专题03 角平分线相关压轴题分类训练（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以解题通法为核心，通过题型分类构建角平分线性质与几何综合的系统训练，提炼可迁移的解题模型，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|标记已知-寻找对称-倒推法三步核心解法|从角平分线基本性质延伸至辅助线添加逻辑| |题型归纳|5类题型（每类1典例+3变式）|设元标图/翻折化直/面积法/构造全等/动点建模|串联三角形内外角、全等相似等知识，形成“性质-应用-变式”链条| |压轴挑战|10道综合题|综合运用角平分线性质与几何动态问题|对接中考高频考点，提升复杂问题解决能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03角平分线相关压轴题分类训练 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、角平分线相关探究角的数量关系 题型二、角平分线相关最值问题 题型一、角平分线相关综合题 题型一、角平分线相关探究线段的数量关系 题型一、角平分线相关动点问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 第一步，标记已知。标出所有相等角，在图上用不同符号圈出。第二步，寻找对称。问自己：“沿 角平分线折叠，哪个点会落到哪条线上？”这是添辅助线的灵感来源。第三步，倒推法。从结论反推：证 线段相等？找全等或等腰；证比例？用相似或角平分线定理。 夙题型归纳一精讲臭型题法，务尖解题根送 题型一、角平分线相关探究角的数量关系 典例1 【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题： 如图①，在△ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D,猜想∠EAD与∠B,∠C之间的数 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 量关系。 ED E ① ② ③ (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路.于是尝试代入∠B,∠C的值求∠EAD的值，得到下 面几组对应值： ∠B/度 10 30 30 20 20 ∠C1度 70 70 60 60 80 ∠EADI度 30 a 15 20 30 上表中a=」 于是得到∠EAD与∠B,∠C之间的数量关系为. 【变式应用】 2)小明继续研究，在图②中，∠B=35°，∠C=75°，其他条件不变，若把“AD⊥BC于点D”改为“F是 线段AE上一点，FD⊥BD于点D”,求∠DFE的度数，并直接写出∠DFE与∠B,∠C之间的数量关系. 【思维发散】 (3)小明突发奇想，交换B,C两个字母的位置，在图③中，若把(2)中的“F是线段AE上一点”改为“F 是EA的延长线上一点”，其余条件不变，请画出图形，并直接写出∠DFE与∠B,∠C之间的数量关系. 题型模版 1.特征：特征1：双内角平分线。特征2：一内一外角平分线。特征3：角平分线+折叠（折痕即角平分 线)。 2/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.方法：1.设元标图：把所有相关角设成代数。2.建立方程：在图中找3个“等量关系” —内角和 (三角形/四边形)或外角定理。通常比未知数多一个方程即可。3.联立消元：通过代入法，消去与结论 无关的中间角，只保留目标角，最终化简即为数量关系（和差或倍数）。 变式1-1探究以下问题： 图(a) 图(b) 图(c) 图(d) (1)探究一：如图(a),BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由： (2)探究二：如图(b),BE平分∠ABC,CE平分∠ACM,请确定∠A与∠E的数量关系 (3)探究三：如图(c),BF平分∠CBP,CF平分∠BCQ,请确定∠A与∠F的数量关系 解决问题： (4)如图(d),在△ABC中，∠A=56°，BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,M,N,O分别在DB,DC, BC的延长线上，BE,CE分别平分∠MBC,LBCN,BF,CF分别平分∠EBC,∠ECO,则∠F= 变式1-2.己知∠ABC与∠ADC的平分线交于点E. ①如图1，试探究∠E,∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由： ②如图2，试探究∠E,∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由： ③如图3，若∠ABD,∠BAC的平分线交于点E,则∠C,∠D与∠E之间有怎样的数量关系？ 3/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 变式1-3.如图1，线段AD与BC相交于点O,连接AC,BD,我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴 趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系。 图1 图2 (1)请通过观察、测量，猜想图1中∠A+∠C与∠B+∠D之间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作∠CAD与∠CBD的平分线交于点P,若∠C=359,∠D=29° 求∠P的度数： B)摆数小组在图1的基陆上，分别作射线ABP,使得∠CMP-∠CAD,∠CBP∠CBD,两条射线 n n 交于点卫，请直接写出∠C,∠D,∠P之间的数量关系. 题型二、角平分线相关最值问题 典例1，如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=40°，点D在AC边上，且AD=3,点E是BC边上的动 点，连接BD、DE,若DE的最小值是3，则∠ABD的度数为° B 题型模版 4/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：特征1：含定角（固定顶点）。已知一个固定角，动点在角平分线上（或角的一边上）。特征 2:含定点（两个固定点）。角内或角外存在两个已知定点。特征3：求“和、差、倍数”最值。常见 问法：求PA+PB最小、IPA-PB最大，或求垂线段长最小。 2方法：1确定谁是“动点”，谁在角平分线上。2沿角平分线“翻折”，把两条分居两侧的线段“捏” 到同一侧，完成“化折为直”。3.利用勾股定理、相似或三角函数，求出连线长度（最值）。 变式1-I如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,AF是△ABD的中线，动点G在BC边上，连 接DG.若AB=6,△ABF的面积是3，则DG的最小值为 变式1-2.如图，在等腰△ABC中，'AB=AC=a,BC=b,∠BAC=30°，AG是底边BC上的高.在AG 的延长线上有一个动点D,连接CD,作∠CDE=150°，交AB的延长线于点E,∠CDE的角平分线交AB 边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值为一· 】 变式1-3.如图，△ABC中，BC=10,AC-AB=6,AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD,则△BCD的面积 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 最大值为 题型三、角平分线相关综合题 典例1如图，在△ABC中，∠ABC=6O°，CF平分∠ACB交AB于点F,AE平分∠BAC交BC于点E,AE 、CF相交于点G,AD⊥CF交CF的延长线于点D,连接BD.当AB≠AC时，下列结论中正确的有( ) S4=4C ①若∠ACE=80°，则∠BAD=10°；②AG=2DG;③4C=AF+BE;④S.CG. G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型模版 1特征：同一个三角形中，既有角平分线，又有中线或高，构成“三线”中的两线。 2方法：高→面积，中线→中点，角分线→对称。思路：遇到这种“两线合一”，先验证是否等腰（三线 合一)，若不是，果断利用面积法（等面积求距离）作为中间桥梁。 变式1-1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交BC于F, EG∥AB,则下列结论①CE=BG,②CG=BF,③AB=AC+EG,④EF=FG,⑤当∠B=30°时， BG=AE,正确的有() 6/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式1-2.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D,CE平分∠ACB交AB于点E, AD、CE交于点F.则下列说法正确的个数为() 0∠4C=120°，②3.m=8c,③若4B=2MB,则CE1MB,①CD+1B=1C D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式1-3.如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P,BE=BC,D在AC的延长 S.PAC 线上，PG∥MD交BC于F,交MB于G,连接CP.下列结论：O∠ACB=2∠B: Sm=C.PB,®P重直平分CE:④∠CF=∠C “其中正确的有() D G B A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①③ 题型四、角平分线相关探究线段的数量关系 典例1在四边形ABCD中，AB=AD. 7/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D E 图1 图2 图3 (1)若∠BAD=116°，∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=58°.试探究线段 BE,EF,FD之间的数量关系， 小亮同学认为：延长FD到点G，,使DG=BE,连接AG,如图1，先证明△ABE≌△ADG,再证明 △AEF≌△AGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系，请你： ①直接写出∠GAF的度数：∠GAF= ②根据小亮同学的思路，直接判断BE,EF,FD之间的数量关系： (2如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，点E,F分别是BC,CD上的点，∠BAD=2∠EAF,(1)中的结 论是否仍然成立？请说明理由。 (3)如图3，若∠ABC+∠ADC=180°，∠EAF=a,点E,F分别是CB,CD延长线上的点，若 EF=BE+DF,求∠BAD的度数（结果用含的代数式表示）· 题型模版 1特征：特征1：证相等（双垂模型）。特征2：证和差.特征3：证倍分（遇中线或中位线） 2方法：直接作双垂（过角平分线上点向两边作垂线），用角平分线性质定理，一步出相等。若点在角平 分线外，则构造全等三角形。若角平分线结合垂直，立刻延长相交，利用三线合一造等腰，出现中点，进 而构造中位线或直角三角形斜边中线。 变式1-1：如图，OC平分∠AOB,P为OC上的一点，∠MPW的两边分别与OA、OB相交于点M、N。 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E M B B 图1 图2 (1)如图1，若∠AOB=90°，∠MPN=90°，判断PM与PN的数量关系，并说明理由： 小明是这样思考的：过点P作PE⊥OA于点E,作PF⊥OB于点F,四边形PMON中两对角为90°，则另 外两对角互补，则可证明∠PME=∠PWF,从而得证△PEM≌△PFN,即可得证结论.请你根据小明的思路 完成证明过程： (2)若∠AOB=120°，∠MPN=60°，请直接写出PM与PN的数量关系. (3)若将条件变为∠AOB+∠MPW=180°，猜想PM和PV的数量关系，并证明你的结论. 变式1-2.(1)在一节数学课上，王老师给出一道题：如图1，在△ABC中，AB=AC,点D是线段AC 上一点，连接BD,在BD延长线上取一点M,使∠BMC=∠BAC,作AN⊥BD垂足为点N.求证： BN=CM+MN ①如图2，小明认为：在BD上截取BP=CM,连接AP,只要探究线段MN和线段PN之间的数量关系即 可 ②如图3，小强认为：作AQ1CM交CM延长线于点Q,只要探究线段BN和线段CQ之间的数量关系即 可 请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程， (2)如图4，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,作AF⊥BD交BD 于点E.试探究线段BD、DE和AF之间的数量关系，并证明你的结论， (3)如图5，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BCD=50°，CA平分∠BCD,在BC上取一点E,使 ∠DAE=65,连接DE.若CE=x,DE=y,CD=z,求BE的长.（用含x,y,z的代数式表示） 9/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 4 D D E 图4 图5 变式1-3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E」 P是线段AD上一动点（不与点A,D重合），连接BP,作∠BPF=60°，PF交DE延长线于点F,延 长BD至点G,使DG=DP,连接PG. B E D (1)若AC=9,求BD的长： (2)猜想BC与BE之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)在点P运动过程中，PB与P℉之间的数量关系是否会发生变化？若不变化，写出它们之间的数量关系并 证明；若变化，请说明理由. 题型五、角平分线相关动点问题 典例1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6,CD平分∠ACB交斜边AB于点D,动 点P从点C出发，沿折线CA-AD向终点D运动. 10/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图② 1)点P在CA上运动的过程中，当CP= 时，△CPD与△CBD的面积相等；（直接写出答案） (2)点P在折线CA-AD上运动的过程中，若aCPD是等腰三角形，求∠CPD的度数； (3)如图②，若点E在AB上，BE=BC,当动点P在CA上运动到某一位置时，使△PEB的周长最小，直接 写出此时∠PEB的度数为， 度、 题型模版 1.特征：·特征1：明确的速痕/时间。点沿边或线段运动，给出速疫（如1单位/秒），求面积或线段长关 于t的函数。·特征2：角平分线在“动”。某条角平分线随动点位置变化而旋转。特征3：存在性 (分类讨论)。问“何时成为等腰三角形、直角三角形”。 2方法：动点题，设时间；静作图，标角边。比例勾股列方程，验根定范围。 变式1-1己知OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，D,E分别是OA,OB上的动点. D P C D B B B E 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠PEB+∠PDO=180°，求证：PD=PE: (2)如图2，若∠PEB+∠PDA=180°，求证：PD=PE: (3)如图3，D、P、E在同一直线上，QE平分∠PEB,交OC于点，作F1OB于点F.若EF=1, 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DP=2,PE=3,请直接写出OE-OD的值一 变式1-2.己知图1，△ABC是等边三角形，点D为边BC下方一动点，，连接AD、BD、CD, ∠BDC=120. D (图1) (图2) (1)若∠ABD=100°，求∠ACD的度数 (2)求证：AD平分∠BDC 1,11 3)如图2，若AD与BC相交于P,求证：BD+CDPD 变式1-3.如图1，在△ABC中，B01AC于点O,A0=B0=3,OC=1,过点A作AH1BC于点H,交 BO于点P. B B 0 P H A 0 M 图1 图2 (1)求线段OP的长度： (2)连接OH,求证：点O到∠AHC的两边距离相等： (3)如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD,过点D作DN⊥DM交线段 OA延长线于N点，则SaDM-Saw的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式 子的值. 12/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一支克高难压轴，突玻思维上保 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足，则下列四个结论：① DE=DF；②AE=AF；③AD垂直平分EF:④EF垂直平分AD.其中，正确的个数是() E F D A.4 B.3 C.2 D.1 2.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点O作EFAB交BC于F,交AC于 E,过点O作OD1BC于D,下列四个结论： D ①∠A0B=90°+1 <c ②AE+BF=EF; ③当∠C=90°时，E,F分别是AC,BC的中点： ④若0D=a,CE+CF-2bSAr=ah ,则 其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，△MBC中，BC=84C-B=4,AD平分∠BMC,CDLAD则Sr 则 的最大值为 13/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 4.如图，∠AOB=60°，点M、N分别为角的两边OA、OB上的点，OC平分∠AOB,点P为射线OC上 一点，且∠PNB=∠MNO,PM=PN=4,若射线OC上有一点O,则№的最小值为一 A M B N 5.材料阅读：如图1，在△ABC中，BE,CE分别平分∠ABC,∠ACB,连接AE.求证：AE平分 ∠BAC 小星同学看到BE,CE分别平分∠ABC,∠ACB,想到了角平分线的性质，他过点E分别作AB,BC, AC的垂线段EM,EN,EP,得到EM,EN,EP之间的数量关系，从而证明AE平分∠BAC. G H B D 图1 图2 图3 (1)请用小星的方法或自己的方法证明AE平分∠BAC: (2)方法应用：如图2，在△ABC中，D是BC的延长线上一点BE,CE分别平分∠ABC,∠ACD,连接AE ①探究∠EAC与∠CEB之间的数量关系，并说明理由： ②当∠CEB=30°时，如图3，过点A作AF⊥AE交BE于点F,连接CF并延长交AB于点G,BE与AC 交于点H,探究BG,CH与BC之间的数量关系. 6.如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O,AO交BC于D,BO交AC于E,连接OC, 过O作OF⊥BC于F. 14/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D O (1)试判断∠AOB与∠ACB的数量关系，并证明你的结论： (2)试判断∠AOB与∠COF的数量关系，并证明你的结论： (3)若∠ACB=60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论. 7.【问题呈现】 (1)如图1，OP是∠AOB的平分线，C是OP上的任意一点，CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,则线 段CD和CE的数量关系是 【知识应用】 (2)如图2，在△ABC中，∠A=9O°，CD平分∠ACB交AB于点D,DF⊥BC于点F,E为AC上一点， 连接DE,且∠B+∠CED=18O°.试判断CE,CF,BF之间的数量关系，并说明理由. 【拓展延伸】 (3)如图3，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC,D为AC的中点，AE⊥BD交BC于点E, 连接DE,试说明BD=AE+DE., 图1 图2 图3 8.(1)观察发现 如图1，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,∠A与∠C互补，∠A=90°，则DA与DC的数量关系是 (2)性质探究 如图2，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,∠A与∠C互补，∠A≠90°，则(1)中DA与DC的数量关 15/17 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由. (3)问题拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=120,AB=AC,BD平分∠ABC,AD=2,点E为BC边上一点，当 DE=DA时，请直接写出线段CE的值. 图1 图2 图3 9.如图，己知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC,D为AC上一点，CE⊥BD于E,交BA的延长线 于F (1)求证：△ABD≌△ACF: 话0平分ABC,求诞：CE=五 (3)若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，请求出它的度数， 10.在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC,M为直线AC上一动点，ME⊥BC,E为垂足，∠AME 的平分线交直线AB于点F. M M D D E E 图1 图2 (1)如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 并证明： (2)如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 并证明： 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17/17函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03角平分线相关压轴题分类训练 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、角平分线相关探究角的数量关系 题型二、角平分线相关最值问题 题型一、角平分线相关综合题 题型一、角平分线相关探究线段的数量关系 题型一、角平分线相关动点问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 第一步，标记已知。标出所有相等角，在图上用不同符号圈出。第二步，寻找对称。问自己：“沿 角平分线折叠，哪个点会落到哪条线上？”这是添辅助线的灵感来源。第三步，倒推法。从结论反推：证 线段相等？找全等或等腰；证比例？用相似或角平分线定理。 夙题型归纳一精讲臭型题法，务尖解题根送 题型一、角平分线相关探究角的数量关系 典例1 【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题： 如图①，在△ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC,AD⊥BC于点D,猜想∠EAD与∠B,∠C之间的数 1/70 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 量关系。 ED E ① ② ③ (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路.于是尝试代入∠B,∠C的值求∠EAD的值，得到下 面几组对应值： ∠B/度 10 30 30 20 20 ∠C/度 70 70 60 60 80 ∠EADI度 30 a 15 20 30 上表中a=」 于是得到∠EAD与∠B,∠C之间的数量关系为. 【变式应用】 2)小明继续研究，在图②中，∠B=35°，∠C=75°，其他条件不变，若把“AD⊥BC于点D”改为“F是 线段AE上一点，FD⊥BD于点D”,求∠DFE的度数，并直接写出∠DFE与∠B,∠C之间的数量关系. 【思维发散】 (3)小明突发奇想，交换B,C两个字母的位置，在图③中，若把(2)中的“F是线段AE上一点”改为“F 是EA的延长线上一点”，其余条件不变，请画出图形，并直接写出∠DFE与∠B,∠C之间的数量关系. 【答案】a20,∠B4D=C-∠B), 2)∠DFE=20°， DFE-2(2c-2B) (3)画图如下： F ldD E GB 2/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DFE-(ABC-C) 【详解】(1)解：：AD⊥BC于点D, .∠BDA=90°， ∠B=30°，∠C=70°， ∴.∠BAD=180°-∠B-∠BDA=60°， AE平分∠BAC, :∠BAE=2Bac-80-∠B-2C)=40， 2 ∴.∠EAD=∠BAD-∠BAE=20°， .a=20 于是得到∠E1D与∠B:∠C之间的数量关系为∠BMD=<C-∠®)， (2)解：如图，过点A作AG⊥BC于点G B b口 C EDG ·FD⊥BCAG⊥BC ∴.FD∥AG .∠DFE=∠EAG ∠B=35°，∠C=75 ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∠BAG=90°-∠B=55° AE平分∠BAC, ∠BAE=∠CAE=∠BAC=35° .∠EAG=∠BAG-∠BAE=20°， ∠DFE=200, DFE=C-∠B). (3)解：如图，过点A作AG⊥BC于点G」 3/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 叉 E GB ·FD⊥BCAG⊥BC .AG∥FD ∴.∠EAG=∠F 由2)同理可得∠EAG=∠ABC-∠C), ∠DFE=(LABC-∠C), 题型模版 1特征：特征1：双内角平分线。特征2：一内一外角平分线。特征3：角平分线+折叠（折痕即角平分 线)。 2方法：1.设元标图：把所有相关角设成代数。2.建立方程：在图中找3个“等量关系”一内角和 (三角形四边形)或外角定理。通常比未知数多一个方程即可。3.联立消元：通过代入法，消去与结论 无关的中间角，只保留目标角，最终化简即为数量关系（和差或倍数）。 变式1-1探究以下问题： 4/70 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图(a) 图(b) 图(c) 图(d) (1)探究一：如图(a),BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图(b),BE平分∠ABC,CE平分∠ACM,请确定∠A与∠E的数量关系 (3)探究三：如图(c),BF平分∠CBP,CF平分∠BCO,请确定∠A与∠F的数量关系 解决问题： (4)如图(d),在△ABC中，∠A=56°，BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,M,N,Q分别在DB,DC, BC的延长线上，BE,CE分别平分∠MBC,∠BCN,BF，,CF分别平分∠EBC,∠ECO,则∠F= 【答案1)D=0+A 理由：，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∴.设∠DBC=∠DBA=a,∠DCB=∠DCA=B, :∠D=180°-(a+月）.∠4=180°-2a+p) a+g=180-D,a+B=0A. :180°-∠D=90°-∠A 2 D=0+4 5/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)∠F=90°-1 (4)15.5° 【详解】(1)略 (2)解：BE平分∠ABC,CE平分∠ACM, ∴设∠ABE=∠CBE=a,∠ACE=∠MCE=B, 由三角形外角的性质可得：2p=∠A+2a,B=∠E+a, ∠A=2B-2a,∠E=B-a. .LE-T4A 2 (3)解：BF平分∠CBP,CF平分∠BCO, ∴.设∠PBF=∠CBF=a,∠QCF=∠BCF=B. 由三角形外角的性质可得：2a+2P=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A,u+B=180°-∠F, a+B=0+4, 0+A=80-2r ∠F=90°-∠A 2 (4):由4)(2)(3)的结论可得：∠D=0+)A=18, 2 :∠E=90°-∠D=310 2 P= <E=15.50 变式1-2.已知∠ABC与∠ADC的平分线交于点E. ①如图1，试探究∠E,∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由： ②如图2，试探究∠E,∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若∠ABD,∠BAC的平分线交于点E,则∠C,∠D与∠E之间有怎样的数量关系？ 6/70 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 【答案】 解：①∠E,∠A与∠C之间的数量关系是：2∠E=∠A-∠C,理由如下： 如图1，延长CD交AB于F,设BE与AD交于点H, B :∠ADC是△AFD的外角， ∠ADC=∠A+∠AFD, :∠AFD是△BFC的外角， ∴.∠AFD=∠ABC+∠C, ∴.∠ADC=∠A+∠AFD=∠A+∠ABC+∠C, :DE是∠ADC的平分线， LADE-ADCACC) :BE是∠ABC的平分线， E-ABC. :∠A+∠ABE+∠AHB=180°，∠E+∠ADE+∠DHE=I8O°， 又：∠AHB=∠DHE, ∴.∠A+∠ABE=∠E+∠ADE, 即：A+ABC=∠E+A+ZABc+∠C. 整理，得：2∠E=∠A-∠C, ∴.∠E,∠A与∠C之间的数量关系是：2∠E=∠A-∠C: 7/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②∠E,∠A与∠C之间的数量关系是：2∠E+∠A-∠C=360°，理由如下： :BE,DE为∠ABC与∠ADC的平分线， ∴.可设∠ABE=∠CBE=a,∠ADE=∠CDE=B」 由①可知：∠E=∠CBE+LCDE+∠C, 即：∠E=a+B+∠C, ∴a+B=∠E-∠C. 根据四边形的内角和等于360°，得：∠A+∠ABE+∠E+∠ADE=360°， 即：∠A+a+∠E+B=360° 将a+B=∠E-∠C代入上式，得：∠A+∠E+LE-∠C=360°， .2∠E+∠A-∠C=360° ∴.∠E,∠A与∠C之间的数量关系是：2∠E+∠A-∠C=360°： ③∠C,∠D与∠E之间的数量关系是：2∠E+∠D-∠C=360°，理由如下： 如图3，延长BD交AC于T, B :BE,AE是∠ABD与∠BAC的平分线， ∴可设LABE=∠DBE=a,∠BAE=∠CAE=B, 在△ABE中，∠ABE+∠BAE+∠E=180°， 即：a+B+∠E=180°， ∴.a+B=180°-∠E, 由①可知：∠E=∠DBE+∠CAE+∠ATB, 即：∠E=a+B+∠ATB 由邻补角互补可得：∠TDC=180°-∠BDC=180°-∠D. :∠ATB是△DTC的一个外角， ∴.∠ATB=∠C+∠TDC=∠C+180°-∠D ∴.∠E=a+B+∠C+180°-∠D, 将a+B=180°-∠E代入上式，得：∠E=180°-∠E+∠C+180°-∠D, 8/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即：2∠E+∠D-∠C=360°， 答：∠C,∠D与LE之间的数量关系是：2∠E+∠D-∠C=360° 变式1-3.如图1，线段AD与BC相交于点O,连接AC,BD,我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴 趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系。 图1 图2 (1)请通过观察、测量，猜想图1中∠A+∠C与∠B+∠D之间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作∠CAD与∠CBD的平分线交于点P,若∠C=359,∠D=29° 求∠P的度数： B)智蓝小组在图1的基础上，分别作射线ABBP,使行∠CMP-∠CMD,∠CBP∠CBD,两条射线 交于点卫，请直接写出∠C,∠D,∠P之间的数量关系. 【答案】(1) ∠B+∠D=∠A+∠C. 证明：：∠B+∠D+∠BOD=180°，∠A+∠C+∠AOC=180°， 又：∠BOD=∠AOC, .∠B+∠D=∠A+∠C: (2)32° Bn-)2C+∠D=nP 【详解】(1)略 (2)解：AP平分∠CAD,BP平分∠CBD, ∴.∠CAP=∠DAP,∠CBP=∠DBP」 由“8字形”得到∠CAP+∠C=∠CBP+∠P,∠DAP+∠P=∠DBP+∠D 9/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两等式相减得到∠C-∠P=∠P-∠D:即∠P-(C+∠D), ∠C=35°，∠D=29°. P=C+∠D)=32: (3③)解：∠CP=∠CMD,∠CBr=∠CBD. :.∠DAP=n-l∠CAD.∠DBP=n-l∠CBD. n n ∴.∠DAP=(n-1)∠CAP∠DBP=(n-I)∠CBP 由“8字形”得到∠CAP+∠C=∠CBP+∠P,∠DAP+∠P=∠DBP+LD, ∠C-∠P=∠CBP-∠CAP=(∠CBD-∠CAD)∠P-∠D=∠DBP-∠DAP="(∠CBD-∠CAD) :.(n-I(4C-∠P)=∠P-∠D :.(n-l)∠C+∠D=nP 题型二、角平分线相关最值问题 典例1.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=40°，点D在AC边上，且AD=3,点E是BC边上的动 点，连接BD、DE,若DE的最小值是3，则∠ABD的度数为°. 【答案】20 【分析】根据DE有最小值可得DE⊥BC,由此可得AD=DE=3,结合角平分线的性质求解即可. 【详解】解：当DE有最小值时，则有DE⊥BC, .∠A=90°， 10/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD⊥AB, AD=DE=3. .BD为∠ABC的角平分线， :∠ABC=40° ∠ABD=∠BC={ ×40°=20° 题型模版 1.特征：特征1：含定角（固定顶点）。已知一个固定角，动点在角平分线上（或角的一边上）。特征 2:含定点（两个固定点）。角内或角外存在两个已知定点。特征3：求“和、差、倍数”最值。常见 问法：求PA+PB最小、IPA-PB|最大，或求垂线段长最小。 2.方法：1确定谁是“动点”，谁在角平分线上。2沿角平分线“翻折”，把两条分居两侧的线段“捏” 到同一侧，完成“化折为直”。3.利用勾股定理、相似或三角函数，求出连线长度（最值）。 变式1-1如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,AF是△ABD的中线，动点G在BC边上，连 接DG.若AB=6,△ABF的面积是3，则DG的最小值为 E G 【答案】2 【详解】解：：4 是AABD SAMF =3 的中线， SABD =2S.ABF =6 11/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 DE L4B AB=6 S.w-2AB-DE ÷2X6xDE=6 解得DE=2. :BD是△ABC的角平分线， ∴，点D到BC的距离等于DE=2. 又点G在BC上， ∴.DG的最小值就是点D到BC的距离， DG敏小=2 即 变式1-2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=a,BC=b,∠BAC=30°，AG是底边BC上的高.在AG 的延长线上有一个动点D,连接CD,作∠CDE=150°，交AB的延长线于点E,∠CDE的角平分线交AB 边于点F,则在点D运动的过程中，线段EF的最小值为一 9 D 【答案】2 【详解】解：作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,连接CF, 12/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G、 C M N E D AB=ACAG⊥BC ·AG平分∠BAC, 即AD平分∠BAC, :DM⊥AB,DN⊥AC, .DM=DN,∠DME=∠DNC=90°， ∠BAC=30°，∠AMD=∠AND=90°， ∴.∠MDN=150° .∠CDE=150° ∴.∠MDE=150°-∠CDM=∠NDC, ∴.aMDE≌aNDC(ASA) ∴.DE=DC, DF平分∠CDE, ∴.∠EDF=∠CDF, .AEDF≌△CDF(SAS) :.EF=CF, .当CF⊥AB时CF有最小值，即EF有最小值， 此时∠BAC=30°，AC=a, 1 :EF=CF=号AC=a 2 2“ 故答案为：24 13/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-3.如图，△ABC中，BC=10,AC-AB=6,AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD,则△BCD的面积 最大值为 【答案】15 【分析】延长AB,CD交点于E,可证 MDB≌△MDC(4SA）,得出4C=AE,DE=CD,则 mC=2S,当BE⊥BC时，Sc最大面积为30，即Soc最大面积为15. 【详解】解：如图：延长AB,CD交点于E, B 平分 一D E AD ∠BAC ∴.∠CAD=∠EAD」 .CD⊥AD ∴∠ADC=∠ADE=90°. 在△ADE和△ADC中， ∠ADE=∠ADC AD=AD ∠EAD=∠CAD' ∴.△ADE≌△ADC(ASA) .AC=AE,DE=CD: AC-AB=6. 14/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE-AB=6,即BE=6: DE DC, :.Se- ,BE⊥BC 时， SABDC 面积最大， -×-×10×6=15 即Sc最大面积2X2 故答案为：15 题型三、角平分线相关综合题 典例1如图，在△ABC中，∠ABC=6O°，CF平分∠ACB交AB于点F,AE平分∠BAC交BC于点E,AE CF相交于点G,AD⊥CF交CF的延长线于点D,连接BD.当AB≠AC时，下列结论中正确的有( 、 ) S.AGE AG ①若∠ACE=80°，则∠BAD=10°；②AG=2DG;③AC=AF+BE;④S.CG, D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：CF平分∠ACB,∠ACE=80°， :∠BCF=∠ACE=40° 2 又∠ABC=60°， ∠BFC=180°-∠ABC-∠BCF=80°， ∠AFD=∠BFC=80°， .AD⊥CF 15/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAD=90°-∠AFD=10°，故①正确： 在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB+∠CAB=120°， :CF平分∠ACB,AE平分∠BAC, ∠ACG= ∠ACB,∠CAG=∠CAB, 2 2 ∴Z4CG+ZCAG=ACB+2CMB)=60】 ,∠AGD=∠ACG+LCAG=60°， AD⊥CF ·∠ADG=90°，∠DAG=30°， :AG=2DG,故②正确： 在AC上截取AH=AF,如图1所示： B D 图1 又∠CAG=∠BAG,AG=AG, ,aHAG兰aFAG(SAS) .∠AGH=∠AGD=60°， ∴∠CGH=180°-∠AGH-∠AGD=60°，∠CGE=∠AGD=60°， ∴.∠CGE=∠CGH 又CG=CG,∠GCE=∠GCH, .AGCE =AGCH(ASA) ∴.CE=CH, ·AC=AH+CH=AF+CE, 又：AB≠AC, ∴.CE≠BE 16/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·AC≠AF+BE,故③不正确： 在③的解答基础上，过点H作HM⊥AG于M,作HN⊥CG于N,如图2所示： D 图2 又∠AGH=∠CGH=60°， :HM HN, 1 .S. AG.HM AG S.CGH 3CG-IN CG, 又aHAG≌aFAG,△GCE兰△GCH, .S.AGF =SAGH S.CGE=S.CGM :4e=&a AG S.CGE S.cGM CG,故④正确： 综上可知，①②④正确 故选：C 题型模版 1特征：同一个三角形中，既有角平分线，又有中线或高，构成“三线”中的两线。 2方法：高→面积，中线→中点，角分线一→对称。思路：遇到这种“两线合一”，先验证是否等腰（三线 合一)，若不是，果断利用面积法（等面积求距离）作为中间桥梁。 变式1-1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB于D,AF平分LCAB交CD于E,交BC于F EG∥AB,则下列结论①CE=BG,②CG=BF,③AB=AC+EG,④EF=FG,⑤当∠B=30°时， BG=AE,正确的有() 17/70 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴∠CDB=∠ACB=90°」 ∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°， .∠B=∠ACD: 如图所示，过点E作EP⊥AC于P,过点G作G⊥BD于Q, AF平分∠CAB,DE⊥AD,PE⊥AC, .EP=ED,∠CAF=∠BAF, :EG∥BD,ED⊥BD,GQ⊥BD .ED=GO .PE=GO. 又：∠CPE=∠B0G=90°， ACPE≌aBQG(AAS) CE=BG,故①正确： :∠CFA+∠CAF=∠DAE+∠AED=90°， ∴.∠CFA=∠AED. 又，∠CEF=∠AED, ∴.∠CEF=∠CFE, ∴.CE=CF, ∴.CF=BG, ..CF+FG=BG+FG. 18/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.CG=BF,故②正确： 如图所示，过点F作FM⊥AB于M, .∠ACF=∠AMF=90°， 又，AF=AF,∠CAF=∠MAF, △ACF≌AAMF(AAS) .AM=AC, ,EG∥BD,BD⊥CD. ∴.∠CEG=∠FMB=90,∠B=∠CGE, aCEG≌AFMB(AAS) .EG=BM, AB=AM+BM, .AB=AC+EG,故③正确： 当∠B=30°时，则∠BAC=90°-30°-60°， &∠BMF=∠B4C=30， .∠FAB=∠B=30°， ∴FA=FB, EG∥BD, ∴∠FEG=∠FAB,∠FGE=∠B, ·LFEG=∠FGE, .FE=FG. ∴AE=BG,故⑤正确： 由⑤的证明可知只有当∠B=30°时才能证明FE=FG,故④错误； ∴.正确的有①②③⑤， 故选：D 19/70 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D MO B 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，平行线 的性质，等角对等边等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 变式1-2.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D,CE平分∠ACB交AB于点E, AD、CE交于点F.则下列说法正确的个数为() D∠=120°：@5m=8c,③若4B=24E,则CE LAB:0CD+1E=1C D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】：∠ABC=60° ∴∠BAC+∠BCA=120°， ZBAC+∠BC)=60° :AD平分∠BAC交BC于点D,CE平分∠ACB交AB于点E, .∠AFC=180°- 2BAC+∠BC4=l120. 故①正确： S.ABD=S.ADC 若 :.BD=DC,无法确定， 故②错误： .AB=2AF, 20/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'BE =AE, 过点EG⊥AC,EH⊥BC,垂足分别为G,H, :CE平分∠ACB, ..EG=EH G E H D △ECH≌AECG(HL) ∴CH=CG: △BEH≌△AEG(HL) ..BH =AG: :.AC=BC, .CE⊥AB, 故③正确： 作CG平分∠AFC交AC于点G,,∠AFC=120°， .∠AFE=∠AFG=∠DFC=∠GFC=60°， :∠EAF=∠GAF,AF=AF,∠DCF=∠GCF,CF=CF △DFC≌AGFC(ASA)△AFE≌△AFG(ASA).AE=AG,CD=CG .AC=AG+CG. ∴.CD+AE=AC, 21/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E F B D ∴④正确. 故选C 变式1-3.如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠EBC的平分线相交于点P,BE=BC,D在AC的延长 线上， PG∥D交BC于F,交4B于G,连接CP.下列结论：O∠ACB=2∠MPB:G ：② a-PC.PB,国P直平分CE,④PCF=∠CF:其中正稀的有(） G A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①③ 【答案】B 【详解】解：如图， ND ,PA平分∠CAB,PB平分∠CBE, :∠PMB-CMB∠PaE=cE :∠CBE=∠CAB+∠ACB,∠PBE=∠PAB+∠APB, ·.∠ACB=2∠PAB,则①正确： 22/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,PS⊥BC于点S, .'PM PN PS. .PC平分∠BCD :Sc:SPB=(AC-PN:(AB-PM)=AC:AB,则②不正确： BE=BC,BP平分∠CBE, ∴.BP垂直平分CE,则③正确： PG∥AD. ∴.∠FPC=∠DCP ,PC平分∠DCB, ∴.∠DCP=∠PCF, :∠PCF=∠CPF.则④正确. 本题正确的有：①③④ 故选：B 题型四、角平分线相关探究线段的数量关系 典例1在四边形ABCD中，AB=AD, G D B E 图1 图2 图3 (1)若∠BAD=116°，∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=58°.试探究线段 BE,EF,FD之间的数量关系. 小亮同学认为：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,如图1，先证明△ABE≌△ADG,再证明 △AEF≌aAGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系.请你： 23/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①直接写出∠GAF的度数：∠GAF=°： ②根据小亮同学的思路，直接判断BE,EF,FD之间的数量关系： (2如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，点E,F分别是BC,CD上的点，∠BAD=2∠EAF,(1)中的结 论是否仍然成立？请说明理由. (3)如图3，若∠ABC+∠ADC=I80°，∠EAF=a,点E,F分别是CB,CD延长线上的点，若 EF=BE+DF,求∠BAD的度数（结果用含的代数式表示）· 【答案】(1)①58；②EF=FD+BE (2)结论仍然成立，理由如下： 延长FD到点H,使DH=BE,连接AH,如图2所示： D B E 图2 ∴.HF=DH+FD=BE+FD :∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， .∠B=∠ADH, 在△ABE和△ADH中， AB=AD ∠ADH=∠B DH=BE ∴.△ABE≌AADH(SAS) .AE=AH,∠BAE=∠HAD ∴.∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠HAD+∠EAD=∠HAE. :∠EAF=)∠BAD 2 ÷∠EAF=∠HAE 2 ∴.AF是∠HAE的平分线， 24/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAF=∠HAF, 在△AEF和△AHF中， AE=AH ∠EAF=∠HAF AF=AF ∴△AEF2△AHF(SAS) :.EF =HF, 又：HF=BE+FD, ∴.EF=BE+FD, 结论仍然成立： (3)∠DAB=360°-2a 【详解】(1)解：①延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, ∠ADC=90°， ∠ADG=180°-∠ADC=90°， .∠B=∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠ABE=∠ADG BE=DG .△ABE≌△ADG(SAS) ∴.AE=AG、∠BAE=∠DAG. ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF :∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=116°-58°=58°， ∠GAF=58°： ②由①知，AE=AG、∠GAF=∠EAF=58°， 在△AEF和△AGF中， 25/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴△AEF≌△AGF(SAS) ..EF=GF, .GF=FD+DG=FD+BE, ∴EF=FD+BE: (2)略： (3)解：如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, G 图3 :∠ABC+∠ADC=180°∠ABC+∠ABE=180° .∠ADC=∠ABE, 又AB=AD, 在△ADG和△ABE中， AD=AB ∠ADG=∠ABE DG=BE ∴△ADG≌△ABE(SAS) ∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE, EF BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, 在△AEF和△AGF中， 26/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=AG EF=GF AF=AF' ∴△AEF≌△AGF(SSS) ∴.∠FAE=∠FAG :∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ∴.2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°， ∴.2∠FAE+(∠GAB+∠DAG=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， '∠FAE=a, .∠DAB=360°-2a. 题型模版 1特征：特征1：证相等（双垂模型）。特征2：证和差.特征3：证倍分（遇中线或中位线）· 2方法：直接作双垂（过角平分线上点向两边作垂线），用角平分线性质定理，一步出相等。若点在角平 分线外，则构造全等三角形。若角平分线结合垂直，立刻延长相交，利用三线合一造等腰，出现中点，进 而构造中位线或直角三角形斜边中线。 变式1-1.如图，OC平分∠AOB,P为OC上的一点，∠MPN的两边分别与OA、OB相交于点M、N. 27/70 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E白 M M B O N B 图1 图2 (1)如图1，若∠AOB=90°，∠MPN=90°，判断PM与PN的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点P作PE⊥OA于点E,作PF⊥OB于点F,四边形PMON中两对角为90°，则另 外两对角互补，则可证明∠PME=∠PWF,从而得证△PEM≌△PFN,即可得证结论.请你根据小明的思路 完成证明过程： (2)若∠AOB=120°，∠MPN=60°，请直接写出PM与PN的数量关系. (3)若将条件变为∠AOB+∠MPW=180°，猜想PM和PN的数量关系，并证明你的结论. 【答案】(1) PM=PN. 理由：，OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.PE=PF,∠PEM=∠PFN=90°， ∠AOB=90°，∠MPN=90°， ∴.∠PM0+∠PNO=180°， ,∠PMO+∠PME=180°， ∴.∠PME=∠PF, 在△PEM与△PFN中， ∠PME=∠PNF ∠PEM=∠PFN PE=PF △PEM≌aPFN(AAS) .PM=PN: (2)PM=PN 28/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3) PM=PN. 证明：如图，作PE⊥OA于点E,作PF⊥OB于点F, C E F NB :OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.PE=PF,∠PEM=∠PFN=90°， :∠AOB+∠MPN=180°， :.∠PMO+∠PNO=180°， ,∠PMO+∠PME=180°， ∴.∠PME=∠PWF, 在△PEM与△PFN中， [∠PME=∠PNF ∠PEM=∠PFN PE=PF △PEM≌APFN(AAS) .PM=PN 【详解】(1)略 (2)解：如图，作PE⊥OA于点E,作PF⊥OB于点F, C A、 M B 29/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB, .PE=PF,∠PEM=∠PFN=90°. :∠AOB=120°，∠MPN=60°， .∠PMO+∠PNO=180°， ,∠PNO+∠PNF=180°， ∴.∠PMO=∠PNF,即∠PME=∠PNF, 在△PEM与△PFN中， ∠PME=∠PNF ∠PEM=∠PFN PE=PF △PEM≌aPFN(AAS) PM=PN: (3)略 变式1-2.(1)在一节数学课上，王老师给出一道题：如图1，在△ABC中，AB=AC,点D是线段AC 上一点，连接BD,在BD延长线上取一点M,使∠BMC=∠BAC,作AN⊥BD垂足为点N.求证： BN=CM+MN ①如图2，小明认为：在BD上截取BP=CM,连接AP,只要探究线段MN和线段PW之间的数量关系即 可. ②如图3，小强认为：作AQ LCM交CM延长线于点2，只要探究线段BN和线段CP之间的数量关系即 可. 请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程. (2)如图4，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,作AF⊥BD交BD 于点E,试探究线段BD、DE和AF之间的数量关系，并证明你的结论， (3)如图5，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BCD=50,CA平分∠BCD,在BC上取一点E,使 ∠DAE=65°，连接DE.若CE=x,DE=y,CD=z,求BE的长.（用含x,y,z的代数式表示） 30/70 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 图1 图2 图3 4 D D F E 图4 图5 【答案】 (1)证明：①小明的思路：在BD上截取BP=CM,连接AP, 在△ABD中，∠ABD+∠BAC+∠ADB=180°. 在△CMD中，∠ACM+∠BMC+∠CDM=180°， :∠BMC=∠BAC,∠ADB=∠CDM, ∴.∠ABD=∠ACM, AB=AC,BP=CM. 在△ABP与△ACM中， AB=AC ∠ABD=∠ACM BP=CM ∴.△ABP≌△ACM, ∴AP=AM, 即△APM为等腰三角形， :AN⊥BD, .PN=MN, .BN=BP+PN, ∴.BN=CM+MN: 31/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②小强的思路：作A犯⊥CM交CM延长线于点2， 由①可知，∠ABD=∠ACM,即∠ABN=∠ACQ. :AQ⊥CM,AN⊥BD, :.∠ANB=∠AQC=90° AB=AC, 在△ABN与△ACQ中， ∠ABN=∠ACQ ∠AWNB=∠AQC=90° AB=AC ∴.△ABN≌△ACQ, ∴.BN=CQ,AN=Ag, 在RtAMN与Rt△AMg中， AN=AO AM=AM. .RteAMN≌RtAAMO, .MN MO .CO=CM+MO=CM+MN ∴.BN=CM+MN: (2)BD=AF+2DE, 证明：在BD上截取BG=AF,连接AG,如图， D G :AF⊥BD, .∠AED=∠AEB=90°， ∴，∠ABG+∠BAE=90° 32/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠BAC=90°， .∠CAF+∠BAE=90°， .LABG=LCAF」 .AB=AC,BG=AF, 在△ABG与△CAF中， AB=AC ∠ABG=∠CAF BG=AF ∴.△ABG≌△CAF, .∠BAG=∠C, ,BD平分∠ABC, ∴.∠ABG=∠CBD ,∠AGD=∠ABG+∠BAG, ∠ADG=∠CBD+∠C .∠AGD=∠ADG. .AG=AD, 即△AGD为等腰三角形， AF⊥BD, .GE=DE,即GD=2DE, ·BD=BG+GD=AF+2DE: (3)BE=y+2-x 2· 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F, 在CF的延长线上截取FG=BE,连接AG,如图， 33/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B E :AF⊥CD,即∠AFC=90°， 且∠ABC=90°， :CA平分∠BCD ∴.AB=AF, 在Rt△ABC与Rt△AFC中， (AB=AF AC=AC, .Rt△ABC≌RtAAFC, ∴BC=FC, ,∠ABE=∠AFG=90°，FG=BE, 在△ABE与△AFG中， FG=BE ∠ABE=∠AFG=90 AB=AF ∴，△ABE≌△AFG .AE=AG,∠BAE=∠FAG 在四边形ABCF中，∠ABC=∠AFC=90°，∠BCD=50°， ∴.∠BAF=130°， 又：∠DAE=65°， ·LBAE+∠DAF=65, .FAG+∠DAF=65°， 即∠DAG=65°， 34/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ADE与△ADG中， AE=AG ∠DAE=∠DAG=65 AD=AD ∴.△ADE≌△ADG, .DE DG. 设BE=FG=m,DF=n, .BC=CF, 即BE+CE=CD+DF, 即m+x=z+n,① 又，DE=DG 即DE=DG=DF+FG=DF+BE, 即y=n+m,② 由①-②得，m+x-y=z+n-m-n, 整理可得2m=y+z-x, 即m=y+2-x 2 即BE=+2-x 2 变式1-3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E P是线段AD上一动点（不与点A,D重合），连接BP,作∠BPF=6O°，PF交DE延长线于点F,延 长BD至点G,使DG=DP,连接PG. F B E D 35/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若AC=9,求BD的长： (2)猜想BC与BE之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)在点P运动过程中，PB与P℉之间的数量关系是否会发生变化？若不变化，写出它们之间的数量关系并 证明；若变化，请说明理由。 【答案】(1)6 (2) BC=BE,证明如下： .BD=BD,DC=DE, .Rt△BCD≌Rt△BED(HL) .BC=BE; (3) 不变化，PB=PF,证明如下； 由题意知，∠BDC=90°-∠CBD=60°， .∠GDP=∠BDC=60°， .DG=DP, .△GDP是等边三角形， .PD=PG=DG,∠DPG=∠PGD=∠GDP=60° :∠BPF=60°. ∴.∠BPF+∠BPD=∠DPG+∠BPD,即∠FPD=∠BPG, Rt△BCD≌Rt△BED(H) ∴.∠BDE=∠BDC=60° ∴.∠FDP=180°-∠BDE-∠BDC=60°=∠BGP, ·∠FDP=∠BGP,PD=PG,∠FPD=∠BPG, △FPD≌ABPG(ASA) .PB=PF. 【详解】(1)解：：∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB, ∴.∠CBD=∠ABD=30°，DE=DC,BD=2DC, 36/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=∠ABD=30°， .AD=BD=2DC. ...AC=AD+DC=2DC+DC=3DC=9. 解得，DC=3, ∴.BD=2DC=6, ∴.BD的长为6： (2)略 (3)略 题型五、角平分线相关动点问题 典例1如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6,CD平分∠ACB交斜边AB于点D,动 点P从点C出发，沿折线CA-AD向终点D运动： E 图② (1)点P在CA上运动的过程中，当CP=_时，aCPD与△CBD的面积相等；（直接写出答案） (2)点P在折线CA-AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数： (3)如图②，若点E在AB上，BE=BC,当动点P在CA上运动到某一位置时，使△PEB的周长最小，直接 写出此时∠PEB的度数为 度 【答案】(1)6 (2)90°或45°或67.5°或37.5° (3)90 【详解】(1)解：，CD平分∠ACB, ∴点D到AC和BC的距离相等， ∴当CP=BC=6时，aCPD与△CBD的面积相等， 故答案为：6： 37/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图1， P P 0 图1 当CP=CD 时，（点P在处）， 片∠CD=∠CDp-180-,4CD_180,45”=675, 2 2 , 当DP=CD时，（点P在P 3处)， ∠CPD=∠ACD=45° ,∠CDB=180°-∠B-∠BCD=180°-60°-45°=75°， :∠CDR=∠DCR=)∠CDB=375, 2 当PD=PC P 时，（点P在处时）， ∠P,DC=∠ACD=45° ∠CP,D=90° 综上所述：∠CPD=67.5°或45°或37.5°或0°」 (3)延长BC至点B使BC=B'C,连接AB,B'E, B' ,∠ACB=90° 38/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AC垂直平分BB, .AB=AB',PB=PB', :∠ABC=90°-∠CAB=60°， ∴△ABB为等边三角形， .AB=BB' 点E在AB上，BE=BC, 2 .BE⊥AB, ·∠B'EB=90° :△PEB的周长=BE+PE+PB=BE+PE+PB, :当PE+PB最小时，△PEB的周长最小，此时B,P,E三点共线， ∴∠PEB=90° 故答案为：90 题型模版 1.特征：·特征1：明确的速痕/时间。点沿边或线段运动，给出速痕（如1单位/秒），求面积或线段长关 于t的函数。·特征2：角平分线在“动”。某条角平分线随动点位置变化而旋转。特征3：存在性 (分类讨论)。问“何时成为等腰三角形、直角三角形”。 2方法：动点题，设时间；静作图，标角边。比例勾股列方程，验根定范围。 变式1-1已知OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，D,E分别是OA,OB上的动点. A D D B 图1 图2 图3 39/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，若∠PEB+∠PDO=180,求证：PD=PE; (2)如图2，若∠PEB+∠PDA=180°，求证：PD=PE; (3)如图3，D、P、E在同一直线上，QE平分∠PEB,交OC于点O,作QF⊥OB于点F.若EF=I, DP=2,PE=3,请直接写出OE-OD的值一 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【详解】(1)证明：过点P作PG⊥OA于G,PH⊥OB于H,如图 G -B E H .OC ∠AOB PG⊥OA,PH⊥OB 的角平分线， ∴.PG=PH ∠PEB+∠PDO=180°，∠PDA+∠PDO=180° ∴.∠PDA=∠PEB 在△PGD和△PHE中： [∠PGD=∠PHE=90° ∠PDA=∠PEB PG=PH APGD≌APHE(AAS), :PD=PE: (2)证明：过点P作PG⊥OA于G,PH⊥OB于H,如图 40/70 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D 、P C HE -B .OC。∠AOB PG⊥OA,PH⊥OB 是 的角平分线， ∴.PG=PH, ∠PEB+∠PDA=180°，∠PDA+∠PDG=180° ∴.∠PDG=∠PEB 在△PGD和△PHE中， ∠PGD=∠PHE=90° ∠PDG=∠PEB PG=PH .△PGD≌APHE(AAS), ∴PD=PE; (3)解：如图，过点作G1OA于G,过点作H1DE于H, G C ▣ -B EF .OC。∠AOB QF⊥OB,QG⊥OA 的角平分线， .2G=0F, 又：OE平分∠PEB,OF⊥OB,QH⊥DE. ..OH=OF ..OG=OH 41/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .D0平分∠ADE, 在△OHE和△QFE中， ∠QHE=∠QFE=90 ∠HEQ=∠FEQ OE=OE .△QHE≌△QFE(AAS) 同理可证△QGD≌aOHD(AAS),△QGO≌AQFO(AAS), .DG=DH,EH=EF=1,OG=OF DP=2,PE=3 ∴.DE=DP+PE=5. DE=DH+EH=DG+1. .DG=4, .0G=OF. ∴.OD+DG=OE+EF即OD+4=OE+1, ∴.OE-OD=3 变式1-2.已知图1，△ABC是等边三角形，点D为边BC下方一动点，，连接AD、BD、CD, ∠BDC=120°. (图1) (图2) (1)若∠ABD=100°，求∠ACD的度数 (2)求证：AD平分∠BDC 111 (3)如图2，若AD与BC相交于P,求证：BDCDPD 一十 42/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)80°， (2) 证明：如图，延长DC到点E,使CE=BD,连接AE, ,△ABC是等边三角形， :AB=AC,∠BAC=60°， .:∠BDC=120° :∠ABD+∠ACD=360°-∠BDC-∠BAC=360°-120°-60°=180°， :∠ACE+∠ACD=180°， ∴.∠ABD=∠ACE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠ABD=∠ACE BD=CE ∴△BAD≌aCAE(SAS), .AD=AE,∠BAD=∠CAE, :∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°， ∴.∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°， ∴，△ADE是等边三角形 ∴∠ADE=60° ,∠BDC=120° ∠ADB=60°=∠ADE, .AD平分∠BDC (3)证明：过点B作BH⊥AD于H,BG⊥CD交CD延长线于G,过点C作CM⊥AD于点M,CN⊥BD交BD延长线 于N, 43/70 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D G 由(2)得AD平分∠BDC, ∠BDC=120°」 :.∠ADB=∠ADC=60°，∠CDN=∠BDG=180°-∠BDC=60°， .∠ADB=∠ADC=∠CDN=∠BDG=60°， ,BH⊥AD于H,BG⊥CD,CM⊥AD,CN⊥BD, .CM=CN,BG=BH, S,P=2 P.BH DP S.cm=2 1DP.CM DP :SABCD 2 CD-BG CD,S.BeD 1 D.CN BD: .+S.cm=1=DP+DP SnCD S.ncD CD BD 111 ·BD CD PD 【详解】(1)解：，△ABC是等边三角形， ·∠ABC=∠ACB=60°， ,∠ABD=100°， .∠DBC=40°， ∠BDC=120° .∠BCD=20°， .∠ACD=20°+60°=80°： (2)略 44/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)略 变式13.如图1，在△ABC中，B0⊥AC于点O,A0=B0=3,OC=1,过点A作AH1BC于点H,交 BO于点P. B B D P H O 0 M 图1 图2 (1)求线段OP的长度： (2)连接OH,求证：点O到∠AHC的两边距离相等： (3)如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD,过点D作DN⊥DM交线段 OA延长线于N点，则Sw-Sw的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式 子的值。 【答案】(1)0P=1: (2)见解析： 9 3)不变， 【详解】(1)解：，BO⊥AC,AH LBC, .∠AOP=∠BOC-∠AHC=90°， ∴.∠OAP+∠C-∠OBC+∠C=90, ∴.∠OAP=∠OBC, 在△OAP和△OBC中， 45/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOP=∠BOC A0=BO ∠OAP=∠OBC' .△OAP≌△OBC(ASA), .OP=0C=1: (2)过O分别作OM LCB于M点，作ON⊥HA于N点，如图1所示： B M C 图1 在四边形OMHN中，∠MON360°-3×90°=90°， ∴.∠COM∠PON=90°-∠MOP. 在△COM与△PON中， ∠COM=∠POW ∠OMC=∠ONP=90 OC=OP ∴.△COM≌△PON(AAS), ∴.OM=ON ,OM⊥CB,ON⊥HA, ∴.HO平分∠CHA, .点O到∠AHC的两边距离相等： 9 (3)SABDA SADN的值不发生改变，等于4·理由如下： 连接OD,如图2所示： 46/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的 D O C M 图2 ,∠AOB=90°，OA=OB,D为AB的中点， ∴OD⊥AB,∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD ∴.∠0AD=45°，∠M0D=90°+45=135°， ∴.∠DAN=135=∠DOM. MD⊥ND, 即∠MDN=90°， ∴.∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA. 在△ODM和△ADN中， '∠MDO=∠NDA OD=AD ∠DOM=∠DAN' ∴△ODM≌△ADN(ASA), ∴.S&ODMR=S△ADN, 9 SARDSADFSARDSODM-AROD-S40- 2 ◆◆ 47/70 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 夙压轴挑战一文克高难压轴，突致思维上保 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足，则下列四个结论：① DE=DF:②AE=AF;③AD垂直平分EF;④EF垂直平分AD.其中，正确的个数是() B A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【详解】解：：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足， .DE =DF, 故①正确，符合题意： ,AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠FAD, 在△ADE与△ADF中， ∠EAD=∠FAD ∠AED=∠AFD AD=AD △ADE≌AADF(AAS) .AE=AF, 故②正确，符合题意： AE=AF,DE=DF. AD垂直平分EF, 故③正确，符合题意： AE与DE,AF与DF不一定相等， ∴，EF不一定垂直平分AD, 故④错误，不符合题意， 48/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，正确的是①②③，共3个， 故选：B 2,如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,过点O作EFAB交BC于F,交AC于 E,过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论： A D ①∠A0B=90°+ LC: 2 ②AE+BF=EF; ③当∠C=90°时，E,F分别是AC,BC的中点： =ab ④若0D=a,CE+CF=2b,则S 其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：：在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O, 1 ∠0BA=∠CBA,∠0MB=∠CMB, 2 .∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB =180°-1 ∠CBA-1∠CAB 2 2 =180-(CBA+∠C1) =180-0s0-<c =90°+5∠C,故①正确： :EFI‖AB 49/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠FOB=∠ABO, ,∠FBO=∠ABO. .∠FBO=∠FOB .FO=FB. 同理可得：EO=EA, ∴.AE+BF=EF,故②正确： 当∠C=90°时，AE+BF=EF<CF+CE, ∴.E、F不是AC、BC的中点，故③错误： 作OH⊥AC于H, A :∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O, ∴点O在∠C的平分线上， ..OD=OH=a. :Sa-CFx0D+CEx0H-Cr+CB)x0D=ab,故④正确： 2 综上所述，正确的是①②④，共3个 故选：C 3.如图， △ABC 中， BC=8.4C-MB=4,AD平分∠BMC,CDLADS 则 的最大值为 D 【答案】8 【分析】延长CD交AB于点E,可证△ADE≌△ADC,再根据AC-AB=4,可得BE的长度，当 50/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE⊥BC最大即可求得最大值， 【详解】解：如图所示延长CD交AB于点E, E D AD平分∠BAC,CD⊥AD, ∴.∠EAD=∠CAD,∠ADE=∠ADC. 在△ADE与AMDC中， :∠EAD=∠CAD,AD=AD,∠ADE=∠ADC, .△MDE≌AMDC(ASM) .AE=AC,DE=DC, .AC-AB=4 .BE=4, .DE=DC, 1 SANCD-C ScD最大， 当B1BC,S最大，即 1 11 11 Sac肤=2m大-2X2XBE×BC=2X2X4x8=8 ∴答案为8 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质及全等三角形性质，解题关键是根据中线将小三 角形面积转换成大三角形面积取垂直时最大， 4.如图，∠AOB=60°，点M、N分别为角的两边OA、OB上的点，OC平分∠AOB,点P为射线OC上 点，且∠PB=∠MNO,PM=PN=4,若射线OC上有一点O,则N№的最小值为一. 51/70 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B N 【答案】2 【详解】解：OC平分∠AOB,∠AOB=60°， ∠C0B=)∠40B=30 过点N作N№1OC于点Q,如图所示， M P B N :∠00N=90°， 0=ON, 垂线段最短， ∴当ON最小，且g⊥OC时，N№最小， 过点P作PE⊥OA于点E,作PF⊥OB于点F, :OC平分∠AOB, ..PE=PF, ,∠PEM=∠PFN=90° ∴，△PME与△PFN为直角三角形， .PM=PN, .RtAPEM≌RtePFN, 52/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ME NF, :PE=PF,OP=OP,aOPE和aOPF为直角三角形， .RtAOPES≌RtAOPF, .OE=OF: 当点M在点E的下面，点N在点F的左侧时，如图所示： E C M B .OM=OE-ME.ON=OF-NF ..OM=ON, ∠AOB=60°， ∴.△OMN为等边三角形， .∠MNO=60°， ∴.∠PNB=∠MNO=60°. .OC平分∠AOB ZPON=)∠A0B=30° .∠OPN=∠PNF-∠PON=30°， .∠OPN=∠PON, ∴此时ON=PW=4: 当点M在点E的上面，点N在点F的左侧时，如图所示： M o B NF 53/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OM=OE+EM,ON=OF-NF, .此时OM>ON, ∴.在△OMN中∠ONM>∠OMN. .∠ONM+∠OMN=180°-∠MON=120°， ∴.∠ONM>60°， .∠PNB=∠ONM, ∴.∠PNF>60°， .∠POB=30°， :.∠OPN=∠PNB-∠POB=∠PNB-30°， ∴.∠OPW>30°. ∴.在△PON中，∠OPN>∠PON, ..ON PN. 即ON>4: 当点M在点E的下面，点N在点F的右侧时，如图所示： A E M C B F .OM=OE-EM,ON =OF+NF. ∴此时OM<ON, ∴.在△OMN中∠OWM<∠OMN, .:∠ONM+∠OMN=180°-∠MON=120°， ∠ONM<60°， :∠PNB为△PNF的外角，∠PFN=90°， .∠PWB>90° .∠PNB>∠ONM, 54/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴此种情况不符合题意： 当点M与点E重合，点N与点F重合时，如图所示： (M)ER C P B FN) OE=OF, ..OM=ON, ∴.△OMN为等边三角形， ∴.∠MNO=60°， .PW⊥OB, .∠PNB=90°， ∴.∠PNB>∠MNO 此种情况不符合题意； .ON的最小值为4， :0=5oN=2, 2 即N№的最小值为2. 故答案为：2. 5.材料阅读：如图1，在△ABC中，BE,CE分别平分∠ABC,∠ACB,连接AE.求证：AE平分 ∠BAC 小星同学看到BE,CE分别平分∠ABC,∠ACB,想到了角平分线的性质，他过点E分别作AB,BC, AC的垂线段EM,EN,EP,得到EM,EN,EP之间的数量关系，从而证明AE平分∠BAC. 55/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)请用小星的方法或自己的方法证明AE平分∠BAC: (2)方法应用：如图2，在△ABC中，D是BC的延长线上一点BE,CE分别平分∠ABC,∠ACD,连接AE ①探究∠EAC与∠CEB之间的数量关系，并说明理由： ②当∠CEB=30°时，如图3，过点A作AF⊥AE交BE于点F,连接CF并延长交AB于点G，,BE与AC 交于点H,探究BG,CH与BC之间的数量关系， 【答案】(1)证明见解析： 2)O∠EAC=90°-∠CEB,理由见解析：②BC=BM+CM=BG+CH 【分析】(1)过点E分别作EM⊥AB,EN⊥BC,EP⊥AC,垂足分别为M,N,P,通过角平分线的 性质，可以得到EM=EN,EN=EP,从而得到EM=EP,从而可以推由AE平分∠BAC: (2)①∠EAC=9O°-∠CEB.理由如下：过点E分别作EM⊥BA,交BA的延长线于点M,过点E分别 作EN⊥BD,EP⊥AC,垂足分别为N,P,通过角平分线的性质，先证明出AE平分LCAM,然后利用 三角形的外角推出∠ACD-∠ABC=∠BAC=180°-2∠EAC,∠CEB=∠ECD-∠EBC=90°-∠EAC;②在 BC上截取BM=BG,连接MF,由O,知∠EAC=90°-∠CEB,∠BAC+2∠EAC=180°，接着证明 △BFG≌aBFM(SAS)△CFM≌aCFH(ASA) 从而得出BC=BM+CM=BG+CH 【详解】(1)证明：如图1，过点E分别作EM1AB,EN⊥BC,EP⊥AC,垂足分别为M,N,P. A M B N 图1 :BE平分∠ABC, .EM=EN .CE平分∠ACB, 56/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EN=EP .EM=EP. 又EM⊥AB,EP⊥AC, ∴.AE平分∠BAC」 (2)解：①∠EAC=90°-∠CEB.理由如下： 如图2，过点E分别作EM⊥BA,交BA的延长线于点M,过点E分别作EN⊥BD,EP⊥AC,垂足分 别为N,P B -D 图2 :BE平分∠ABC,EM⊥AB,EN⊥BD, ∠EBC2∠ABC,EM=EN. ,CE平分∠ACD,EP⊥AC,EN⊥BD, .ECD-ACD ,EP=EN· ∴.EP=EM. 又EP⊥AC,EM LAB, .AE平分∠CAM. ∴.∠CAM=2∠EAC :∠ABC+∠BAC=∠ACD,∠BAC=180°-∠CAM, ·.∠ACD-∠ABC=∠BAC=180°-∠CAM=180°-2∠EAC. .∠ECD=∠EBC+∠CEB :∠CB6=∠BD-∠BC=(∠4CD-∠ABC)-=080-2∠EAC)=90°-∠E4C. 即∠EAC=90°-∠CEB ②如图3，在BC上截取BM=BG,连接MF 57/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B M 图3 由①，知∠EAC=90°-∠CEB,∠BAC+2∠EAC=180°， ,∠CEB=30°， .∠EAC=90°-30°=60° .∠BAC=180°-2∠EAC=180°-2×60°=60° ,AF⊥AE, ∴∠EAF=90° .∠CAF=∠EAF-∠EAC=90°-60°=30° ∴.∠BAF=∠BAC-∠CAF=60°-30°=30° ∴.∠BAF=∠CAF .AF平分∠BAC :BE平分∠ABC, ∴.∠ABF=LCBF=号∠ABC 由(1)，知CF平分∠ACB :AC=∠BCF=ACB」 :∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-60°=120° :∠BrG=∠CB+∠ar-1ac+AcB-X12m-60. ∴.∠CFH=∠BFG=60°，∠BFC=180°-∠BFG=180°-60°=120°， 在△BFG和△BFM中，BG=BM,∠GBF=∠MBF,BF=BF, 、△BFG≌ABFM(SAS) .∠BFG=∠BFM=60° .∠CFM=∠BFC-∠BFM=120°-60°=60° 58/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CFM=∠CFH. 在△CFM和△CFH中，∠CFM=∠CFH,CF=CF,∠FCM=∠FCH. ACFM≌aCFH(ASA) ..CM=CH ∴.BC=BM+CM=BG+CH 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的定义，三角形内角和定理，三角形全等的判定 与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键 6.如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O,AO交BC于D,BO交AC于E,连接OC, 过O作OF⊥BC于F. D (1)试判断∠AOB与∠ACB的数量关系，并证明你的结论： (2)试判断∠AOB与∠COF的数量关系，并证明你的结论： (3)若∠ACB=60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论. 【答案】(1) 1 解：∠A0B=90°+7∠ACB,证明如下： :AD平分∠CAB,BE平分∠CBA, :208-4C4,20B4=4CB4, ∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA) =180-2(<CMB+∠CB4 59/70 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =180°- 2180-∠ACB) =90°+2 1 ACB； (2) 解：∠AOB+∠COF=180°，证明如下： 过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N, E D 日F 01 b N B :AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,OF⊥BC, ..OM=ON,ON=OF, ..OM=OF, ∴.O在∠ACB的角平分线上， :∠0cF=)∠ACB 2 结合(A)可知，∠A0B=90°+)∠ACB=90°+∠0C, OF⊥BC .∠COF+∠OCF=90° ∴.∠COF=90°-∠OCF, ·.∠A0B+∠C0F=90°+∠0CF+90°-∠0CF=180°： (3) 解：OE=OD,证明如下： ,∠ACB=60° ÷由1)知，∠A0B=90°+)∠ACB=90°+30°=120° 60/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EOD=∠AOB=120°， OM⊥AC,OF⊥BC, .∠OME=∠OFD=90°，∠CM0=∠CF0=90°， .∠M0F=360°-90°-90°-60°=120°， ∴.∠MOE=∠DOF=120°-∠MOD, 在△EOM和△DOF中， ∠OME=∠OFD ∠MOE=∠DOF OM=OF △EOM≌△DOF(AAS) ∴.OE=OD 【分析】()根据角平分线的定义可得∠0AB=C4B,∠0B4=<CBA,然后由 ∠A0B=180°-（∠0MB+∠0BA）=180°-（∠CMB+∠CBA）,即可获得答案： (2)过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,首先根据角平分线的性质定理可得OM=ON,ON=OF 得OM=OF,进而证明C0为∠ACB的角平分线，结合(1)可知，∠AOB=90°+∠OCF,再证明 ∠COF=90°-∠OCF,即可证明结论： (3)结合题意证明∠MOE=∠DOF,然后利用“AAS”证明△EOM≌aDOF,由全等三角形的性质即可 证明OE=OD 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、角平分线的性质定理和判定定理、直角三角形两锐角互余、全 等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键， 7.【问题呈现】 (1)如图1，OP是∠AOB的平分线，C是OP上的任意一点，CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,则线 段CD和CE的数量关系是一· 61/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识应用】 (2)如图2，在△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交AB于点D,DF⊥BC于点F,E为AC上一点， 连接DE,且∠B+∠CED=180°.试判断CE,CF,BF之间的数量关系，并说明理由. 【拓展延伸】 (3)如图3，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC,D为AC的中点，AE⊥BD交BC于点E, 连接DE,试说明BD=AE+DE. 图1 图2 图3 【答案】(1)CD=CE: (2)解：CE=CF-BF,理由： :CD平分∠ACB,∠A=90°，DF⊥BC, .DF=DA,∠DCF=∠DCA,∠DFC=∠A, △DCF≌△DCA(AAS) ..CF=CA :∠CED+∠AED=180°，∠B+∠CED=180°， ∴，∠B=∠AED, 又：∠DFB=∠A=90°，DF=DA, .△DFB≌△DAE(AAS) ∴.BF=AE, CE=CA-AE=CF-BF: (3)解：过点C作CG1AC,交AE的延长线于点G,如图： 62/70 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=∠ACB=45°，AB=AC, .∠BAC=90°， ,AE⊥BD, ·.∠ABD+∠BAE=90° 又：∠CAG+∠BAE=90°， :.∠ABD=∠CAG. 又：AB=AC,∠BAD=∠ACG=90°， △BAD≌△ACG(ASA) .BD=AG CG=AD. ,点D是AC的中点， .CD=AD .CD=CG, :∠ACG=90°，∠ACB=45° .∠GCE=∠ACB=45°， :CD=CG,∠GCE=∠ACB,CE=CE. △DCE≌AGCE(SAS) .GE=DE .AG=AE+GE,BD=AG,DE=GE .'BD=AE+DE. 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键 (1)根据角平分线的性质即可得出答案； 63/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)先证明△DCF≌△DCA,得到CF=CA,再证明△DFB≌aDAE,得到BF=AE,即可得出答案； (3)过点C作CG⊥AC,交AE的延长线于点G,先证明△BAD≌△ACG,得到BD=AG,CG=AD,进 而得到CD=CG,再证明△DCE≌aGCE,得到GE=DE,即可得出结论. 【详解】解：(1)OP是∠AOB的平分线，CD⊥OA,CE⊥OB, .CD=CE. 故答案为：CD=CE； (2)略 (3)略 8.(1)观察发现 如图1，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,A与∠C互补，∠A=90°，则DA与DC的数量关系是 (2)性质探究 如图2，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,∠A与∠C互补，∠A≠90°，则(1)中DA与DC的数量关 系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由 (3)问题拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=120,AB=AC,BD平分∠ABC,AD=2,点E为BC边上一点，当 DE=DA时，请直接写出线段CE的值. 图1 图2 图3 【答案】(1)DA=DC: (2)DA=DC;理由如下： 如图2中，作DE⊥BA交BA延长线于点E,DF⊥BC于点F, 64/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 :BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥BF, ∴.DE=DF, :∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°， ∴.∠EAD=∠C, 在△DEA和△DFC中， ∠E=∠DFC=90 ∠EAD=∠C DE=DF △DEA≌△DFC(AAS) ∴.DA=DC (3)4或2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、直角三 角形的性质等知识点，正确作辅助线、构造全等三角形成为解题的关键， (1)由角平分线的性质可解答： ()②如图：作DE LBA交BA延长线于点B,DF LBC于点R,证明△DEM2aDFC(AAS) 再根据全等三 角形的性质即可解答： (3)如图3，在BC上截取BE=BA,连接DE,证明 ABD≌AEBD(SAS) 得出 AD=DE=2,∠A=∠BED=120°，由直角三角形的性质可即可解答：如图3：取CE的中点F,易证 △DEF为等边三角形，CF=DF=DA=2,即点E与点F重合时也满足题意，即CE=2. 【详解】解：(1)：BD平分∠ABC,∠BAD=90°，∠BAD+∠C=180° .∠BCD=90, 65/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..DA=DC 故答案为：DA=DC, (2)略 (3)如图3，在BC上截取BE=BA,连接DE, A E F 图3 ·AB=AC,∠A=120° .∠ABC=∠C=30°， ,BD平分∠ABC, .∠DBE=∠ABD=15°， BDBD, △ABD≌AEBD(SAS) .AD=DE=2,∠A=∠BED=120°. .∠EDC=90°， ∠C=30°， ∴CE=2DE=4, 如图3：取CE的中点F, ∠DEC=60°， ∴.△DEF为等边三角形， ·.CF=DF=DA=2,即点E与点F重合时也满足题意， .CE=2. 综上所述，CE的长为4或2 9.如图，己知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC,D为AC上一点，CE⊥BD于E,交BA的延长线 于F. 66/70 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ABD≌△ACF: 2若BD平分∠ABC,求证：CE=D: (3)若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，请求出它的度数. 【答案】(1) 证明：∠BAC是直角，CE⊥BD, ∴.∠BAC=∠CAF=∠BEC=90°， .∠CDE+∠DCE=90°，∠ABD+∠ADB=90°， :∠ADB=∠CDE, ∴.∠ABD=∠ACF, 在△ABD和△ACF中， ∠BAD=∠CAF=90° AB=AC ∠ABD=∠ACF ∴△ABD≌AACF(ASA) (2) 证明：由(1)知，△ABD≌△ACF, :.BD=CF, BD⊥CE,BD平分∠ABC, :BC=BF, :BD⊥CE, ..CE=EF, :.CE--CF-TBD: 2 2 67/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)∠AED不变化，∠AED=45 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形 的面积公式，作出辅助线是解本题的关键： (1)利用等角的余角相等判断出∠ABD=∠ACF,即可得出结论： (2)先判断出BC=CF,进而判断出CF=2BD,即可得出结论： (3)作出辅助线，利用全等三角形的面积相等，进而判断出AH=AG,即可得出AE是∠BEF的角平分线， 【详解】(1)略 (2)略 (3)∠AED不变化， 理由：如图，过点A作AG⊥CF于G,作AH⊥BD于H, BAD≌aCAF(ASA) 由(1)证得 SABAD=SACAF BD=CF ∴BD·AH=CF·AG,而BD=CF, .AH=AG :AH⊥EB,AG⊥EG, ∴.EA平分LBEF, ∴.∠BEA= ∠BEG=45°， 1 即：∠AED不变化. C B 10.在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC,M为直线AC上一动点，ME⊥BC,E为垂足，∠AME 的平分线交直线AB于点F. 68/70 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M M D F E B E 图1 图2 (1)如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 并证明； (2)如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 并证明： 【答案】(1)BD∥MF,证明见解析 (2)BD⊥MF,证明见解析 【分析】(1)过点D作DH⊥BC,首先证明△ABD≌△HBD(AAS),得到∠ADB=∠HDB,然后根据角平分 线的概念和平行线的判定求解即可： (2)延长MF交BD于点H,首先根据三角形的内角和定理得到∠ABC=∠CME,然后根据角平分线的概 念及垂直的判定求解即可. 【详解】(1)BD∥MF,理由如下： 过点D作DH⊥BC, D EH C:∠A=∠BHD=9O°∠ABD=∠CBD BD=BD ∴.△ABD≌△HBD(AAS) ∴.∠ADB=∠HDB ME⊥BC, .∠EMC=∠HDC, ∴.∠AME=∠ADH, ∴∠AMF=∠ADB, FM∥BD: (2)BD⊥MF,理由如下： 延长MF交BD于点H, :∠BAM=∠BEM=90°，∠AOM=∠BOE, 69/70 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=LCME, ∴.∠AMF=∠ABD :∠AFM=∠BFM, ∴∠BHM=∠MAB=90°， ∴.MF⊥BD M D H B E 【点晴】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的内角和、平行线的判定及垂直的判定，是一道综合题. 70/70