精品解析：河南驻马店市第一高级中学2026-2027学年高一新生学科素养测试数学试题

高中阶段2026级高一新生学科素养测试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 一、单选题（40分） 1. 关于一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 只要判别式大于0，方程就一定有两个实数根 B. 有实数根时，判别式一定大于0 C. 二次项系数可以为0 D. 常数项为0的方程一定没有0这个根 2. 对于开口向下的二次函数，对称轴在轴右侧，下列判断正确的是（ ） A. 随增大一直减小 B. 在对称轴左侧，随增大而增大 C. 在对称轴右侧，随增大而增大 D. 函数图像一定经过原点 3. 下列命题，真命题是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 4. 若反比例函数图像分布在二、四象限，图像上有三个点，一个在第二象限，两个在第四象限，则关于三点函数值大小关系，下列说法正确的是（ ） A. 第二象限点对应的函数值一定最大 B. 第四象限两个点函数值一定都是正数 C. 三个点函数值有可能全部相等 D. 越靠近轴的点，函数值一定越大 5. 在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的（ ） A. 正弦 B. 余弦 C. 正切 D. 无法确定 6. 某产品经过两次相同比率的降价，关于售价变化，所列等式逻辑正确的是（ ） A. 原价×（降价率）=最终售价 B. 原价×（降价率）2=最终售价 C. 原价×（×降价率）=最终售价 D. 原价×降价率=最终售价 7. 已知：，，是线段上一点，以为圆心，为半径作半圆，半圆与切于，与斜边相切于． 下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知：，，是线段上一点，以为圆心，为半径作半圆，半圆与切于，与斜边相切于．若，则长度为（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、多选题（18分） 9. 关于一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 若方程有两个实数根，则判别式大于或等于0 B. 当常数项为0时，方程一定存在一个根为0 C. 若两根互为相反数，则一次项系数一定为0 D. 二次项系数可以等于0 10. 对于二次函数，下列判断正确的是（ ） A. 若开口向上，则在对称轴左侧，随增大而减小 B. 函数图像与轴交点由常数项决定 C. 图像一定与轴有交点 D. 若对称轴在轴左侧，则，符号相同 11. 下列关于特殊四边形的命题，正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形一定是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 三、填空题（15分） 12. 一元二次方程的解是_________． 13. 菱形的对角线互相垂直且_________． 14. 反比例函数的图象是_________． 四、解答题（共27分） 15. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线对称轴为直线．直线经过、两点．垂直于轴的一条直线交抛物线于，交直线于． （1）若点坐标为，求点的坐标； （2）设垂直于轴的直线在第一象限，在上方．请用代数式表示线段的长度，分析是否存在最大值，若存在，请求出取得最大值时对应自变量的值； （3）当、两点在轴上方，且随自变量增大而减小时，直接写出该直线横坐标的取值范围． 16. 如图，，，，点是内部一点． （1）如图①，将绕点逆时针旋转，得到．求证：； （2）如图②，若，求证：； （3）如图③，若，点为内部一点，满足，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中阶段2026级高一新生学科素养测试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 一、单选题（40分） 1. 关于一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 只要判别式大于0，方程就一定有两个实数根 B. 有实数根时，判别式一定大于0 C. 二次项系数可以为0 D. 常数项为0的方程一定没有0这个根 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根的个数与判别式的关系判断A，B；由一元二次方程的定义判断C；求出方程的根判断D. 【详解】对于A，因为一元二次方程的判别式大于0， 所以方程就一定有两个实数根，故A正确； 对于B，当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式等于0，故B错误； 对于C，因为是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，故C错误； 对于D，当常数项为0时，一元二次方程为， 解得， 所以方程有一个根一定为0，故D错误. 2. 对于开口向下的二次函数，对称轴在轴右侧，下列判断正确的是（ ） A. 随增大一直减小 B. 在对称轴左侧，随增大而增大 C. 在对称轴右侧，随增大而增大 D. 函数图像一定经过原点 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断. 【详解】开口向下的二次函数，对称轴左侧，随增大而增大，对称轴右侧，随增大而减小，现对称轴在轴右侧，因此只有B正确. 3. 下列命题，真命题是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形与矩形的特征逐一判断即可. 【详解】对于A，一组邻边相等的平行四边形才是菱形，故错误； 对于B，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B正确； 对于C，对角线相等的平行四边形才是矩形，故C错误； 对于D，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故D错误. 4. 若反比例函数图像分布在二、四象限，图像上有三个点，一个在第二象限，两个在第四象限，则关于三点函数值大小关系，下列说法正确的是（ ） A. 第二象限点对应的函数值一定最大 B. 第四象限两个点函数值一定都是正数 C. 三个点函数值有可能全部相等 D. 越靠近轴的点，函数值一定越大 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐一判断即可. 【详解】设该反比例函数解析式为，由反比例函数图像分布在二、四象限可知 ，那么设图像在第二象限的点为，在第四象限的两个点分别为，则 对于A，由可得，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，三个点函数值不可能全部相等，故C错误； 对于D，由图像可知，在第二象限，越靠近轴的点，函数值越大； 第四象限，越靠近轴的点，函数值越小，故D错误. 5. 在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的（ ） A. 正弦 B. 余弦 C. 正切 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式即可求解. 【详解】设直角三角形中两个锐角分别为和，则，所以. 即在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值. 6. 某产品经过两次相同比率的降价，关于售价变化，所列等式逻辑正确的是（ ） A. 原价×（降价率）=最终售价 B. 原价×（降价率）2=最终售价 C. 原价×（×降价率）=最终售价 D. 原价×降价率=最终售价 【答案】B 【解析】 【分析】两次相同比率降价，每次都在上一轮价格基础上乘(1−降价率)，连续两次就是平方. 【详解】设原价为，降价率为，第一次降价后价格：， 第二次在第一次降价后的价格基础上再降价：， 所以：. 7. 已知：，，是线段上一点，以为圆心，为半径作半圆，半圆与切于，与斜边相切于． 下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为半圆与切于，与斜边相切于，所以由切线长定理可得，故B正确； 因为，又的大小关系不确定，所以得不出，故A错误； 因为半圆与斜边相切于，所以，又， 所以，所以与不平行，故C错误； 因为的大小关系不确定，所以的大小关系不确定，故D错误. 8. 已知：，，是线段上一点，以为圆心，为半径作半圆，半圆与切于，与斜边相切于．若，则长度为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，所以， 所以，所以， 又因为半圆与切于，与斜边相切于，所以， 所以， 又的大小不确定，所以的长不确定. 二、多选题（18分） 9. 关于一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 若方程有两个实数根，则判别式大于或等于0 B. 当常数项为0时，方程一定存在一个根为0 C. 若两根互为相反数，则一次项系数一定为0 D. 二次项系数可以等于0 【答案】ABC 【解析】 【分析】设一元二次方程为，由一元二次方程根的个数与判别式的关系判断A；当时，求出两根，即可判断B；由韦达定理可判断C；由一元二次方程的定义判断D. 【详解】设一元二次方程为， 对于A,因为方程有两个实数根， 所以，故A正确； 对于B，当时，方程即为， 解得， 故方程一定存在一个根为0，故B正确; 对于C，设方程的两根分别为，， 因为，互为相反数， 所以， 由韦达定理可得，解得，故C正确； 对于D，因为是一元二次方程， 所以二次项系数不能为0，故D错误. 10. 对于二次函数，下列判断正确的是（ ） A. 若开口向上，则在对称轴左侧，随增大而减小 B. 函数图像与轴交点由常数项决定 C. 图像一定与轴有交点 D. 若对称轴在轴左侧，则，符号相同 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用抛物线的图像与性质求解. 【详解】设二次函数为， A选项，若开口向上，则在对称轴左侧，二次函数是单调递减的，所以在对称轴左侧，随增大而减小，A选项正确； B选项，函数图像与轴交点坐标为，所以该交点由常数项决定，B选项正确； C选项，当时，图像与轴无交点，C选项错误； D选项，若对称轴在轴左侧，则，所以，则，符号相同，D选项正确. 11. 下列关于特殊四边形的命题，正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形一定是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，这是平行四边形的判定定理：若四边形两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，正确. 对于B，在平行四边形的基础上，对角线相等是矩形的判定定理，正确. 对于C，对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形；仅垂直而不平分的四边形（如筝形）不是菱形，错误. 对于D，矩形的四个角均为直角，若再有一组邻边相等，则四条边全相等，满足正方形的定义，正确. 三、填空题（15分） 12. 一元二次方程的解是_________． 【答案】， 【解析】 【分析】移项后提公因式即可求解. 【详解】移项得，所以，解得：，. 13. 菱形的对角线互相垂直且_________． 【答案】互相平分 【解析】 【分析】根据菱形的性质，即可求解 【详解】根据菱形的性质知：菱形的对角线互相垂直且互相平分. 14. 反比例函数的图象是_________． 【答案】双曲线 【解析】 【详解】反比例函数图象由两支无限接近坐标轴但永不相交的曲线组成， 所以其图象是双曲线. 四、解答题（共27分） 15. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线对称轴为直线．直线经过、两点．垂直于轴的一条直线交抛物线于，交直线于． （1）若点坐标为，求点的坐标； （2）设垂直于轴的直线在第一象限，在上方．请用代数式表示线段的长度，分析是否存在最大值，若存在，请求出取得最大值时对应自变量的值； （3）当、两点在轴上方，且随自变量增大而减小时，直接写出该直线横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2），当时，取得最大值． （3） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的对称 性求解； （2）设抛物线交点式：，求出直线的表达式，然后设直线上点的横坐标为，可得出的纵坐标，从而求得的长，再结合二次函数性质得最大值； （3）结合二次函数性质得出结论. 【小问1详解】 抛物线对称轴，由抛物线对称性， 已知，，解得，. 【小问2详解】 设抛物线交点式：，代入，，． 直线过、，求得直线解析式． 设直线上点的横坐标为， 纵坐标：,纵坐标：， ， ， 抛物线开口向下，，二次函数开口向下，存在最大值． 对称轴， 当时，取得最大值． 【小问3详解】 ，开口向下，对称轴，随增大而减小的范围是：； 又、在轴上方，． 横坐标取值范围：． 16. 如图，，，，点是内部一点． （1）如图①，将绕点逆时针旋转，得到．求证：； （2）如图②，若，求证：； （3）如图③，若，点为内部一点，满足，，直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：由旋转的性质可得： ． （2）证明：把绕点顺时针旋转，使与重合，得到． ，，． 为等腰直角三角形， ，， ，， ． 在中，由勾股定理：， ． （3） 【解析】 【分析】（1）由求证； （2）把绕点顺时针旋转，使与重合，得到为直角三角形，利用勾股定理证明即可； （3）把绕顺时针旋转得到，根据三角不等式：求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把绕顺时针旋转得到． ，，． 等腰直角三角形，． 根据三角不等式：，当三点共线，在之间时取等号， 最小值：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $