专题03 三角形中角度计算常考几何模型12大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以三角形内角和与外角定理为基础，系统整合12类角度计算模型，通过“原理-模型-变式”递进设计，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础关系|4题型/4典例|内角和、外角定理、方程思想|从基本定理到倍角关系，构建角度计算底层逻辑| |几何模型|5题型/5典例|8字/A字/飞镖等模型推导|模型结论源于内角和，强调推导过程而非直接套用| |综合应用|3题型/3典例|角平分线组合、折叠转化|内外角平分线模型深化定理应用，折叠问题体现空间观念|

专题03 三角形中角度计算常考几何模型 （题型突破·举一反三） 题型01 根据三角形内角和关系求解 题型02 根据倍角关系求解 题型03 利用三角形的外角定理求解 题型04 8字模型 题型05 A字模型 题型06 高分线模型 题型07 飞镖模型 题型08 角平分线+内角和模型 题型09 三角形双内角角平分线模型 题型10 三角形双外角角平分线模型 题型11 三角形一内一外角平分线模型 题型12 折叠三角形求角度 ▌题型01 根据三角形内角和关系求解 解题利用三角形内角和为180°，外角等于不相邻两内角之和。遇到角度倍数、比例，多用方程思想设未知数。角平分线、高线题型，结合角的和差推导。牢记 8 字、飞镖模型结论，解答题不可直接套用，要由内角和、外角定理推导。注意图形隐藏条件，计算后检验角度和是否为180°。 【典例】（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，在中，平分，交于点，若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若，则________． 【变式2】（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，于，于，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． ▌题型02 根据倍角关系求解 遇到倍角关系求角度，优先用方程思想，设较小角为x，其余角用含x代数式表示。结合三角形内角和180度或外角定理列等式求解。看清倍数、和差条件，分清谁是谁的几倍。求出后代回检验，各角度要符合图形实际，避免出现大于180°的错误结果。 【典例】（25-26七年级下·上海金山·期末）规定：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形称为“倍角三角形”．如果是“倍角三角形”，且，那么的度数不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2025八年级上·重庆九龙坡·专题练习）已知有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，且，则这个三角形的最大内角度数为______． 【变式2】（25-26九年级上·重庆渝北·阶段检测）如图，中，，．若比的3倍还多，则的度数为___________． 【变式3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为______． (2)如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点画射线交线段于点（点不与点、点重合）．若是“优雅三角形”，求的度数． ▌题型03 利用三角形的外角定理求解 利用三角形外角定理解题，牢记外角等于不相邻两个内角之和。看清外角位置，区分相邻与不相邻内角，结合内角和综合分析。遇到倍角、角平分线条件，可用方程设元列式。解答题不能直接看图得角，要书写推理依据，算出角度后检验，注意外角一定大于任意一个不相邻内角。 【典例】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，O是的三条角平分线的交点，，垂足为G．若，则______． 【变式2】（2025八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，在中，，是的高． （1）若，则________； （2）若，则________． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料并解答问题： 定义：如果两个角的差是30度，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如，，，则，互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知与互为“黄金角”，且，若与互余，则为________°． (2)如图，在中，，过点作的平行线，作的平分线，分别交、于、两点． ①若，且与互为“黄金角”，则的度数为________． ②如图，若为的边上的高，垂足为，，判断与是否互为“黄金角”，请说明理由． ▌题型04 8字模型 8 字模型核心结论：对顶三角形中，∠A+∠B=∠C+∠D。解题依靠三角形内角和与对顶角相等推导，解答题不可直接写结论，要写出推导过程。遇到角平分线、倍角条件可结合方程求解，找准两组对顶三角形，识别隐藏 8 字图形，计算完成后检验角度关系是否合理。 【典例】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示的是商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图所示，，则的度数为__度． 【变式2】（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论． (1)【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数； (2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）． (3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和． ▌题型05 A字模型 【典例】（25-26六年级下·山东济南·期末）如图，将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，是边上的高，过点作交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． ▌题型06 高分线模型 【典例】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，是高，是角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． (1)①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点 ； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹） (2)如图3，在中，，平分，过点作于点． ①若，则 ； ②请写出与，之间的数量关系 ，并说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； ▌题型07 飞镖模型 【典例】（25-26七年级下·四川内江·期中）如图①，有结论：，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作和的平分线交于点，易得，如图③，在飞镖模型中作靠的三等分线，作靠的三等分线，两条三等分线交于点，……，依次方法，在飞镖模型中作靠的n等分线，作靠的n等分线，两条n等分线交于一点，则_____．    【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）四条线段、、、首尾顺次相接，组成以下图形，填空： (1)当点、、三点共线时，如图①，__________°；    (2)当点、、三点不共线时， ①如图②（“飞镖”形），与、、之间的数量关系是__________，并说明理由； ②如图③，__________； (3)当点在线段上时，如图④，与、之间的数量关系是_____； (4)当线段与相交时，如图⑤（“8字”形），、与、之间的数量关系是__________． ∵，， ∴，， ∴； 【变式2】（25-26七年级下·重庆渝中·期末）如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，如果，，则____．      【变式3】（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在中，，即， 在中，， 方法二：如图③，连接并延长至点． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当，，时，的度数为_________． (3)拓展：如图④，，，求的度数． ▌题型08 角平分线+内角和模型 【典例】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，在中，、分别是的高和角平分线，，． (1)若，，求的度数； (2)试用、的代数式表示的度数． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，为边上的高，为上一点，连结． (1)当时，若，的面积为，求的长； (2)当时，若，，求的度数． 【变式2】（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，则与的周长差为______； (2)若的面积为5，则的面积______； (3)当，时，求的度数． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，于点D，点E是线段上一点． (1)如图1，若平分，，，求的度数． (2)如图2，若是的中线，，的面积为5，求的长． ▌题型09 三角形双内角角平分线模型 【典例】（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，点O在内，是的平分线，是的平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，是的平分线，是的平分线，，相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，若，，则的度数为______    【变式3】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）问题情境： 如图1，在中，和的平分线交于点． (1)探索发现： 若，则的度数为________；若，则的度数为________． (2)猜想证明： 猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)拓展应用： 如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系． ▌题型10 三角形双外角角平分线模型 【典例】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，为直角三角形，，为的平分线，与的平分线交于点E，是的外角平分线，与相交于点G，则与的和为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为______ 【变式2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．则_________度．    【变式3】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． ▌题型11 三角形一内一外角平分线模型 【典例】（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为___________． 【变式2】（24-25八年级上·四川广元·期中）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点，写出与的数量关系，并说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·湖北·期末）如图，点A、B分别在射线上运动（不与点O重合）． (1)如图1，若的平分线交于点C，则_______； (2)如图2，若的平分线交于点C，则________； (3)如图2，若的外角的平分线交于点D，求与之间的数量关系，并求出的度数． ▌题型12 折叠三角形求角度 【典例】（24-25八年级上·山西阳泉·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 如图1，是直角三角形，，是过直角顶点的一条直线，直线，垂足为，直线，垂足为．试说明．          解：直线，垂足为， ． ．（依据：______） 点，，在同一条直线上， ． ， ______ ． 在这道题中，因为，所以这种模型也叫做“一线三等角”模型． 任务： (1)将上述解答过程中的空白部分补充完整． (2)在图1中，除了上面两个角相等、直角相等外，请你再写出一组相等的角． (3)如图2，是等边三角形，，直角三角形的顶点在边上，，，与交于点，与交于点，请写出图中所有除角及对顶角以外相等的角，并选择一组说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）探究： (1)如图①与有什么关系？为什么？ (2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）． (3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 【变式3】（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，一个等腰三角形纸片，其中． (1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点F处，是折痕，说明； (2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A落在四边形外部时（如图3），直接写出与，之间的数量关系． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形中角度计算常考几何模型 （题型突破·举一反三） 题型01 根据三角形内角和关系求解 题型02 根据倍角关系求解 题型03 利用三角形的外角定理求解 题型04 8字模型 题型05 A字模型 题型06 高分线模型 题型07 飞镖模型 题型08 角平分线+内角和模型 题型09 三角形双内角角平分线模型 题型10 三角形双外角角平分线模型 题型11 三角形一内一外角平分线模型 题型12 折叠三角形求角度 ▌题型01 根据三角形内角和关系求解 解题利用三角形内角和为180°，外角等于不相邻两内角之和。遇到角度倍数、比例，多用方程思想设未知数。角平分线、高线题型，结合角的和差推导。牢记 8 字、飞镖模型结论，解答题不可直接套用，要由内角和、外角定理推导。注意图形隐藏条件，计算后检验角度和是否为180°。 【典例】（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，在中，平分，交于点，若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若，则________． 【答案】/105度 【分析】由三角板可得，，，设与交于点，在中利用三角形内角和定理求出，利用对顶角相等求出，再在中利用三角形内角和定理求出，最后利用平角的定义即可求． 【详解】解：如图，设与交于点 由三角板得：，，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵点在上， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：如图，延长交于点H， 因为（已知），（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）； (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行证明，再证明，即可证明； （2）利用平行线的性质求得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，于，于，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）先证明，得出， 结合，得出，即可证明； （2）根据三角形内角和定理结合，求出，再结合，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在中，三角形内角和为，， ∴， ∵， ∴． ▌题型02 根据倍角关系求解 遇到倍角关系求角度，优先用方程思想，设较小角为x，其余角用含x代数式表示。结合三角形内角和180度或外角定理列等式求解。看清倍数、和差条件，分清谁是谁的几倍。求出后代回检验，各角度要符合图形实际，避免出现大于180°的错误结果。 【典例】（25-26七年级下·上海金山·期末）规定：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形称为“倍角三角形”．如果是“倍角三角形”，且，那么的度数不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“倍角三角形”的定义，结合三角形内角和为，逐个验证选项即可得出答案． 【详解】解：已知，由三角形内角和得，逐个验证选项： A、若，则，，符合倍角三角形定义，因此A可能，排除； B、若，则，，符合倍角三角形定义，因此B可能，排除； C、若，则，验证倍角关系：，三角形中不存在；，三角形中不存在，没有满足条件的倍角关系，因此不可能； D、若，则，，符合倍角三角形定义，因此D可能，排除． 【变式1】（2025八年级上·重庆九龙坡·专题练习）已知有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，且，则这个三角形的最大内角度数为______． 【答案】81或84 【分析】根据三角形内角和定理，分情况讨论满足“一个内角是另一个内角3倍”的所有情况，舍去不符合三角形内角和定理的情况，求解最大内角即可． 【详解】解：根据三角形内角和定理，的内角和为，已知，因此另外两个内角的和为，分情况讨论如下： 1．若，不符合三角形内角和定理，舍去该情况； 2．若，不符合三角形内角和定理，舍去该情况； 3．若，则，因此，此时三角形的最大内角为； 4．若，则，因此，此时三角形的最大内角为； 5．若，则，解得，，此时三角形的最大内角为； 6．若，则，解得，，此时三角形的最大内角为； 综上，这个三角形的最大内角度数为或，故答案为或． 【变式2】（25-26九年级上·重庆渝北·阶段检测）如图，中，，．若比的3倍还多，则的度数为___________． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．由可得，又，，从而求出，然后再代入即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 解得， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）阅读下列材料并解答问题： 在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)一个“优雅三角形”的一个内角为，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为______． (2)如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点画射线交线段于点（点不与点、点重合）．若是“优雅三角形”，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，邻补角的性质．新定义的应用，解题的关键是能对新定义的理解和运用． （1）结合“优雅三角形”的定义以及三角形的内角和性质列式计算，即可作答． （2）先证明，是“优雅三角形”，结合①当“优雅角”为；②当另两个角中有优雅角这两个情况，分别得出的度数为，的度数为，即可作答． 【详解】（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为，另两个角之和为：， “优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得： ， 故答案为：； （2）解：交于点， ， ∵点在线段上 ∴ ∵，是“优雅三角形”， ∴①当“优雅角”为时，另一个角为，则，的度数为， ②当另两个角中有“优雅角”时， 即另两个角之和为， 根据“优雅三角形”的定义， 设另两个角的小的角为，则另两个角的大的角为 则 ∴ 另两个角分别为：，， 若，则的度数为， 若，此时点与点重合， ∵点不与点、点重合，故应舍去 综上所述，的度数为或． ▌题型03 利用三角形的外角定理求解 利用三角形外角定理解题，牢记外角等于不相邻两个内角之和。看清外角位置，区分相邻与不相邻内角，结合内角和综合分析。遇到倍角、角平分线条件，可用方程设元列式。解答题不能直接看图得角，要书写推理依据，算出角度后检验，注意外角一定大于任意一个不相邻内角。 【典例】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，的外角平分线交射线于点在延长线上，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义求得的度数，利用邻补角的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，O是的三条角平分线的交点，，垂足为G．若，则______． 【答案】/度 【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的定义，利用三角形的外角性质表示出，再结合直角三角形两锐角互余表示出，从而发现． 【详解】解：是的三条角平分线的交点 平分，平分，平分 ，， 是的外角 ． 【变式2】（2025八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，在中，，是的高． （1）若，则________； （2）若，则________． 【答案】 【分析】（1）先求出，再根据三角形的内角和求出，进而根据是的外角，求出即可； （2）先求出，再根据三角形的内角和求出，进而根据是的外角，求出即可； 【详解】解：（1）∵，是的高， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴； （2）由（1）可得， ∵是的外角， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）阅读下列材料并解答问题： 定义：如果两个角的差是30度，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如，，，则，互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知与互为“黄金角”，且，若与互余，则为________°． (2)如图，在中，，过点作的平行线，作的平分线，分别交、于、两点． ①若，且与互为“黄金角”，则的度数为________． ②如图，若为的边上的高，垂足为，，判断与是否互为“黄金角”，请说明理由． 【答案】(1)60 (2)① ②解：是的黄金角，理由如下： 如图，为的边上的高，垂足为， ，， ， 平分， ， ． ， ， ， ， 为高， ， ， ， ， 即， 是的黄金角． 【分析】（1）根据“黄金角”的定义与互余的定义求解； （2）①根据三角形内角和为，将用表示出来，再根据角平分线与平行线的性质将用表示出来，最后利用“黄金角”的定义求解；②根据角平分线与平行线的性质将的度数求出来，根据三角形高的性质求解． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴，， ∵， 根据“黄金角”的定义得， ∴，解得． （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵与互为“黄金角”,且， ∴， 解得． ②略 ▌题型04 8字模型 8 字模型核心结论：对顶三角形中，∠A+∠B=∠C+∠D。解题依靠三角形内角和与对顶角相等推导，解答题不可直接写结论，要写出推导过程。遇到角平分线、倍角条件可结合方程求解，找准两组对顶三角形，识别隐藏 8 字图形，计算完成后检验角度关系是否合理。 【典例】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图所示的是商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得出，根据即可求解． 【详解】解：∵与地面平行，即， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图所示，，则的度数为__度． 【答案】250 【分析】设交于点G，交于点K，交于点H，根据三角形内角和定理以及邻补角的性质可得，，再由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点G，交于点K，交于点H， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1) 证明：中，，中，， ∵， ∴；，；；，理由见解析． (2) 解：以线段为边的“字型”有：和，和，和，共个； 以点为交点的“字型”有：和，和，和，和，共个； 故答案为：，； 和中，，和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ，理由如下： ∵，， ∴，，，， 在和中，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （）①根据“字型”的定义判断即可； 由（）结论可得和中，，和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； 根据，，得，，，，然后可得，，最后进行等量代换即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论． (1)【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数； (2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）． (3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键． （1）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可； （2）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解； （3）构造三角形，利用（2）中的结论可得结论． 【详解】（1）解：（1）由“8字型”可知，， ； （2）如图3：连接， 由（1）得：， ， ， 即五角星的五个内角之和为． （3）如图4，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点， 由（3）得， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ． ▌题型05 A字模型 【典例】（25-26六年级下·山东济南·期末）如图，将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，是边上的高，过点作交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可． （2）根据三角形高的性质，三角形内角和定理和直线平行性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ▌题型06 高分线模型 【典例】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，是高，是角平分线，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则由角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴，即， ∴， ∴ ． 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【答案】 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点． (1)①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点 ； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹） (2)如图3，在中，，平分，过点作于点． ①若，则 ； ②请写出与，之间的数量关系 ，并说明理由． 【答案】(1)①的三条高所在直线交于点A； ②如图2，延长、交于点，连接，延长交于点， (2)①， ②；理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了三角形的高、三角形的角平分线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点， 故答案为：； ② 略 （2）解：①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：； ② 略 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【答案】 习题回顾： 证明：平分， ， 是高， ， ， . ， ； 变式思考：相等，理由如下： 平分， ， ， ， 是高， ， ， ， ． 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 习题回顾：根据角平分线性质可得，根据对顶角相等可得，结合是边上的高， ，即可证明； 变式思考：根据角平分线性质可得，根据对顶角相等可得，再结合是边上的高， ，即可证明． 【详解】略 ▌题型07 飞镖模型 【典例】（25-26七年级下·四川内江·期中）如图①，有结论：，因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为“飞镖模型”，如图②，在飞镖模型中分别作和的平分线交于点，易得，如图③，在飞镖模型中作靠的三等分线，作靠的三等分线，两条三等分线交于点，……，依次方法，在飞镖模型中作靠的n等分线，作靠的n等分线，两条n等分线交于一点，则_____．    【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，图形类规律探究，根据飞镖模型的结论结合角平分线的定义，推导出相应的规律，即可． 【详解】解：由题意，得：； ， ∵， ∴， ∴， ∴， 同法可得：，， ， ∴； 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）四条线段、、、首尾顺次相接，组成以下图形，填空： (1)当点、、三点共线时，如图①，__________°；    (2)当点、、三点不共线时， ①如图②（“飞镖”形），与、、之间的数量关系是__________，并说明理由； ②如图③，__________； (3)当点在线段上时，如图④，与、之间的数量关系是_____； (4)当线段与相交时，如图⑤（“8字”形），、与、之间的数量关系是__________． 【答案】(1)180 (2) ①如图，作射线， ∵，， ∴，， ∴； ②360 (3) (4) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用； （1）由三角形的内角和定理可得答案； （2）①如图，作射线，利用三角形的内角和与平角的含义可得：，，再利用角的和差运算可得结论；②如图，连接，利用三角形的内角和定理可得答案； （3）利用三角形的内角和定理与平角的含义可得答案； （4）利用三角形的内角和定理可得，，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：当点、、三点共线时，如图①，； （2）解：① 略 ②如图，连接， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴； （4）解：如图，记的交点为， ∵，，， ∴ 【变式2】（25-26七年级下·重庆渝中·期末）如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，如果，，则____．      【答案】/80度 【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，，所以，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在中，，即， 在中，， 方法二：如图③，连接并延长至点． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当，，时，的度数为_________． (3)拓展：如图④，，，求的度数． 【答案】(1) 证明：是的外角， ， 是的外角， ， ， ； (2)； (3)． 【分析】主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答； 由可知，把，，代入式子中求值即可； 连接，把多边形分成两个“飞镖图”，根据中得到的“飞镖图”中角之间的关系即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：由可知， ，，， ， ， 故答案为：； （3）解：如下图所示，连接， 在四边形中，， 在四边形中，， ， ， 即． ▌题型08 角平分线+内角和模型 【典例】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，在中，、分别是的高和角平分线，，． (1)若，，求的度数； (2)试用、的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义以及角的和差关系进行求解即可； （2）同（1）法进行求解即可. 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是高线， ， ， ； （2）解：，， ， 是的平分线， ． 是高线， ， ， . 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，为边上的高，为上一点，连结． (1)当时，若，的面积为，求的长； (2)当时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式，结合即可得到答案． （2）根据三角形内角和为以及，得到，继续根据三角形内角和为得到，继而得到． 【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，则与的周长差为______； (2)若的面积为5，则的面积______； (3)当，时，求的度数． 【答案】(1)3 (2)10 (3) 【分析】（1）是中线，，共线，周长差，就是与的差值； （2）与以所在直线为底，高度相等，是中线，，所以； （3）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线性质求出，再求出的余角，最后，求出． 【详解】（1）解：是中线， ， ． （2）解：是中线， ， 是的高， ，， ． （3）解：是的高， ， ， ， ， 是的角平分线，， ． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，于点D，点E是线段上一点． (1)如图1，若平分，，，求的度数． (2)如图2，若是的中线，，的面积为5，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂线的定义可得，再由三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，最后根据求解即可； （2）利用三角形中线定义及三角形面积解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴． ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴. ▌题型09 三角形双内角角平分线模型 【典例】（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，点O在内，是的平分线，是的平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理， 由角平分线的定义可得出，，进而可得出，由三角形内角和定理可得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，是的平分线，是的平分线，，相交于点．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义连接，根据三角形内角和定理求出，，所以，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， 在中，． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，若，，则的度数为______    【答案】/70度 【分析】连接，根据，得到，同理得到，结合角平分线即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查三角形内角和定理及角平分线有关计算，解题的关键是作出辅助线． 【变式3】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）问题情境： 如图1，在中，和的平分线交于点． (1)探索发现： 若，则的度数为________；若，则的度数为________． (2)猜想证明： 猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)拓展应用： 如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) ，理由如下： 分别平分， ， ，， ， ； (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点， （1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行求解即可； （2）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可； （3）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行推导即可； 熟练掌握角平分线的定义，三角形的内角和定理是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ， ∵， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ， 故答案为：，； （2）略 （3）平分平分， ， ， 同理可得，， ∴． ▌题型10 三角形双外角角平分线模型 【典例】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，为直角三角形，，为的平分线，与的平分线交于点E，是的外角平分线，与相交于点G，则与的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和定理，角平分线的定义求出，，推出，可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式1】（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为______ 【答案】 【分析】先证明，，再结合三角形的内角和定理可得答案． 本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是证明，解答． 【详解】解：，的平分线，交于点， ， 为的外角的平分线， ， ，， ； 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．则_________度．    【答案】28 【分析】由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ∵是的平分线， ∴， ， ， ． 故答案为：28． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合的思想是解题关键． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系，结合角平分线的性质进行角度推导． （1）利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，推导与的数量关系； （2）根据（1）的结论，以及证明，找出规律，推导与的关系； （3）利用（2）中得出的角的关系，结合三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】（1）（1）； 证明：在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， 即， ∴； （2）在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 即， 又 ， 同理，，…… （3）解：由（2）知道，， ， 在， ， ， 答：的度数是． ▌题型11 三角形一内一外角平分线模型 【典例】（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出，进而求出，再根据角平分线定义得及，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为___________． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质，表示出相等的角，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 【点睛】注意角平分线的性质，角的和差，三角形内角和定理的灵活应用． 【变式2】（24-25八年级上·四川广元·期中）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）50，115； （2） 证明：∵分别平分， （3） 理由：∵的外角平分线与的外角平分线相交于点Q， 中 又 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键． （1）依据三角形内角和定理进行计算即可； （2）依据分别平分，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； （3）依据的外角平分线与的外角平分线相交Q，可得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】（1） ∵的平分线与的平分线相交于点P， 故答案为：50，115 （2）略 （3）略 【变式3】（25-26八年级上·湖北·期末）如图，点A、B分别在射线上运动（不与点O重合）． (1)如图1，若的平分线交于点C，则_______； (2)如图2，若的平分线交于点C，则________； (3)如图2，若的外角的平分线交于点D，求与之间的数量关系，并求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、多边形的内角和等知识： （1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的也得出，再由三角形内角和定理即可得出结果； （2）由三角形内角和定理和角平分线的也得出，再由三角形内角和定理得出的度数； （3）求出，同理：，由四边形内角和求出，由（1）知：，即可得出结果 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的平分线交于点C， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：在中，， ∵的平分线交于点C， ∴， 即， ∴； 故答案为：； （3）解：∵分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 即， 同理：， ∵四边形内角和等于360°， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ▌题型12 折叠三角形求角度 【典例】（24-25八年级上·山西阳泉·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 如图1，是直角三角形，，是过直角顶点的一条直线，直线，垂足为，直线，垂足为．试说明．          解：直线，垂足为， ． ．（依据：______） 点，，在同一条直线上， ． ， ______ ． 在这道题中，因为，所以这种模型也叫做“一线三等角”模型． 任务： (1)将上述解答过程中的空白部分补充完整． (2)在图1中，除了上面两个角相等、直角相等外，请你再写出一组相等的角． (3)如图2，是等边三角形，，直角三角形的顶点在边上，，，与交于点，与交于点，请写出图中所有除角及对顶角以外相等的角，并选择一组说明理由． 【答案】(1)直角三角形的两个锐角互余， (2) (3) 选择． 理由：， ∴． ∵， ∴． ∴． 选择． 理由：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，三角形内角和定理是解题的关键． （1）按照步骤以及直角三角形的两个锐角互余作答即可； （2）由，可得； （3）由题意知，（或），（或）；选择，根据，，可证；选择，同理证明即可． 【详解】（1）解：由题意知，依据为直角三角形的两个锐角互余，， 故答案为：直角三角形的两个锐角互余，； （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴． （3）略 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）探究： (1)如图①与有什么关系？为什么？ (2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）． (3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 【答案】(1)，理由如下 (2) (3)， 【分析】（1）由题意知，，进而可得； （2）由题意知，，进而可得； （3）由，，可得，由折叠与平角的性质，可知，，则，进而可求三个角存在的等量关系． 【详解】（1）解： ，理由如下： 由题意知，， ∴； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 由折叠与平角的性质，可知，， ∴， 故答案为：； 由题意知，， ∴三个角存在的等量关系为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 【变式3】（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，一个等腰三角形纸片，其中． (1)把纸片按图1所示折叠，使点A落在边上的点F处，是折痕，说明； (2)把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时（如图2），探索与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A落在四边形外部时（如图3），直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1) 解：∵在中，， ∴． 由折叠，可知， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． (2) 解：． 理由如下：如图，连接， 则，分别是和的外角， ∴，， ∴． ∴． ∵，， ∴． (3) 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形外角的性质，平行线的判定知识，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）由折叠的性质得，由已知得出，推出，即可得到结论； （2）连接，由三角形外角的性质可得，， 再由翻折的性质即可得出结果； （3）设与相交于点O，由三角形外角的性质可得，，再由翻折的性质即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）． 如图，设与相交于点O， 则是的外角，是的外角， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $