专题06 有理数的乘方 《典例全解·题型通关》（七大题型21道题）-2026-2027学年北师大版数学 七年级上册

**基本信息** 以概念理解为起点，通过运算、规律、应用到科学记数法的逻辑链条，覆盖七大知识点21道题，题型多样，突出运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数幂的概念理解|3题|判断/填空，辨析底数指数|概念生成基础| |有理数的乘方运算|3题|选择/解答，含进制转换|概念到运算的过渡| |有理数乘方逆运算|3题|计算/规律探究|运算的逆向思维训练| |乘方运算的符号规律|3题|相反数判断/大小比较|运算规律的提炼| |乘方的应用|3题|实际问题（对折/截取/厚度）|数学建模与应用意识| |科学记数法表示|3题|选择/解答，含实际数据|概念拓展与数感培养| |科学记数法还原|3题|选择/填空，联系实际情境|数与现实的转化|

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题06 有理数的乘方（七大题型21道题） 目录 知识点一有理数幂的概念理解 1 知识点二有理数的乘方运算 1 知识点三有理数乘方逆运算 2 知识点四乘方运算的符号规律 3 知识点五乘方的应用 3 知识点六用科学记数法表示绝对值大于1的数 4 知识点七将用科学记数法表示的数变回原数 4 知识点一有理数幂的概念理解 1．下列说法正确的有（　　） ①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．用分数表示：_______． 3．（1）中，底数、指数各是什么？ （2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？ 知识点二有理数的乘方运算 4．下列运算结果为的是（     ） A． B． C． D． 5．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 6．在数学综合与实践学习中，我们认识到不同的进制有不同的计数规则．在密码学的基础应用中，也常常用到进制转换．已知有一种简单的密码规则是将字母转换为其对应的码值．（字母的码值为，其余大写字母的码值在的基础上按顺序加1得到．如字母的码值为，字母的码值为，以此类推．每个大写字母都有一个唯一的码值与其对应），再将该十进制数转换为三进制数进行加密． (1)年轻人把数学有趣又好玩翻译为“!”请你写出“MATH”这个单词各个字母在码中的值并计算出这些值的和为多少？ (2)现在收到一个加密后的三进制数，请将其转换为十进制数，并根据码表判断它对应的字母是什么？ 知识点三有理数乘方逆运算 7．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 8．若，则______． 9．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 知识点四乘方运算的符号规律 10．下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 11．_______． 12．已知，且 (1)求A等于多少？ (2)试比较与的大小． 知识点五乘方的应用 13．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 14．《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 15．如图，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：300格，每格，如图①；用尺子量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，如图②．求卫生纸的厚度．（取3） 知识点六用科学记数法表示绝对值大于1的数 16．近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 17．已知的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，那么我国约万的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧_______千克煤所产生的能量． 18．现有某种浓度的葡萄糖溶液，每瓶大约为滴，每滴葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子，5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有多少个葡萄糖分子？（结果用科学记数法表示） 知识点七将用科学记数法表示的数变回原数 19．在2008北京“奥运会国家体育场”的鸟巢钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为帕的钢材，那么的原数为（     ） A．4600000 B．46000000 C．460000000 D．4600000000 20．，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有_____个零． 21．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)2003年10月15日，中国首次进行载人航天飞行，神舟五号飞船绕地球飞行了14圈，行程约为6×105千米； (2)一套《辞海》大约有1.7×107个字． (3)1972年3月发射的“先驱者十号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器，至2003年2 月人们最后一次收到它发回的信号时，它离地球1.22×1011千米． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题06 有理数的乘方（七大题型21道题） 目录 知识点一有理数幂的概念理解 1 知识点二有理数的乘方运算 2 知识点三有理数乘方逆运算 4 知识点四乘方运算的符号规律 5 知识点五乘方的应用 7 知识点六用科学记数法表示绝对值大于1的数 9 知识点七将用科学记数法表示的数变回原数 10 知识点一有理数幂的概念理解 1．下列说法正确的有（　　） ①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，以及正负数的概念，对于①，根据一个数的平方是非负数进行判断；对于②、③，根据零的平方是零，零既不是正数也不是负数，据此分析；对于④，根据负数的平方是正数，负数小于正数，即可举例作出判断. 【详解】解：没有平方得的数，①正确； 时，，不是负数，②错误； 时，，不是正数，③错误； ，，④错误． 综上所述，正确的有1个， 故选：A． 2．用分数表示：_______． 【答案】 【分析】先将化成分数，再根据乘方定义计算出结果． 【详解】解：． 3．（1）中，底数、指数各是什么？ （2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？ 【答案】（1）底数是，指数是8；（2）中叫做底数，8叫做指数，是正数． 【分析】（1）根据乘方的定义，a•a•...•a（n个a）=an，a是底数，n是指数，进而解决本题； （2）根据有理数的乘方的概念即可回答． 【详解】解：（1）中，底数是，指数是8； （2）中叫做底数，8叫做指数，是正数． 【点睛】本题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方的概念解答．注意：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 知识点二有理数的乘方运算 4．下列运算结果为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据绝对值的性质、相反数的性质和乘方运算的法则逐一计算即可． 【分析】解：A．，此选项不符合题意； B．，此选项不符合题意； C．，此选项符合题意； D．，此选项不符合题意； 5．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 【答案】 【分析】根据有理数的乘方解题即可． 【详解】解：化为十进制数：， 化为三进制数：． 6．在数学综合与实践学习中，我们认识到不同的进制有不同的计数规则．在密码学的基础应用中，也常常用到进制转换．已知有一种简单的密码规则是将字母转换为其对应的码值．（字母的码值为，其余大写字母的码值在的基础上按顺序加1得到．如字母的码值为，字母的码值为，以此类推．每个大写字母都有一个唯一的码值与其对应），再将该十进制数转换为三进制数进行加密． (1)年轻人把数学有趣又好玩翻译为“!”请你写出“MATH”这个单词各个字母在码中的值并计算出这些值的和为多少？ (2)现在收到一个加密后的三进制数，请将其转换为十进制数，并根据码表判断它对应的字母是什么？ 【答案】(1) “MATH”这个单词各个字母在码中的值依次分别为77，65，84，72，这些值的和为298； (2) 三进制数转换为十进制数为73，根据码表判断它对应的字母是I． 【分析】本题考查不同进制数之间的转换、信息的编码，有理数的混合运算，理解题意中的编码和转换规则是解题的关键；根据有理数混合运算法则、乘法运算法则及码规则逐题计算即可． 【详解】（1）解：根据码值的定义规则可知，的码值为，的码值为，的码值为，的码值为，这些值的和为； （2）三进制数转换为十进制数为． ∵， ∴根据码表得73对应的字母是I． 知识点三有理数乘方逆运算 7．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 8．若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 9．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 知识点四乘方运算的符号规律 10．下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 【详解】解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 11．_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是利用积的乘方公式进行简便运算．先将转化为，再写成以为底的幂，最后利用幂的运算性质化简． 【详解】解： ． 12．已知，且 (1)求A等于多少？ (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，非负数的性质，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）由已知可知，，将代入化简，即可得到答案； （2）将，代入，化简得到，根据偶次方的非负性，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， （2）解：，， ， ， ， ． 知识点五乘方的应用 13．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 14．《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，由题意可得第n天操作后剩余全长的，则第1天到第n天一共截取的长度为米． 【详解】解：由题意知，第1天操作后剩余全长的， 第2天操作后剩余全长的， 第3天操作后剩余全长的， 第4天操作后剩余全长的， 第5天操作后剩余全长的， 第1天到第5天一共截取的长度为（米）， 故答案为：． 15．如图，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：300格，每格，如图①；用尺子量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，如图②．求卫生纸的厚度．（取3） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，有理数的乘除的混合应用，圆柱的体积，正确掌握相关性质是解题的关键． 先结合整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，且运用圆柱的体积公式进行列式计算可得整卷卫生纸的体积，再根据图中的数据信息进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和， ∴整卷卫生纸的体积， 则卫生纸的厚度． 知识点六用科学记数法表示绝对值大于1的数 16．近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需先将亿化为普通整数，再按规则改写即可得到结果． 【详解】解：∵亿， ∴将其改写为符合要求的科学记数法，可得． 17．已知的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，那么我国约万的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧_______千克煤所产生的能量． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 18．现有某种浓度的葡萄糖溶液，每瓶大约为滴，每滴葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子，5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有多少个葡萄糖分子？（结果用科学记数法表示） 【答案】5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子 【分析】每滴葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子，每瓶大约为滴，5瓶这样的葡萄糖溶液中，这三个数相乘，结果用科学记数法表示． 【详解】解： 答：5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子． 知识点七将用科学记数法表示的数变回原数 19．在2008北京“奥运会国家体育场”的鸟巢钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为帕的钢材，那么的原数为（     ） A．4600000 B．46000000 C．460000000 D．4600000000 【答案】C 【分析】根据科学记数法的表示方法，把的小数点向右移动位即可． 【详解】解：． 20．，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有_____个零． 【答案】6 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值较大的数，解题的关键是对科学记数法表示的数进行还原． 对科学记数法表示的数进行还原即可． 【详解】解：，即原数7的后面有6个0． 故答案为：6． 21．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)2003年10月15日，中国首次进行载人航天飞行，神舟五号飞船绕地球飞行了14圈，行程约为6×105千米； (2)一套《辞海》大约有1.7×107个字． (3)1972年3月发射的“先驱者十号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器，至2003年2 月人们最后一次收到它发回的信号时，它离地球1.22×1011千米． 【答案】(1)600 000 (2)17 000 000 (3)122 000 000 000 【分析】根据题意，将科学记数法表示的数变回原数． 【详解】（1）解：6×105=600 000； （2）解： 1.7×107=17 000 000 （3）解：1.22×1011=122 000 000 000； 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $