第二章《有理数的运算》的新定义型计算导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦七年级上册第二章《有理数的运算》新定义型计算，以拓展运算内涵、培养创新思维和巩固运算法则为目标，通过“运算法则探究”“乘法减法”等五个考点的例题解析与随堂训练，构建“观察-归纳-应用”的递进式学习路径，体现知识建构的系统性。 亮点在于以“加乘运算规律归纳”“F运算规律探究”等任务为载体，引导学生从实例中抽象新定义实质，通过转化思想解决问题，培养抽象能力和推理意识。每考点配备典型例题与分层训练，既促进深度学习，又为教师单元复习教学提供针对性指导。

新人教版数学七年级上册第二章《有理数的运算》的新定义型计算 学习目标： 1.用新定义拓展有理数运算的内涵，培养学生的创新思维； 2.学会用数学的思维思考，会思考新定义的实质，会思考新定义与常规数学知识的内在关联； 3.学会用常规运算解决新定义运算，是运算的进阶学习要求； 4.利用新定义，巩固所学的运算法则，运算公式，运算律，运算方法； 5.通过新定义运算，学会数学的转化思想，化归思想。 考点1：新定义中以运算法则探究为主角 例1 探究规律，完成相关题目． 老师说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 然后老师写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ． 小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ （1）归纳※（加乘）运算的运算法则：两数进行※（加乘）运算时， ________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ________． （2）计算：________． 分析（1）运算实例，涉及到的数为有理数，而有理数的加法运算，主要包含三层含义：一是观察参与运算的数的符号，分为同号和异号两种情况，确定结果数值的符合；二是思考计算的结果表现，也表现为两种情况，同号时，把数的绝对值值相加；异号时，把数的绝对值相减，且用较大的绝对值减去较小的绝对值；三是非零数与零的运算，比较后，确定新定义运算遵循的基本运算法则，总结时，一定要简洁而全面，准确． （2）新定义的运算转化为常规计算时，一定要遵循常规运算所必须遵循的所有运算法则，不能有丝毫的更改，这就是新定义的高阶之处，把高阶预算转化为常规运算，这里的化归思想是非常重要的； （1）解：； ； ； ； ； ． 根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加．任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；这个数的绝对值． （2）解： ． 故答案为：． 随堂训练1 1.【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ ， ． ， ． ， ． 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把______．任何数同0进行“※”运算，都得______． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：．（提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 2.定义一种新的运算“※”，称为（加乘）运算： … （1）观察，归纳“※”运算法则：两数进行“※”运算时，同号 ，异号 ，再把 ；特别地，0与任何数进行“※”运算，或任何数与0进行“※”运算，结果为 ． （2）计算： （3）已知，，，试判断A与B大小关系？并说明理由． 3.对于实数，定义运算，下面是关于这种运算的几个结论： ①；②若，则；③；④若，则．其中正确的有_______（填序号）． 考点2：新定义中以乘法，减法为运算主角 例2对有理数a，b定义运算“”： （1）计算的值；（2）比较与的大小. 分析：（1）根据新定义运算即可.（2）先计算，后比较大小即可. 解：（1）∵，∴ . （2）∵， ∴. .故. . 考点3：新定义中以乘法，加法为运算主角 例3如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“共生有理数对”，记为根据上述定义，判断下列四对有理数中不是“共生有理数对“的是（ ） A. B. C. D. 分析：根据定义，计算判断解答即可．本题考查了有理数的减法，乘法，加法，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键． 解：∵，，符合， ∴是“共生有理数对”，该选项不符合题意； ∵，，符合， ∴是“共生有理数对”，该选项不符合题意； ∵，，不符合， ∴不是“共生有理数对”，该选项符合题意； ∵，，符合， ∴是“共生有理数对”，该选项不符合题意； 故选：C． 考点4：新定义中以乘方，减法，绝对值为运算主角 例4对于任意的两个有理数a、b，定义． （1）计算的结果；（2）计算的结果． 分析：（1）根据定义，代入求解即可；（2）根据定义，代入求解即可． 解：（1）根据， 得 ； （2）解：根据， 得， ； 故； 考点5：新定义中以规律探究为运算主角 例5定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A. 19 B. 31 C. 62 D. 98 解：由题知，因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 例6 我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题： ； ； ； ． （1）请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子；_____． （2）补全定义内容：_____，（用含、的代数式表示） （3）计算 （4）当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 分析：（1）仔细观察等式的特点，写出一个符合规律的等式即可，答案不唯一． （2）根据式子的特点归纳新定义即可； （3）根据新定义解答即可计算； （4）根据定义，计算判断结果是否相等，相等，则满足，反之，不满足．本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，熟练掌握定义和运算是解题的关键． （1）解：根据题意，答案如下： ， 故答案为：，不唯一． （2）解：根据式子的特点，得到， 故答案为：． （3）解： ． （4）解：根据题意，得，， 由，故，故新定义的运算不满足交换律． 随堂训练2 定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和都有，这里“+”号表示数的加法，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： 随堂训练1 1.（1）解：根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加．任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值． （2）解：． （3）解：当时，； 当时，； 当时，． 2.（1）仔细观察，阅读材料，得同号得正，异号得负，再把绝对值相加；特别地，0与任何数进行“※”运算，或任何数与0进行“※”运算，结果为本身的绝对值． 故答案为：得正，得负，绝对值相加，它本身的绝对值． （2） ． （3）∵， ∴， ∴， ， ∵ ∴． 3.解：∵， ∴ ； 故①正确； ∵， ∴ ， ∴或； 故②错误； ∵， ∴， 故， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， ， ∴． 故④正确 故答案为：①③④. 随堂训练2, 解：∵， ∴ ∵ 令，则， ∴ ， ∴， 即 ∴． 又 ∵ 故， ∴ ， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $