16.3.2.2 添括号（教学课件）2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦添括号法则及乘法公式应用，通过复习完全平方公式、去括号法则，结合三项式乘法问题引导学生发现需添括号简化计算，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以逆向思维探索添括号法则，结合整体思想将多项式分组应用公式，典例含错误分析。以运算能力、推理意识为核心，用口诀和表格总结公式变形，助力学生掌握技巧，教师可高效备课提升教学效果。

人教版2024 ·八年级上册 第十六章整式的乘法 学 习 目 标 掌握添括号法则，会运用法则进行整式变形，进一步灵活运用 乘法公式进行计算.培养学生独立思考、分析及归纳的 能力 . 经历由去括号到添括号的探索过程，培养学生的逆向思维能 力 . 熟练运用添括号法则，渗透类比、转化和整体思想. 2 1.在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边，做到不丢 项、不弄错符号、2ab时不少乘2; 2.公式中的字母a,b 可以表示数、单项式或多项式 3.有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全方公式的条 件，即为“两数和(或差)的平方”,然后应用公式计算 (a+b)²=a² +2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² 口诀：首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。 知识回顾 完全平方公式： 注意 1.如果x²-6x+N是一个完全平方式，那么N是(B) A 、11 B 、9 C 、-11 D 、-9 2.如果(x+4)²=4x²+kx+25, 那么k= 3.小兵计算一个二项整式的平方式时，得到正确结果是 4x²+ +25y², 但中间一项不慎被污染了，这一项应 是(D ) A10xy B20xy C±10xy D±20xy 知识回顾 练 练 一 应用多项式与多项式相乘计算法则计算： (1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c)² . 解：(1)原式=x²-2xy+3x+2xy-4y²+6y-3x+6y-9 = x²-4y² +12y-9 (2)原式= (a+b+c)·(a+b+c) =a²+ab+ac+ba+b²+bc+ca+cb+c² =a²+2ab+2ac+2bc+b²+c² 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每 一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相 加。 (a+b)·(m+n)=am +an +bm+ bn 这两个算式与平方差 公式，完全平方公式 有什么相同点?不同 点? 能找到简便方 法进行计算吗? 导入新课 括号里三项分为两组，变形符 合乘法公式结构特征 (a+b)²=a²+2ab+b², (a-b)²=a²- 2ab+b². 完全平方公式括号里是两项和或两项差： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的 平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 探究点1 添括号法则 议一议 这两个算式与平方差公式，完全平方公式有什么相同点?不同点? (1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c)². 括号里是三项 适当添括号 (a+b)(a—b)=a²—b² 平方差公式括号里是两项，两 个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差. 去括号时，如果括号外是正号，去括号后原括号内各项的符号与原 来的符号相同； 去括号时，如果括号外是负号，去括号后原括号内各项的符号与 原来的符号相反 探究点1 添括号法则 议一议 还记得去括号法则吗?请将下列各式去掉括号 (1)4+(5+2); (2)4-(5+2); (3)a+(b+c); (4)a—(b+c). 解：(1 )4+(5+2)=4+5+2=11. (2)4-(5+2)=4-5+2=-3. (3)a+(b+c)=a+b+c. (4)a-(b+c)=a-b-c. 去括号法则 新知探究 (2)等式左右两边添括号后项数、括号前的符号与括到括号里 的各项的符号变化关系方面有何异同? ①形式上从无括号变为有括号； 项数没变； ③ 括号前面是正号，括到括号里的各项符号没变 括号前面是负号，括到括号里的各项符号都改变了. 去括号 等号左边有括号的式子变 成等号右边没括号的式子 添括号 等号左边没括号的式子变 成等号右边有括号的式子 反过来，就得到： a +b +c= a a-b- c= a- (b+ c) 做一做 (1)完成下列填空 a+(b+c)=_ a + b+ c 新知探究 添括号法则 探究点1 a-(b+c)=_ a-b-C 议一议 (3)添括号与去括号有什么关系?请说一说添括号的法则 添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号 添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 (2)a+b+ c=a—( 一b—c) (4)a—b—c=a + (一b—c) (1)a+b+c=a+(b+c) (3)a—b—c=a—(b+c) 新知探究 *添括号其实就是把去括号反过来 添括号法则 探究点1 解：原式=- (a³-2a²+ a- 1) (2)把奇次项放在前面是“=”号的括号里，其余的项放在前面是“+” 号的括号里。 分析：最高次项-a³ 的系数为负，若系数变为正数，则加括号时括号前为 “一”号，括号内各项都变号 分析：奇次项为-a³ 、-a, 括号前是“一”号，括到括号里面都要变 号，其余的项括号前为“+”号，括号内各项都不变号 例1.按要求给多项式-a³+2a²-a+1 添括号. (1)使最高次项的系数变为正数，且把每一项都放在括号里； 口诀：遇“加”不变，遇“减”都变 典例分析 解：原式=-(a³+a)+(2a²+1) 添括号法则 探究点1 添括号时“三注意”: (1)哪些项需要放进括号里面去; (2)这些项在放进括号前是什么符号; (3)所添括号前是什么符号. (4)正确添括号和去括号的关键是什么? 不改变形前后多项式的值是去、添括号的关键 添括号,看符号: 正号在前直接抄； 负号在前变号抄; 验证对错去括号. * 添括号正确与否,可用去括号法则进行检验. 新知探究 添括号法则 议一议 探究点1 例2.分别按下列要求把多项式 添括号： (1)把前两项括到前面带有“+”号的括号里，后两项括到前面带有“一” 号的括号里； (2)把后三项括到前面带有“一”号的括号里； (3)把含有字母a 的项括到前面带有“+”号的括号里，把含有字母b 的项 括到前面带有“一”号的括号里. (1)解： (2)解： (3)解： 典例分析 添括号法则 探究点1 公式特征： 等号左边是两个二项式相乘，且这两 个二项式中有一项相同，另一项 互为相反数 方法： 每个因式是三项，将每个因式里三 项分添加括号分为两个相同组， 一个因式内是这两组加，一个因 式内是这两组减 (a +b-C (a -b+C 这两项符号相反，一个放在括号前是加 号里，一个放在括号前是减号里，这样 括到括号里都一样，与第一项a构成平 方差公式形式 =[a+ (b—c)][ a— (b—c] 公式中的a 和 b 是一个字母，可以是一个多项式吗?如何计 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b² 乘法公式的应用 新知探究 = a² - (b—c)² 算(a+b-c)(a -b+c) 议一议 探究点2 议一议 公式中的a 和 b 是一个字母，可以是一个多项式吗?如何计 完全平方公式：(a±b)²=a²±2 ab+b² 公式特征： =[a+(b-c)]² 等号左边是两个二项式和或差的平方 =[(a+b)-c]² 方法： 因式里是三项式，将因式里三项添加括号 分为两组，根据两组和或两组差应用完全 结论：乘方公式里的a 和 b 可以代替一个多项式，计算时可以适当添 加括号，将每部分看作一个整体先按照乘法公式进行计算，然后再根 据相应的法则，继续进行化简运算. =[(a - c)+b]² 平方公式计算 新知探究 乘法公式的应用 探究点2 (a+b—c)² 算(a + b-c)² 乘法公式的应用 (1)可利用平方差 公式 解：(1 (x+2y-3)(x-2y+3) =[x+(2y-3)][x-(2y-3)] = x²-(2y-3)² =x²-(4y²-12y+9) =x ²- 4y²+12y-9 确定平方差公式中“a”“b” 的方法： 完全相同的项为“a”, 绝对值相同符号 相反的项为“b” 与第一项x构成平方差公式形式 (2)(a+b+c)² . 有符号相同也有符号不同的两 个三项式相乘，可通过变形用平 方差公式计算， (1)(x+2 y-3)x(-2y+3) + (2y-3) - (2y-3) 典例分析 例3 运用乘法公式计算： 探究点2 + (2y-3) - (2y-3) 第一项x构成平方差公式形式 (2)(a+b +c)² . 前两项加上括号 [(a +b)+c]² =[(a +b)+c ]² =(a+b)²+2(a+b)c+c² = a²+2ab+b²+2ac+2bc+c² = a²+b²+c²+ 2ab+2ac+2bc 探究点2 例3 运用乘法公式计算： (1)(x+2 y-3)x-2y+3) 乘法公式的应用 (2)可利用 完全平方 公式 解：(2)(a+b+c )² 有些整式相乘需要先适当变形，然后再用公式 典例分析 解：(1)(3a+b-2)(3a—b+2) =[3a+(b-2][3a-(b-2)] =(3a)²-(b-2)² =9a²—b²+4b-4. (2原式=-(3x+y-2)(3x+y-2) =[(3x+y)-2]² =—(3x+y)²+4(3x+y)-4 =-9x²-6xy-y²+12x+4y-?? 例4.计算： (1(3a+b-2(3a—b+2; (2))(3x+ y-2) (一3x-y+2) (3)(x-y-m+n)(x-y+m-n). 确定平方差公式中 “a”“b” 的方法： 完全相同的项为“a”, 绝对值 相同符号相反的项为 “b” 典例分析 (3)(x 一y-m+n)(x 一y+m—n) =[(x-y)一(m—n)][(x一y)+(m-n)] =(x-y)²—(m-n)² =x²—2xy+y²-m²+2mn-n². 例4.计算： (1)(3a+b-2)(3a—b+2); (2))(3x+y-2) (一3x-y+2) (3)(x-y-m+n)(x-y+m-n) 确定平方差公式中“a”“b” 的 方法： 完全相同的项为“a”, 绝对值相 同符号相反的项为 “b” 观察两个因式里绝对值相同项的符号， 根据同号为a, 异号为b分组添加括号 典例分析 例5:计算：(a-b+c)². 解：(a-b+c )² =[a-(b+c)]² =a²-2a(b+c)+(b+c)² =a²—2ab—2ac+b²+2bc+c² =a²+b²+c²—2ab—2ac+2bc. 以上解答过程错在哪里?请写出 正确的解答过程. 解：将一b+c 添括号时出错. 正确的解答过程如下： (a-b+c)² =[a-(b—c)]² =a²-2a(b-c)+(b—c)² =a²-2ab+2ac+b²-2bc+c² =a²+b²+c²-2ab+2ac-2bc. 典例分析 可以把(a+b) 看成一个整体，把括号里面的变形为： [2(a+b)+1][2(a+b)—1], 利用平方差公式进而得到： 4(a+b)²-1=63, 即可算出(a+b)²=16. 解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63 ∴[2(a+b)+1][2(a+b)-1]=63 ∴4(a+b)²-1=63, 4(a+b )²=64, ∴(a+b)²=16. 1.若(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63, 试求(a+b)² 的值 . 拓展提升 分析 2. 若a=2026x+2024,b=2026x+2025,c=2026x+2026, 则a²+b²+c²-ab-bc-ca 的值为 3 . 解：∵ a=2026x+2024,b=2026x+2025,c=2026x+2026 ∴a-b=-1,a-c=-2,b-c=-1, ∴a²+b²+c²-ab-bc-ac, 拓展提升 逆用完全平方公式 1.在等号右边的括号里填上适当的项. (1)a+b-c=a+( b-c (2)a-b+c=a-( b-c (3)a+b-c=a-( -b+c (4)a+b+c=a-( -b-c 新知巩固 ); ); ); ). 教材P117练习 教材P117练习 解：(1)(x+y- 1)(x-y- 1) =(x-1+y)(x-1-y) =[(x-1)+y][(x-1)-y] =(x-1)²-y² =x²-2x-y²+1 两个因式里y符号相反，作平 方差公式里的a,x-1 作平方 差公式里b (2)(2x+y+z)(2x-y-z). 新知巩固 2.运用乘法公式计算： 解：(2(2 x+y+z)(2x- y-Z) =[2x+(y+z)][2x-(y+z)] =4x²-(y+z)² =4x²-(y²+2yz+z²) =4x²-y²-2yz-z² 2.运用乘法公式计算： (1)(x 两个因式里y符号相反，作平方差 公式里的a,x-1 作平方差公式里b 两个因式里y 、z符号相反，作平方 差公式里的b,2x 作平方差公式里a 新知巩固 教材P117练习 教材P117练习 解：(1) (a+2b-1)² =[(a +2b)-1]² =(a+2b)²-2(a+2b)+1² = a²+4ab+4b²-2a-4b+1 或将括号添在第一项后计算： 原式=[a+(2b-1)]²l 3. 运用乘法公式计算： (1)(a+2b-1²; (2)(2x - y+1)² . 新知巩固 解：(2)(2 x- y+ 1)² =[(2x - y)+1]² =(2x-y)²+2(2x-y)+1² = 4x²-4xy+y²+4x-2y+1 或将括号添在第一项后计算： 原式=[2x-(y-1]2| 3.运用乘法公式计算： (1)(a+2b-1²; (2)(2x-y+1)² . 新知巩固 教材P117练习 1. (25-26八年级上 ·江苏南通 ·期中)计算： (1)(a-2b+c)² 解：(1)(a-2b+c)² (2)(a+b—2c)(a—b—2c) =[(a-2b)+c]² (3)(x-2y)²(x+2y)² =(a-2b)²+2(a-2b)C+c² =a²-4ab+4b²+2a c-4b C+c² 真题感知 解：(2)(a+b-2c)(a-b-2c) =[(a-2c)+b][(a-2c)-b] =(a-2c)²-b² =a²-4 ac+4c²—b² (1)(a-2b+c)² (2)(a+b—2c)(a—b—2c) (3)(x-2y)²(x+2y)² 1. (25-26八年级上·江苏南通·期中) 计算： 真题感知 (1)(a-2b+c)² (3)(x-2y )² (x+2y )² (2)(a+b—2c)(a—b—2c) =[( x-2y)(x+2y) ]² (3)(x-2y )² (x+ 2y )² = [x² - (2y)²]² = [x² - 4y²]² =x ⁴- 8x²y² + 16y⁴ 1. (25-26八年级上 ·江苏南通 ·期中)计算： 真题感知 逆用积的乘方公式 2. (25-26八年级上 ·江苏南通 ·期中)小颖在学习完乘法公式 后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题， 例如：已知a+b=7,ab=4, 求a²+b² 的值. 解：∵ a+b=7;∴(a+b)²= 49; ∴a²+b²=(a+b)²-2ab=41 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)已知a-b=4, ab=3, 求(a+b)² 的值； (2)某校开垦了如图所示的一块梯形空地ABCD作为劳动实践基 地，并分成四块.其中AC⊥BD于点○,OA=OD=a, OB=OC=b. 计划在△AOB和△COD区域内组织同学们种茄子 和黄瓜，在△AOD和△BOC的区域内种豇豆和辣椒，经测量， 种豇豆和辣椒区域的面积和为84.5平方米，AC=17米，求种茄 子和黄瓜区域的面积和是多少平方米. A D 豇豆 茄子 O 黄 瓜 辣椒 B 解 ： (1) a-b=4 , ab=3 ∴(a+b)²=(a-b)²+4ab=28 真题感知 发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题， (2)某校开垦了如图所示的一块梯形空地ABCD作为劳动实践基 地，并分成四块.其中AC⊥BD于点0,OA=OD=a, OB=OC=b. 计划在△AOB和△COD区域内组织同学们种茄子 和黄瓜，在△AOD和△BOC的区域内种豇豆和辣椒，经测量， 种豇豆和辣椒区域的面积和为84.5平方米，AC=17米，求种茄 子和黄瓜区域的面积和是多少平方米. ∵ AC=17米 ∴a+b=17 ∴(a+b)²=289 即a ²+b²+2ab=289 2ab=120 ∴ab=60, ∴种茄子和黄瓜区域的面积和 (平方米) A, 豇豆 茄子 O 黄瓜 辣椒 B 2. (25-26八年级上 ·江苏南通 ·期中)小颖在学习完乘法公式后， AC⊥BD于点0, OA=OD=a, OB=OC=b (2)∵种豇豆和辣椒区域的面积和为84.5平方米 真题感知 ∴a² + b² = 169 =84.5 解：赞同小红的观点，理由如下 [(x+2y)²+(x+y)(y-x)-5y²]÷(2x) =[x²+4xy+4y²-x²+y²-5y²]÷(2x) =4 xy÷(2x) = 2y 因为化简结果不含x, 所以代数式的值与x无关 3. (25-26八年级上 · 山西长治 ·期中)张老师在黑板上布置了一道题： 已知y=-1, 求代数式[(x+2y)²+(x+y)(y-x)-5y²]÷(2x) 的值， 小白和小红展开了下面的讨论，你赞同谁的观点?并说明理由。 只知道y的值，没有告 诉x的值，求不出答案。 这道题与x值无 关，是可以求的。 当y=-1 时，原式=2×(- 1)=- 2 真题感知 小红 小白 如果括号前面是正号，括到 括号里的各项都不变符号 如果括号前面是负号，括到 括号里的各项都改变符号 添括号法则 结 小 堂 课 a +b+c=a +(b+c) a-b-c=a- (b+c) 口诀：遇“加”不变，遇“减”都变 (a±b)²=a²±2ab+b² 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能 需要先添括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同 (从公式结构特点及结果两方面) a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab; 4ab=(a+b)²- (a-b)². 法则 注意 常用 结论 课堂小结 完全平方 公式 完全平方公式 变 形 (a+b)²=a ²+2ab+b ² ①a²+b²=(a+b)²— 2ab ②2ab=(a+b)²—(a²+b²) (a—b)²=a²—2ab+b² ①a²+b²=(a-b)²+2ab ②2ab=(a²+b²)一(a—b)² ③(a—b)²=(a+b)²-4 ab ④(a+b)²=(a-b)²+4ab 常见的完全平方公式的变形 习题16.3 教材P117 解： (1)原式=[(3x-5)-(2x+7)][(3x-5)+(2x+7)] =(3x-5-2x-7)(3x-5+2x+7) =(x-12)(5x+2) =x·5x+x·2+(-12)·5x+(-12)×2 =5x²+2x-60x-24 =5x²-58x-24 3.运用乘法公式计算： (1)(3x-5)²-(2x+7)²; (2)(x+y+1)(x+y-1); (3)(2x-y-3)²; (2 原式=[(x+y)+1][(x+y)-1] =(x+y)²-1² =x²+2xy+y²-1 课后练习 (4)[(x+2)(x-2)]². 习题16.3 (3)原式=[2x-(y+3)]² =(2x)²-2·2x·(y+3)+(y+3)² =4x²-4xy-12x+(y²+6y+32) =4x²-4xy+y²-12x+6y+9 (4)原式=(x²- 22)² =(x²)²-2·x².4+4² =x⁴-8x²+16 3.运用乘法公式计算： (1)(3x-5)²-(2x+7)²; (2)(x+y+1)(x+y-1); (3)(2x-y-3)²; (4)[(x+2)(x-2)]². 课后练习 教材P117 分析： 计算特例 (x-1)(x+1)=x²-1 (x-1)(x²+x+1)=x³-1 (x-1)(x³+x²+x+1)=x⁴-1 观察总结 …… 得到一般性结论 (x-1)(xn+xn-1+…x+1)=xn+1-1. (n≥1,且n为整数) 习题16.3 教材P118 8. 计算下列式子： (x-1)(x+1),(x-1)(x²+x+1),(x-1)(x³+x²+x+1), …。 你能发现什么规律?验证你发现的规律，并利用你发现的规律，计算 2⁹+2⁸+2⁷+…+2+1 观察所求式子，发现与得到的等式的等号左边其中一个因式的形式相仿， 于是将x 用具体数值2 替代，可进一步得到答案. 课后练习 习题16.3 教材P118 8. 计算下列式子： (x-1)(x+1),(x-1)(x²+x+1),(x-1)(x³+x²+x+1), …。 你能发现什么规律?验证你发现的规律，并利用你发现的规律，计算 2⁹+28+2⁷+…+2+1 解：(x-1)(x+1)=x²-1 (x-1)(x²+x+1)=x³+x²+x-x²-x-1 (x-1(x³+x²+x+1)=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-x-1 规律：(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)=xn+1-1. 验证：(x-1)( x"+xn -1+…+x+1) =xn+1+xn+…+x²+x-xn-xn-1 …-x-1 =xn+1-1 所以发现的规律成立 课后练习 习题16.3 教材P118 8.计算下列式子： (x-1)(x+1),(x-1)(x²+x+1,(x-1)(x³+x²+x+1), …。 你能发现什么规律?验证你发现的规律，并利用你发现的规律，计算 2⁹+28+2⁷+…+2+1 将x=2 代入得到的等式，可得： (2-1)(2n+2n-1+…+2+1) =2n+1+2n+…+2²+2-2n-2n-1…-2-1 =2n+1-1 ∴当 n=9 时 2⁹+28+27+…+2+1 =(2-1)(2⁹+28+2⁷+…+2+1) =210-1 =1024-1 =1023 课后练习 感谢聆听! $