专题03 认识有理数（二十二大题型66道题）《典例全解·题型通关》 -2026-2027学年北师大版数学 七年级上册

**基本信息** 以22个知识点66道题系统覆盖有理数核心概念与应用，知识逻辑从概念生成到工具应用再到性质拓展，注重抽象能力与运算能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|12题|正负数识别/分类/0的意义|从定义到实际应用，构建有理数概念体系| |数轴应用|21题|数轴表示/比较大小/动点/规律|以数轴为工具，连接数与形，培养几何直观| |相反数与绝对值|15题|定义/化简/非负性应用|从代数定义到几何意义，强化性质理解| |大小比较应用|18题|直接比较/实际情境分析|结合绝对值与数轴，提升应用意识|

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题03 认识有理数（二十二大题型66道题） 目录 知识点一正负数的定义 2 知识点二相反意义的量 3 知识点三正负数的实际应用 4 知识点四0的意义 5 知识点五有理数的分类 6 知识点六带“非”字的有理数  7 知识点七数轴的三要素及其画法 8 知识点八用数轴上的点表示有理数 10 知识点九利用数轴比较有理数的大小 10 知识点十数轴上点的平移（动点问题） 12 知识点十一数轴上找原点 14 知识点十二数轴上整点覆盖问题 15 知识点十三数轴上的规律探究 16 知识点十四相反数的定义 18 知识点十五化简多重符号  19 知识点十六相反数的应用 20 知识点十七绝对值的几何意义 21 知识点十八求一个数的绝对值 23 知识点十九绝对值非负性 24 知识点二十绝对值的其他应用 25 知识点二十一有理数大小比较 27 知识点二十二有理数大小比较的实际应用 28 知识点一正负数的定义 1．在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“小于0的数是负数”逐个判断所给数，统计负数个数即可得到结果． 【详解】解：，是负数， ，不是负数， ，不是负数， 既不是正数也不是负数， ，是负数， 所以负数共有2个． 2．在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 【答案】 4 3 0 【详解】解：正数：，，，，共个； 负数：，，，共个； 既不是正数，也不是负数． 3．请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 【答案】，19，，，都是正数；，，都是负数 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 【详解】解：在这些数中，正数：，19，，，； 负数：，，． 知识点二相反意义的量 4．如果一辆汽车加油记作，那么消耗油记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 加油记作， ∴ 消耗油记作. 5．在一次数学测验中，某班的平均分是90分，把高于平均分的部分记作正数，小丽得分是97分，记作______分，小军得分分，他实际得分是______分． 【答案】 85 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选平均分90分为标准记为0分，超出部分为正，低于的部分为负，直接得出结论即可． 【详解】解：选平均分90分为标准记为0分，超过部分为正，不足的部分为负， 则：小丽得97分，超出平均分7分，记作分； 小军得分记作分，低于平均分5分，他实际得分是（分）． 6．写出与下列各量具有相反意义的量： (1)存入20000元； (2)价格下降； (3)潜水艇下潜； (4)节约水． 【答案】(1)取出20000元 (2)价格上涨 (3)潜水艇上浮 (4)浪费水 【分析】此题考查了对正负数概念的理解，正数和负数是用来表示具有相反意义的量；依据正数和负数的认识， （1）结合相反数意义的量找出与存入相反的量是取出即可； （2） 结合相反数意义的量找出与价格下降相反的量是价格上涨即可； （3）结合相反数意义的量找出与下潜相反的量是上浮即可； （4）结合相反数意义的量找出与节约相反的量是浪费即可． 【详解】（1）解：存入20000元，则相反意义的量为：取出20000元； （2）解：价格下降，则相反意义的量为：价格上涨； （3）解：潜水艇下潜，则相反意义的量为：潜水艇上浮； （4）解：节约水，则相反意义的量为：浪费水． 知识点三正负数的实际应用 7．随着国际油价的波动和国内成品油价格调整机制的运行，95号汽油的价格也随之变化．如果每升95号汽油的价格下降元，记作元，那么元表示每升95号汽油的价格（    ） A．上涨0.2元 B．上涨0.3元 C．下降0.2元 D．下降0.3元 【答案】A 【详解】解：∵每升95号汽油的价格下降元，记作元，即下降用负数表示， ∴正数表示价格上涨， ∴元表示每升95号汽油的价格上涨0.2元． 8．笑笑在一袋食用糖的包装纸上看到这样的文字：质量，意思是这袋食用糖的质量合格范围是______至______． 【答案】 【详解】解：根据正负数的意义可得，表示合格质量的最小值为，合格质量的最大值为，因此这袋食用糖的质量合格范围是至． 9．七年级一班第一小组五名同学某次数学测试的平均成绩为80分，以平均成绩为标准，超过平均分记为正，低于平均分记为负，将五名同学的成绩分别记作分，分，0分，8分，分．则这五名同学的实际成绩分别是多少分？ 【答案】这五名同学的实际成绩分别是78、75、80、88、79分． 【分析】本题考查正负数的实际应用，解题的关键是理解以平均成绩为标准，正负数与实际成绩的计算关系．根据正负数的意义，用平均成绩分别加上对应的正负数，即可得到实际成绩． 已知平均成绩为80分，以平均成绩为标准，超过平均分记为正，低于平均分记为负． 【详解】解：（分） （分） （分） （分） （分） 答：这五名同学的实际成绩分别是、、、、分． 知识点四0的意义 10．四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】根据0的意义、整数读数规则、小数性质、除法与分数、比的相关知识逐个判断即可． 【详解】解：小红的表述：0既可以表示没有，也可作为测量的起点（如直尺的0刻度），还是正负数的分界点，该表述正确； 小明的表述：根据整数读数规则，每级末尾的0都不读，该表述正确； 小丽的表述：只有小数末尾的0去掉才不改变数的大小，整数末尾的0去掉会改变数的大小（如10去掉末尾的0变为1，大小改变），故该表述错误； 小刚的表述：除法中除数为0无意义，分数的分母相当于除法的除数，比的后项也相当于除法的除数，因此分数的分母、比的后项都不能为0，该表述正确； 综上，正确的表述共有3个，选项B符合题意． 11．在、、、0、、、9中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 、、9 、、 0 【分析】根据正数大于0，负数小于0，0既不是正数也不是负数求解即可，学生容易遗漏“0”或把0归入某一类． 【详解】解：正数有、、9，负数有、、；0既不是正数也不是负数． 12．如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ (1)元 (2)元 (3)元 (4)元 【答案】(1)收入元 (2)收入元 (3)支出元 (4)没有收入也没有支出 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果把收入为正，则支出就是负． 【详解】（1）解：元是正数，所以表示收入元； （2）解：元是正数，所以表示收入元； （3）解：元是负数，所以表示支出元； （4）解：元既不是正数也不是负数，所以表示没有收入也没有支出． 【点睛】本题考查正负数的实际意义，理解“正”和“负”的相对性，把握题中具有相反意义的量是解决问题的关键． 知识点五有理数的分类 13．既是负数又是分数的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题根据负数和分数的定义，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A、是负数，但属于整数，不是分数，不符合要求； 选项B、是分数，但它是正数，不是负数，不符合要求； 选项C、，是负数，且，属于分数，同时满足两个条件，符合要求； 选项D、既不是正数也不是负数，也不是分数，不符合要求． 14．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】根据有理数的分类，整数的定义，偶数和自然数的定义，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确； ②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0， ∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误； ④0是偶数，也是自然数，原说法错误； ⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确． 15．把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 负数：{______________________}； 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 有理数：{______________________}． 【答案】②⑦；①③⑦；②④⑤⑥；①②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查有理数的定义及分类，熟记负数、整数、分数及有理数定义与分类是解决问题的关键． 根据有理数定义及分类，按照负数、整数、分数定义逐个归类即可得到答案． 【详解】解：负数：{②⑦}； 整数：{①③⑦}； 分数：{②④⑤⑥}； 有理数：{①②③④⑤⑥⑦}． 知识点六带“非”字的有理数  16．在，，0，，，，中，非负整数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题先明确非负整数的定义为0和正整数，再对题干中带符号、绝对值的数进行化简，最后逐一判断找出符合要求的数，统计个数即可． 【详解】解：∵ 非负整数是指0和正整数， ，， ∴非负整数是，，，共个． 17．写出一个既不是非正数又不是整数的数：___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分为正整数，零和负整数；分数分为正分数和负分数． 根据有理数的分类方法解答即可． 【详解】解：既不是非正数又不是整数的数可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 18．把下列各数分别填入相应的大括号内： ，，0，，，10，，． 分数集合：{______________________…}； 正有理数集合：{________________________…}； 非正整数集合：{___________________________…}． 【答案】3.5，，，；3.5，，10；0， ． 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键；因此此题可根据有理数的分类进行求解即可． 【详解】解：分数集合：{3.5，，，…}； 正有理数集合：{3.5，，10…}； 非正整数集合： {0，…}． 知识点七数轴的三要素及其画法 19．关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 20．如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，先确定1单位长度为2cm，可知原点的位置，进而得出答案． 【详解】根据题意可知1个单位长度是2cm， ∴原点的位置在3cm处， ∴1cm处所对应的数是． 故答案为：． 21．已知有理数1、0、、、3、 (1)画出数轴并在数轴上标出以上各数； (2)把这些数用“”将它们连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）画出数轴，把各数在数轴上表示出来，即可求解； （2）根据数轴比大小，即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上标出各数，如下： （2）解：用“”将它们连接起来，如下： ． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的大小比较，准确在数轴上表示出各数是解题的关键． 知识点八用数轴上的点表示有理数 22．如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：数轴上原点右边的数表示正数， 所以数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为2． 23．下面数轴中，A点表示的数是( )，B点表示的数是( ) 【答案】 【详解】在0左侧，从0向左边数2个大格，左侧为负数，所以点表示的数是． 在0右侧，从0向右边数，位于第13小格的位置（3个大格＋1小格），右侧为正数，计算：，所以点表示的数是． 24．在数轴上表示下列各数，并比较这些数的大小． ，1，，3.5，，0 【答案】 ， 【详解】解：用数轴表示如下： ∴各数从小到大顺序排列为： 知识点九利用数轴比较有理数的大小 25．如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（    ） A． B． C．11 D．3 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置选择即可． 【详解】解：由图可知雪容融所在点在和0之间， 故选B． 26．数轴上表示数a，b，c的点如图所示，把按从小到大的顺序排列为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，熟练掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键． 比较有理数的大小的法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数．观察数轴得出，即可逐一判断． 【详解】解：如图； 故答案为：． 27．数轴上5个点A，B，C，D，E的位置如图所示，观察数轴，解答下列问题： (1)点A表示的有理数是_______； (2)在数轴的正半轴上，与点E的距离为1个单位长度的点表示的有理数是___： (3)在数轴上分别标出表示有理数和0.5的点M，N； (4)将点B，D，E，M，N表示的有理数用“<”连接的结果是_________． 【答案】(1)； (2)1； (3)如图点M，N即为所求： (4)． 【分析】本题考查了数轴以及有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）根据两点之间的距离公式直接计算即可； （3）根据数轴的意义解答即可； （4）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】（1）解：点A表示的有理数是； 故答案为：； （2）解：在数轴的正半轴上，与点E的距离为1个单位长度的点表示的有理数是1 故答案为：1； （3）略 （4）解：由（3）得． 故答案为：． 知识点十数轴上点的平移（动点问题） 28．在数轴上，点表示的数是，将点A向右移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的移动，正确理解移动方向与数值变化的关系是解题关键．根据数轴上点的移动规则，向右移动表示加，向左移动表示减． 【详解】解：∵点表示的数是，向右移动个单位长度到达点， ∴点表示的数为：． 故选：C． 29．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 30．已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【答案】(1) 如图所示； (2)7；0,1,2,3,4 (3)2或 【分析】本题主要考查了画数轴，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据规定了原点，正方向，单位长度的直线画出数轴，并在数轴上描出各点； 对于（2），在数轴上确定整数点，并根据“非负整数”是正整数或0解答； 对于（3），分两种情况解答． 【详解】（1）略 （2）解：在与4之间的整数点有，共有7个点；其中“非负整数”有0,1,2,3,4； 故答案为：7；0,1,2,3,4； （3）解：从表示的点，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，这个数是； 从表示的点，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，这个数是， 所以这个数是2或． 故答案为：2或． 知识点十一数轴上找原点 31．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 32．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 【答案】 4 2或6 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图，∵数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． ∴O为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）点C表示的数为或． 故答案为：2或6； 33．如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，4，y． (1)在数轴上面出原点O和表示有理数的点E； (2)若点B和点D之间的距离为5，求代数式的值． 【答案】(1) 如图取的中点，即为原点， 点与点所表示的数到原点的距离相等且方向相反，点如图所示： (2) 【分析】本题主要考查数轴上中点的性质以及代数式求值，体现了数轴上互为相反数的点的几何特征，同时通过点的位置关系推导距离，是数轴与代数结合的基础． （1）根据数轴上两点的位置关系可确定原点位置，再根据相反数的性质确定的位置； （2）先根据两点之间的距离得出与的关系，再将其代入代数式进行运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：点B和点D之间的距离为5， ， ． 知识点十二数轴上整点覆盖问题 34．如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的排列规律是解题关键． 把每段的整数写出来即可得到答案． 【详解】解：由数轴每段的端点可以得到： 段①的整数为， 段②的整数为，， 段③的整数为， 段④的整数为， 故选B． 35．有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则_____． 【答案】9 【分析】本题考查了数轴．分不从整数开始覆盖和从整数开始覆盖两种情况讨论． 【详解】解：不从整数开始覆盖最少能覆盖4个表示整数的点，即， 从整数开始覆盖最多能覆盖5个表示整数的点，即． 所以． 故答案为：9． 36．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 知识点十三数轴上的规律探究 37．边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 38．如图，在数轴上，点表示，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离等于，那么的值是_____． 【答案】14或15/15或14 【分析】本题考查数字的规律．根据题意，将n分为奇数和偶数进行规律探寻，求出对应的点，故而可得答案． 【详解】解：由题意可得， 第n次移动后的点表示的数可表示为： n为奇数时：，点在原点左侧； n为偶数时：，点在原点右侧； ∵点与原点的距离等于15， ∴当为奇数时，，解得，； 当为偶数时，，解得． 故答案为：14或15． 39．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 【答案】或/1112或1115 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 知识点十四相反数的定义 40．的相反数是（     ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 41．在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】根据题意得到点与点表示的数互为相反数是解题的关键. 【详解】解：∵点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴点与点表示的数互为相反数， 又∵点表示的数为， ∴点表示的数是． 42．如图，这是一个正方体表面的展开图，在原正方体中，相对的两个面上的数字互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的表面展开图以及相反数的概念，解题的关键是根据正方体展开图的特征准确找出相对的面，并利用“相对面上的数字互为相反数”这一条件求出的值；找相对面：利用正方体表面展开图的特征（相对的面在展开图中中间必隔一个正方形），确定“”相对的面是“6”，和“”相对的面是“”，和“”相对的面是“”，根据“相对的两个面上的数字互为相反数”，结合相反数的定义分别求出，再代入计算即可． 【详解】解：由题意，得和“”相对的面是“6”，和“”相对的面是“”，和“”相对的面是“”． 因为在原正方体中，相对的两个面上的数字互为相反数， 所以，，， 所以． 知识点十五化简多重符号  43．下列各数中，相反数比本身小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A．原数为，相反数为，，不符合要求； 选项B．原数为，相反数为，，不符合要求； 选项C．原数为，相反数为，，不符合要求； 选项D．，相反数为，，即相反数比本身小，符合要求． 44．___________． 【答案】 【详解】解：原式 45．请化简下列各数： ，，，． 【答案】11；；3.75； 【分析】本题主要考查了多重符号化简，熟练掌握化简方法是解题的关键．根据多重符号化简方法逐一化简即可． 【详解】解：， ， ， ． 知识点十六相反数的应用 46．在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】先用a的式子表示出点C，根据点C与点B互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：由题可知：A点表示的数为a，B点表示的数为1， ∵C点是A向左平移3个单位长度， ∴C点可表示为：， 又∵点C与点B互为相反数， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上数的表示，表示平移后的点所表示的数，根据等量关系列出方程是关键． 47．已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，直接利用相反数的定义得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，它的相反数是， ∴； ∵，它的相反数是3， ∴； ∵0的相反数是0， ∴， ∴， ∴的相反数是． 故答案为：． 48．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：    (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？ 【答案】(1) (2)正数 【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点的位置，再根据数轴写出点表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出点的位置，再根据数轴写出点表示的数即可． 【详解】（1）点表示的数是；    （2）点表示的数是0.5为正数．    【点睛】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键． 知识点十七绝对值的几何意义 49．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 50．比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据两个负数比较大小的规则，先计算两个数的绝对值，通分比较绝对值大小后即可得到原数的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴． 51．（1）如果，，且a，b异号，求a，b的值； （2）如果，，且，求a，b的值． 【答案】 （1），或， （2），或， 【分析】本题考查了绝对值的计算，理解绝对值的定义是解题的关键． （1）根据绝对值的定义解题即可； （2）根据绝对值的定义解题即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵、异号， ∴，或，； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，或，． 知识点十八求一个数的绝对值 52．计算：（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：． 53．的最小值是________ 【答案】 【分析】表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【详解】表示x到1，2，3， ，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ． 【点睛】对于求的最小值题型，其中，当为奇数时，时取得最小值；当为偶数时，时取得最小值． 54．请在如图所示的“只有单位长度和正方向，还未标出原点”的数轴上表示下列各数，并按照从大到小的顺序将这些数用“”号连接起来． ，0，，，， 【答案】 在数轴上表示下列各数，如图， ． 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何把有理数表示在数轴上． 先把含有绝对值和括号的数化简，再把各数表示在数轴上，按照从左到右的顺序排列，并用小于号连接起来即可． 【详解】解：， 知识点十九绝对值非负性 55．如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的非负性及代数式最值的求法． 由于绝对值非负，代数式在绝对值最小时取得最大值，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，即，代数式取得最大值． 故选：C． 56．若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 57．已知有理数满足． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意易得，将原式整理后解得的值即可． （2）由绝对值的性质可得，将的值代入解得的值，然后代入中计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴等式可化为， 解得． （2）解：∵， ∴， 即， 解得， 则． 【点睛】本题考查绝对值，熟练掌握其性质是解题的关键． 知识点二十绝对值的其他应用 58．海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球．现检测了四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偏差的绝对值越小，说明足球质量与标准质量的差距越小，即可判断． 【详解】解：∵，，，，且， ∴对应足球最接近标准质量． 59．如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数．不足的克数记为负数．从轻重的角度看，从左至右第______个球最接近标准．     【答案】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，绝对值的应用，根据绝对值的定义计算出对应数的绝对值，再将绝对值进行大小比较，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，， 又∵， ∴，即从左至右第个球最接近标准． 故答案为：． 60．某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 【答案】(1)①③④号零件符合要求 (2)③号零件质量最好 【分析】本题考查了正负数，绝对值． （1）根据题意，超过部分为正，不足部分为负，绝对值小于的产品符合要求； （2）根据绝对值越小，与规定直径的偏差越小，它们中绝对值最小的是质量最好的，从而得出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ⑤， 故①③④号零件符合要求； （2）解：因为， 所以③号零件质量最好． 知识点二十一有理数大小比较 61．在四个数5、0、、2中，最大的数是（     ） A．5 B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵， ∴最大的数是5． 62．在25%、0、、0.5、五个数中，最小的数是______． 【答案】 【分析】先将题目中的百分数和分数化为小数，再根据有理数大小比较法则判断各数大小，即可确定最小的数． 【详解】解：化简各数得：，， 根据有理数大小比较法则，可得， 即， 因此五个数中最小的数是． 63．已知某地某一天的气温如下表： 2时 6时 8时 时 时 时 根据上表中的气温，回答： (1)从左到右，表中的气温是由________到________（填“高”或“低”）变化； (2)根据气温的高低，可以推断出下列各数的大小关系（用“<”或“>”填空）：________________________0________1________3； 【答案】(1)低，高 (2)<，<，<，<，< 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数大小比较，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据气温高低求解； （2）根据气温高低比较数的大小． 【详解】（1）解：从左到右，表中的气温是由低到高变化， 故答案为：低，高； （2）根据气温的高低，可以推断出下列各数的大小关系为， 故答案为：<，<，<，<，<． 知识点二十二有理数大小比较的实际应用 64．如图，为保障交通安全，某路段设置了限高警示标识，下列高度的汽车不能通过该路段的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可得，汽车的高度不能超过，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由图可得，汽车的高度不能超过， A、汽车高度为，，可以通过该路段，不符合题意； B、汽车高度为，，可以通过该路段，不符合题意； C、汽车高度为，，可以通过该路段，不符合题意； D、汽车高度为，，不可以通过该路段，符合题意． 65．新疆吐鲁番盆地的艾丁湖海拔高度约为米，吐鲁番市区的海拔高度约为米，已知这两个海拔数据中，有一个对应中国陆地最低点，则该最低点的海拔高度约为________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的应用，比较两个海拔高度，数值更小的对应中国陆地最低点 【详解】解：艾丁湖海拔高度为米，吐鲁番市区海拔高度为米， 因为， 所以艾丁湖的海拔更低，是中国陆地最低点． 故答案为：． 66．在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1) 小杰的视力最差，理由： ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题03 认识有理数（二十二大题型66道题） 目录 知识点一正负数的定义 2 知识点二相反意义的量 2 知识点三正负数的实际应用 3 知识点四0的意义 3 知识点五有理数的分类 4 知识点六带“非”字的有理数  4 知识点七数轴的三要素及其画法 5 知识点八用数轴上的点表示有理数 5 知识点九利用数轴比较有理数的大小 6 知识点十数轴上点的平移（动点问题） 6 知识点十一数轴上找原点 7 知识点十二数轴上整点覆盖问题 8 知识点十三数轴上的规律探究 8 知识点十四相反数的定义 9 知识点十五化简多重符号  9 知识点十六相反数的应用 10 知识点十七绝对值的几何意义 10 知识点十八求一个数的绝对值 11 知识点十九绝对值非负性 11 知识点二十绝对值的其他应用 12 知识点二十一有理数大小比较 12 知识点二十二有理数大小比较的实际应用 13 知识点一正负数的定义 1．在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 3．请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 知识点二相反意义的量 4．如果一辆汽车加油记作，那么消耗油记作（     ） A． B． C． D． 5．在一次数学测验中，某班的平均分是90分，把高于平均分的部分记作正数，小丽得分是97分，记作______分，小军得分分，他实际得分是______分． 6．写出与下列各量具有相反意义的量： (1)存入20000元； (2)价格下降； (3)潜水艇下潜； (4)节约水． 知识点三正负数的实际应用 7．随着国际油价的波动和国内成品油价格调整机制的运行，95号汽油的价格也随之变化．如果每升95号汽油的价格下降元，记作元，那么元表示每升95号汽油的价格（    ） A．上涨0.2元 B．上涨0.3元 C．下降0.2元 D．下降0.3元 8．笑笑在一袋食用糖的包装纸上看到这样的文字：质量，意思是这袋食用糖的质量合格范围是______至______． 9．七年级一班第一小组五名同学某次数学测试的平均成绩为80分，以平均成绩为标准，超过平均分记为正，低于平均分记为负，将五名同学的成绩分别记作分，分，0分，8分，分．则这五名同学的实际成绩分别是多少分？ 知识点四0的意义 10．四位同学在整理关于数字“0”的知识时，说得正确的有（    ）个 小红∶0既表示没有，也表示起点，还表示正负数的分界点． 小明∶读数时，每级末尾不管有几个0，都不读． 小丽∶因为，所以去掉一个数末尾的0，不会改变这个数的大小． 小刚∶除法中除数不能为0，分数的分母不能为0，比的后项也不能为0． A．2 B．3 C．4 11．在、、、0、、、9中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 12．如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ (1)元 (2)元 (3)元 (4)元 知识点五有理数的分类 13．既是负数又是分数的是（   ） A． B． C． D．0 14．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 15．把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 负数：{______________________}； 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 有理数：{______________________}． 知识点六带“非”字的有理数  16．在，，0，，，，中，非负整数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 17．写出一个既不是非正数又不是整数的数：___________． 18．把下列各数分别填入相应的大括号内： ，，0，，，10，，． 分数集合：{______________________…}； 正有理数集合：{________________________…}； 非正整数集合：{___________________________…}． 知识点七数轴的三要素及其画法 19．关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 20．如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是___________． 21．已知有理数1、0、、、3、 (1)画出数轴并在数轴上标出以上各数； (2)把这些数用“”将它们连接起来． 知识点八用数轴上的点表示有理数 22．如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为（     ） A．0 B．2 C． D． 23．下面数轴中，A点表示的数是( )，B点表示的数是( ) 24．在数轴上表示下列各数，并比较这些数的大小． ，1，，3.5，，0 知识点九利用数轴比较有理数的大小 25．如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（    ） A． B． C．11 D．3 26．数轴上表示数a，b，c的点如图所示，把按从小到大的顺序排列为______． 27．数轴上5个点A，B，C，D，E的位置如图所示，观察数轴，解答下列问题： (1)点A表示的有理数是_______； (2)在数轴的正半轴上，与点E的距离为1个单位长度的点表示的有理数是___： (3)在数轴上分别标出表示有理数和0.5的点M，N； (4)将点B，D，E，M，N表示的有理数用“<”连接的结果是_________． 知识点十数轴上点的平移（动点问题） 28．在数轴上，点表示的数是，将点A向右移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 29．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 30．已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 知识点十一数轴上找原点 31．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 32．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 33．如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，4，y． (1)在数轴上面出原点O和表示有理数的点E； (2)若点B和点D之间的距离为5，求代数式的值． 知识点十二数轴上整点覆盖问题 34．如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 35．有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则_____． 36．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 知识点十三数轴上的规律探究 37．边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 38．如图，在数轴上，点表示，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离等于，那么的值是_____． 39．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 知识点十四相反数的定义 40．的相反数是（     ） A．3 B． C．6 D． 41．在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________． 42．如图，这是一个正方体表面的展开图，在原正方体中，相对的两个面上的数字互为相反数，求的值． 知识点十五化简多重符号  43．下列各数中，相反数比本身小的是（     ） A． B． C． D． 44．___________． 45．请化简下列各数： ，，，． 知识点十六相反数的应用 46．在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 47．已知的相反数是x，的相反数是y，z的相反数是0，则的相反数是___． 48．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：    (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？ 知识点十七绝对值的几何意义 49．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 50．比较大小：______．（填“”、“”或“”） 51．（1）如果，，且a，b异号，求a，b的值； （2）如果，，且，求a，b的值． 知识点十八求一个数的绝对值 52．计算：（     ） A． B． C． D．2 53．的最小值是________ 54．请在如图所示的“只有单位长度和正方向，还未标出原点”的数轴上表示下列各数，并按照从大到小的顺序将这些数用“”号连接起来． ，0，，，， 知识点十九绝对值非负性 55．如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 56．若，则的值为________． 57．已知有理数满足． (1)求的值； (2)若，求的值． 知识点二十绝对值的其他应用 58．海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球．现检测了四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 59．如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数．不足的克数记为负数．从轻重的角度看，从左至右第______个球最接近标准．     60．某工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据（超过规定长度的厘米数记作正数，不足规定长度的厘米数记作负数，单位：）如下： 零件号数 ① ② ③ ④ ⑤ 数据 (1)符合要求的零件是哪几个？ (2)这5个零件中质量最好的是哪一个？ 知识点二十一有理数大小比较 61．在四个数5、0、、2中，最大的数是（     ） A．5 B．0 C． D．2 62．在25%、0、、0.5、五个数中，最小的数是______． 63．已知某地某一天的气温如下表： 2时 6时 8时 时 时 时 根据上表中的气温，回答： (1)从左到右，表中的气温是由________到________（填“高”或“低”）变化； (2)根据气温的高低，可以推断出下列各数的大小关系（用“<”或“>”填空）：________________________0________1________3； 知识点二十二有理数大小比较的实际应用 64．如图，为保障交通安全，某路段设置了限高警示标识，下列高度的汽车不能通过该路段的是（     ） A． B． C． D． 65．新疆吐鲁番盆地的艾丁湖海拔高度约为米，吐鲁番市区的海拔高度约为米，已知这两个海拔数据中，有一个对应中国陆地最低点，则该最低点的海拔高度约为________米． 66．在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 学科网（北京）股份有限公司 $