湖南省长沙市2026-2027学年高三8月入学考试数学自编模拟试卷一

**基本信息** 聚焦高三开学学情检测，以基础巩固与能力创新并重，覆盖函数、几何、概率等主干知识，融入生活情境与数学探究，适配一轮复习起点评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、统计、复数、向量、数列等|第8题以城市道路网为情境考查排列组合，体现数学眼光观察现实世界| |多选题|3/18|立体几何、三角函数、双曲线|第11题综合双曲线渐近线、内切圆等，考查逻辑推理与数学思维| |填空题|3/15|二项式定理、解三角形、平面向量|第14题结合菱形几何性质，强化几何直观与空间观念| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率分布、双曲线、导数与数列|第19题通过“生成数列”概念创新考查导数应用，第17题设计三人考核概率问题，培养数学建模与数据意识|

湖南省长沙市2026-2027学年高三8月入学考试数学模拟试卷一 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 3．设复数，是的共轭复数，则复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知向量，若，则的值为（   ） A．1 B． C．4 D． 5．已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 6．已知函数在时取得极值13，则（   ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，底面是直角三角形且，平面，当该三棱锥的外接球表面积为时，则它的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处．今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止．则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有种 B．甲从必须经过到达处的方法有种 C．甲､乙两人在处相遇的概率为 D．甲､乙两人相遇的概率为 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 10．下列说法正确的是（    ） A．某扇形的半径为2，圆心角的弧度数为，则该扇形的面积为 B．已知函数，若，则 C．“”是“”的必要不充分条件 D．函数只有一个零点 11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到渐近线的距离等于 B．内切圆的圆心在直线上 C．为定值 D．若直线与C交于另一点A，则的最小值为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数是______. 13．在中，若，则________． 14．在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 16．(15分)如图，在三棱锥中，是等边三角形，是边的中点． (1)求证：； (2)若，平面平面，求直线与平面所成角的余弦值． 17．(15分)某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰.已知甲､乙､丙三人参与考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为，乙过关的概率为，丙过关的概率为. (1)若三人中有两人过关，求丙过关的概率； (2)记甲､乙､丙三人中过关的人数为，求的分布列与数学期望. 18．(17分)已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程，并写出其离心率； (2)求的焦点到其渐近线的距离； (3)已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数的值． 19．(17分)设函数，. (1)若对，都有恒成立，求实数的取值范围； (2)对于函数和数列，，若，，则称为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”. （i）若为函数的“源数列”，证明：对任意正整数，均有； （ii）若为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问：在数列中是否存在连续三项构成等差数列？请说明理由. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《湖南省长沙市2026-2027学年高三8月入学考试数学模拟试卷一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B D C B C AB AC 题号 11 答案 ABC 1．B 【详解】集合是全体整数形成的集合， 而中元素都不是整数平方，， 所以. 2．D 【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】将数据从小到大排序可得，共8个样本数据， 则上四分位数即第百分位数为，即为. 故选：D 3．A 【分析】直接由共轭复数的定义及复数的几何意义可得. 【详解】因为复数，是的共轭复数，所以， 所以复平面内对应的点为，位于第一象限. 4．B 【详解】由题意得，， 因为，所以，得. 5．D 【分析】根据等比数列的性质，计算即可得出答案. 【详解】因为等比数列，，， 所以成等比数列， 因为，，所以， 所以， 所以. 故选：D 6．C 【分析】由，列出等式求解即可. 【详解】由题可得， ， 解得，经验证符合题意； 故选：C 7．B 【分析】先补形得到长方体，进而求出，再利用等体积思想求出. 【详解】设三棱锥的外接球半径为，则其外接球的表面积，得， 因为，且是直角三角形，所以， 又因为三棱锥的外接球的直径就是以，，为棱的长方体的体对角线， 设，则根据长方体体对角线公式可得， 把代入，即，解得， 因为， 所以三棱锥的体积， 又， ，， 所以三棱锥的表面积为， 设三棱锥的内切球半径为， 根据等体积法，即， 则． 8．C 【分析】分析甲从到达处以及甲从必须经过到达处的走法，结合组合知识，可判断A，B；计算出甲､乙两人在处相遇的走法种数，根据古典概型的概率公式即可判断C；分类考虑甲､乙两人相遇的地点，计算出相应的走法数，根据古典概型的概率公式即可判断D. 【详解】A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走， 则甲从M到达N处的方法有种，A选项错误； B选项，甲经过到达N处，可分为两步：第一步，甲从M经过需要走3步， 其中1步向右走，2步向上走，方法数为种； 第二步，甲从到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为种， 故甲经过到达N的方法数为种，B选项错误； C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种， ∴甲､乙两人在处相遇的方法数为种， 故甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确； D选项，甲､乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇， 若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走， 乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种； 若甲､乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为81种； 若甲､乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走， 乙到处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走， ∴两人在处相遇的走法种数为种； 若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处， 则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种； 故甲､乙两人相遇的概率，D选项错误， 故选：C． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从到的路线转变为六步，其中每一条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从六步中选取向上或向右的步数，由此得到的组合数可表示对应路线的方法数． 9．AB 【分析】根据线面平行的性质可知，由此可得A正确；根据线面平行的判定定理可得B正确；对于C，运用反证法即可排除；对于D，根据条件从线面有公共点即可排除. 【详解】对于A，平面，平面平面，平面， ， 四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，， 平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 10．AC 【分析】由扇形的面积公式即可判断A，由函数的奇偶性即可判断B，由充分条件以及必要条件的定义即可判断C，由函数零点的定义即可判断D 【详解】因为扇形的半径为2，圆心角的弧度数为， 由扇形的面积公式可得，故A正确； 函数，则， 令，则为奇函数， 则，则， 即，所以，故B错误； 由可得，由可得，即， 则是的必要不充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 令，可得， 即，显然，所以方程有两个不同实根， 所以函数有两个零点，故D错误； 故选：AC. 11．ABC 【分析】根据题目条件可以求出焦点坐标与渐近线方程，对于A选项运用点到直线的距离公式求出结果；对于B选项运用双曲线的定义与切线长定理，求出内切圆与的坐标点，再运用内切圆的圆心在角平分线上求出结果；对于C选项，设点P的坐标，求出的长度，运用点P在双曲线上求出结果；对于D选项，取右顶点讨论. 【详解】对于A选项，由题意可知， 则渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离等于， 同理到渐近线的距离为； 对于B选项，设的内切圆与三边分别切于点， 根据切线长定理得 则 ， 又因为，解得，故G点坐标为，因为三角形的内切圆的圆心与切点G的连线垂直于x轴上，故横坐标与G点相同，故B选项正确； 对于C选项，设点，则，即， 点P到的距离， 同理点P到的距离， 则， 故C选项正确；    对于D选项，当点P与右顶点重合时， ，故当点P越接近右顶点时，的值就越接近2该值小于6，故D选项错误.    12． 【分析】利用二项展开式的通项公式，求出系数. 【详解】展开式的通项． 令，得， 则． 13．/0.96 【分析】利用二倍角公式和化弦为切，得到，再代入求值即可. 【详解】， 因为，所以. 故答案为： 14． 【分析】利用菱形的特点建立平面直角坐标系，再写出点的坐标，最后利用数量积的坐标运算即可求出答案. 【详解】由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，   为菱形，设菱形的边长为，又， ，，，， 是的中点，，， ，即， 菱形的边长为， 故答案为：. 15．(1)， (2)4 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 16．(1)证明如下： 在三棱锥中，是等边三角形，是的中点，则， 由，得≌，则，， 而平面，因此平面，平面， 所以. (2). 【分析】（1）利用等边三角形及全等三角形性质，结合线面垂直的判定、性质推理即得. （2）由面面垂直的性质结合（1）可得两两垂直，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，平面平面，平面平面， 平面，则平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 因此， 所以直线与平面所成角的余弦值是. 17．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由题意可知，这是一个条件概率，先求有两人过关的概率，再利用条件概率求解即可. （2）根据题意的所有可能取值为，根据题意，逐一求出相应的概率即可得到分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）记甲､乙､丙三人过关分别为事件，记三人中恰有两人过关为事件 则 ， 又 ， 所以， 故若有两人过关，丙过关的概率为. （2）由题意可知，的所有可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 故， 即的数学期望为. 18．(1)，． (2) (3) 【分析】(1)可设双曲线的方程为,代入可得标准方程，即可求离心率； 注：常见双曲线方程的设法 渐近线为的双曲线方程可设为；如果两条渐近线的方程为，那么双曲线的方程可设为． 与双曲线或共渐近线的双曲线方程可设为或． 与双曲线离心率相等的双曲线方程可设为或，这是因为由离心率不能确定焦点位置． 与椭圆共焦点的双曲线方程可设为． (2)由(1)的结果可得焦点与渐近线方程，由点到直线的距离公式可得结果； (3)联立直线与曲线方程，结合韦达定理可求. 【详解】（1）因为双曲线与有相同的渐近线， 所以可设双曲线的方程为， 将代入，得，得， 故双曲线的方程为，所以，故离心率． （2）由（1）可知，的焦点为，渐近线方程为， 故的焦点到其渐近线的距离． （3）联立直线AB与双曲线的方程，得 整理得，． 设，则AB的中点坐标为， 由根与系数的关系得，， 所以AB的中点坐标为． 又点在圆上，所以，所以． 19．(1) (2)（i）证明：由题意知，，故， 构造函数， 则， 当时，均单调递增，所以函数在上单调递增， 而，则在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 即， 当时， ， 综上所述， 恒成立，即； （ii）不存在，在数列中不存在连续三项构成等差数列.理由如下： ，则，， 设，即，可得， 因为在上单调递增， 对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又是递增数列，故. 假设数列中存在连续三项构成等差数列，则， 故， 整理得，该方程无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等差数列. 【分析】（1）将已知不等式分离参数，转化成a大于等于一个函数，求出这个函数的最大值即可； （2）（i）将求出，再构造一个函数，求出这个函数在的n的取值范围的最小值是否大于等于0；（ii）将求出，并假设存在连续三项构成等差数列，看是否能求出具体值. 【详解】（1）对，都有恒成立， 即，， 所以，， 所以，. 令，，即，， 令，，则. 当时，，单调递增， 所以当时，， 所以当时，，单调递增， 所以当时，. 所以， 综上，实数的取值范围为. （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $