近似数？哪些是准确数？ (1)某年我国国民经济增长； (2)一星期有7天； (3)检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌约8亿个； (4)我国古代有四大发明； (5)某校有36个班级； (6)小明的体重是． 【答案】(1)是近似数 (2)是准确数 (3)是近似数 (4)是准确数 (5)是准确数 (6)是近似数 【分析】本题主要考查对近似数和精确数的概念的理解，注意它们的区别，在生活中有一些事物的数量，有时用比较准确的数表示，我们称之为精确数，有时不用准确的数表示，而用一个与它比较接近的数来表示，这样的数就是近似数．根据近似数和准确数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】（1）解：某年我国国民经济增长，其中是近似数． （2）解：一星期有7天，其中7是准确数． （3）解：检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌约8亿个，其中8亿是近似数． （4）解：我国古代的四大发明，其中四是准确数． （5）解：某学校有36个班级，其中36是准确数． （6）解：小明的体重是，其中是近似数． 【基础题型六 求近似数的精确度】 【例1】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 【例2】（25-26六年级上·山东威海·期末）由四舍五入得到的近似数1.25万，精确到______位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数，解题的关键是掌握近似数． 近似数1.25万表示实际数值12500，数字部分1.25的最后一位5位于百分位，但由于单位是万，百分位对应实际数值的百位，因此精确到百位． 【详解】解：近似数1.25万是由四舍五入得到的，它表示精确到0.01万， 即100， ∴精确到百位．故答案为百． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）地球的半径约为，精确到（    ）位 A．千 B．百 C．十 D．个 【答案】C 【分析】科学记数法 的精确度由系数 的小数位数决定， 有 位小数，则数字精确到 位． 本题考查了科学记数法的精确度判断，熟练掌握科学记数法是解题关键． 【详解】解：∵ 的系数 有两位小数， ∴ 精确到 位， 即十位． 故选 C． 2．（25-26七年级上·河南开封·期中）我国最长河流长江长度约为米，这个数是近似数它精确到__位． 【答案】十万 【分析】本题考查了近似数及精确度问题，确定精确度时认清最后一个有效数字在原数中的数位是解题的关键． 把化为原数，再确定所在数位，即可得答案． 【详解】解：， ∵在十万位， ∴精确到十万位． 故答案为：十万． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 【答案】(1)小王加工的轴不合格， 理由如下： 图纸要求精确到，则原轴的范围是，故轴长为与的产品不合格； (2)轴长为的车间工人加工完原轴的范围是 【分析】本题考查了近似数，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． （1）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格； （2）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】（1） 略 （2）解：近似数的要求是精确到， 所以轴长为的车间工人加工完原轴的范围是． 【基础题型七 近似数推断取值范围】 【例1】（25-26七年级上·全国·期末）数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 【例2】（2025七年级上·湖南长沙·专题练习）一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据近似数确定原数的取值范围，确定五入的最小值和四舍的最大值，从而得到这个三位小数的取值范围，进而可得到答案． 【详解】解：∵一个三位小数，“四舍五入”后约是， ∴这个三位小数要大于或等于，且要小于， ∴这个三位小数最大是， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·江西吉安·期中）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：这个数在和之间，则符合题意的只有B选项． 2．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）一个三位小数“四舍五入”保留两位小数是6.80，这个小数最小可能是________，最大可能是________． 【答案】 6.795 6.804 【分析】本题考查近似数和有效数字，取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大． 【详解】一个三位小数“四舍五入”保留两位小数是6.80，这个小数最小可能是6.795，最大可能6.804． 故答案为：6.795，6.804． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）老师黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是，老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，正确答案应该是什么？ 【答案】 【分析】因为自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数；因为小明计算出的答数是．老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，因此正确的答案应在和之间；又因为，，所以可以知道这个自然数的和是在和之间，由此可以确定一定是；用除以，结果是约等于；所以正确的答案是． 【详解】解：自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数； 又因为，，所以可以知道这个自然数的和一定是， ； 答：正确答案应该是． 【点睛】本题考查了近似数，解题的关键是先结合题意，推导出这13个数的和，进而根据平均数、数量和总数三者之间的关系，求出正确的答案． 【提高题型一 幻方问题】 【例1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（   ） A．512 B．64 C．128 D． 【答案】D 【分析】本题是一道关于 “幻方”规则的理解和应用的题目，综合考查了有理数运算、方程思想以及逻辑推理等知识点．理解每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等是解题的关键．利用给出的数字和条件求解和，最终计算出的值 【详解】解：由题意得，即 ， 每个三角形的三个顶点上的数字之和中间正方形四个顶点上的数字之和. ，即. . 故选：． 【例2】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题意和掌握有理数混合运算的法则．设幻方中左上角的数为x，右上角的数为y，列方程求出a、b、c的值，再代入计算结果即可． 【详解】解：设幻方中左上角的数为x，右上角的数为y，由题意得： ， 解得：， ∴， 解得：， 同理，， 解得：， ∴， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·浙江温州·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为________．    【答案】25或 【分析】本题考查了有理数运算和等式的性质，由题意得出的关系式，分别求出的值即可，解题关键是根据题目信息列出等式，求出相关字母的值． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ， ∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为15， ∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ，即． 由图知，的值由，，，2，3，4，6，7中取得， 的值可能为与7或与6或2与3三种情况， ， ， 当，时，，，不符合题意； 当，时，，，不符合题意； 当，，，，符合题意， 则， 当，，，，符合题意， 则， 故答案为：25或． 2．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）数学游戏题 (1)如图是一个三阶幻方，有9个数字构成，并且每横行，竖行和对角线上的3个数字的和都相等，试填出空格中的数． 14 9 16 (2)有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：（上述运算与视为相同方法的运算），在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩，如，，4，5可以列出算式；现给出3，，6，四个数，请你写出一个算式使其结果为24． 【答案】(1) 表格如下： 14 9 16 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数加减乘除四则运算． （1）根据题意每横行，竖行和对角线上的3个数字的和都相等，填写表格即可； （2）根据“二十四点”的游戏规则，利用加减乘除四则运算将连接，使其结果为即可． 【详解】（1）解：如表格： 14 9 16 ∴，解得， ∴，即，解得， ∴，即，解得， ∴，即，解得， ∴，即，解得， （2）解：根据题意，得（答案不唯一）． 1．（25-26七年级上·河南新乡·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【答案】D 【分析】根据近似数的精确位数判断各选项正误． 【详解】解：A.近似数精确到十分位，精确到百分位，二者意义不同，A错误； B.万精确到千位，B错误； C.300精确到个位，C错误； D. 将精确到百分位是，D正确； 【点睛】掌握近似数的精确度及四舍五入规则． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 3．（2026·山东淄博·二模）下列关于计算器的按键说法中，错误的是（    ） A．按键显示结果：45 B．按键 显示结果： C．按键 显示结果： D．按键显示结果：66 【答案】D 【分析】根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【详解】解：A.按键显示结果：45，正确，不符合题意； B.按键 显示结果：，正确，不符合题意； C.按键 显示结果：，正确，不符合题意； D. 按键 显示结果：66，错误，应为，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 4．（24-25七年级上·河北沧州·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…，第10次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查找数字规律，涉及程序计算，理解题中的计算机程序，按要求计算，找到结果呈现的规律即可得到答案，理解程序图是解决问题的关键． 【详解】解：当时，为偶数，则； 当时，为奇数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为奇数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为偶数，则； ∴每3次一循环， ∴第10次得到的结果为1， 故选：A． 5．（25-26七年级上·山东滨州·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，把绳子从右到左由细变粗且满进进行记录，那么从中可以判定孩子已经出生了（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【分析】本题主要考查了八进制与十进制的转换，解题的关键是理解“满进”的计数规则．先确定八进制位权，从右到左分别为、、，提取各数位的结数，最后按八进制转十进制公式计算即可解答． 【详解】解：孩子的出生天数是（天）， 故选：． 6．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）近似数精确到______位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数，将数字进行还原，然后再判断精确到的位数即可求解，正确还原数字是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴近似数精确到百位， 故答案为：百． 7．（25-26六年级上·山东烟台·期中）若用课本上采用的计算器进行计算，按键顺序如下： ，则计算的算式是______． 【答案】 【分析】根据计算器的按键写出计算的式子即可． 【详解】根据题意得，计算器按键写成算式：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了计算器基础知识，熟练了解按键的含义是解题关键． 8．（25-26七年级上·北京·期中）数学课上，老师给出如图所示的运算程序：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数x进行第二次运算，依次运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止．当输入的数x是时，需要经过________次运算才能输出结果，求出输出的结果为________． 【答案】 3 4 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，解一元一次不等式，根据上述运算规则和顺序进行求解是解题的关键． 根据运算顺序和规则逐步计算即可． 【详解】解：第一次运算得：， 第二次运算得：， 第三次运算得：， 故答案为：3；4． 9．（25-26七年级上·广西南宁·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．类比十进制的计数原理：，把一个五进制数转化为十进制数的方法为：．二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一，请根据上面相关知识，计算________________． 【答案】(11001)₂ 【分析】本题考查二进制数的加法运算，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二进制运算规则“逢二进一”，从最低位开始逐位相加，并处理进位即可． 【详解】解：将两个二进制数右对齐，不足位补零： 从右向左逐位相加： 第0位（最低位）：，写1，进位0； 第1位：，逢二进一，写0，进位1； 第2位：，逢二进一，写0，进位1； 第3位：，写1，进位0； 第4位：，写1，进位0． 得到结果为； 验证： ， ， ， ∵ ∴，结果正确． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，从外向内的三层中的每一层各取一个数字进行计算，若结果为24，则能进入迷宫中心；根据进入迷宫的方式进行判断，看是否能进入迷宫． 【详解】解：如等. 故答案为：（答案不唯一） 11．（25-26七年级上·重庆江北·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数混合运算法则进行计算，先乘方，再乘除，最后加减； （2）根据有理数混合运算法则进行计算，有括号先算括号里面． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）用计算器计算下列各式，将结果写在横线上．________；________；________；________． （2）根据（1）的计算结果，你发现了什么规律？ （3）不用计算器，你能直接写出的结果吗？ 【答案】（1）； （2）通过计算观察可发现以下规律：如果n是21，22，23，…，29中的任何一个数，则：999×n=，其中是1个5位数，前2位是n－1，个位是30－n，中间2个数字总是97． （3）． 【分析】(1)利用计算器一一计算即可 (2)用计算器分别进行计算，再根据结果找出规律，通过计算观察可发现以下规律：如果n是21，22，23，…，29中的任何一个数，则：999×n=，其中是1个5位数，前2位是n－1，个位是30－n，中间2个数字总是97． (3)根据规律即可直接写出999×29的结果即可． 【详解】解：（1），； （2）略 （3）根据以上规律可直接写出：． 【点睛】此题考查了计算器−有理数，解题的关键是通过用计算器计算，找出规律，通过规律进行解答． 13．（24-25六年级上·山东淄博·期中）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用“二十四点”游戏规则写出相应算式即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）根据“二十四点”游戏规则得， 方法1：； 方法2：； 方法3：； 故答案为：，，（答案不唯一）； （2）； 故答案为：（答案不唯一）． 14．（25-26七年级上·江西上饶·期中）数学活动课上，小贤与小艺用如图所示的A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并再设计了一个在运算前的含的圆，依据这五个圆设计了数学游戏，每一步运算完成后再进行下一步运算．例如：小贤先输入一个有理数，再按的顺序运算，则可列算式． (1)当时，求算式的值． (2)若小艺输入的的值为2，再按的顺序运算，请求出运算结果． 【答案】(1)65； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘法，最后再计算加减法； （2）根据所给顺序进行运算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：由题意得． 15．（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），第一次捏合后，得到2根面条，第二次捏合后，得到4根面条，第三次捏合后，得到8根面条，如图所示，    (1)经过3次捏合后，可以拉出______根细面条．经过次捏合后，可以拉出______根细面条．（用含的式子表示） (2)到第几次捏合后可拉出32根细面条？ (3)假设每根细面条的长度是60cm，则捏合10次后，拉出的细面条的总长度为多少cm？（结果精确到万位） 【答案】(1) (2)到第5次捏合后可拉出32根细面条 (3) 【分析】（1）根据题意，可以得到经过次捏合后，可以拉出根细面条，即可； （2）利用（1）中结论，列式计算即可； （3）先算出捏合10次后，拉出的细面条的根数，再乘以每根的长度，计算即可． 【详解】（1）解：由题意：第一次捏合后，得到2根面条， 第二次捏合后，得到根面条， 第三次捏合后，得到根面条， ∴经过3次捏合后，可以拉出8根细面条，经过次捏合后，可以拉出根细面条； 故答案为：； （2）由（1）知经过次捏合后，可以拉出根细面条， 当时，； ∴到第5次捏合后可拉出32根细面条； （3）； 答：拉出的细面条的总长度为． 【点睛】本题考查有理数乘方的实际应用．解题的关键是根据题意，抽象概括出经过次捏合后，可以拉出根细面条． 学科网（北京）股份有限公司 $