第二单元圆（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学西南大学版

该小学数学第二单元“圆”复习讲义通过层级框架梳理知识体系，涵盖基本认识、对称性、周长、面积、圆环、缩放规律及易错点，以定义-特征-公式-应用的逻辑呈现，突出直径与半径关系、周长面积公式推导等核心，用易错点标注区分易混概念。 练习设计注重数学眼光与思维培养，如“长方形纸剪最大圆”“羊吃草范围”等情境题引导从现实抽象空间形式，“圆面积推导为平行四边形”题培养推理意识。分层练习覆盖填空、选择到作图解答，例题含易错点解析，帮助学生掌握方法，教师可精准教学。

第二单元 圆（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 一、圆的基本认识 1. 圆的定义 （1）圆是平面内由曲线围成的封闭图形，与长方形、正方形等直线图形不同。 （2）一条线段绕固定端点旋转一周，另一个端点形成的轨迹就是圆。 2. 圆的各部分名称 （1）圆心：画圆时固定的中心点，用字母O表示，决定圆的位置。 （2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示，决定圆的大小。 （3）直径：通过圆心且两端都在圆上的线段，用字母d表示，是圆内最长的线段。 3. 圆的基本特征 （1）同一个圆内，有无数条半径、无数条直径。 （2）同一个圆内，所有半径长度相等，所有直径长度相等。 （3）直径与半径关系：d＝2r，r＝d÷2。 二、圆的对称性 1. 对称轴特征 （1）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 （2）圆有无数条对称轴。 2. 特殊圆形对称特点 （1）半圆是轴对称图形，只有1条对称轴。 （2）同心圆、标准圆环有无数条对称轴。 三、圆的周长 1. 周长的定义 （1）围成圆的曲线的长度，叫做圆的周长，用字母C表示。 2. 圆周率π的认识 （1）圆周率是圆的周长与直径的比值，是固定不变的无限不循环小数。 （2）π的近似值通常取3.14，π的大小与圆的大小无关。 3. 周长计算公式及变式 （1）已知直径求周长：C＝πd。 （2）已知半径求周长：C＝2πr。 （3）周长变式：d＝C÷π，r＝C÷2π。 4. 半圆周长 （1）半圆周长不等于圆周长的一半，包含半圆弧和一条直径。 （2）半圆周长公式：C半圆＝πr＋2r。 四、圆的面积 1. 面积的定义 （1）圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 2. 面积公式推导原理 （1）采用割补转化思想，把圆平均分成若干偶数份，拼接成近似长方形。 （2）平均分份数越多，拼成的图形越接近长方形。 （3）拼成的长方形长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 3. 面积计算公式 （1）圆的面积公式：S＝πr²。 （2）已知直径求面积：先求半径r＝d÷2，再代入面积公式计算。 （3）已知周长求面积：先求半径r＝C÷2π，再代入面积公式计算。 五、圆环的认识与面积 1. 圆环的定义 （1）两个圆心相同、半径不同的圆，两圆之间的区域叫做圆环。 （2）大圆半径用R表示，小圆半径用r表示，环宽＝R－r。 2. 圆环面积公式 （1）圆环面积＝外圆面积－内圆面积。 （2）字母公式：S环＝πR²－πr²＝π（R²－r²）。 六、圆的缩放变化规律 1. 半径变化联动规律 （1）圆的半径扩大或缩小若干倍，直径、周长随之扩大或缩小相同倍数。 （2）圆的面积扩大或缩小的倍数，是半径倍数的平方倍。 ① 半径变化只改变圆的大小，不改变圆的形状。 七、单元核心易错知识点 1. 概念易错点 （1）直径必须同时满足过圆心、两端在圆上两个条件，缺一不可。 （2）不同圆的半径、直径无法直接套用d=2r的数量关系。 （3）π不等于3.14，3.14只是π的近似取值。 2. 周长易错点 （1）混淆半圆周长和圆周长的一半，半圆周长必须加直径长度。 （2）计算周长时误用面积公式，公式混淆导致结果错误。 3. 面积易错点 （1）面积计算易错写成πr×2，正确为r的平方。 （2）已知直径、周长求面积时，忘记先求半径直接计算。 4. 圆环易错点 （1）误将环宽当作小圆半径，导致圆环面积计算错误。 （2）计算圆环面积时，错误用（R－r）²计算，未正确使用平方差公式。 5. 规律易错点 （1）记错缩放规律，误将面积变化倍数等同于半径变化倍数。 一、例题讲解 【典例】 1．上海世博会世博轴上分布着六个形似喇叭的“阳光谷”，其中最大的一个下端是直径20米的圆，这个圆的周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 62.8 314 【分析】根据圆周长公式：，圆面积公式：，分别代入数据即可解答。 【详解】3.14×20＝62.8（米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 【典例】 2．用一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸，剪成一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 20 125.6 1256 【分析】在长方形纸中剪出一个最大的圆，这个圆的直径长度应等于长方形的宽。已知长方形的宽是 40厘米，所以圆的直径是 40厘米，r＝d÷2，求出半径，再求出圆的周长：（取3.14，d是直径），圆的面积：（取3.14，r是半径）。 【详解】40÷2＝20（厘米） 3.14×40＝125.6（厘米） 3.14× ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 【典例】 3．如图，草地上有一个长5m、宽3m的小屋，在小屋的墙角处有一个木桩，木桩上拴着一只羊。如果拴羊的绳子长6m，那么这只羊可以吃到的草的范围是多少平方米？（羊的身长和打结处忽略不计） 【答案】92.63平方米 【分析】根据题意，这只羊可以吃到的草的范围如下图阴影部分所示。阴影部分①的面积是以6米为半径圆面积的，阴影部分②的面积是以3米为半径圆面积的，阴影部分③的面积是以1米为半径圆面积的。将三块阴影部分面积加在一起即为这只羊可以吃到的草的范围大小。据此解答。 【详解】×3.14×＋×3.14×＋×3.14× ＝×3.14×36＋×3.14×＋×3.14× ＝×3.14×36＋×3.14×9＋×3.14×1 ＝84.78＋7.065＋0.785 ＝92.63（平方米） 答：这只羊可以吃到的草的范围是92.63平方米。 【典例】 4．小舞的钢琴课从上午9点半开始，到上午11点结束。在这段时间里，时针转动所形成的圆心角是多少度？如果课程延长15分钟，这个圆心角会增加多少度？ 【答案】45度；7.5度 【分析】整个钟面是一圈360°，被平均分成12个大格，代表12个小时，所以每1个大格对应的角度是360°÷12＝30°，也就是说时针每走1小时就转动30°。 【详解】11时－9时30分＝1小时30分＝1.5小时 30×1.5＝45（度） 15分钟＝0.25小时 延长15分钟增加的圆心角：30×0.25＝7.5（度） 答：在这段时间里，时针转动所形成的圆心角是45度，如果课程延长15分钟，这个圆心角会增加7.5度。 提升练习 二、填空题 5．有一口井，井口直径是1.2米。现准备给它加上木井盖，要求直径比井口直径大20厘米。如果在木井盖的边沿钉一圈铝条进行包边，铝条长( )米。 【答案】4.396 【分析】先换算单位20厘米＝0.2米，井口的直径是1.2米，则木井盖的直径是（1.2＋0.2）米，边沿包边，铝条长就等于木井盖的周长，根据圆的周长＝，代入数据计算即可。 【详解】20厘米＝0.2米 ＝4.396（米） 所以铝条长4.396米。 6．从长8厘米，宽6厘米的长方形中截取一个最大的圆，所截圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米，剩余部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 3 18.84 19.74 【分析】从长方形中截取一个最大的圆，最大圆的直径等于长方形的宽，用长方形的宽除以2得到圆的半径；圆的周长C＝πd，算出圆的周长；圆的面积，长方形面积＝长×宽，用长方形面积减去所截的圆的面积即可得到剩余部分的面积。 【详解】半径：6÷2＝3（厘米） 周长：3.14×6＝18.84（厘米） 剩余部分的面积： 8×6－3.14×32 ＝48－3.14×9 ＝48－28.26 ＝19.74（平方厘米） 7．星期天，川川和妈妈去王城公园游玩。摩天轮的直径是44米，川川坐着它转动一周，大约在空中转过( )米。 【答案】138.16 【分析】转动一周的长度即为圆的周长，根据C＝πd列式计算。 【详解】3.14×44＝138.16（米） 8．钟面上时针从12走到3，扫过的部分是一个圆心角为( )的扇形。 【答案】90 【分析】钟面是一个完整的圆，一圈的圆心角是360°，钟面上一共平均分成12个大格，用除法求出每个大格的度数，从12走到3一共经过了3个大格，再用乘法算出3个大格的度数即可。 【详解】360°÷12×3 ＝30°×3 ＝90° 9．已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆圆心移动的路程是( )厘米，小圆滚动中扫过的面积是( )平方厘米。（结果保留π） 【答案】 22π 132π 【分析】当小圆紧贴大圆滚动一周时，小圆圆心的运动轨迹是一个以大圆圆心为圆心，半径为大圆半径与小圆半径之和的圆。大圆半径为8厘米，小圆半径为3厘米，因此小圆圆心轨迹的半径为8＋3＝11厘米。根据圆的周长公式C＝2πr（其中C为周长，r为半径），小圆圆心移动的路程为2π×11＝22π（厘米）。 小圆滚动扫过的区域是一个环形，这个环形的外圆半径是大圆半径加上2倍的小圆半径（小圆紧贴大圆外侧滚动，扫过区域的最外侧到大圆圆心的距离是大圆半径加上小圆的直径），内圆半径就是大圆的半径。外圆半径为8＋3×2＝14（厘米），内圆半径为8厘米。根据圆环面积公式S＝π（R2－r2）（其中S为圆环面积，R为外圆半径，r为内圆半径），扫过的面积为π×（142－82），求出结果即可。 【详解】解小圆圆心移动的路程： 轨迹半径：8＋3＝11（厘米） 路程：2×π×11＝22π（厘米） 小圆滚动扫过的面积： 外圆半径：8＋3×2＝8＋6＝14（厘米） 面积：π×（142－82） ＝π×（196－64） ＝132π（平方厘米） 小圆圆心移动的路程是22π厘米，小圆滚动中扫过的面积是132π平方厘米。 10．如图，把一个半径为r的圆平均分成若干份后，拼成一个近似的平行四边形。 (1)这个平行四边形的底相当于圆周长的( )，用字母表示为( )；高相当于圆的( )，用字母表示为( )。 (2)根据平行四边形的面积公式可以推导出圆的面积公式是S＝( )。 (3)用字母表示这个平行四边形的周长为( )。 【答案】(1) 一半/ πr 半径 r (2) (3)2πr＋2r 【分析】（1）圆剪拼成近似平行四边形时，圆的周长被分为相等的两部分，分别作为平行四边形的上底和下底，因此平行四边形的底相当于圆周长的一半；圆周长公式：C＝2r，平行四边形的高等于原来圆的半径，用字母表示为r。 （2）平行四边形的面积＝底×高，把底为r、高为r代入平行四边形的面积公式即可推导出圆的面积公式。 （3）平行四边形周长为相邻两边长度和的2倍，相邻两边分别为r和r，据此解答。 【详解】（1）这个平行四边形的底相当于圆周长的一半，用字母表示为r；高相当于圆的半径，用字母表示为r。 （2）平行四边形的面积＝底×高＝r×r＝，所以圆的面积：S＝。 （3）平行四边形的周长＝（r＋r）×2＝2r＋2r。 11．把一张直径是4cm的圆形纸片分成若干（偶数）等份。剪开后拼成一个近似长方形（如图所示），这个长方形的周长比原来圆的周长增加了( )cm。 【答案】4 【分析】根据圆面积公式的推导方法可知，把一个圆剪拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度。据此解答。 【详解】4÷2×2＝4（cm） 这个长方形的周长比原来圆的周长增加了4cm。 12．在一个边长是8cm的正方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm。 【答案】 25.12 【分析】在正方形内画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。已知正方形边长是8cm，求圆的周长＝（取3.14，d是直径）。 【详解】3.14×8＝25.12（cm） 三、选择题 13．用同一根绳子围成下列图形，（    ）的面积最大。 A．圆 B．正方形 C．等边三角形 D．三角形 【答案】A 【分析】根据题意几个选项的几何图形的面积公式，假设这根绳子的长是6.28分米，分别求出面积后进行比较选择即可。圆的面积公式：S＝πr2，π取3.14，正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2。 【详解】根据三角形面积推导公式可知，周长相等的情况下，三角形面积一定小于正方形，由此再比较圆、正方形在周长相等的情况下，哪种图形面积最大。 则正方形的面积是：（6.28÷4）2 ＝1.572 ＝2.4649（平方分米） 圆的面积：3.14×（6.28÷3.14÷2）2 ＝3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14 （平方分米） 3.14＞2.4649 所以三角形的面积＜正方形的面积＜圆的面积，即圆的面积最大。 14．一根10m长的线，围成下面的平面图形，（    ）的面积最大。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．三角形 【答案】C 【分析】利用正方形、长方形、圆、三角形的周长公式，分别计算出它们的边长、长和宽、圆的半径、底和高，然后再依据各自的面积公式计算出这些图形的面积，最后再比较大小即可得到答案。 【详解】正方形： 边长：（m） 面积：（） 长方形： 长与宽的和：（m） 长与宽越接近，面积越大，取长3m、宽2m， 面积：（），小于正方形面积。 圆： 半径：（m） 面积：（），大于正方形面积。 周长相等的三角形中，等边三角形面积最大，计算得面积约为4.8，小于上述图形面积。 所以周长相等的平面图形中，圆的面积最大，其次是正方形，之后是长方形、三角形。 15．下面说法错误的是（    ）。 A．直径是半径的2倍，半径是直径的。 B．直径是圆内最长的线段。 C．画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径的长度。 D．一个圆内有无数条直径。 【答案】A 【分析】在同一圆内，直径是半径的2倍。 通过圆心，并且两端都落在圆周上的线段，就叫做该圆的直径。直径是同一个圆内长度最长的线段。 半径是指连接圆心和圆上任意一点的线段。画圆时，圆规的针尖固定的点是圆心，两脚间的距离是圆心到圆上任意一点的距离，也就是圆的半径长度。 圆上存在无数个点，任意两个经过圆心的圆上点的连线都是直径，因此一个圆内有无数条直径。 【详解】A．直径是半径的2倍、半径是直径的的前提是在同圆或等圆中，该选项没有说明前提，说法错误。 B．直径是圆内最长的线段，说法正确。 C．画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径的长度，说法正确。 D．一个圆内有无数条直径，说法正确。 16．下面不一定是轴对称图形的是（    ）。 A．圆 B．正方形 C．等腰梯形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】轴对称的定义和特征：具有对称性的图形称为轴对称图形。轴对称图形对折后，中间这条折痕所在的直线就是这个图形的对称轴。轴对称图形的特征是对称轴两边的图形能够完全重合，对称点到对称轴的距离相等。 【详解】A．圆沿任意一条直径所在的直线对折，两侧图形都能完全重合，有无数条对称轴，一定是轴对称图形； B．正方形沿对边中点连线或对角线对折，两侧图形能完全重合，有4条对称轴，一定是轴对称图形； C．等腰梯形沿上下底中点的连线对折，两侧图形能完全重合，有1条对称轴，一定是轴对称图形； D．普通平行四边形沿任意直线对折，两侧都不能完全重合，只有特殊的平行四边形（如长方形、菱形）才是轴对称图形，因此平行四边形不一定是轴对称图形。 17．人们很早就认识了圆。在我国古代著作《墨经》中就有这样的记载：“圆，一中同长也。”意思是一个圆只有一个圆心，同一个圆内，半径都一样长。以下选项中隐含的数学原理不能用横线上这句话直接解释的是（    ）。 A．篝火晚会上人们围成圆圈跳舞 B．圆形井盖怎么放都不会掉进井里 C．玩游戏时学生们围成圆圈更公平 D．以同一点为圆心可以画无数个圆 【答案】D 【分析】“一中同长”指同一个圆只有一个圆心，且同一个圆内所有半径的长度都相等，据此判断各选项是否符合该原理。 【详解】A．人们围成圆圈跳舞，每个人到中间篝火（圆心）的距离都是圆的半径，长度都相等，可由原理解释。 B．同一个圆的直径长度是半径的2倍，同圆半径相等则所有直径长度相等，因此圆形井盖无论怎么放置，直径都大于井口宽度，不会掉落，可由原理解释。 C．学生围成圆圈玩游戏，所有人到圆心游戏点的距离都是圆的半径，长度都相等，游戏规则更公平，可由原理解释。 D．以同一点为圆心能画无数个圆，是因为半径可以取不同的长度，和“同圆内半径相等”的原理无关，不能由该原理解释。 四、判断题 18．圆的周长和圆周率成正比例关系。( ) 【答案】× 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 【详解】成正比例关系的两个量必须是相关联的可变的量，且二者的比值固定。圆周率是固定不变的常数，不会随圆的周长变化发生改变，不满足正比例关系的成立条件。原题说法错误。 故答案为：× 19．圆有无数条对称轴，三角形有3条对称轴。( ) 【答案】× 【分析】圆确实有无数条对称轴，但三角形的对称轴数量取决于其边的关系，并非所有三角形都有3条对称轴，只有等边三角形才有3条，因此该说法不具有普遍性。 【详解】根据分析： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，因此圆有无数条对称轴，前半句说法正确。三角形分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。其中，不等边三角形没有对称轴，等腰三角形（非等边）有1条对称轴，只有等边三角形有3条对称轴，后半句说法错误。 故答案为：× 20．大圆的周长与它直径的比值大于小圆的周长与它直径的比值。( ) 【答案】× 【分析】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个固定的常数，不会随着圆的大小而改变。无论圆的大小如何，该比值均相等。 【详解】根据分析，大圆的周长与它直径的比值等于小圆的周长与它直径的比值，原题说法错误。 故答案为：× 21．任意两个圆，它们各自的周长与直径的比一定能组成一个比例。( ) 【答案】√ 【分析】根据圆的周长公式C＝πd，可得周长与直径的比C∶d＝π。π是一个常数，对于任意圆都相同。因此，任意两个圆的周长与直径的比值都等于π，即比值相等。根据比例的定义（两个比值相等即可组成比例），该说法正确。 【详解】取第一个圆的直径为2厘米，则周长为π×2＝2π（厘米），周长与直径的比为2π∶2＝π。 取第二个圆的直径为4厘米，则周长为π×4＝4π（厘米），周长与直径的比为4π∶4＝π。 因为π＝π，所以2π∶2＝4π∶4，即两个比相等，能组成比例。 因此，任意两个圆，它们各自的周长与直径的比一定能组成一个比例，这句话说法正确。 故答案为：√ 22．图形有2条对称轴。( ) 【答案】√ 【分析】一个图形沿着这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴‌。轴对称图形是指沿着对称轴将图形两部分折叠后可重合。 【详解】图形有两条对称轴 故答案为：√ 五、作图题 23．明明的爷爷喜欢收藏铜钱，并用正方形纸夹保护起来。如图，你能找到铜钱的圆心吗？在下面右图中画一画，并标出圆心O。（保留作图痕迹） 【答案】 【分析】观察右图，铜钱的圆与方形纸夹四边的位置对称，说明铜钱的圆心与方形纸夹的中心重合。正方形两条对角线的交点是正方形的中心，所以这个交点也是铜钱的圆心。 【详解】先观察右图，确认铜钱的圆与方形纸夹四边的位置对称。用直尺分别连接方形纸夹的两组对角顶点，画出两条对角线；两条对角线的交点就是方形纸夹的中心，也就是铜钱的圆心。在交点旁标出O，并保留两条对角线作为作图痕迹。图略。 六、解答题 24．张叔叔到蛋糕店想买一个直径30厘米的蛋糕，可是直径30厘米的蛋糕卖完了，售货员想给张叔叔换成两个直径15厘米的蛋糕。如果你是张叔叔，你同意这种换法吗？为什么？（请结合本学期所学知识，用自己喜欢的方式从数学角度加以说明） 【答案】 不同意 理由：通过圆的面积公式计算可知，两个直径15厘米的蛋糕面积是353.25平方厘米，一个直径30厘米的蛋糕面积是706.5平方厘米，前者总面积小于后者的面积，换法不划算 【分析】要判断是否同意换法，需比较1个直径30厘米蛋糕的面积和2个直径15厘米蛋糕的总面积，利用圆的面积分别计算后对比大小即可。 【详解】（厘米） （平方厘米） （厘米） （平方厘米） 答：如果我是张叔叔，我不同意这种换法，通过圆的面积公式计算可知，两个直径15厘米的蛋糕面积是353.25平方厘米，一个直径30厘米的蛋糕面积是706.5平方厘米，前者总面积小于后者的面积，换法不划算。 25．在《九章算术》第一章“方田”中有这样的叙述：“今有圆田，周三十步，径十步。” (1)当时圆周率的精确度不高，试根据条件推算出当时圆周率的取值。 (2)以“周三十步”为条件，圆周率取3.14，求出“径”更精确的长度。（结果保留两位小数）（可以用计算器计算） 【答案】(1)3 (2)9.55步 【分析】根据圆的周长和直径的关系：圆的周长＝圆周率×直径，可推导出圆周率＝周长÷直径，直径＝周长÷圆周率，代入对应数据计算即可。 【详解】（1） 答：根据条件推算出当时圆周率的取值为3。 （2）（步） 答：求出“径”的长度为9.55步。 26．一条隧道的入口呈半圆形，其周长是17.99米，如下图所示。一辆汽车装满货物后高4米，此时它能否通过这条隧道？ 【答案】不能 【分析】由圆的周长公式C＝2πr可知，半圆形隧道口的周长为直径加圆周长的一半：圆周长的一半为2×3.14×r÷2＝3.14r，直径为2r，因此半圆形周长可表示为3.14r＋2r＝5.14r。结合半圆形隧道口的周长为17.99米，可得等式：5.14r＝17.99，计算得隧道口的半径为r＝3.5米，即隧道的最大高度为3.5米，据此比较隧道口的半径和汽车的高进行解答。 【详解】2×3.14×r÷2＝3.14r 3.14r＋2r＝5.14r 17.99÷5.14＝3.5（米） 3.5＜4 答：不能通过，该半圆形隧道的最大高度为3.5米，小于汽车的高度4米。 27．一个直径8米的圆形池塘，周围有一条1米宽的小路。这条小路的占地面积是多少平方米？ 【答案】 28.26平方米 【分析】小路的形状是圆环，求小路的占地面积就是求圆环的面积；先求出池塘（内圆）的半径，可求得，再求出加上小路的宽后的外圆半径，代入圆环面积公式：圆环的面积＝，计算即可。 【详解】内圆半径： （米） 外圆半径： （米） 求圆环的面积： （平方米） 答：这条小路的占地面积是28.26平方米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 一、圆的基本认识 1. 圆的定义 （1）圆是平面内由曲线围成的封闭图形，与长方形、正方形等直线图形不同。 （2）一条线段绕固定端点旋转一周，另一个端点形成的轨迹就是圆。 2. 圆的各部分名称 （1）圆心：画圆时固定的中心点，用字母O表示，决定圆的位置。 （2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示，决定圆的大小。 （3）直径：通过圆心且两端都在圆上的线段，用字母d表示，是圆内最长的线段。 3. 圆的基本特征 （1）同一个圆内，有无数条半径、无数条直径。 （2）同一个圆内，所有半径长度相等，所有直径长度相等。 （3）直径与半径关系：d＝2r，r＝d÷2。 二、圆的对称性 1. 对称轴特征 （1）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 （2）圆有无数条对称轴。 2. 特殊圆形对称特点 （1）半圆是轴对称图形，只有1条对称轴。 （2）同心圆、标准圆环有无数条对称轴。 三、圆的周长 1. 周长的定义 （1）围成圆的曲线的长度，叫做圆的周长，用字母C表示。 2. 圆周率π的认识 （1）圆周率是圆的周长与直径的比值，是固定不变的无限不循环小数。 （2）π的近似值通常取3.14，π的大小与圆的大小无关。 3. 周长计算公式及变式 （1）已知直径求周长：C＝πd。 （2）已知半径求周长：C＝2πr。 （3）周长变式：d＝C÷π，r＝C÷2π。 4. 半圆周长 （1）半圆周长不等于圆周长的一半，包含半圆弧和一条直径。 （2）半圆周长公式：C半圆＝πr＋2r。 四、圆的面积 1. 面积的定义 （1）圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 2. 面积公式推导原理 （1）采用割补转化思想，把圆平均分成若干偶数份，拼接成近似长方形。 （2）平均分份数越多，拼成的图形越接近长方形。 （3）拼成的长方形长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 3. 面积计算公式 （1）圆的面积公式：S＝πr²。 （2）已知直径求面积：先求半径r＝d÷2，再代入面积公式计算。 （3）已知周长求面积：先求半径r＝C÷2π，再代入面积公式计算。 五、圆环的认识与面积 1. 圆环的定义 （1）两个圆心相同、半径不同的圆，两圆之间的区域叫做圆环。 （2）大圆半径用R表示，小圆半径用r表示，环宽＝R－r。 2. 圆环面积公式 （1）圆环面积＝外圆面积－内圆面积。 （2）字母公式：S环＝πR²－πr²＝π（R²－r²）。 六、圆的缩放变化规律 1. 半径变化联动规律 （1）圆的半径扩大或缩小若干倍，直径、周长随之扩大或缩小相同倍数。 （2）圆的面积扩大或缩小的倍数，是半径倍数的平方倍。 ① 半径变化只改变圆的大小，不改变圆的形状。 七、单元核心易错知识点 1. 概念易错点 （1）直径必须同时满足过圆心、两端在圆上两个条件，缺一不可。 （2）不同圆的半径、直径无法直接套用d=2r的数量关系。 （3）π不等于3.14，3.14只是π的近似取值。 2. 周长易错点 （1）混淆半圆周长和圆周长的一半，半圆周长必须加直径长度。 （2）计算周长时误用面积公式，公式混淆导致结果错误。 3. 面积易错点 （1）面积计算易错写成πr×2，正确为r的平方。 （2）已知直径、周长求面积时，忘记先求半径直接计算。 4. 圆环易错点 （1）误将环宽当作小圆半径，导致圆环面积计算错误。 （2）计算圆环面积时，错误用（R－r）²计算，未正确使用平方差公式。 5. 规律易错点 （1）记错缩放规律，误将面积变化倍数等同于半径变化倍数。 一、例题讲解 【典例】 1．上海世博会世博轴上分布着六个形似喇叭的“阳光谷”，其中最大的一个下端是直径20米的圆，这个圆的周长是( )米，面积是( )平方米。 【典例】 2．用一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸，剪成一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【典例】 3．如图，草地上有一个长5m、宽3m的小屋，在小屋的墙角处有一个木桩，木桩上拴着一只羊。如果拴羊的绳子长6m，那么这只羊可以吃到的草的范围是多少平方米？（羊的身长和打结处忽略不计） 【典例】 4．小舞的钢琴课从上午9点半开始，到上午11点结束。在这段时间里，时针转动所形成的圆心角是多少度？如果课程延长15分钟，这个圆心角会增加多少度？ 提升练习 二、填空题 5．有一口井，井口直径是1.2米。现准备给它加上木井盖，要求直径比井口直径大20厘米。如果在木井盖的边沿钉一圈铝条进行包边，铝条长( )米。 6．从长8厘米，宽6厘米的长方形中截取一个最大的圆，所截圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米，剩余部分的面积是( )平方厘米。 7．星期天，川川和妈妈去王城公园游玩。摩天轮的直径是44米，川川坐着它转动一周，大约在空中转过( )米。 8．钟面上时针从12走到3，扫过的部分是一个圆心角为( )的扇形。 9．已知大圆半径8厘米，小圆半径3厘米，如果让小圆紧贴着大圆滚动一周，那么小圆圆心移动的路程是( )厘米，小圆滚动中扫过的面积是( )平方厘米。（结果保留π） 10．如图，把一个半径为r的圆平均分成若干份后，拼成一个近似的平行四边形。 (1)这个平行四边形的底相当于圆周长的( )，用字母表示为( )；高相当于圆的( )，用字母表示为( )。 (2)根据平行四边形的面积公式可以推导出圆的面积公式是S＝( )。 (3)用字母表示这个平行四边形的周长为( )。 11．把一张直径是4cm的圆形纸片分成若干（偶数）等份。剪开后拼成一个近似长方形（如图所示），这个长方形的周长比原来圆的周长增加了( )cm。 12．在一个边长是8cm的正方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm。 三、选择题 13．用同一根绳子围成下列图形，（    ）的面积最大。 A．圆 B．正方形 C．等边三角形 D．三角形 14．一根10m长的线，围成下面的平面图形，（    ）的面积最大。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．三角形 15．下面说法错误的是（    ）。 A．直径是半径的2倍，半径是直径的。 B．直径是圆内最长的线段。 C．画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径的长度。 D．一个圆内有无数条直径。 16．下面不一定是轴对称图形的是（    ）。 A．圆 B．正方形 C．等腰梯形 D．平行四边形 17．人们很早就认识了圆。在我国古代著作《墨经》中就有这样的记载：“圆，一中同长也。”意思是一个圆只有一个圆心，同一个圆内，半径都一样长。以下选项中隐含的数学原理不能用横线上这句话直接解释的是（    ）。 A．篝火晚会上人们围成圆圈跳舞 B．圆形井盖怎么放都不会掉进井里 C．玩游戏时学生们围成圆圈更公平 D．以同一点为圆心可以画无数个圆 四、判断题 18．圆的周长和圆周率成正比例关系。( ) 19．圆有无数条对称轴，三角形有3条对称轴。( ) 20．大圆的周长与它直径的比值大于小圆的周长与它直径的比值。( ) 21．任意两个圆，它们各自的周长与直径的比一定能组成一个比例。( ) 22．图形有2条对称轴。( ) 五、作图题 23．明明的爷爷喜欢收藏铜钱，并用正方形纸夹保护起来。如图，你能找到铜钱的圆心吗？在下面右图中画一画，并标出圆心O。（保留作图痕迹） 六、解答题 24．张叔叔到蛋糕店想买一个直径30厘米的蛋糕，可是直径30厘米的蛋糕卖完了，售货员想给张叔叔换成两个直径15厘米的蛋糕。如果你是张叔叔，你同意这种换法吗？为什么？（请结合本学期所学知识，用自己喜欢的方式从数学角度加以说明） 25．在《九章算术》第一章“方田”中有这样的叙述：“今有圆田，周三十步，径十步。” (1)当时圆周率的精确度不高，试根据条件推算出当时圆周率的取值。 (2)以“周三十步”为条件，圆周率取3.14，求出“径”更精确的长度。（结果保留两位小数）（可以用计算器计算） 26．一条隧道的入口呈半圆形，其周长是17.99米，如下图所示。一辆汽车装满货物后高4米，此时它能否通过这条隧道？ 27．一个直径8米的圆形池塘，周围有一条1米宽的小路。这条小路的占地面积是多少平方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $