专题07 有理数的混合运算《典例全解·题型通关》（七大题型21道题）-2026-2027学年北师大版数学 七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数混合运算七大应用场景，以21道题构建从基础运算到数的精确表示的递进训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |算“24”点|3道|数字组合运算题|从具体数字运算切入，培养符号意识与运算灵活性| |含乘方的混合运算|3道|定义新运算与混合计算题|深化乘方概念，建立运算顺序逻辑| |程序流程图计算|3道|按流程步骤计算题|衔接代数推理，发展计算思维| |计算器使用|3道|按键操作与实际应用题|联系工具应用，强化应用意识| |求一个数的近似数|3道|四舍五入应用题|从数的表示过渡到精确化需求| |近似数的精确度|3道|精确度判断与比较题|理解近似数的本质属性，培养数据意识| |近似数推断取值范围|3道|取值范围确定题|深化对四舍五入规则的逆向推理，发展推理意识|

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题07 有理数的混合运算（七大题型21道题） 目录 知识点一算“24”点 1 知识点二含乘方的有理数混合运算 3 知识点三程序流程图与有理数计算 4 知识点四计算器——有理数 6 知识点五求一个数的近似数 7 知识点六求近似数的精确度 8 知识点七近似数推断取值范围 9 知识点一算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 2．你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”． 先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可． 【详解】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3， ∴抽到的数据是1，，2，3， 则一种方法为：． 故答案为：． 3．小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 【答案】(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是 (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和，最大值是20 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）取最大的整数和最小的负数相乘即可； （2）只有，且的绝对值最大，则为被除数，为除数； （3）根据有理数的运算法则作答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是； （2）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和， 最大值是； （3）解：（答案不唯一）． 知识点二含乘方的有理数混合运算 4．是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 【答案】B 【详解】解：，，且， 是的倍． 5．定义：，则________． 【答案】 【分析】根据给出的新运算定义，将对应数值代入公式计算即可． 【详解】解：由定义可知， ∴． 6．定义：如果，那么称b为n的劳格数，记为． (1)根据劳格数的定义，可知：，，那么 ． (2)劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则；，如．根据运算性质，填空： ． (3)在（1）（2）的条件下，若，求和的值． 【答案】(1)3 (2)5 (3)， 【分析】（1）根据劳格数的定义求解即可； （2）根据劳格数的性质得到，据此求解即可； （3）根据劳格数的性质可得，、，据此求解即可． 【详解】（1）解：根据劳格数的定义可得，； （2）解：由劳格数的性质可得，， 所以； （3）解：由劳格数的性质可得，， 则． 知识点三程序流程图与有理数计算 7．沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【答案】A 【详解】解：输入n的值为3，， 输入n的值为8，，输出y． 8．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，······，第2026次输出的结果为___________． 【答案】8 【分析】本题考查程序流程图，正确理解程序图的运算是解题的关键． 开始输入的值为24，观察输出结果发现，从第2次开始输出结果以6、3、8、4、2、1为循环，计算中包含的循环数，据此得到第2026次输出的结果即可． 【详解】解：开始输入的值为24， 第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， 第10次输出的结果为， 观察输出结果发现，从第2次开始输出结果以6、3、8、4、2、1为循环， 则， 因此，第2026次输出的结果为， 故答案为：． 9．小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序 (1)若输入的数是4，则执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是，则执行了程序后，输出的数是多少？ 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，解题的关键理解题中所给运算程序； （1）根据题中所给运算程序可知，然后问题可求解； （2）根据题中所给运算程序可知第一次运算结果为，然后再运算一次即可得出答案． 【详解】（1）解：由题可得：； ∴输出的数是； （2）解：由题可得： ， ； ∴输出的数是0． 知识点四计算器——有理数 10．求，用计算器的按键顺序正确的是（    ） A． B．      C． D．   【答案】A 【分析】先明确乘方 的底数与指数，再按照“底数 → 乘方键 → 指数 → 等号”的顺序判断按键步骤是否正确． 【详解】解：∵计算，底数是，指数是． ∴按照计算器乘方的按键顺序，应为依次按键：． 11．如图若用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序输入，它表示的计算式是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学计算器的使用和有理数的混合运算，熟练掌握科学计算器的使用方法是解题的关键． 根据按键的顺序得出算式即可． 【详解】解：根据按键顺序可知算式为, 故答案为：． 12．利用计算器计算：一张纸的厚度大约是0.1毫米，将它对折30次后，将它的厚度与珠穆朗玛峰的高度比较一下（珠峰高8848米），看谁更高（是不是吓你一大跳，请注意单位换算）． 【答案】厚度为米，比珠穆朗玛峰还要高 【分析】利用计算器计算出，进而可求解． 【详解】解：根据题意可知（毫米）， ， ， 答：故厚度为米，比珠穆朗玛峰还要高． 【点睛】本题考查了乘方的应用及利用科学计算器计算，熟练掌握科学计算器是解题的关键． 知识点五求一个数的近似数 13．用四舍五入对取近似数，精确到得到的正确结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查近似数的四舍五入规则，精确到即保留两位小数，需观察第三位小数(千分位)的数字，根据“四舍五入”的原则判断是否向百分位进位． 【详解】解：要将精确到，即保留两位小数，需看千分位上的数字4． ∵， ∴舍去千分位及后面的所有数字，得到近似数； 故选：A． 14．某大学图书馆藏书二百零四万八千五百册，写作( )，省略万位后面的尾数约是( )万册． 【答案】 【详解】解：二百零四万八千五百写作，省略万位后面的尾数约是万． 15．2025年9月7日将发生一次月全食（血月）．已知整个月食持续时间为3小时30分钟，其中全食阶段（月球完全进入地球本影）持续1小时22分钟．请问全食阶段持续时间约占整个月食持续时间的百分之几？（结果保留一位小数） 【答案】． 【分析】本题考查了百分比的计算和求一个数的近似数，解题的关键是正确的计算；先把小时都化成分来表示，即可得到答案； 【详解】解：∵3小时30分钟分钟分钟分钟​ 1小时22分钟分钟分钟分钟​ ∴． 答：全食阶段持续时间约占整个月食持续时间的． 知识点六求近似数的精确度 16．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 17．医生用两台不同精度的仪器分别测量小王与小李身高，现测得小王身高为，小李身高为．关于小王与小李的身高有下列说法：①小王一定比小李矮；②小王不一定比小李矮；③小王一定比小李高．你赞同的说法是_______（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查了近似数的精确度“精确度表示一个近似数与准确数的接近程度．一般来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，熟记近似数的精确度是解题关键．根据近似数的精确度的定义可得小王与小李的实际身高，即可得解． 【详解】解：设小王的实际身高为，小李的实际身高为， ∵现测得小王身高为，小李身高为， ∴，． 则①小王一定比小李矮，说法错误；例如：，， ②小王不一定比小李矮，说法正确； ③小王一定比小李高，说法错误；例如：，， 所以赞同的说法是②， 故答案为：②． 18．一名航天员向地球总站发回两组数据：甲、乙两颗行星的直径分别为千米和千米，这两组数据之间有差别吗？如果没有，请说明理由；如果有，请说明有哪些差别． 【答案】有差别，精确到的数位不同．因为精确到千位，而精确到百位 【分析】根据两组数据的精确度进行分析即可． 【详解】解：千米和千米有差别，精确到的数位不同．精确到千位，而精确到百位． 【点睛】本题主要考查了近似数，数据的精确度，解题的关键是掌握数据的有效数字不同，则精确度也不同． 知识点七近似数推断取值范围 19．下列说法错误的是（   ） A．近似数3.58精确到0.01 B．近似数精确到百分位 C．近似数2.51万精确到百位 D．近似数2.40是由数a四舍五入得到的，则数a的取值是 【答案】B 【分析】本题考查近似数，根据各选项的数值形式确定其精确到的数位． 【详解】A.近似数3.58精确到0.01，正确，不符合题意； B.精确到百位，错误，符合题意； C.2.51万，末位1在百位，故精确到百位，正确，不符合题意； D.近似数2.40精确到百分位，原数a的取值范围为，正确，不符合题意； 故选：B． 20．一个三位小数用“四舍五入”法保留两位小数是3.70，这个数最大是____，最小是____． 【答案】 3.704 3.695 【分析】本题考查近似数，考虑“四舍五入”法保留两位小数的原理，“四舍”得到最大原数，“五入”得到最小原数． 【详解】解：保留两位小数约是3.70，通过“四舍”得到时，原数千分位小于5，且百分位为0，十分位为7，故最大为3.704； 通过“五入”得到时，原数千分位大于等于5，且百分位为9，十分位为6，进一后得3.70，故最小为3.695． 故答案为：3.704；3.695． 21．某车间接受了加工两根轴的任务，车间工人看了看图纸，轴长，他用很短的时间完成了任务，可是把轴交给主任验收时，主任很不高兴，说不合格，只能报废！原来工人加工完的轴一根长，另一根长，请你利用所学的知识解释：为什么两根轴不合格呢？ 【答案】轴长为与的产品不合格．理由： 车间工人把看成了，近似数的要求是精确到；而近似数的要求是精确到，所以轴长为的车间工人加工完的轴长满足的条件应该是，故轴长为与的产品不合格． 【分析】车间工人把看成了，近似数的要求是精确到；而近似数的要求是精确到，进而可得x满足的条件，最后问题得解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题07 有理数的混合运算（七大题型21道题） 目录 知识点一算“24”点 1 知识点二含乘方的有理数混合运算 2 知识点三程序流程图与有理数计算 2 知识点四计算器——有理数 3 知识点五求一个数的近似数 4 知识点六求近似数的精确度 4 知识点七近似数推断取值范围 4 知识点一算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 3．小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 知识点二含乘方的有理数混合运算 4．是的（     ） A．2倍 B．3倍 C．6倍 D．9倍 5．定义：，则________． 6．定义：如果，那么称b为n的劳格数，记为． (1)根据劳格数的定义，可知：，，那么 ． (2)劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则；，如．根据运算性质，填空： ． (3)在（1）（2）的条件下，若，求和的值． 知识点三程序流程图与有理数计算 7．沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 8．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，······，第2026次输出的结果为___________． 9．小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序 (1)若输入的数是4，则执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是，则执行了程序后，输出的数是多少？ 知识点四计算器——有理数 10．求，用计算器的按键顺序正确的是（    ） A． B．      C． D．   11．如图若用我们数学课本上采用的科学计算器按顺序输入，它表示的计算式是_______． 12．利用计算器计算：一张纸的厚度大约是0.1毫米，将它对折30次后，将它的厚度与珠穆朗玛峰的高度比较一下（珠峰高8848米），看谁更高（是不是吓你一大跳，请注意单位换算）． 知识点五求一个数的近似数 13．用四舍五入对取近似数，精确到得到的正确结果是（  ） A． B． C． D． 14．某大学图书馆藏书二百零四万八千五百册，写作( )，省略万位后面的尾数约是( )万册． 15．2025年9月7日将发生一次月全食（血月）．已知整个月食持续时间为3小时30分钟，其中全食阶段（月球完全进入地球本影）持续1小时22分钟．请问全食阶段持续时间约占整个月食持续时间的百分之几？（结果保留一位小数） 知识点六求近似数的精确度 16．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 17．医生用两台不同精度的仪器分别测量小王与小李身高，现测得小王身高为，小李身高为．关于小王与小李的身高有下列说法：①小王一定比小李矮；②小王不一定比小李矮；③小王一定比小李高．你赞同的说法是_______（填序号）． 18．一名航天员向地球总站发回两组数据：甲、乙两颗行星的直径分别为千米和千米，这两组数据之间有差别吗？如果没有，请说明理由；如果有，请说明有哪些差别． 知识点七近似数推断取值范围 19．下列说法错误的是（   ） A．近似数3.58精确到0.01 B．近似数精确到百分位 C．近似数2.51万精确到百位 D．近似数2.40是由数a四舍五入得到的，则数a的取值是 20．一个三位小数用“四舍五入”法保留两位小数是3.70，这个数最大是____，最小是____． 21．某车间接受了加工两根轴的任务，车间工人看了看图纸，轴长，他用很短的时间完成了任务，可是把轴交给主任验收时，主任很不高兴，说不合格，只能报废！原来工人加工完的轴一根长，另一根长，请你利用所学的知识解释：为什么两根轴不合格呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $