16.3.1 平方差公式 课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²，通过绿化带面积调整的现实情境导入，先以具体数据（原长15宽10调整后长17宽8，原长20宽15调整后长23宽12）引发面积变化规律的思考，再通过多项式乘法计算（如(x+1)(x-1)等）引导学生自主发现公式，构建从整式乘法到平方差公式的知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过几何图形（大正方形剪拼长方形）验证公式体现几何直观，合作探究多项式乘法培养推理能力，错题辨析（如(x+2)(x-2)=x²-2的改正）强化运算准确性。采用情境导入、分层练习（基础判断、提升化简求值、举一反三中考题）和清晰小结，帮助学生发展抽象能力与应用意识，教师可直接使用完整教学流程提升效率。

人教版（新教材）数学八年级上册 第十六章 整式的乘法 16.3.1 平方差公式 授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/21 16.3.1 平方差公式 专项练习 一、核心知识点梳理 平方差公式是整式乘法的重要基础公式，核心内容为：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$。公式文字表述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式结构特征是解题关键，需牢记两大要点：一是因式为两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数；二是运算结果为“相同项的平方减去相反项的平方”，口诀总结为“同平方，减反平方”。公式中的$$a$$、$$b$$可代表数字、单项式、多项式，适用范围广泛，同时可逆向运用公式：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$，用于因式分解与简便运算。 二、基础专项练习题 1. 判断题（对的打√，错的打×） （1）$$(x+2)(x-2)=x^2-2$$（） （2）$$(3a+2b)(3a-2b)=9a^2-4b^2$$（） （3）$$(-m+n)(-m-n)=m^2-n^2$$（） （4）$$(2x+3y)(2x-3y)=2x^2-3y^2$$（） 2. 直接运用公式计算 （1）$$(a+5)(a-5)$$ （2）$$(4x-y)(4x+y)$$ （3）$$(-2a+3)(-2a-3)$$ 3. 简便运算（利用平方差公式简化计算） （1）$$99\times101$$ （2）$$10.2\times9.8$$ 三、提升专项练习题 1. 化简求值 先化简$$(x+3)(x-3)-(x-1)(x+1)$$，再代入$$x=2$$求值。 2. 公式综合运用 计算：$$(2x+y)(2x-y)+(x+2y)(x-2y)$$ 3. 几何应用 一个大正方形边长为$$a$$，小正方形边长为$$b$$（$$a>b$$），剪掉小正方形后剩余图形拼接为长方形，利用面积关系验证平方差公式，并计算当$$a=6$$，$$b=2$$时图形面积。 四、参考答案与详细解析 1. 判断题解析 （1）×，正确结果为$$x^2-4$$，未对常数项平方；（2）√，符合平方差公式结构；（3）√，相同项为$$-m$$，相反项为$$n$$；（4）×，系数需整体平方，正确结果为$$4x^2-9y^2$$。 2. 基础计算题解析 （1）原式$$=a^2-5^2=a^2-25$$；（2）原式$$=(4x)^2-y^2=16x^2-y^2$$；（3）原式$$=(-2a)^2-3^2=4a^2-9$$。 3. 简便运算解析 （1）原式$$=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=10000-1=9999$$；（2）原式$$=(10+0.2)(10-0.2)=100-0.04=99.96$$。 提升题解析 1. 化简：原式$$=(x^2-9)-(x^2-1)=x^2-9-x^2+1=-8$$，代入$$x=2$$，结果恒为$$-8$$。 2. 原式$$=4x^2-y^2+x^2-4y^2=5x^2-5y^2$$。 3. 几何验证：大正方形减小正方形面积为$$a^2-b^2$$，拼接后长方形长$$a+b$$、宽$$a-b$$，面积$$(a+b)(a-b)$$，故$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$；代入数值，面积$$=36-4=32$$。 易错总结：解题时切勿遗漏系数平方、混淆相同项与相反项，灵活正用、逆用公式可大幅简化整式运算与求值问题。 情境导入 1.理解平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，体会从一般到特殊和数形结合的思想. 2.能利用公式进行简单的计算和推理，发展运算能力和推理能力. 学习目标 学校打算在操场边新建一块长方形的绿化带，原来计划的长是 15 米，宽是 10 米. 后来因为场地调整，长增加了 2 米，宽减少了 2 米，调整后的绿化带面积和原来相比，是变大了、变小了，还是没变呢？​ 15m 10m 2m 2m 原来的面积是 15×10=150（米2）， 调整后的长是 17 米，宽是 8 米， 面积是 17×8=136 （米2）. 显然，面积变小了. 情境导入 我们再换一组数据试试？如果原来的长是 20 米，宽是 15 米，长增加 3 米，宽减少 3 米，面积又会怎么变呢？ 20m 15m 3m 3m 原来的面积是 20×15=300 （米2）， 调整后的面积是 23×12=276 （米2）， 面积还是变小了. 这里面是不是存在着某种规律呢？ 情境导入 知识点：平方差公式 合作探究 ① (x＋1)( x－1)； ② (m＋2)( m－2)； ③ (2m＋1)(2m－1)； ④ (5y＋z)(5y－z). 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 想一想：这些计算结果有什么特点？ x2－12 m2－22 (2m)2－12 (5y)2－z2 探究新知 两个数的___与这两个数的___的积，等于 这两个数的平方差. 定义总结 平方差公式 运算法则： 文字说明： 和 差 (a + b)(a − b) = a2 − b2. 探究新知 (a - b) b b (a + b) 如何利用几何的形式解释平方差公式？ 想一想 (a + b)(a − b) = a2 − b2 探究新知 典例精析 例1 计算：(1) (3x＋2)(3x－2)； (2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(1) (3x＋2)(3x－2) ＝ (3x)2－ (a ＋ b) (a － b) ＝ a2 － b2 ＝ 9x2－4. 22 探究新知 (2) (－x＋2y)(－x－2y). 解：(2) (－x＋2y)(－x－2y) ＝ (－x)2－ ＝ x2－4y2. (2y)2 相同看作 a 相反看作 b 探究新知 归纳总结 (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意： (2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式. 中的各项，除符号外是否完全相同)； (1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式 探究新知 例2 计算： (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) ； (3) 102×98. (1) ( x－1)( x + 1 )( x2 + 1 )； 解：(1) ( x－1)( x + 1 )( x2 + 1 ) = ( x2－1)( x2 + 1 ) = x4－1； 探究新知 (3) 102×98 = 1002－22 = 10000－4 = (100＋2)(100－2) = 9996. (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) = y2 – 22 – (y2 + 4y – 5) = y2 – 4 – y2 – 4y + 5 = – 4y + 1. (2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) ； (3) 102×98. 探究新知 1.计算： (1)(3x-5)(3x+5)； (2)(-2a-b)(b-2a)； (3)(-7m+8n)(-8n-7m).　 解：（1）(3x-5)(3x+5) =(3x)2-52 =9x2-25. （2）(-2a-b)(b-2a) =(-2a)2-b2 =4a2-b2. 当堂检测 1.计算： (1)(3x-5)(3x+5)； (2)(-2a-b)(b-2a)； (3)(-7m+8n)(-8n-7m).　 解：（3）(-7m+8n)(-8n-7m) =(-7m)2-(8n)2 =49m2-64n2. 当堂检测 2.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x+2)(x-2)=x2-2; （ ） （2）(-a-2)(a-2)=a2-4; （ ） （3）(x+2y)(-x-2y)=x2-4y2; （ ） （4）(3a+4b)(3a-4b)=9a2-4b2. （ ） × (x+2)(x-2)=x2-4. × (-a-2)(a-2)=4-a2 . × (x+2y)(-x-2y)=-x2-4xy-4y2. × (3a+4b)(3a-4b)=9a2-16b2 . 当堂检测 3.计算 （1）(a+3b)(a-3b); （2）(3+2a)(3-2a); 解：（1）(a+3b)(a-3b) =(a)2-(3b)2 =a2-9b. （2）(3+2a)(3-2a) =(3)2-(2a)2 =9-4a2. 当堂检测 3.计算 （3）(xy+1)(x2y2+1)(xy-1); （4）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2). （4） (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) =(3x)2-42-(6x2+5x-6) =9x2-16-6x2-5x+6 =3x2-5x-10. 解：（3） (xy+1)(x2y2+1)(xy-1) =[(xy)2-12](x2y2+1) =(x2y2-1)(x2y2+1) =(x2y2)2-12 =x4y4-1. 当堂检测 4.运用平方差公式计算： （1）51×49； （2）200×199.　 解：（1）(50+1)(50-1) =502-12 =2500-1 =2499. （2）200×199 =(200+)2-(200-)2 =2002-()2 =40000- =39999. 当堂检测 知识点1 平方差公式的几何意义 1. 如图①，把一张 长方形纸片沿着线段 剪开，把剪 成的两张纸片拼成如图②所示的图 形. （1）设图①中阴影部分的面积为 解：, . ，图②中阴影部分的面积为，请直接用含，的式子表示， ； 举一反三 19 （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式. 解： . 返回 举一反三 20 知识点2 平方差公式 2.［2025唐山路北区期中］下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 21 3.［2024上海中考］计算： ________. 返回 举一反三 22 4.如果，，那么 _______. 2 025 返回 举一反三 23 5.计算： （1） ; 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ; 解：原式 . （4）［2024内江中考］ ; 解：原式 . 举一反三 24 （5） . 解：原式 . 返回 举一反三 25 课后小结 平方差公式 内容 注意 两数的___与这两数的___的积，等于这两个数的平方差 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 (1) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式 (2)符号相同为 a，符号相反为 b 和 差 谢谢观看 THANKS $