湖南株洲市第一中学2026-2027学年高三上学期入学质量检测数学试卷

2026年下期高三入学质量检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.已知集合A={-1,0,1,2,3}, 则A∩B= A.{-1} B.{0,1,2 C.,2 D.{L,2,3} 2.数据1,2,4,5,7,9的第60百分位数为 A.4 B.5 C.6 D.7 3.复数z=2-3i在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.平面向量=(1,0)，6= 2’2 则e+2e,与-3e+e的夹角为 A.45° B.60° C.120° D.135o 5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=20,S2=5,则a,+a。+a,+a= A.75 B.150 C.180 D.210 6.已知x=3是函数f(x)=x(x-a)的极小值点，则 A.f(x)-f(-x)=0 B.f(1+x)-f(1-x)=0 C.f(2+x)-f(2-x)=2 D.f(2+x)+f(2-x)=4 7.已知正方体ABCD-AB,C,D,的8个顶点都在球O的球面上，且过A,B,C三点的平 面截球O所得截面面积为8π，则球O的体积为 A.18元 B.24π C.36π D.72π 8.从如图所示的4×4方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 则事件“选中方格中的4个数之和为-1"的概率为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 数学试题卷第1页共4页 A名 88 c.2 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，E为棱BB的中点，G为棱B,C上一点（含 端点)，则 A.AE∥平面ACD B.直线AE,AB,DG可能相交于同一点 C.平面AEC与平面DAG可能平行 D.正方体表面上满足EA.EP=EC.EP的动点P的轨迹长度为2+2√2 10.设函数f(x)的定义域为R,定义g(x)=(x-1)f(x),h(x)=f(x)+2x.若g(x)为奇 函数，h(x)为偶函数，则下列说法正确的是 A.f(1)=0 B.f(x)的解析式为f(x)=-2x(x+1) C.1冈在区间-1上单调递增 D.f()的最大值为) 1.设F为汉电线C:号茶-1（口>0,6>0）的左焦点，经过原点且斜率大于0的直 线I交C于A,B两点，AF与x轴垂直，∠AFB= 4,则 A. B.双曲线C的渐近线方程为y=±√2x C,双曲线C的离心率为1+√2 D.直线1的斜率为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知C?=C,则(3x-1)“的展开式中x的系数为 13.求值： cos40°(2cos20°-cos40°) cos10 14.已知△ABC三个内角A,B,C的对边a,b,c依次成等比数列，且b=2, cos(4-C)=)+cosB,点T为线段AB(不含端点)上的动点，设1为常数，若满足 8TB·TC+t2-t=0的点T恰好有2个，则实数t的取值范围为一 数学试题卷第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且满足： sin24=sin2 B+sin2C+ 2v -sin Asin Bsin C. 3 (1)求角A的大小； (2)若b=2,c=3,角A的角平分线交BC于点P,求AP的长度. 16(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=1,BC=2,∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD, AD⊥CD. (1)求证：PB⊥AC; (2)若PA=5,且二面角A-PC-D的大小为45°， (i)求直线PB与平面ABCD所成角的大小； (i)求AD的长. 17.(15分)某科技公司正在研发一款新型量子计算芯片，该芯片的制造与测试流程分为三 个关键阶段：量子比特制备（第1阶段）、量子纠缠校准（第2阶段）和逻辑门操作验证（第 3阶段)，测试人员必须按顺序完成各阶段测试，且每个阶段的测试次数不限，只有当前阶 段测试通过后才能进入下一阶段.一旦通过第3阶段测试，即视为芯片合格并结束整个测试 流程.已知某工程师进行测试时，第1、2、3阶段单次测试通过的概率分别为；，号，} 且每次测试相互独立.记事件A,(n≥3)为“该工程师第n次测试后芯片合格”. (1)求P(4),P(A): (2)记"第k(2≤k≤n-1)次测试后恰好通过量子纠缠校准测试为事件B,记"第k+1至n-1次 进行逻辑门操作验证测试没有通过且第n次通过"为事件Ck+1,求P(B),P(Ck+)并求 P(A)的表达式： (3)比较P(B A)与P(AnBn)的大小. 数学试题卷第3页共4页 18.(17分) 已知双建线r:y-于1，过点o)的直线与r的上、下两支分别交于点M,N (I)若点P是「上的动点，求PB的最小值； (2)设O为坐标原点，直线OM,ON的斜率分别为k,k2, )若下+=0，求直线的方程； 1,1 (们）求名十+的取值范围. 19.(17分) 已知函数f(x)=(a-x)lnx(a∈R). (1)当a=0时，求f(x)在(1，f)处的切线方程； (2)若函数f(x)存在单调递增区间，求实数a的取值范围； (3)若a>0,beR,对任意的x>0,f(x)≤a+b恒成立，求b-2a的最小值. 数学试题卷第4页共4页 2026年下期高三入学质量检测 数学参考答案 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D Q D B BD BCD ACD 1.C【详解】不等式x-3 <0解得0<x<3,则B={x0<x<3}, 又A={-1,0,1,2,3},所以A∩B={1,23. 2.B【详解】易知共6个数据，且6×60%=3.6， 因此第60百分位数取第四个数即可，即为5. 3.D【详解】因为z=2-3i在复平面内对应的点为Z(2,-3),位于第四象限， 所以复数z=2-3i在复平面内对应的点位于第四象限， 4.C【详解】因为6=(1,0)，g= 13 所以g+2g,=(2,3),-3g+6- 55 2’2 22 (6+28)(-38+8) 设g+2e2与-3e+e,的夹角为0，则0∈[0，，所以cos0= e +2 -3e +e 所以0=120°. 5.C【详解】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,设等比数列{an}的公比为9， 根据等比数列{an}的前n项和的性质，S2,S4-S2,S6-S4,Sg-S等构成一个公比为g 的等比数列， 已知8=20,9=5，则8，-S=20-5=15,所以g2-88-15-3 S25 所以S6-S4=q2(S4-S2)=3×15=45,即a+a6=45, Sg-S%=q(S6-S4)=3×45=135,即a,+a=135, 因此a,+a6+a,+a=45+135=180,故C正确， 6.D【详解】由题f'(x)=(x-a+x·2(x-a)=(x-a[(x-a)+2x]=(x-a)3x-a), 令f)=0,解得x=ax=号 因为x=3是极小值点， 所以当a=3时，x=3是极小值点，x=1是极大值点成立， 当号=3a=9时，x=3是极大值点，x=9是极小值点，舍去， 所以f(x)=x(x-3)2, 对于A,f(1)=1×4=4,f(-1)=-1×(-16)=-16, 所以f(1)-f(1)≠0，故A不正确； 对于B,令x=1,则f(2)=2×1=2,f(0)=0×9=0, 所以f(2)-f(0)≠0，故B不正确； 对于C,令x=2,f(4)=4×1=4,f0)=0, 所以f(4)-f(0)≠2，故C不正确； 对于D,f(2+x)=(2+x)(x-1)2=(2+x)(x2-2x+1=x2-3x+2, f(2-x)=(2-x)(-x-1)=(2-x)(x2+2x+1=-x3+3x+2, 所以f(2+x)+f(2-x)=4,故D正确. 7.C【详解】设截面圆半径为r,由截面面积πr2=8π，解得r=22, 设正方体棱长为a,由正方体棱长关系可得4B=BC=C4=V2+d=V2a, 即a48C是等边三角形，由正弦定理可得其外接圆半径r- 3 故20-22，解得a=25, 3 设正方体外接球半径为R,则其直径2R等于正方体对角线，即 2R=V5a,解得R=5a-5x25-3, 2 2 球的体积为V=4, 3π×3-36元. 2 8.B【详解】从第一行选出一个方格，有4种选法，再从剩下的3行中选取一个与第一个 方格不同列的方格，有3种选法， 然后从剩下2行中选取1个与前2个方格不同列的方格，有2种选法，最后剩下一种， 则符合要求的选取4个方格的情况数为4×3×2×1=24种. 又由题可得当“选中方格中的4个数之和为-1"时，方格中的数字只能为0,0,0，-1， 则从第三行选定-1后， 若第一行选取第一个0，则第二行只能选取第4个0，第四行只能选取第3个0； 若第一行选取第三个0，则第二行只能选取第1个0，第四行只能选取第4个0； 若第一行选取第四个0，则第二行只能选取第1个0，第四行只能选取第3个0. 31 综上“选中方格中的4个数之和为-1"的情况数为3，则对应概率为 248 9.BD 【详解】 ZA E D立 对于A,连接CB,AB,易证平面ACB∥平面AC,D,AEd平面ACB, 故AE不平行于平面ACD,故A错误； 对于B,连接AE,并延长交AB,的延长线于点F,连接D,F交CB,于点G,故B正确； 对于c,如图：建立空间直角坐标系，则40,0，E0,C山， Da,.40o.ctmo.0≤m≤，E-L0-》4c=Loj, i·AE=0 设平面AEC的法向量为方=(x,y,z),则 nAC=0 即 220 ,取z=2,则i=(（1,-1,2): x+y=0 n.4D=0 若平面AEC与平面DA,G平行，则 n4G=0' 3 而4，D=(01,1),i·4D=-1+2=1,显然不成立， 故平面AEC与平面DA,G不可能平行，C错误； 选项D,由EAEP=ECEP得EP.(EA-EC=0,:E.CA=0,即EP⊥CA, 而AC⊥平面BB,D,D,所以点P的轨迹为矩形BB,D,D的四条边， 所以动点P的轨迹长度为2+2√2，故D正确 10.BCD【详解】g(x)为奇函数，g(x)=(x-1)f(x), g(-x)=-g(x),即(-x-l)f(-x)=(1-x)f(x); h(x)为偶函数，h(x)=f(x)+2x, h(-x)=h(x),即f(-x)-2x=f(x)+2x. r刊，得-2+. 联立 f(-x)-2x=f(x)+2x 2+0244小+月 故f()是一个二次函数，其二次项系数-2<0，函数图象开和向下，对称轴为x=- 2 “心)在%》上单调递跑，在（分上单调递减 对于A,f()=-2×1x(1+1)=-4≠0，故A错误； 对于B,f(x)=-2x(x+1),故B正确： 对于c,由/(<在m》上单调递增，且(-1习)(》f在区间-L- 上单调递增，故C正确； 对于0，=-2++片，三次项系数2<0，得=时.f取得显大值，此 时f(),故D正确， [x2 y2 [x=-c x=-c 11.ACD 【详解】对于A,由云户1 x=-c 得=或 b2, y a a 4 所以外艺，故A正稳 对于B,设双曲线的右焦点为F',连接BF',AF', 因为F,F'关于原点对称，A,B也关于原点对称， 所以四边形AFBF'为平行四边形， 且∠BFF'=∠BFM--3江-- 2=424' 所以△BFF'为等腰直角三角形， 所以FF'HBF'HAFI, 即2c=bb ,C= a 2a 4a2, 所以a2+62= 4证，整理得2d+6=V26, b22 所以22- =22+),所以2=2N2+0, b 所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±√2(W2+)x,故B错误； a nB-2=22+0), 对于c,由B可知2 所以b2=2(N2+1)a2, 所以c2=a2+b2=2(N2+1)a2+a2=(2v2+3)a2=(N2+)2a2, 所以c=(V2+1)a, 所以双曲线的离心率e=C=V2+1,故C正确； a b2 对于D,因为am∠BOF-BF1-a=2, OF c 即直线1的斜率为2，故D正确. 5 12.-18 【详解】：C%=C4,·2+4=n,即n=6, 则(3x-1)的展开式T1=Cg(3x)(-1=(-I)3-Cgx-, 令6-r=1,则r=5,.T。=(-1)336-5C%x6-5=-3×6x=-18x, ∴(3x-1)”的展开式中x的系数为-18. 13.3 【详解】 cos40°(2c0s20°-cos40°) cos40°(cos20°+cos20°-cos40) 2 cos10 cos109 c0s40° cos20°-2sin sin20°-400 20°+40° 2 2 cos40°[cos20°-2sin30°sin(-10)] cos109 cos10° cos40(cos20°+sin10）cos40°(cos20°+cos80) cos10° cos10° 20°+80° 20°-80° c0s40°2c0s 2 -cos 2 2cos40°c0s50°c0s(-30°) cos10° cos10° V3cos40°cos50°-V3.2cos40°sin40°-V3.sin80°-V3.cos10°-3 cos10° 2 cosI0° 2cos10°2cos10°2 14.（-1,0)U1,2)【详解】因为三边a,b,c成等比数列，b=2,故b2=ac=4, 由正弦定理得， sin Asin Csinsin Asin C=sinB ac b2 又os(4-C)=2+osB,4+B+C=元，cosB=-cos(4+q, 所以cos(4-C+c(4+C)-,整理得2oa4coC-,所以eos4casC- 4 s(C)coc0sC-sin/sinCsin 所以-cosB=-1-cos2A),整理得cS2B+6sB-3=0, 4 解得cosB-)(舍去负根)，又0<B<元，故B= 2 3 所以cos(A-C)=。+cosB=1, 又A,C∈(0，π)，所以A-C∈(-π，π)，所以A-C-0,即A=C, 所以△ABC是边长为2的等边三角形，建立坐标系如图所示， 6 设B(0,0),A(2,0),C1,3,动点T(x,0)x∈(0,2).则TB=(-x,0),TC-(1-x,V5, TB.TC=-x(1-x)=x2-x, 因为8TB.TC+2-1=0,所以8x2-8x+2-t=0,记f(x)=8x2-8x+2-t, △>0 [64-32(t2-t0)>0 因为满足条件的点T怡好有2个，所以f(0)>0→2-1>0 f(2)>032-16+2-t>0 解得-1<t<0或1<1<2，所以t的取值范围是(-1,0)(1,2). 15. 【详解】(1)sin2A=sin2B+sin2c+2v5 sin Asin Bsin C 3 由正弦定理可得：42=+心2+23 则+c2-d、5 -sin 4. 2bc 3 由余弦定理，得coS4-+c2-d 2bc 所以cos1=-V 3 -sin 4, 故tanA=-√5， 又：A∈(0，π)，“A=2 (2）由S△MBc=SAAm+S△4Cr 可得AB4Csn12-AP-sin6+号riC血， 22 2 则4P=6 16.【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PA⊥AC, 又因为AB=1,BC=2,∠ABC=60°，所以AC=V1+22-2x1x2×cos60°=V3, 所以AB2+AC2=BC2,所以AC⊥AB, 又PAOAB=A,PA,ABC平面PAB,所以AC⊥平面PAB, 因为PBc平面PAB,所以PB⊥AC. (2)(i)因为PA⊥平面ABCD, 由线面角的定义知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成角的平面角. 7 又因为an∠PBA=4-V5,故线面所成角的大小为60°： AB (i)因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以PA⊥CD,又AD⊥CD,PAOAD=A,PA,ADC平面PAD,所以CD⊥平面PAD. 过A作垂线AH⊥PD,垂足为H, 又AH⊥CD,PD∩CD=D,PD,CDC平面PCD,所以AH⊥平面PCD. 过A作垂线AM⊥PC,垂足为M,则∠AMH为二面角A-PC-D的平面角. 故sin∠AMH=AH-V2 AM 2 因为PA=AC=5,所以PC=6,故AM=6 以AHS,又PA:D=PD:H,Pp=VPP+机 解得AD=1. H 84- 17. 详解】()依题意，)-古 事件A,发生分两种情况，当测试失败的情况发生在第三阶段概率为 2233' 由于前两个测试失败的概率相同，所以当测试失败的情况发生在前两个阶段概率为 1111 C×5×5×5×写 2223' 1121 (2)先求事件B的概率， 第k次测试后恰好通过量子纠缠校准测试，表示首次通过第一阶段的测试发生在第j次 (1≤j<k), 且首次通过第二阶段的测试发生在第k次，对所有可能的广求和得到 a--分 8 求事件A发生分两步： 第一步，第4(2≤太≤-小次测试后恰好通过量子纠维校准测试，服率为P(国)一。 第二步，第k+1次至n-1次进行逻辑门操作验证测试没有通过，第n次通过，概率为 r(C) 由全我率公或海，-门得-。 设s-(+2+-2,则-()+2目+*a-2 两式相减得， i- 所以s=9-4a+22),所以Pu)=3x'-+2” 3)依题意，P(B,)=”,又因为P(4)= P(B,4) P(4) ua)-Pa- P(B.) -3 所以6)P)=)-a+-a-=3-2-2, 令=3x(传)-2m-2,则Zm-7-()-2,因为n23. 所以Tn+1-Tn>0,故数列{Tn}在n≥3时递增， 又=3x-10<0,飞=3x-12>0,故当a=2,3,4时，(4()<0， 故P(BlAn+)>P(A+Bn),当n≥5时，P(4)-P(Bn)>0,故P(BAn)<P(4nB). 18.【详解】(1)设P(6%),则=1+云 4 9 所以s=-+-g6e。 即当6-时，1P8L=0 30 (2)如图： 设1：x=m+1与C-若-1联立，有4-my-2测-5=0， 由△=80-16m2>0,得m∈(-V5,V5), -5 MGy,N5,则+422,44<0 得m∈(-2,2)， 2m 1+=五+=2m+1+1=2m++2=2m+4-=2m- 2 8 则衣k片为 yiy2 yiy2 一5 5, m 5 4-m2 当+号0时，用=0，直线的方程为=1： (i)因为直线OM,ON存在斜率，所以m≠±1， 故m∈(-2，-1)(-1,1)u(1,2）), 》g9. 即安的取值范国(5-引（号》修9） 1,1 19.【详解】(1)当a=0时，f(x)=-xnx,故f'(x)=-hx-1, 所以'(=-1，又因为f(1)=0, 所以切线方程是y=-x+1. (2)由题意得f()=-nx+2-1, 10 若f(x)不存在单调增区间，则-lx+a-1≤0恒成立(*)， 即a≤x+xlnr恒成立，令g(x)=x+xlnx,g'(x)=2+lnx, 所以，当0<x<2时g小0，当>。是时g(>0, 所以8（创在）递减，在仁+o运猫， 所以g(x)=g(e2）=-e2,所以a≤-e2, (经检验当a=-e2时，(*)式成立)， 因此函数f(x)存在单调递增区间，可知a>-e2; 可知所求实数a的取值范围是a∈(-e2,+∞）. (3)由(2)知，f(x)=-x+a-1,令m(x)=-lnx+0-1, x 所以)=士是<0，即m在包+m)上单调递减， 又因为mle)=i+ae>0,me）a+。-1<0, 所以必存在正数，使得m(x)=-,+a-1=0, 故a=x(1+lnxo), 电a)知，当（时，a<0,当%时，a-0,当%+时，a>0, 由上知，f(x)在(0，x)上单调递增，在(x,+o)上单调递减， 所以f(x)x=f()=(a-x)ln,所以a+b≥(a-x)n, 即b-2a≥(a-xo)nx-3a=x,(lnx)2-3xlnx。-3x, 令=了-3hr-3x). 因为h'(x)=(lnx'-lnx-6=(nx-3)(lnx+2), 所以当x∈(e,c)时，h(x)单调递减，x∈(e,+o)时，h(x)单调递增， 所以h(x=h(c)=-3e3, 因此b-2a的最小值为-3e3. 11