2.4 用一元二次方程解决问题 同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础、中档、提升三层设计，覆盖一元二次方程应用全场景，从单一模型到综合问题，培养抽象能力与模型意识，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|增长率、传播等单一模型|如分支问题（选择1）直接应用方程概念，巩固建模基础| |中档|几何面积、利润等综合模型|如矩形绿地问题（填空9）结合几何直观，提升应用能力| |提升|动态问题、分段函数等复杂模型|如梯子下滑问题（解答17）需分类讨论，发展推理与创新意识|

2.4用一元二次方程解决问题同步练习 一、选择题： 1.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出 同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是() A.4 B.5 C.6 D.7 2.今年三月，重庆某机车在国际顶级赛事中夺冠，让“重庆制造”惊艳全球.受此影响，该机车订单逐月增 长.三月份的订单是0.8万辆，预计五月份的订单将达到4万辆设这两个月订单的平均月增长率为x,根据 题意，可列方程为() A.0.8(1+2x)=4 B.0.8(1+x)=4C.0.8(1+x)2=4D.0.8(1+x)3=4 3.一种病毒每轮传播的人数为x.若某人被感染后，未经有效防护，经过两轮传播共感染了144人，则x的值 为() A.11 B.12 C.13 D.14 4.我国古代数学著作仇章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南 行十步而斜东北与乙会问甲、乙各行几何.”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为 7,乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇那么相遇时， 甲、乙各走了多远？若设甲、乙两人相遇时所用时间为x,根据题意可列方程为() A.(3x)2+102=(7x)2 B.(7x)2+102=(3x-10)2 C.(3x)2+(7x)2=102 D.(3x)2+102=(7x-10)2 5,明代数学家程大位在他的著作算法统宗》中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺 离地；送行二步与人齐，五尺板高离地算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将 它往前推送两步（两步=10尺）后，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有 多长？”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为() A.x2+102=(x+1)2 B.x2+102=x2 C.(x-4)2+102=x2 D.x2+102=(x-4)2 Q 10 D 第1页，共5页 6.一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降 价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，每件需 降价的钱数为() A.12元 B.10元 C.8元 D.5元 二、填空题： 7.已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数 是一 8.我国南宋数学家杨辉在佃亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及 长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长 为x步，则可列方程 9.如图，某小区有一块长为36m,宽为24的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面 积之和为600m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为m. 36 24 10.如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙长9m)和18m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形 场地，则矩形的宽AB为m. 墙 D 11.一张长12cm、宽10cm的长方形铁皮如图所示，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余 部分（阴影部分）可制成底面面积是24cm2的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为一cm. 底面 12cm 10cm 第2页，共5页 12.某网店销售医用外科口罩，每盒售价60元，每星期可卖300盒，为了便民利民，该网店决定降价销售， 市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒.己知该款口罩每盒成本价为40元，若该网店某星期获得 了6480元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩一盒： 三、解答题： 13.《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，己经形成了极高 的工艺水平和独特的工艺门类.现有一张长方形绣布，长、宽之比为3：2，绣布面积为54dm,求绣布的周 长 14.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六 天总营业额的12% (①)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额 (2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天 的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店去年8、9月份营业额的月增长率， 15.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当 月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元 /辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆，每辆返利0.5万元；销售 量在10辆以上，每辆返利1万元 (1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为万元 (2)如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售 利润+返利) 第3页，共5页 16.为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形ABCD),两面靠墙(AD位置的墙 最大可用长度为27m,AB位置的墙最大可用长度为15m),另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成 两个场地及一处通道，并在如图所示的HE、GF、HG三处各留0.5m、0.5m、2m宽的门（不用栅栏）.建成后 栅栏总长45m. A E HG (1)若活动区域（长方形ABCD)的一边CD长为10m,则另一边BC=一m. (2)若活动区域（长方形ABCD)的面积为165m2,求边CD的长， 17.小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册中的一道思考题进行了认真探索.思考题：如图，一架2.5米长 的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时点B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那 么点B将向外移动多少米？ B (1①)请你将小明对“思考题”的解答补充完整.解：设点B将向外移动x米，即BB1=x米，则B1C=(x+0.7) 米，A1C=AC-AA1=V2.52-0.77-0.4=2.4-0.4=2(米)，而A1B1=2.5米，在Rt△A1B1C中，由B1C2+ A1C2=A1B,得方程一，解方程得x1=一，2=一，点B将向外移动—米. (②)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题： 问题①在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ 问题②：在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为 什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题. 第4页，共5页 18.近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书纺东坡传》，他风趣幽默，点 燃了不同年龄观看者的读书热情.己知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本 价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y(本)与销售单价x(元/本)之间近似满足一次函数关 系，部分对应数据如下表： x(元/本) 15 25 y(本) 700 500 (①)根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围： (2)若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价； (3)销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由. 第5页，共5页 答案和解析 1.【答案】  解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 依题意得：， 整理得：， 解得：不合题意，舍去，． 故选C． 2.【答案】  【解析】解：由题意得：， 故选：． 根据三月份的订单是万辆，预计五月份的订单将达到万辆，列出方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：根据题意得： ， 解得，舍去， 故选：． 4.【答案】  【解析】解：设经秒二人在处相遇，这时乙共行步，甲共行步，  步，  步，  又，  ，  即，  ，  故选：． 5.【答案】  【解析】解：设秋千的绳索长为  尺，则尺，即尺， 根据题意得：． 故选：． 6.【答案】  【解析】设每件工艺品降价元，则每天的销售量为件，根据题意得：，整理得：，解得：，要减少库存量，故选：． 7.【答案】或  【解析】设这个两位数的个位数字是，则十位数字是． 由题意，得，解得，． 当时，，满足题意；当时，，满足题意． 故这个两位数是或． 8.【答案】  【解析】解：长为步，宽比长少步， 宽为步． 依题意，得：． 9.【答案】  【解析】解：设人行通道的宽度为， 将两个矩形绿地平移，如图所示， ，，， 由题意可列出方程： 解得：或不合题意，舍去 故答案为： 10.【答案】  【解析】解：设的长度为， 整理得， 解得，． 由题意可得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，符合题意． 矩形的宽为． 故答案为：． 设的长度为，则的长度为然后根据矩形的面积公式列出方程求解即可． 本题考查了一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：设剪去的正方形的边长为，则制成长方体铁盒的底面是长为，宽是的长方形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 剪去的正方形的边长为． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：设该款口罩每盒降价元， 由题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 则销售量为：盒， 即该网店某星期销售该款口罩盒， 故答案为：． 13.【答案】解：设绣布的长为，宽为． 由题意得，解得负值舍去． 所以，． 所以绣布的周长是．  【解析】略 14.【答案】【小题】 万元． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为万元． 【小题】 设该商店去年、月份营业额的月增长率为， 依题意，得， 解得，不合题意，舍去． 答：该商店去年、月份营业额的月增长率为   15.【答案】【小题】 【小题】 设需要售出辆汽车，则每辆汽车的进价为万元，当时，，整理得，解得舍去，． 当时，，整理得，解得舍去，舍去． 综上，需要售出辆汽车．   16.【答案】【小题】 【小题】 解：设，则，依题意得： ， 解得：， ， ， 当时，，符合题意． 答：边的长为．   17.【答案】【小题】 舍去 【小题】 不会是米理由如下：米，米在中，米，则米故梯子底部向外移动米． 有可能理由如下：设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，则有，解得或舍去．当梯子顶端从处下滑米时，点向外也移动米，即梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等．   18.【答案】【小题】 解：设， 将，代入上式，得，解得 ． 【小题】 依题意得， 解得，，，． 答：该书的销售单价为元本． 【小题】 销售该书每天的利润不能达到元理由如下： 依题意得， 整理得， ， 该方程没有实数根， 销售该书每天的利润不能达到元．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 用一元二次方程解决问题 同步练习 一、选择题： 1.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是(    ) A. B. C. D. 2.今年三月，重庆某机车在国际顶级赛事中夺冠，让“重庆制造”惊艳全球受此影响，该机车订单逐月增长三月份的订单是万辆，预计五月份的订单将达到万辆设这两个月订单的平均月增长率为，根据题意，可列方程为(    ) A. B. C. D. 3.一种病毒每轮传播的人数为若某人被感染后，未经有效防护，经过两轮传播共感染了人，则的值为  (    ) A. B. C. D. 4.我国古代数学著作九章算术“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会问甲、乙各行几何”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为乙一直向东走，甲先向南走步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲、乙两人相遇时所用时间为，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 5.明代数学家程大位在他的著作算法统宗中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺板高离地算出索长有几？”译文为：“秋千静止的时候，踏板高地尺，将它往前推送两步两步尺后，此时踏板升高到离地尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”如图，若设秋千绳索长为尺，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 6.一件工艺品进价为元，标价元售出，每天平均可售出件．根据销售统计，一件工艺品每降价元出售，则每天可多售出件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为元，每件需降价的钱数为(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二、填空题： 7.已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是          ． 8.我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积平方步，宽比长少步，问宽和长各几步．若设长为步，则可列方程___________________． 9.如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为           10.如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙墙长和长的围栏围成一个面积为的矩形场地，则矩形的宽为        11.一张长、宽的长方形铁皮如图所示，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余部分阴影部分可制成底面面积是的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为        ． 12.某网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店某星期获得了元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩        盒 三、解答题： 13.清秘藏是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为，求绣布的周长． 14.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． 求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额． 去年，该商店月份的营业额为万元，、月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等求该商店去年、月份营业额的月增长率． 15.某汽车销售公司月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出辆汽车，则该辆汽车的进价为万元，每多售出辆，所有售出的汽车的进价均降低万元辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内含辆，每辆返利万元销售量在辆以上，每辆返利万元． 若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为          万元 如果汽车的售价为万元辆，该公司计划当月盈利万元，那么需要售出多少辆汽车盈利销售利润返利 16.为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域长方形，两面靠墙位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为，另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门不用栅栏建成后栅栏总长． 若活动区域长方形的一边长为，则另一边            ． 若活动区域长方形的面积为，求边的长． 17.小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册中的一道思考题进行了认真探索思考题：如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么点将向外移动多少米？ 请你将小明对“思考题”的解答补充完整．解：设点将向外移动米，即米，则米，米，而米，在中，由，得方程          ，解方程得           ，           ，点将向外移动          米 解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题： 问题：在“思考题”中，将“下滑米”改为“下滑米”，那么该题的答案会是米吗？为什么？ 问题：在“思考题”中，梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 18.近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书苏东坡传，他风趣幽默，点燃了不同年龄观看者的读书热情已知这本书的成本价为元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量本与销售单价元本之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表： 元本 本 根据表格提供的数据，求关于的函数关系式，并写出的取值范围 若销售该书每天的利润为元，求该书的销售单价 销售该书每天的利润能否达到元请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $