第六单元 因数和倍数 （单元自测练习卷）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

**基本信息** 本单元卷聚焦因数和倍数核心知识，通过智能高铁、苏绣等真实情境设计问题，适配单元复习，兼具基础巩固与能力提升，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|10题30分|2、3、5倍数特征（题1）、最小公倍数（题5）、质数合数（题9）|引入“史密斯数”（题4），融合数学文化| |选择题|5题10分|最大公因数（题11）、完全数（题13）|结合古希腊数学概念，培养推理意识| |判断题|5题10分|分解质因数（题17）、倍数因数关系（题19）|辨析易混概念，强化数学思维严谨性| |计算题|2题10分|最大公因数与最小公倍数（题21-22）|要求过程表达，落实运算能力| |解答题|4题40分|最大公因数应用（题23、26）、公倍数实际问题（题25）|苏绣布料裁剪（题23）等情境，体现应用意识|

第六单元 因数和倍数 单元测试卷 时间：90分钟 满分：100分 姓名：__________班级：__________分数：__________ 题号 一 二 三 四 五 评分 一、填空题（共30分） 1．（本题3分）从2，3，4，5，0中选出三个数字组成既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是( )；组成一个同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 2．（本题3分）截至2025年6月，某县城投放的共享单车已达1□8□辆，横线上的这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数，还有因数2。这个县城投放的共享单车最少有( )辆，最多有( )辆。 3．（本题3分）已知a＝2×3×n，b＝3×5×n，a和b的最小公倍数是210，则n的值为( )，a、b的最大公因数是( )。 4．（本题3分）小红在数学课外阅读中认识了“史密斯数”。如：，，即27是“史密斯数”：，，，而，即51不是“史密斯数”。可以看出，把一个自然数分解质因数，必须所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，才能称这样的数为“史密斯数”。那么，在4、15、22、56这四个数中，符合“史密斯数”特征的有( )。 5．（本题3分）中国2025年投入运营的智能高铁”复兴号”升级版采用自动检修机器人。已知A型机器人每6天进行一次全面检修，B型机器人每8天进行一次全面检修。若今天两种机器人同时进行检修，那么至少经过( )天后它们会再次同一天进行检修；在接下来的365天内，它们一共会有( )次同一天检修的情况。 6．（本题3分）18的因数有：( )，其中质数有：( )。 7．（本题3分）舞蹈社团学生人数在35~45之间，无论分成4人一组，还是分成5人一组，都多2人，舞蹈社团一共有( )人。 8．（本题3分）已知a＝3×2×n，b＝3×5×n（n是非零自然数），若a和b的最大公因数是6，则n＝( )，a和b的最小公倍数是( )。 9．（本题3分）20以内所有质数的和是( )。既是偶数，又是质数的数是( )。 10．（本题3分）“”是个三位数，要使这个数成为3的倍数，里最大填( )。 二、选择题（共10分） 11．（本题2分）李老师的书房长5m，宽4m，用边长为（    ）dm的方砖正好能铺满且没有剩余。 A．7 B．8 C．9 D．10 12．（本题2分）已知A、B都是非零自然数，且A＝9B，A与B的最大公因数是（    ）。 A．A B．B C．9 D．1 13．（本题2分）古希腊学者认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如6有4个因数1，2，3，6，除本身6以外，还有1，2，3三个因数，所以6是“完全数”。下面的数中是“完全数”的是（    ）。 A．10 B．12 C．16 D．28 14．（本题2分）一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a，b，c，d，e，f。已知a＋f＝46，那么b＋e＝（    ）。 A．5 B．18 C．14 D．45 15．（本题2分）下面4个数都是四位数，A是1～9中任意一个数，M是0，其中一定能同时被3和5整除的数是（    ）。 A．AAAM B．AMMM C．AMAM D．AMMA 三、判断题（共10分） 16．（本题2分）互质的两个数没有最大公因数，只有最小公倍数。( ) 17．（本题2分）把36分解质因数是36＝3×3×4。( ) 18．（本题2分）用0、5、6、7这四个数字组成的所有四位数都是3的倍数。( ) 19．（本题2分）因为2×9＝18，所以18是倍数，2和9是因数。( ) 20．（本题2分）最小的合数是4，最小的质数是1。( ) 四、计算题（共10分） 21．（本题5分）用自己喜欢的方法推理或计算。（需写出过程） ①求32和56的最大公因数。 ②求45和60的最小公倍数。 22．（本题5分）找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和7           12和24           6和15 五、解答题（共40分） 23．（本题10分）苏绣是我国四大名绣之一，以“平、齐、细、密、和、顺、光、匀”著称。李阿姨在学习苏绣，她从一张长60厘米，宽21厘米的长方形布料上剪下几个同样大的小正方形后，正好剩下一张长60厘米，宽3厘米的长方形布料。这些小正方形的边长最长是多少厘米？ 24．（本题10分）端午节前夕，小辰的妈妈去商店购买甜粽和咸粽，店员说应该付款73元，按照图中的价格计算，店员说得对吗？为什么？ 价目表 甜粽：5元/个 咸粽：10元/个 25． （本题10分）五（1）班有42人，五（2）班有36人。如果把两个班的学生都平均分成若干组，要使两个班每个小组的人数相等，每组最多有多少人？一共可分成几组？ 26．（本题10分）一块长方形的布，长为15分米，宽为6分米。要把它截成若干块边长是整分米且大小一样的正方形手绢（要求裁完后长方形的布没有剩余且不计损耗），正方形手绢的边长最大是多少分米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 204 540 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各个数位上数字之和能被3整除；据此观察题目给出的5个数字，先找出哪三个数字的是3的倍数；要想求出既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数，则组成三位数的三个数字都要尽量小组合，写出这组数字组成的三位，从中找出个位满足2的倍数特征的最小的那个数，即可解答；要想求出同时是2，3，5的倍数的最大三位数，则组成三位数的三个数字都要尽量大的组合，因为同时是2、5的倍数特征：个位数字必须是0的数，因此这组的三个数字中需包含0，据此写出这组数字组成的三位，从中找出个位是0的最大数即可。 【详解】2＋4＋0＝6，6÷3＝2；所以2、4、0这三个数字组成的三位数是3的倍数； 4＋5＋0＝9，9÷3＝3；所以4、5、0这三个数字组成的三位数是3的倍数； 3＋4＋5＝12，12÷3＝4；所以3、4、5这三个数字组成的三位数是3的倍数； 2、4、0这三个数字组成的三位数：204、240、402、420，其中最小的是204。 204的个位是4，因此204也是2的倍数，所以既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是204。 4、5、0这三个数字组成的三位数：405、450、504、540，其中个位是0的最大数是540。即同时是2，3，5的倍数的最大三位数是540。 即从2，3，4，5，0中选出三个数字组成既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是204；组成一个同时是2，3，5的倍数的最大三位数是540。 2． 1080 1980 【分析】2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数； 5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数； 3的倍数的特征，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 先根据同时是2和5的倍数确定个位数字，再根据3的倍数特征，确定百位数字的可能取值，最后通过比较得出最大值和最小值。 【详解】因为有因数2，说明它是2的倍数，又因为它是5的倍数，可确定个位数字为0。 因为这个数是3的倍数，所以各位上数的和为1＋□＋8＋0＝9＋□；9是3的倍数，因此□里的数必须是3的倍数，即0、3、6、9，□里最大是9，最小是0。 这个数最小是1080，最大是1980，即这个县城投放的共享单车最少有1080辆，最多有1980辆。 3． 7 21 【分析】根据题意，和已经写成了质因数相乘的形式。求最小公倍数时，应将两个数公有的质因数和各自独有的质因数连乘；求最大公因数时，应将两个数公有的质因数连乘。已知最小公倍数的具体数值，可列出算式求出的值，进而求出最大公因数。 【详解】由题意可知： 和公有的质因数是和，独有的质因数是 ，独有的质因数是。 根据最小公倍数的求法，和的最小公倍数是： 因为最小公倍数是，所以： 根据最大公因数的求法，和的最大公因数是公有质因数的乘积： 将代入，得： 故的值为，、的最大公因数是。 4．4、22 【分析】根据“史密斯数”定义，逐个对数字分解质因数，分别算出原数各位数字之和、所有质因数各位数字之和，对比两者是否相等，相等即为史密斯数。 【详解】4分解质因数：4＝2×2 原数各位和：4，质因数各位和：2＋2＝4，4＝4，是史密斯数。 15分解质因数：15＝3×5 原数各位和：1＋5＝6，质因数各位和：3＋5＝8，6≠8，不是史密斯数。 22分解质因数：22＝2×11，原数各位和：2＋2＝4，质因数各位和：2＋1＋1＝3＋1＝4，4＝4，是史密斯数。 56分解质因数：56＝2×2×2×7，原数各位和：5＋6＝11，质因数各位和：2＋2＋2＋7＝4＋9＝13，11≠13，不是史密斯数。 5． 24 15 【分析】根据题意可知，到下一次同一天进行检修间隔的天数是6和8的最小公倍数。 每间隔24天就会同时检修一次，用365除以相邻两次同一天进行检修的间隔天数，商为两种机器人同一天检修的总共次数。 【详解】 6和8的最小公倍数是： 至少经过24天后它们会再次同一天进行检修；在接下来的365天内，它们一共会有15次同一天检修的情况。 6． 1，2，3，6，9，18 2，3 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数。 【详解】18＝1×18＝2×9＝3×6 18的因数有1、2、3、6、9、18；其中质数有2、3。 7． 42 【分析】根据题意，学生总数减去2后，既是4的倍数，也是5的倍数，即是4和5的公倍数。结合人数范围确定具体数值。 【详解】4和5的最小公倍数是20，4和5的公倍数有：20、40、60…… 20＋2＝22（人），22＜35，不符合题意； 40＋2＝42（人），35＜42＜45，符合题意； 60＋2＝62（人），62＞45，不符合题意； 故，舞蹈社团一共有42人。 8． 2 60 【分析】（1）两个数的最大公因数是二者公有质因数的乘积，和公有质因数是和，所以二者最大公因数为，结合已知最大公因数是，用可求得的值； （2）两个数的最小公倍数是二者公有质因数与各自独有质因数的乘积，、的公有质因数是和，各自独有的质因数还有和，、的最小公倍数＝。依此计算，即可得到、的最小公倍数。 【详解】求、的最大公因数： 、的最小公倍数是： 9． 77 2 【分析】大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数。20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，相加即可。 偶数的定义是能被2整除的数，所有大于2的偶数都有因数2，不符合质数要求，所以唯一既是偶数又是质数的数只有2。 【详解】20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19 和是：2＋3＋5＋7＋11＋13＋17＋19＝77 既是偶数又是质数的数只有2。 10．8 【分析】一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。对于三位数3□7，数字之和为3＋□＋7＝10＋□。（10＋□）必须能被3整除，□是0到9的数字。通过计算，找出□里的最大值。 【详解】从最大的一位数9开始试：10＋9＝19，19不是3的倍数； 再试8：10＋8＝18，18是3的倍数，所以□里最大填8。 11．D 【分析】要使方砖正好铺满且没有剩余，说明方砖的边长是书房长和宽的公因数，结合选项选出符合要求的边长即可，注意先把米换算成分米。 【详解】单位换算： ，。 分解质因数： 50和40的公因数是：2、5、10。 选项中只有公因数10，所以用边长为10dm的方砖正好能铺满且没有剩余。 12．B 【分析】有倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数，据此解答。 【详解】已知A、B都是非零自然数，且A＝9B，说明A是B的9倍，所以A与B的最大公因数是B。 13．D 【分析】先确定各选项中数字的因数，再结合“完全数”的特征判断。 【详解】A．10的因数有：1、2、5、10，1＋2＋5≠10，所以10不是“完全数”； B．12的因数有：1、2、3、4、6、12，1＋2＋3＋4＋6≠12，所以12不是“完全数”； C．16的因数有：1、2、4、8、16，1＋2＋4＋8≠16，所以16不是“完全数”； D．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是“完全数”。 14．B 【分析】一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身，再根据a＋f＝46可知这个数是45，据此求出这个数的各因数，据此解答。 【详解】因数从小到大依次是a，b，c，d，e，f，已知a＋f＝46，所以这个数是45。 45的因数有1、3、5、9、15、45。 3＋15＝18。 所以b＋e＝18。 15．A 【分析】5的倍数特征：个位数字是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。 【详解】A．A＋A＋A＋M ＝2A＋A＋M ＝3A＋0 ＝3A 3A是3的倍数，AAAM是3的倍数，个位数字是0，一定能同时被3和5整除，符合题意。 B．A＋M＋M＋M ＝A＋0＋0＋0 ＝A A不一定是3的倍数，个位数字是0，是5的倍数。不符合题意。 C．A＋M＋A＋M ＝A＋A＋M＋M ＝2A＋0＋0 ＝2A 2A不一定是3的倍数，个位数字是0，是5的倍数。不符合题意。 D．A＋M＋M＋A ＝A＋A＋M＋M ＝2A＋0＋0 ＝2A 2A不一定是3的倍数，个位数字是A，不一定是5的倍数。不符合题意。 16．× 【分析】互质的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积，据此解答。 【详解】如果两个数互质，它们的公因数只有1，所以最大公因数就是1；两个数的最小公倍数等于两数相乘。 举例子：8和9是互质数，它们的公因数只有1，最大公因数是1，最小公倍数是 8×9＝72，原题说法错误。 故答案为：× 17．× 【分析】分解质因数的规则是把合数写成几个质数相乘的形式。质数：只有1和它本身两个因数的数；合数：除了1和它本身还有别的因数的数。 【详解】观察算式36＝3×3×4，数字4除了1和4之外，还有因数2，属于合数，不是质数，不满足质因数的要求，所以该分解写法错误。 故答案为：× 18．√ 【分析】判断一个数是不是3的倍数，可以看各数位上数字的和。数字的位置改变不会改变四个数字的总和，因此只需计算0、5、6、7的和。 【详解】0＋5＋6＋7＝18，18是3的倍数。用这四个数字组成任意四位数时，各数位上数字的和都是18，所以组成的所有四位数都是3的倍数。 故答案为：√ 19．× 【分析】在非0自然数的整数除法中，如果整数a除以整数b（a、b≠0）的商是整数且没有余数，我们就说b是a的因数，a是b的倍数，比如，4是8的因数，8是4的倍数，因数和倍数是相互依存的关系，不能脱离其他数单独说某一个数是倍数或因数。 【详解】，正确表述为18是2和9的倍数，2和9是18的因数，原说法孤立描述倍数和因数，表述错误。 故答案为：× 20．× 【分析】根据质数、合数的定义，1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4，可直接判断对错。 【详解】合数是除了1和自身外还有其他因数的自然数，最小的合数是4；质数是只有1和自身两个因数的大于1的自然数，最小的质数是2，1既不是质数也不是合数，题目说法错误。 故答案为：× 21． ① ② 【分析】①用枚举法求32和56的最大公因数：先分别把两个数的所有因数，按从小到大的顺序逐一全部列举出来，再把同时出现在两个列表里的公共因数全部挑出来，就得到32和56的公因数，在所有公共因数里找到数值最大的数，这个数就是二者的最大公因数。 ②用枚举法求45和60的最小公倍数：先分别把两个数的若干个从小到大的倍数，逐一全部列举出来，对照两份倍数列表，找到第一个同时出现在两个列表里的数（也就是最先出现的公共倍数），第一个出现的公共倍数就是所有公倍数里数值最小的，这个数就是二者的最小公倍数。 【详解】①32的因数：1、2、4、8、16、32； 56的因数：1、2、4、7、8、14、28、56； 32和56的公因数：1、2、4、8； 其中最大的数就是最大公因数，结果是8。 ②45的倍数：45、90、135、180、225… 60的倍数：60、120、180、240… 找出两个数第一个相同的公倍数，就是最小公倍数，结果是180。 22．5和7的最大公因数是1，最小公倍数是35； 12和24的最大公因数是12，最小公倍数是24； 6和15的最大公因数是3，最小公倍数是30 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数； 对于两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数； 互质的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；据此解答。 【详解】5和7互质，两个数的最大公因数是1，最小公倍数是：5×7＝35； 24是12的2倍，两个数的最大公因数是12，最小公倍数是24； 6＝2×3，15＝3×5，6和15的最大公因数是3，最小公倍数是：2×3×5＝30。 23． 6厘米 【分析】剩下的布料长与原布料长相等，说明剪掉的部分是长60厘米的长方形，先算出其宽度；要剪出同样大且无剩余的最大正方形，边长就是该长方形长和宽的最大公因数。 【详解】（厘米） 求60和18的最大公因数： （厘米） 答：这些小正方形的边长最长是6厘米。 24．不对。因为甜粽和咸粽的总价都是的倍数，总钱数也一定是的倍数，而73不是5的倍数。 【分析】甜粽单价为5元/个，甜粽总价是5的倍数；咸粽单价为10元/个，10是5的倍数，因此咸粽总价也是5的倍数；总钱数等于甜粽总价加咸粽总价，两个5的倍数相加，和仍是5的倍数。再判断73是否符合5的倍数的特征即可。 【详解】5的倍数的个位数字是0或5，73的个位是3，不是5的倍数，所以店员说得不对。 答：店员说得不对。因为甜粽和咸粽的总价都是5的倍数，总钱数也一定是5的倍数，而73不是5的倍数。 25． 6人；13组 【分析】要使两个班每个小组的人数相等，每组最多的人数是42和36的最大公因数，求出最大公因数后，分别计算两个班的小组数，相加得到总组数。 【详解】 42和36的最大公因数是，即每组最多有6人。 （组） （组） （组） 答：每组最多有6人；一共可分成13组。 26．3分米 【分析】要把长15分米、宽6分米的长方形裁成同样大的正方形且没有剩余，正方形边长必须是15和6的公因数，求最大边长就是求15和6的最大公因数。用分解质因数法求最大公因数。 【详解】15＝3×5 6＝2×3 15和6的最大公因数是3 答：正方形手绢的边长最大是3分米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $