第2章 数学活动 导学案 2025--2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦有理数运算，通过数系扩充问题引导学生从非负有理数运算过渡，利用分配律推导有理数乘法法则的合理性，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料通过逻辑推导培养推理意识，结合家庭收支实践强化应用意识与数据意识，融入幻方游戏激发创新意识，让学生在探究中理解知识本质，感受数学与生活的联系，提升学习兴趣。

姓名: 学科: 日期: 第2章 有理数的运算 数学活动 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年8月20日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历数学活动，进一步加深对有理数运算相关知识的理解与掌握，同时提高学习数学的兴趣爱好（数学运算▪重难点） 【学习过程】 1、 探索与发现：从数系扩充看有理数乘法法则 （一）问题1 我们知道，引入负数后，数的范围从非负有理数扩大到有理数.在有理数范围内，除了小学已学的正数与正数相乘、正数与0相乘、0与0相乘，还有正数与负数相乘、0与负数相乘、负数与负数相乘，其中最典型、最简单的情况分别为 应当怎样规定这些运算呢？请大家从数系扩充的角度来探究一下. 探究： 在把非负有理数的加法、乘法运算推广到有理数范围内时，我们希望在有理数中新规定的加法、乘法运算与非负有理数中相应的运算具有一致性，并且加法、乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 在研究了有理数的加法运算之后，依照上述设想，研究的结果. 1.对于，如果分配律成立，那么 从而据“互为相反数的两个数和为0”可得 2.对于，如果分配律成立，那么 从而据“互为相反数的两个数和为0”可得 3.对于，如果分配律成立，那么 从而据“互为相反数的两个数和为0”可得 综合上述分析，从数系扩充的角度来看，为了保证有理数的加法、乘法运算与已有的非负有理数的加法、乘法运算保持一致，规定 是合理的. （二）问题2 一般地，你能从数系扩充的角度说明有理数乘法法则的合理性吗？ 探究： 从数系扩充的角度： 数系从自然数扩充到整数、再扩充到有理数时，要保证原来在自然数、整数范围内成立的运算律（乘法分配律、交换律、结合律）依然成立，以此来定义负数之间、正数与负数的乘法，这样得到的有理数乘法法则才是合理的. 1.正数乘正数：延续小学算术乘法的定义，同号得正，绝对值相乘，和原有规则保持一致。 2.正数×负数、负数×正数（异号相乘）：依靠乘法分配律推导如下. 例如 =0 从而据“互为相反数的两个数和为0”可得 即“异号得负，绝对值相乘.” 3.负数 ×负数：同样依靠分配律推导如下. 例如 从而据“互为相反数的两个数和为0”可得 即“同号得正，绝对值相乘.” 4.0乘任意有理数：沿用旧规则，结果为0，保证运算律不矛盾. 综上所述：有理数乘法法则不是人为随意规定的，是为了保持运算律在扩充后的有理数范围内仍然成立推导出来的，因此法则具备合理性. 2、 活动1：整理家庭收支账目 帮助家庭记录一个月（或一星期）的生活收支账目，收入记为正数，支出记为负数，计算当月（或当星期）的总收入、总支出、总结余以及每日平均支出等数据，并对家庭支出提出合理化建议.妥善保存账目，作为日后家庭理财的参考资料. （一）探究1： 小明家2026年1月至7月的生活收支账目表如下所示，请填写表格，并计算每月平均收入与平均支出. 由上表可估计， 小明家每月平均收入为 小明家每月平均支出为 ∴小明家每月平均结余为 （二）探究2： 李华家上周的生活收支账目表如下所示，请填写表格. 由上表可估计， 李华家每日平均收入为 李华家每日平均支出为 李华家每日平均结余为 （3） 家庭支出合理化建议 1.做好消费规划，减少冲动消费，控制“其他支出”这类非必要大额开销. 2.日常生活节约水电，对比通信套餐，节约电话费、水费、电费等固定开支. 3.制定每月/每周消费预算，严格按照预算消费，避免超支. 4.每月从结余中留存一部分资金储蓄，以备家庭应急使用. 5.采购生活用品货比三家，集中采购，降低日常生活开销. （四）活动总结 我们用正数记录收入、负数记录支出，利用有理数加减乘除法则，就能算出家庭收支结余，学会记账有助于合理规划家庭开支，养成理财的好习惯. 3、 活动2：填幻方 （一）情境导入：幻方的来历与特征 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一. “洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说.图1即洛书.数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）. 在这个幻方中，9个格中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15. （二）问题 请将 这9个数分别填入图3的幻方的9个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等. 与同学交流一下，你们填这个幻方的方法相同吗？ 探究： ∵9个数总和： ∴三阶幻方幻和＝总和÷3＝0÷3=0 ∴中心数=幻和÷3=0÷3=0 故可得如下幻方（答案不唯一，仅供参考） （三）变式运用 【变式1】幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则的值为 . 解：由题意可填表如下 ∴ 【变式2】在如图所示的“幻圆”游戏中，要将分别填入图中的圆圈内， 使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，现在已有部分数值填入“幻圆”中，则图中的所有可能值为______ ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的加减法的应用，由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是，列等式可得结论，解题的关键是读懂题意，列出算式． 【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为， ， ∵横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， ∵当时，，则， 当时，，则． 故答案为：或． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 第2章 有理数的运算 数学活动 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年8月20日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历数学活动，进一步加深对有理数运算相关知识的理解与掌握，同时提高学习数学的兴趣爱好（数学运算▪重难点） 【学习过程】 1、 探索与发现：从数系扩充看有理数乘法法则 （一）问题1 我们知道，引入负数后，数的范围从非负有理数扩大到有理数.在有理数范围内，除了小学已学的正数与正数相乘、正数与0相乘、0与0相乘，还有正数与负数相乘、0与负数相乘、负数与负数相乘，其中最典型、最简单的情况分别为 应当怎样规定这些运算呢？请大家从数系扩充的角度来探究一下. 探究： 在把非负有理数的加法、乘法运算推广到有理数范围内时，我们希望在有理数中新规定的加法、乘法运算与非负有理数中相应的运算具有一致性，并且加法、乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 在研究了有理数的加法运算之后，依照上述设想，研究的结果. 1.对于，如果分配律成立，那么 从而据“互为相反数的两个数和为0”可得 2.对于，如果分配律成立，那么 从而据“互为相反数的两个数和为0”可得 3.对于，如果分配律成立，那么 从而据“互为相反数的两个数和为0”可得 综合上述分析，从数系扩充的角度来看，为了保证有理数的加法、乘法运算与已有的非负有理数的加法、乘法运算保持一致，规定 是合理的. （二）问题2 一般地，你能从数系扩充的角度说明有理数乘法法则的合理性吗？ 探究： 从数系扩充的角度： 数系从自然数扩充到整数、再扩充到有理数时，要保证原来在自然数、整数范围内成立的运算律（乘法分配律、交换律、结合律）依然成立，以此来定义负数之间、正数与负数的乘法，这样得到的有理数乘法法则才是合理的. 1.正数乘正数：延续小学算术乘法的定义，同号得正，绝对值相乘，和原有规则保持一致。 2.正数×负数、负数×正数（异号相乘）：依靠乘法分配律推导如下. 例如 从而据“互为相反数的两个数和为0”可得 即“异号得 ， 相乘.” 3.负数 ×负数：同样依靠分配律推导如下. 例如 从而据“互为相反数的两个数和为0”可得 即“同号得 ， 相乘.” 4.0乘任意有理数：沿用旧规则，结果为 ，保证运算律不矛盾. 综上所述：有理数乘法法则不是人为随意规定的，是为了保持运算律在扩充后的有理数范围内仍然成立推导出来的，因此法则具备 . 2、 活动1：整理家庭收支账目 帮助家庭记录一个月（或一星期）的生活收支账目，收入记为正数，支出记为负数，计算当月（或当星期）的总收入、总支出、总结余以及每日平均支出等数据，并对家庭支出提出合理化建议.妥善保存账目，作为日后家庭理财的参考资料. （一）探究1： 小明家2026年1月至7月的生活收支账目表如下所示，请填写表格，并计算每月平均收入与平均支出. 由上表可估计， 小明家每月平均收入为 小明家每月平均支出为 ∴小明家每月平均结余为 （二）探究2：. 李华家上周的生活收支账目表如下所示，请填写表格. 由上表可估计， 李华家每日平均收入为 李华家每日平均支出为 李华家每日平均结余为 （3） 家庭支出合理化建议 1.做好消费 ，减少 消费，控制“其他支出”这类非必要大额开销. 2.日常生活 水电，对比通信套餐，节约电话费、水费、电费等固定开支. 3.制定每月/每周消费 ，严格按照预算消费，避免超支. 4.每月从结余中留存一部分资金 ，以备家庭应急使用. 5.采购生活用品货比三家，集中 ，降低日常生活开销. （四）活动总结 我们用正数记录 、负数记录 ，利用有理数 法则，就能算出家庭收支结余，学会记账有助于合理规划家庭开支，养成理财的好习惯. 3、 活动2：填幻方 （一）情境导入：幻方的来历与特征 幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一. “洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说.图1即洛书.数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（图2）. 在这个幻方中，9个格中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为 . （二）问题 请将 这9个数分别填入图3的幻方的9个空格中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等. 与同学交流一下，你们填这个幻方的方法相同吗？ 探究： ∵9个数总和： ∴三阶幻方幻和＝总和÷3＝ ， ∴中心数=幻和÷3= ， 故可得如下幻方（答案不唯一，仅供参考） （三）变式运用 【变式1】幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则的值为 . 【变式2】在如图所示的“幻圆”游戏中，要将分别填入图中的圆圈内， 使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，现在已有部分数值填入“幻圆”中，则图中的所有可能值为______ ． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $