16.3.2完全平方公式 同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦完全平方公式变形求值，通过基础巩固、能力提升、思维拓展三层设计，构建从单一公式应用到跨情境综合探究的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式直接变形|单选题、填空题前半部分，考查(a±b)²与a²+b²、ab的基本转换，夯实运算能力| |提升|公式综合应用|填空题后半部分、解答题前半部分，涉及整体代入、多步变形，发展推理意识| |拓展|跨情境拓展应用|解答题后半部分，结合几何图形（如正方形面积）、实际问题，培养几何直观与模型意识|

完全平方公式变形求值 一、单选题 1．已知，，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．若，，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D．1 3．已知，则的值等于（     ） A． B． C． D． 4．若，且，则（     ） A． B． C．5 D．15 5．已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 6．（1）已知，，则______．（2）已知，，则_____． 7．如果，，那么________． 8．若，，则的值是_________． 9．若，则______． 10．（1）若，则______．（2）若，则的值是______ ． 11．已知，则__________． 12．若，则的值为________． 13．（1）若，则_________．（2）若，则的值是______． 三、解答题 14．已知，求： (1) ； (2) (3) 15．已知，求： (1)的值； (2)求的值． 16．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； 17．已知a，b满足，求下列各式的值： (1) （2) 18．已知．，． (1)求的值； (2)求的值． 19．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出代数式，，之间的等量关系：______________________． (2)根据（1）中的等量关系，已知，，求的值． 20．有A，B两类正方形卡片，其边长分别为厘米、厘米，另有一类长方形卡片C，其长和宽分别为厘米和厘米．在同一平面内做如下操作：将卡片B放在卡片A的内部（剪掉卡片A中与卡片B重叠的部分），如图1所示；将卡片A，B并列放置后构造新的正方形，如图2所示．在图1、图2中，若阴影部分的面积分别为和，请完成下列问题： (1)_________； (2)聪聪同学想要拼一个长、宽分别为厘米和厘米的长方形（不重不漏），除用去6张卡片A，6张卡片B外，还需要卡片C_________张； (3)在同一平面内，用三张正方形卡片A和两张正方形卡片B摆放成如图3所示正方形，求图3中阴影部分的面积． 21．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4)当时，则的值是______．（直接写出结果） 22．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值的问题． 例如：分解因式：； 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：_______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，求第三边的取值范围． 23．按要求解答下列问题： 【知识回顾】 如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式： ； (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值； 【深入探究】 (3)若满足，求的值； 【应用迁移】 (4)如图，长方形中，，、是边上的点（在左侧），以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，（为常数，且），正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长． 24．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：____________；（直接列出等式即可） (2)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：________________________（直接列出等式即可） (3)若，，为实数，，，利用（1）的结论求的值； 25．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．现在用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题． (1)由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为_____（用含的代数式表示）； (2)小敏用图1中的、、三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要、、三种纸片各多少张； (3)如图3，为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，记正方形和正方形的面积分别为，且，利用（1）中的结论求图中三角形的面积． 26．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为， 所以， 所以，， 得， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求的值； (2)如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 27．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为__________；（用含，的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的，，三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点、分别在、的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之和． 28．利用我们学过的完全平方公式知识能解决等式或代数式的问题，请阅读下列材料： 阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求______，______； (2)若，，其中，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 29．问题发现：若x满足，求的值． 小明在解决该问题中，采用了以下解法： 解：设， 则， 所以 请根据小明的解法解决下列问题． (1)已知，求的值； (2)若x满足，求的值； (3)拓展延伸：如图，正方形的边长为，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着，所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为20． ①________，________；（用含x的式子表示） ②求长方形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《利用完全平方公式变形求值题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 A B C B B 1．A 【分析】将通过完全平方公式恒等变形为含与的形式，代入已知数值计算． 【详解】解：． 2．B 【分析】将所求转化为含已知和的式子，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴． 3．C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算目标式子的平方，进而得到结果． 【详解】， 两边同时平方得，即． ， ， ． 4．B 【分析】利用完全平方公式的恒等变形，先求出的值，再计算后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 5．B 【分析】利用完全平方公式求出的值，再展开所求代数式，整体代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，已知 ，， ∴ ，解得 ， ∴， 将 ， 代入得， 原式 ． 二、填空题 6．（1）解：∵，， ∴ ． （2）根据完全平方公式可得：， 整理得：， 将，代入得：， 对等式两边开平方得：． 7． 【分析】根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 8．26 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 9．2 【分析】利用完全平方公式将所求代数式变形求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 10．（1） 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式变形即可求出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴将等式两边同时平方，得， 根据完全平方公式展开左边，得， 化简得， ∴． 10．（2）6 【分析】等式两边分别平方，平方后展开即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：， ， 即 ， ， ． 11． 【分析】对代数式进行因式分解，得到，再将代入求值即可． 【详解】解： ， ． 12．2027 【分析】先根据得出，然后将变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 13．（1） 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）． 【分析】利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：由完全平方公式得 ∵ ∴ ∴． 14．（1）解：； （2）解：； （3）解：． 15．（1）解：原式 ， ∴原式； （2）解：． 16．（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：. 17．（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 得， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴． 18．解(1) （2），，， ， ， ． 19．（1）解：由图1得：， ， 由图2得：， ， ， 得：． （2）解：， 一个A类卡片面积为；一个B类卡片面积为；一个C类卡片面积为， 所以需要C类卡片张． （3）解：由小问1可得：；；， ， ， 由题意得：都是正数，， ， ，， ， 得：， ， ． 由图3可得： ． 20．（1）解：图1阴影部分的面积为或，因此可得； 图2阴影部分的面积为或，因此可得； （2）解：图3阴影部分的面积为或， 因此可得； （3）解：由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 21．（1）解： ； （2）解： ， ， ∴， 当时，有最大值； （3）解：， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 22．（1）解：根据题意得：； （2）解：把两边平方得：， 由（1）得：， 将、代入得：， 展开得，，即， 整理得：； （3）解：设，，则有，， 把两边平方得：，即， 把代入得：，即， 则； （4）解：设，则， 正方形，长方形， ，， 正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即长方形面积为， ，即， 整理得：， 开方得：（负值舍去）， ，， 则长方形周长为． 23．（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． （2）解：如图所示： 由图可得，． （3）解：， ． ， ． ∴． ∴． 24．（1）解：一张种纸片的面积为，一张种纸片的面积为，二张种纸片的面积为， ∴总面积为， 拼成大正方形的面积为， ∴； （2）解： ， ∴需要二张种纸片，三张种纸片，七张种纸片； （3）解：设，则， ∵四边形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 根据（1）可知，， ∴， ∴， 解得，， ∴． 25．（1）解：， ，， ； （2）解：由（1）知 ， ∵， ． 26．（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ， ， 阴影部分的面积． 27.（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ， ． 28．(1）解：∵， ∴， ∴， ， 解得； (2)解：，， ， ， ， ， ， 故． 29.（1）解：设，，则，， ， 即的值为7； （2）解：设，， ，， ； （3）解：①由题意可得：，； ②长方形的面积． 根据题意得， 设，，则， ∴． ∴． ∴长方形的面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $