2.4 用一元二次方程解决问题 专项练习 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，通过多样化题型构建"问题情境-等量关系-方程建模"的完整解题链，强化数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |增长率问题|3题|两次降价/利润增长|基于(1±x)ⁿ模型的抽象能力| |面积问题|5题|矩形/道路/养鸡场|几何直观与空间观念的应用| |传染与握手问题|4题|病毒传播/贺卡赠送|从具体到抽象的符号意识培养| |利润问题|3题|售价调整/盈利计算|经济问题中的数学表达能力| |动态几何问题|2题|动点面积/等腰三角形|运动变化中的推理意识构建|

2.4用一元二次方程解决问题专项练习答案与解析 一、选择题 1、答案：A 解析：第一次降价后价格为，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此两次降价后价格为，根据题意列方程得。 2、答案：C 解析：10 月份利润为 300 万元，11 月份利润为，12 月份利润为，题目明确为 11、12 月的利润合计为 800 万元，因此列方程为。 3、答案：B 解析：矩形周长为 50cm，因此长与宽的和为 25cm，已知一边长为，则另一边长为，面积为。 4、答案：A 解析：每人要给除自己之外的人赠送贺卡，因此个人共赠送张贺卡，根据题意。 5、答案：B 解析：设每轮传染中平均一只鸡传染只鸡，第一轮后有只病鸡，第二轮后所有病鸡都会继续传染，因此两轮后共有只病鸡，因此，解得（负根舍去），。 6、答案：B 解析：与送贺卡同理，每人给其他同学写留言，因此个人共写份留言，根据题意，解方程得（负根舍去）。 自查：代入验证，，完全符合题意，结果正确。 7、答案：C 解析：长为步，长与宽的和为 60 步，因此宽为步，面积为，整理得。 自查：展开移项过程正确，符合矩形面积公式，结果正确。 8、答案：D 设涨元时，单件盈利为，销量为，总利润为； 降元时，单件盈利为，销量为，总利润为。 两者利润相等，展开整理得： 由于、为正数，，两边约去得。 可得 9、答案：B 解析：利用平移法，将两条道路平移到矩形的边缘，剩余的田地可拼接为一个长为、宽为的新矩形，因此面积为。 10、答案：A 解析：秒后，，，的面积为，根据题意，解得或。 但点 Q 的运动速度为 2cm/s，BC 长 7cm，因此 Q 最多运动秒，超过了运动时间，舍去，因此仅符合要求。 二、填空题 11、答案：（或） 解析：长为步，宽比长少 12 步，因此宽为步，矩形面积为长乘宽，即，整理得。 12、答案：12 解析：与传染问题同理，两轮传染后感染人数为，解得，。 13、答案：9 解析：握手问题中，每两人握一次手，因此总握手次数为组合数，解得（负根舍去）。 自查：代入验证，，完全符合题意，结果正确。 14、答案：2 解析：设人行通道宽度为，将两块绿地平移后，可拼接为长为、宽为的矩形，面积为 600，因此，整理得，解得（超出范围舍去）。 15、答案：12 解析：设原菜地的长为 m，长减少 2m 后为正方形，因此宽为，面积为，解得（负根舍去）。 16、答案： 解析：每盒盈利减少元后，单件盈利为，销量为，总盈利为两者的乘积，因此列方程为。 三、解答题 17、解答： 设共有支球队参加比赛。 双循环赛制中，每两队之间要进行 2 场比赛，因此总比赛场数为。 根据题意列方程： 整理得，解得或（负根舍去）。 答：共有 10 支球队参加比赛。 18、解答： (1) 设平均每人每轮感染人。 经过两轮传播后，感染人数为，因此： 解得（负根舍去），。 答：平均每人每轮感染 18 人。 (2) 第二轮后感染人数为 361 人，第三轮中，每人的传染力度变为原来的，即每人感染人，根据题意第三轮后总感染人数为第二轮的倍，解得。 19、解答： 首先，若人数不超过 25 人，人均旅游费用为 1000 元，总费用最多为元，小于 27000 元，因此人数超过 25 人。 设该单位共有名员工，。 人均旅游费用为，且人均费用不低于 700 元，即： 解得。 总费用为，整理得： 解得或。 ，不符合人均费用的要求，舍去，因此。 答：该单位这次共有 30 名员工去旅游。 自查：代入验证，30 人的人均费用为，总费用，完全符合题意，结果正确。 20、解答： 设圈出的四个数中，最小数为，日历中 2×2 方框的四个数，右下的最大数比左上的最小数大 8，因此最大数为。 ① 若乘积为 33，则： 整理得，解得或（负根舍去）。 为正整数，对应的四个数 3、4、10、11 在日历中可以圈出，因此可以，最小数为 3。 ② 若乘积为 65，则： 整理得，解得或（负根舍去）。 为正整数，对应的四个数 5、6、12、13 在日历中可以圈出，因此可以，最小数为 5。 21、解答： 设 BC 的长度为 m，则 AB 的长度为 m，根据墙长限制，，解得。 (1) 若面积为，则： 整理得，解得或。 ，不符合墙长的限制，舍去；时，，符合要求。 答：鸡场的长 AB 为 15m，宽 BC 为 6m。 (2) 若面积为，则： 整理得，判别式，方程无实数根，因此无法实现。 答：这一想法不能实现，因为方程无实数解，无法围成这样的养鸡场。 22、解答： (1) 八进制数 3751 转换为十进制： (2) 进制数 126 转换为十进制为，根据题意得： 整理得，解得或（负根舍去）。 答：(1) 2025；(2) 的值为 9。 23、解答： (1) 售价定为 17 元，相比原售价降低了元，因此销量增加kg，每天可销售kg。 答：每天可销售 80 千克。 (2) 设每千克售价降低元，则单件盈利为，销量为，总利润为： 整理得，解得或。 时，销量为 60kg；时，销量为 110kg，要保证销售量尽可能大，因此选择，此时售价为元。 答：每千克龙眼售价应定为 14 元。 24、解答： 建立坐标系，设，则，，。秒后，。 (1) 四边形 PQDC 是平行四边形，由于，因此，仅需满足即可。 当时，P 从 B 向 C 运动，，，因此，解得； 当时，P 从 C 向 B 返回，，因此，解得。 因此或时，四边形 PQDC 是平行四边形。 (2) 四边形 CDQP 是梯形，高为 AB=12，因此面积为，即。 当时，，解得； 当时，，解得。 因此或时，以 C，D，Q，P 为顶点的四边形面积等于。 (3) 当时，，为等腰三角形，分三种情况： ① ：，解得； ② ：，解得； ③ ：方程无实根。 因此满足要求的的值为秒、秒。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4用一元二次方程解决问题专项练习 一、选择题题（共10小题，每题3分，共30分） 1、某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元。已知两次降价的百分率都为 x , 那么 x 满足的方程是 ( ) A. 100 (1-x)²=81 B. 100 (1+x)²=81 C. 100 x²=81 D. 100 (1-2 x)=81 2、在国家经济宏观调整下，某企业 2024 年 10 月份的利润实现新突破，达到月利润 300 万元，11 月份和 12 月份的利润合计为 800 万元，设 11 月份和 12 月份利润的平均增长率为 x，根据题意可列方程为 ( ) A．300x+300x²=800 B．300 (1+x)²=800 C．300 (1+x)+300 (1+x)²=800 D．300+300 (1+x)+300 (1+x)²=800 3、用一条长 50cm 的绳子围成一个面积为 100 cm² 的矩形，设矩形的一边 长为 xcm, 根据题意，可列方程为 ( ) A. x (50-x)=100 B. x (25-x)=100 C. x (50+x)=100 D. x (25+x)=10 4、新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共 90 张，设小组有 x 人，列方程正确的是 ( ) A．x (x-1)=90 B．x (x-1)=180 C．x (x+1)=90 D．x (x+1)=180 5、有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有 625 只鸡患了禽流感，每轮传染中平均一只鸡传染（ ）只鸡． A．22 B．24 C．25 D．26 6、距考试还有 20 天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了 30 份留言，该小组共有 ( ) A.7 人 B.6 人 C.5 人 D.4 人 7、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载:“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？” 意思是 “一块矩形田地的面积是 864 平方步，只知道它的长与宽的和是 60 步，问它的长和宽各是多少步？” 设矩形田地的长为 x 步，根据题意可以列方程为 ( ) A. x²-60 x-864=0 B. x (x+60)=864 C. x²-60 x+864=0 D. x (x+30)=864 8、某超市销售一批玩具，平均每天可售出 120 件，每件盈利 4 元，市场调查发现售价每涨 1 元，销售量减少 10 件；售价每降 1 元，销售量增加 10 件。爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨 a 元与降 b 元所获得的利润相同，则 a 与 b 满足（ ）。 A．a-b=2 B．a+b=2 C．a-b=4 D．a+b=8 9、如图，在长为 30 m , 宽 20m 的矩形田地中开辟两条宽度相等的道 路，已知剩余田地的面积为 551 ~m² , 求道路的宽度。设道路的宽度为 xm , 则可列方程 ( ) A. (20+x)(30+x)=551 B. (20-x)(30-x)=551 C. 20 × 30-20 x-30 x=551 D. 20 × 30-20 x-30 x-x²=551 10、如图，在△ABC 中，∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm, 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，当点 Q 到达点 C 时，P , Q 均停止运动，若△PBQ 的面积等于 4cm², 则运动时间为 ( ) A.1 秒 B.4 秒 C.1 秒或 4 秒 D.1 秒或 27. 秒 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11、南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？” 意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，它的宽比长少 12 步，问宽和长各多少步？设这块矩形田地的长为 x 步，根据题意可列方程为 。 12、有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169 人患了流感，每轮传染中 平均一个人传染了 人. 13、一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手 36 次，则这次会议与会人数是共 人. 14、某小区有一块长为 36m，宽为 24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 600m²，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m． 15、一块矩形菜地的面积是 120 m² , 如果它的长减少 2 m , 那么菜地就变成正方 形，则原菜地的长是 m . 16、某商家购进一批沙棘汁，每天可售出 160 盒，平均每盒盈利 70 元，后经市场调查发现，当平均每盒盈利减少 1 元时，每天可多售出 8 盒。若要每天盈利 16000 元，设平均每盒盈利减少 x 元，则可列方程为 。 三、解答题（共8小题，共72分） 17、（8分）某足球联赛采用双循环赛制，如果赛季结束后共比赛 90 场，那么共有多少支球队参加比赛？ 18、（8分）如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒 1 人感染后，经过两轮传播，共有 361 人感染． (1) 平均每人每轮感染多少人？ (2) 第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的 倍，求 的值． 19、（8分）某旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数超过 25 人，每超过 1 人，人均旅游费用降低 20 元，但人均旅游费用不低于 700 元．某单位组织员工去旅游，共支付给旅行社旅游费用 27000 元，请问该单位这次共有多少名员工去旅游？ 20、（8分）7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由． 21、（8分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)， （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 22、（10分）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数3751换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数126，换算成十进制数是105，求的值． 23、（10分）白露是秋季第三个节气，具有昼夜温差显著、气候转凉的特点，在这一天有收集清露、饮白露茶、吃龙眼等习俗．某水果店在白露节气来临之际，主推本地龙眼，已知该龙眼每千克成本为 8 元，原售价定为每千克 20 元时，每天可销售 50 千克．根据销售经验，每千克售价每降低 1 元，日销售量可增加 10 千克． (1) 若将该龙眼每千克售价定为 17 元，每天可销售多少千克？ (2) 高温天气水果难以保鲜，水果店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到 660 元，每千克龙眼售价应定为多少元？ 24、（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形； （2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？ （3）当0<t<10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $