第二章 有理数及其运算高频易错题《典例全解·题型通关》（单元达标检测）2026-2027学年七年级上册数学（北师大版）

**基本信息** 本单元卷聚焦有理数及其运算高频易错题，通过体育考试、乒乓球质量检测等真实情境设计，覆盖核心概念与运算，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|有理数定义（第1题）、正负数应用（第3题）、数轴动点（第4题）|新运算符号“!”（第6题）、运算程序循环（第9题）| |填空|8|绝对值性质（第11题）、数轴移动规律（第12题）、幻方（第14题）|“24点”游戏（第17题）、站台命名（第15题）| |解答|7|有理数混合运算（第19题）、数轴表示（第21题）、行程问题（第22题）|阅读材料探究（第25题）、网约车计费（第24题）|

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 第二章 有理数及其运算高频易错题（单元达标检测） 参考答案 1．C 【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 2．C 【分析】先计算所有两两组合的总数，再去掉重复计算的部分即可得到结果． 【详解】解：∵每个项目都可以和其余个项目组合，直接计算会把每组组合重复计算2次， ∴总的不同选择数为， 因此共有15种不同的选择． 3．D 【分析】本题考查了正数与负数、有理数的大小比较、绝对值，先求出绝对值，再找出绝对值最小的乒乓球即可得解． 【详解】解：，，，，，， ∵， ∴小杰应该选号乒乓球用于这次比赛， 故选：D． 4．A 【分析】设P，Q运动秒，写出P，Q点表示的数，计算，比较即可选出答案． 【详解】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 5．B 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质和有理数的加法，熟记运算法则并确定出y的值是解题的关键． 根据相反数定义求出，根据绝对值求出 的可能值，再根据 确定 的值，最后计算即可． 【详解】解：∵的相反数是3， ∴. ∵， ∴或. 又∵， 即， ∴， ∴， ∴， 故选B． 6．B 【详解】解：依题意可得： = ． 7．C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【详解】解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 8．D 【分析】设，得，从而可得a、b、c、d 的值，然后比较大小即可解答． 【详解】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 9．B 【分析】本题考查了有理数的运算和程序框图，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 根据运算程序计算可得前8次的输出结果，发现从第5次输出的结果开始，4，2，1，三个数循环，进而可得结论． 【详解】解：根据运算程序可知：开始输入的x值为14，第1次输出的结果为7， 第2次输出的结果为10， 第3次输出的结果为5， 第4次输出的结果为8， 第5次输出的结果为4， 第6次输出的结果为2， 第7次输出的结果为1， 第8次输出的结果为4， …， 发现：从第5次输出的结果开始，4，2，1，三个数循环， ∴ ∴第2025次输出的结果为2． 故选：B． 10．A 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，新定义，根据新定义可求出，再计算出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：A． 11．0（答案不唯一） 【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，设的相反数为，的绝对值为，则，得出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设的相反数为，的绝对值为， ∴， ∵， ∴，即， 当时，，等式成立， ∴可以是任何非正有理数，例如0， 故答案为：（答案不唯一）． 12． 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及数字的变化规律，找出点的变化规律是解题的关键． 根据题意可知从第一次开始计算，每两次移动的结果都是向左2个单位，因此先计算出有多少个两次移动，再将数量乘以，与原始位置的数据相加即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 13．或 【分析】根据绝对值的定义确定x和y的所有可能取值，再结合的条件筛选出符合的取值，最后计算的值即可. 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴或． 当时， ； 当时， ． 故答案为或． 14． 【分析】本题主要考查了有理数的运算，理解题意是解题关键．先设中间正方形四个顶点中右上角的数字为，左下角的数字为，再根据题意列出关系式，整理可得答案． 【详解】解：根据图，设中间正方形四个顶点中右上角的数字为，左下角的数字为． 根据题意，得， 将上式变形，得． 故答案为：． 15．或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离． 先求出，根据得到或，即可求出点表示的数． 【详解】解：， ∵， ∴或， 所以点表示的数为或． 故答案为：或． 16． 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． 17．或或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式即可． 【详解】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 18．6 【分析】根据程序规则，将输入的数乘，判断结果符号，若结果为负则重新计算，若结果为正则输出，按照有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意进行计算：， ∵，满足输出条件， ∴输出结果为6． 19． （或） 【分析】先根据有理数的混合运算法则计算括号内的，再根据有理数的乘除法法则计算． 【详解】解：原式 ． 20．（1） （2） 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（1）；4； （2）， 【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．（1）卡片B在出发点O点西侧1米处 （2）36米 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减混合运算的实际应用． （1）计算的和，根据结果的符号计算即可； （2）先求出从E点返回O点的路程，再将求得的返回路程与各次移动记录数据的绝对值相加即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴卡片B在出发点O点西侧1米处； （2）解：机器人最终位置的坐标为：（米）处，从该点返回 点的路程为 （米）， 机器人完成一次全程比赛共移动的路程为： （米）． 23．（1）①；② （2）见解析 【分析】（1）方方第一步在计算时出错了，结果应为；圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算； （2）先计算乘方，再从左到右进行乘除运算的顺序计算，最后算加减即可求解． 【详解】（1）解：∵方方第一步在计算时出错了，结果应为， ∴方方开始出错的是第①步， ∵圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算， ∴圆圆开始出错的是第②步． （2）解： 24．（1）司机在门店东侧，距离门店 （2）总耗油量为 （3）司机本次一共收到车费为元 【分析】（1）根据题意，进行有理数加法即可得到答案； （2）根据总耗油量单位耗油量总路程，即可得到答案； （3）根据计价标准分别计算每位客人的车费，相加即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：司机在门店东侧，距离门店； （2）解：总路程： 总耗油量：； （3）解：第1单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第2单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第3单：行驶，超过的部分为，费用为（元）； 第4单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第5单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 总车费：（元）． 25．【运用】【延伸】（1）（2） 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 【运用】设，把等式两边都乘以5可得：，把两个等式的左右两边分别相减即可求出结果； 【延伸】（1）根据图形的分割规律可知； （2）设， 等式两边都乘以可得：，把两个等式两边同时相减即可得到结果． 【详解】解：【运用】设①， ②， ②①得：； 【延伸】（1）， ， ， ， 故答案为：； （2）设， ， ①②得：， ， 即． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 第二章 有理数及其运算高频易错题（单元达标检测） 一、选择题 1．下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．今年小升初考试增加了体育考试，其中体育项目有1分钟跳绳、50米、立定跳远、排球、乒乓球、羽毛球，要求从这6个项目中选两个项目参加考试，他将有（     ）种不同的选择． A．5 B．12 C．15 D．18 3．在实际生产中，乒乓球的质量可能有误差，通常把比标准质量大的克数记为正数，比标准质量小的克数记为负数．为了挑选最接近标准质量的乒乓球用于比赛，小杰同学对6个乒乓球进行编号后，称重记录如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 称重 -0.04 你认为小杰应该选几号乒乓球用于比赛？（    ） A．2号 B．3号 C．5号 D．6号 4．如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知x的相反数是，且满足，则的值为（   ） A．8 B．2 C． D． 6．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．如图，按照所示的运算程序计算：若开始输入的值为14，则第1次输出的结果为7，第2次输出的结果为10，…，第2025次输出的结果为（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 10．若是新规定的一种运算法则：例如，则的值为（   ） A． B．10 C．2 D． 二、填空题 11．一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可） 12．如图，在数轴上，点表示数，现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第2026次移动到点，那么点所表示的数为______． 13．若，且，那么的值是________． 14．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是___________． 15．电影《哈利·波特》中，小波特穿墙进入“站台”的镜头，构思奇妙，给观众留下了深刻的印象．如图，“站台”可用点Q表示．若A，B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影命名的方法可称为“________站台”． 16．对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 17．游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 18．按程序输入数，先乘，若结果为负，再将此结果乘，直到结果为正输出，则输出结果为______________． 三、解答题 19．计算： 20．计算： （1）； （2）． 21．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； （2）补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 22．学校科技节上，小华制作的“慧湖机器人”在一条东西方向的跑道上进行取卡片比赛，从O点出发依次取得A，B，C，D，E五张卡片，取得全部卡片后再返回出发点算完成一次全程比赛．约定向东为正方向，取得五张卡片的移动记录（单位：米）如下： ． （1）请准确描述出卡片B的具体位置； （2）该机器人完成一次全程比赛共移动的路程为多少米？ 23．方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ （1）以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； （2）写出你的计算过程． 24．大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录（单位：）： ． （1）接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ （2）该车每千米耗油，求总耗油量； （3）计价规则：行驶路程不超收费元，超过的部分每千米收费元，不足按算，求司机本次一共收到车费多少元． 25．【阅读】求的值． 解：设．① 将等式①的两边同时乘2，得．② ②①，得， 即． 【运用】仿照上述方法计算：； 【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2025次，得到小正方形，，，，． 完成下列问题： （1）小正方形的面积等于_____； （2）直接写出正方形，，，，的面积和_____． 学科网（北京）股份有限公司 $