25.1一元二次方程的概念导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的概念，涵盖定义、一般形式及根的含义。课堂导入通过矩形折盒和排球单循环比赛的实际情境，引导学生从现实问题中抽象方程，以填空和思考为支架衔接一元一次方程知识，帮助构建新知。 导学案以学生自学与合作探究为主，通过易错警示明确判定要点，分层作业满足不同学习需求。结合中考真题的例题与自测，强化模型意识，培养抽象能力和推理思维，助力学生用数学语言表达现实问题，提升学习效率与应用能力。

25.1 一元二次方程的概念 导学案解析版 【学习目标】 1. 理解一元二次方程定义，掌握三大判定条件；熟记一元二次方程一般形式，能识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 2. 理解一元二次方程根（解）的含义，会检验数值是否为方程的根。 3. 能把整式方程整理成一元二次方程一般形式，会从实际情境列出一元二次方程。 4. 体会类比、数学建模思想，区分一元二次方程与一元一次方程。 学习重点：一元二次方程定义；一般形式掌握一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)；根的检验。 学习难点：理解a≠0 的意义；化简较为复杂整式方程；实际问题建立方程模型。 【学生自学】 （阅读教材 P2 3，完成填空） 一、情境引入 1. 矩形铁皮长100cm，宽50cm，四角切去边长为x cm 正方形，折无盖盒子，底面积 3600cm²。 列方程：(100‑2x)(50‑2x)=3600；化成一般形式：x²‑75x+350=0。 2. 排球邀请赛单循环，共 28 场，设x支球队，列方程：1/2 x (x‑1)=28； 化成一般形式：x²‑x‑56=0。 2、 知识点学习 1. 一元二次方程定义 只含有 1 个未知数；未知数最高次数是 2；等号两边都是整式，这样的方程叫做一元二次方程。 三大特征：①只含有一个未知数（一元）；②未知数最高次数为 2（二次）；③是整式方程。 2. 一元二次方程一般形式 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0） · 二次项：ax²；二次项系数：a； · 一次项：bx；一次项系数：b； · 常数项：c。 思考：为什么规定 a≠0？ 答：若 a=0，二次项消失，方程变为 bx+c=0，是一元一次方程，不再是一元二次方程。 提示：(b、c) 可以等于 0。 思考：为什么规定\(a≠0)？ 提示：(b、c)可以等于0。 3.一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 检验方法：把数值代入方程左右两边，看两边数值是否相等。 3、 例题自学 例1. 已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 解：由题意可知：|m|+1=2，且m-1≠0，所以m=-1 例2. 把3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，写出各项系数。 解：去括号，得 3x²‑3x=5x+10 移项合并，得一般形式：3x²‑8x‑10=0 二次项系数：3，一次项系数：‑8，常数项：‑10。 四、自学小测 1.（2026・广西柳州一模）D 解析：A 含两个未知数；B 根式方程；C 分式方程；D 满足一元二次方程全部条件。 2.（2025・四川绵阳一诊）一元二次方程 2x²‑5x‑4=0， 二次项系数 2，一次项系数‑5，常数项‑4。 【合作学习】（讨论交流） 1. 判断一元二次方程，要不要先化简方程？分式方程、根式方程能不能是一元二次方程？ 参考答案：判断一元二次方程必须先化简；分式方程、根式方程不属于整式方程，一定不是一元二次方程。 2.ax²+bx+c=0，若 a=0，方程变成什么？还是一元二次方程吗？ 参考答案：方程变为 bx+c=0，是一元一次方程，不是一元二次方程。 3.检验一个数是不是一元二次方程根的步骤： 参考答案：①把该数代入方程左边计算；②把该数代入方程右边计算；③比较左右两边结果，结果相等则是方程的根，不相等则不是。 小组讨论疑问记录： 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔易错警示 1. 找系数时，必须带上正负号； 2. 判定一元二次方程，看化简之后的方程； 3. 参数题：一元二次方程，优先保证二次项系数 a≠0； 4. 实际问题求出的根，要检验是否符合现实意义。 【总结提升】 1. 一元二次方程三要素：一元、二次、整式方程。 2.一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。 3. 根定义：使方程左右两边相等的未知数的值。 4.思想方法：类比一元一次方程；实际问题转化为一元二次方程模型。 【课内自测】（课堂完成） 1. 将下列方程化成一元二次方程一般形式，并写出二次项系数、一次项系数、常数项。 (1) 5x²‑1=4x 解：整理得 5x²‑4x‑1=0；二次项系数 5，一次项系数‑4，常数项‑1。 (2) 4x (x+2)=25 解：去括号 4x²+8x=25，整理得 4x²+8x‑25=0； 二次项系数 4，一次项系数 8，常数项‑25。 2.（2025・青海中考）若 x=2 是一元二次方程 x²‑cx=0 的一个根，则 c=2。 解析：将 x=2 代入，2²‑2c=0，解得 c=2。 3.（2026・湖北模拟）关于 x 的方程 (m‑3) x²+2x‑1=0 是一元二次方程，则 m 满足条件 m≠3。 4. 判断‑4、‑3、2、3 哪些是方程 x²+x‑12=0 的根，写出检验过程。 解：把 x=‑4 代入：左边 =(‑4)²+(‑4)‑12=16‑4‑12=0 = 右边，‑4 是方程的根； 把 x=‑3 代入：左边 =(‑3)²+(‑3)‑12=9‑3‑12=‑6≠0，不是根； 把 x=2 代入：左边 = 2²+2‑12=4+2‑12=‑6≠0，不是根； 把 x=3 代入：左边 = 3²+3‑12=9+3‑12=0 = 右边，3 是方程的根。 综上：方程的根是‑4、3。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1.（2025・四川广元一诊）下列是一元二次方程的是（B） 解析：A 有两个未知数；C 是分式方程；D 化简后为一元一次方程。 2. 一个矩形长比宽多 2，面积是 100，设宽为 x，列出一元二次方程，并化为一般形式。 解：长为 (x+2)，列方程：x (x+2)=100；一般形式：x²+2x‑100=0。 B 组【能力提升・选做】 3.（2025・陕西咸阳期末）已知 x=1 是方程 x²+kx‑2=0 的根，则 k=1。 解析：代入 x=1，1+k‑2=0，解得 k=1。 4. 如果 2 是方程 x²‑c=0 的一个根，求 c，并求另一个根。 解：把 x=2 代入方程：2²‑c=0，得 c=4； 方程为 x²‑4=0，另一个根：x=‑2。 C 组【拓广探索・培优】 5.（南宋杨辉古题改编）矩形面积 864 步，宽比长少 12 步，设长为 x 步，列方程并化为一般形式。 解：宽为 (x‑12)，列方程：x (x‑12)=864；一般形式：x²‑12x‑864=0。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1 一元二次方程的概念 导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 理解一元二次方程定义，掌握三大判定条件；熟记一元二次方程一般形式，能识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 2. 理解一元二次方程根（解）的含义，会检验数值是否为方程的根。 3. 能把整式方程整理成一元二次方程一般形式，会从实际情境列出一元二次方程。 4. 体会类比、数学建模思想，区分一元二次方程与一元一次方程。 学习重点：一元二次方程定义；一般形式掌握一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)；根的检验。 学习难点：理解a≠0 的意义；化简较为复杂整式方程；实际问题建立方程模型。 【学生自学】 （阅读教材 P2 3，完成填空） 一、情境引入 1. 矩形铁皮长100cm，宽50cm，四角切去边长为x cm 正方形，折无盖盒子，底面积 3600cm²。 列方程： ；化成一般形式： 。 2. 排球邀请赛单循环，共 28 场，设x支球队，列方程： ；化成一般形式： 。 2、 知识点学习 1.一元二次方程定义 只含有____个未知数；未知数最高次数是____；等号两边都是____，这样的方程叫做一元二次方程。 三大特征：①_____________；②___________；③_____________。 2.一元二次方程一般形式 一般形式： (a≠0) · 二次项：__________；二次项系数：_______； · 一次项：_________；一次项系数：_______； · 常数项：___________。 思考：为什么规定\(a≠0)？ 提示：(b、c)可以等于0。 3.一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边________的________，叫做一元二次方程的解，也叫根。 检验方法：把数值代入方程左右两边，看两边数 是否 。 3、 例题自学 例1. 已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 例2. 把3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，写出各项系数。 解：去括号，得________________________________ 移项合并，得一般形式：________________________ 二次项系数： ，一次项系数： ，常数项：____。 四、自学小测 1.（2026・广西柳州一模）下列方程是一元二次方程的是（） A. 3x+2y-1=0 B. = 0 　C.+2x+6=0　 D.x2-1=0 2.（2025・四川绵阳一诊）一元二次方程2x2-5x-4=0，二次项系数____，一次项系数____，常数项____。 【合作学习】（讨论交流，写下要点） 1. 判断一元二次方程，要不要先化简方程？分式方程、根式方程能不能是一元二次方程？ 2. ax²+bx+c=0 若\(a=0)，方程变成什么？还是一元二次方程吗？ 3. 检验一个数是不是一元二次方程根的步骤： 小组讨论疑问记录： 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔易错警示 1. 找系数时，必须 ； 2. 判定一元二次方程，看 之后的方程； 3. 参数题：一元二次方程，优先保证 ； 4. 实际问题求出的根，要检验是否符合现实意义。 【总结提升】 1. 一元二次方程三要素： 、 、___________。 2. 一般形式： （ ）。 3. 根定义：使方程左右两边________的未知数的值。 4. 思想方法：类比________方程；实际问题转化为________________模型。 【课内自测】（课堂完成） 1. 将下列方程化成一元二次方程一般形式，并写出二次项系数、一次项系数、常数项。 (1)5x2-1=4x (2 ) 4x(x+2)=25 2.（2025・青海中考）若x=2是一元二次方程x2cx =0的一个根，则c=_______。 3.（2026・湖北模拟）关于x的方程(m3)x2+2x1=0是一元二次方程，则m满足条件________。 4. 判断-4、-3、2、3哪些是方程x2+x12=0的根，写出检验过程。 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1. （2025・四川广元一诊）下列是一元二次方程的是（） A. x2+3x+2y=0 B.x2=4 C.x2+ 1=0 　D.(x+1)(x+3)=x21 2.一个矩形长比宽多2，面积是 100，设宽为x，列出一元二次方程，并化为一般形式。 B 组【能力提升・选做】 3.（2025・陕西咸阳期末）已知x=1是方程x2+kx2=0的根，则k=________。 4.如果 2 是方程x2c=0的一个根，求c，并求另一个根。 C 组【拓广探索・培优】 5.（南宋杨辉古题改编）矩形面积 864 步，宽比长少 12 步，设长为x步，列方程并化为一般形式。 学科网（北京）股份有限公司 $