专题02 角平分线10大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

专题02 角平分线 （题型突破·举一反三） 题型01 尺规作角平分线 题型02 尺规作角平分线中的全等三角形问题 题型03 角平分线的证明问题 题型04 利用角平分线的性质求线段长 题型05 利用角平分线的性质求角度 题型06 利用角平分线的性质求三角形面积 题型07 利用角平分线的性质解决最值问题 题型08 角平分线性质的实际应用 题型09 角平分线的性质与判定综合 题型10 角平分线的新定义问题 ▌题型01 尺规作角平分线 尺规作角平分线依据全等三角形 SSS 判定。牢记作图步骤：截取等长线段，再画两段相等半径圆弧交于一点，连接顶点与交点即为角平分线。作图题保留全部作图痕迹，不能擦除弧线。解答中可利用角平分线得到两角相等，结合角度计算，注意理解作图原理，不可只记操作，要会简单证明所作射线平分已知角。 【典例】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式1】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图,已知． (1)用尺规作图法,在边上取一个点D，使得； (2)用尺规作图法,作的平分线，交于点P； (3)在（2）的条件下，连接，你能发现图中哪条线段与线段相等．请说明理由． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D． (1)利用圆规和无刻度直尺作出的平分线交于点E；（保留作图痕迹） (2)求的度数． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·单元测试）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是______． （2）若，，则的长是______． ▌题型02 尺规作角平分线中的全等三角形问题 尺规作角平分线全等依据为 SSS。作图截取两组相等线段，圆弧交点得到公共边，三边对应相等证三角形全等，进而得到对应角相等。做题要识别图中两组全等三角形，会书写完整全等证明。作图痕迹必须保留圆弧，分清已知边与公共边，结合角相等进行角度计算，不可省略全等推理步骤。 【典例】（24-25八年级上·广东广州·阶段检测）在中，的平分线与的平分线相交于点，则________，若的平分线交于点，则________． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，点是的中点，是的平分线． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【变式3】（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． ▌题型03 角平分线的证明问题 证明角平分线，两种思路：一是证明两个角相等；二是利用角平分线判定，证明点到角两边距离相等。看清题目条件，区分角平分线性质和判定不要混淆。证明距离相等时常搭配全等三角形。书写要写清推理依据，不能凭肉眼看图判断角相等，得出结论后核对条件，保证逻辑严谨。 【典例】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，的外角和的平分线交于点P，于点M，于点N，判断点P是否在的平分线上，并说明理由． 【变式2】（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． ▌题型04 利用角平分线的性质求线段长 利用角平分线性质求线段长，牢记：角平分线上的点到角两边距离相等。看清垂直条件，无垂直要作辅助垂线构造距离。区分性质与判定，避免混用。常结合全等、勾股定理计算线段，遇到倍分关系可用方程求解。答题写明垂直条件，不能直接默认距离相等，计算后检验线段数值是否合理。 【典例】（2025·福建厦门·三模）如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【变式2】（2025·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． (1)求证：； (2)若，，则的长 ． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． ▌题型05 利用角平分线的性质求角度 【典例】（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，是的角平分线，F为上一点，连接，E为上一点，，且，若，则一定等于（   ） A． B． C． D． ▌题型06 利用角平分线的性质求三角形面积 【典例】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，中，是的角平分线，是的中线，若的面积是28，，，则的面积是______． 【变式1】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则______． 【变式3】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． ▌题型07 利用角平分线的性质解决最值问题 【典例】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，中，，以B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若为上一动点，连结，则的最小值为（     ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 【变式2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． ▌题型08 角平分线性质的实际应用 角平分线性质实际应用题，核心是角平分线上的点到角两边距离相等。读懂实际场景，抽象出几何模型，找到角平分线与垂直距离。缺少垂线时要作辅助线，把实际条件转化为线段相等。区分性质与判定，结合全等或方程计算线段，答题写出几何推理，不可直接套用生活直觉，最后检验结果是否符合题意。 【典例】（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ ▌题型09 角平分线的性质与判定综合 【典例】（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 【变式2】（25-26七年级下·安徽宿州·期末）在锐角三角形中，，、分别为的角平分线，、相交于点． （1）则的度数为________； （2）若平分，当，，的面积为时，则的面积为________． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，和均为等腰直角三角形，其中，点D在线段上，连接，过点C作，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，，求的长度． ▌题型10 角平分线的新定义问题 【典例】（24-25八年级上·上海·期中）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形； (2)如图，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系． 【变式1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）我们定义：顶角等于的等腰三角形为黄金三角形． 如图，中，且，则为黄金三角形． (1)利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；（保留作图痕迹，不写作法） (2)说说（1）中的三角形是“黄金三角形”的理由． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【变式3】（25-26八年级上·山东德州·期中）【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． (1)如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； (2)如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 角平分线 （题型突破·举一反三） 题型01 尺规作角平分线 题型02 尺规作角平分线中的全等三角形问题 题型03 角平分线的证明问题 题型04 利用角平分线的性质求线段长 题型05 利用角平分线的性质求角度 题型06 利用角平分线的性质求三角形面积 题型07 利用角平分线的性质解决最值问题 题型08 角平分线性质的实际应用 题型09 角平分线的性质与判定综合 题型10 角平分线的新定义问题 ▌题型01 尺规作角平分线 尺规作角平分线依据全等三角形 SSS 判定。牢记作图步骤：截取等长线段，再画两段相等半径圆弧交于一点，连接顶点与交点即为角平分线。作图题保留全部作图痕迹，不能擦除弧线。解答中可利用角平分线得到两角相等，结合角度计算，注意理解作图原理，不可只记操作，要会简单证明所作射线平分已知角。 【典例】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，即为所作．（作法不唯一） 【分析】根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】略 【变式1】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图,已知． (1)用尺规作图法,在边上取一个点D，使得； (2)用尺规作图法,作的平分线，交于点P； (3)在（2）的条件下，连接，你能发现图中哪条线段与线段相等．请说明理由． 【答案】(1)如图，点D，使得； (2)如图，作的平分线，交于点P； (3)，理由如下： 在（2）的条件下，的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧交于点，即可得到； （2）尺规作图法,作的平分线即可； （3）证明即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D． (1)利用圆规和无刻度直尺作出的平分线交于点E；（保留作图痕迹） (2)求的度数． 【答案】(1)如图，即为所求： (2) 【分析】（1）以点为圆心，以任意长度为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，连接并延长，交于点，即可获得答案； （2）首先根据“直角三角形两锐角互余”解得的度数，再根据角平分线的定义解得的度数，然后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分，且， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·单元测试）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是______． （2）若，，则的长是______． 【答案】 /60度 9 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，线段的和差，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可利用平角的定义求出的度数； （2）利用证明，得到，同理，利用线段和差关系得到即可得到答案． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：9． ▌题型02 尺规作角平分线中的全等三角形问题 尺规作角平分线全等依据为 SSS。作图截取两组相等线段，圆弧交点得到公共边，三边对应相等证三角形全等，进而得到对应角相等。做题要识别图中两组全等三角形，会书写完整全等证明。作图痕迹必须保留圆弧，分清已知边与公共边，结合角相等进行角度计算，不可省略全等推理步骤。 【典例】（24-25八年级上·广东广州·阶段检测）在中，的平分线与的平分线相交于点，则________，若的平分线交于点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分的定义，全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，根据是的角平分线，可得，根据“角边角”可证，，可得，，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， 故答案为：①；② ． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：在上截取，连接， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得，再根据平角定义求得，再根据角平分线的定义推导，进而根据三角形的内角和定理求解即可； （2）在上截取，连接，先证明得到，，再证明，，进而证明得到，然后由可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴； （2） 略 【点睛】线段的和差证明问题，添加辅助线构造全等三角形是关键． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，点是的中点，是的平分线． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，延长，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是的平分线（等腰三角形的三线合一）． (2)2 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长，交的延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，则可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得证； （2）延长，交的延长线于点，先求出，则，再代入计算即可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长，交的延长线于点， 由（1）已证：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型03 角平分线的证明问题 证明角平分线，两种思路：一是证明两个角相等；二是利用角平分线判定，证明点到角两边距离相等。看清题目条件，区分角平分线性质和判定不要混淆。证明距离相等时常搭配全等三角形。书写要写清推理依据，不能凭肉眼看图判断角相等，得出结论后核对条件，保证逻辑严谨。 【典例】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【分析】先证明，则，再根据角平分线的判定定理可得是的平分线． 【详解】略 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，的外角和的平分线交于点P，于点M，于点N，判断点P是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】解：点在的平分线上，理由如下： 如图，过点作于点，连接， ∵和的平分线交于点，且，，， ∴，， ∴， 又∵点在的内部， ∴点在的平分线上． 【分析】过点作于点，连接，先根据角平分线的性质定理可得，，则可得，再根据角平分线的判定定理即可得． 【详解】解：略． 【变式2】（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先运用证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先运用证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． （2）解：，理由如下： 在与中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，如图所示，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据角平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵于点E，于点F， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵于点E，于点F，， ∴平分． ▌题型04 利用角平分线的性质求线段长 利用角平分线性质求线段长，牢记：角平分线上的点到角两边距离相等。看清垂直条件，无垂直要作辅助垂线构造距离。区分性质与判定，避免混用。常结合全等、勾股定理计算线段，遇到倍分关系可用方程求解。答题写明垂直条件，不能直接默认距离相等，计算后检验线段数值是否合理。 【典例】（2025·福建厦门·三模）如图，在中，平分交于点D，垂足为E，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由角平分线的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵ ∴． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 【变式2】（2025·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． (1)求证：； (2)若，，则的长 ． 【答案】(1)证明：平分，，， ，， 在和中， ， ； (2)2 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，根据可证； （2）由题意可证：，可得，由，可得的长． 【详解】（1）略； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于边上的点处，于点．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知条件及，可推导出且，进而得出，代入数据求解即可． 【详解】解：， ， 平分，， ， 同理，， ， 平分，， ， ， ， ， ． ▌题型05 利用角平分线的性质求角度 【典例】（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，点是内部的一点，点到三边，，，的距离，，则的度数为_______________． 【答案】/130度 【分析】由，根据证明全等得到、分别平分、，先利用三角形内角和求出，再求出，最后再次用三角形内角和算出． 【详解】解：点到三边的距离， 在和中， ， ， ， 平分， 同理，平分， ，， 在中，根据三角形内角和定理：， 即， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，是的中点，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先过点E作，根据角平分线的性质得出，得到，根据全等三角形的性质从而得到，即可解答． 【详解】解：过点E作，如图 ∴ ∵平分，且E是的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角相等即可得到，结合平分，则，最后在中利用三角形内角和为求解即可． 【详解】解： ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在四边形中，是的角平分线，F为上一点，连接，E为上一点，，且，若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在上截取，连接，证明，，从而得出，利用导角结合三角形外角的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质和多边形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴ ． ▌题型06 利用角平分线的性质求三角形面积 【典例】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，中，是的角平分线，是的中线，若的面积是28，，，则的面积是______． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图过点D作，，垂足分别为、， ∵是角平分线， ∴， 设， 即 ∴， 解得， ∴， ∵是中的中线， ∴． 故答案为． 【变式1】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则______． 【答案】/ 【分析】此题考查了三角形中线的性质和角平分线的性质．根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作， 为的角平分线， ∵为中点， ∴，， 设，则， 则， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 【答案】(1) 证明：如图，过点P作于F，于G，于H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴平分； (2)17.5 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）过点P作于F，于G，于H，根据角平分线的性质得到，得到，再根据角平分线的判定证明； （2）根据三角形面积公式求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是15，的面积是10， ∴， ∴， ∴的周长． ▌题型07 利用角平分线的性质解决最值问题 【典例】（2025·吉林长春·模拟预测）如图，中，，以B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点D，交于点E；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若为上一动点，连结，则的最小值为（     ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据基本作图得到平分，过G点作于H点，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短解决问题． 【详解】解：由作法得平分， 过G点作于H点，如图，    ∵为的平分线，，， ∴， ∵P为上一动点， ∴的最小值为的长， 即的最小值为1． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点是边上的动点，连接、，若的最小值是3，则的度数为_______． 【答案】20 【分析】根据有最小值可得，由此可得，结合角平分线的性质求解即可． 【详解】解：当有最小值时，则有， ∵， ∴， ∵， ∴为的角平分线， ∵ ∴． 【变式2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】过作于，在线段上取一点，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点分别为上一个动点，得到当在上，与重合时，最小． 【详解】解：过作于，在线段上取一点，使，连接，， ∵为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴当在上时， ∵点分别为上一个动点， ∴当在上，与重合时，最小． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】在上截取线段，作，垂足为，容易证明，则．由垂线段最短可得，点、、都在垂线段上时，最小，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，作，垂足为， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴当点、、都在垂线段上时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段和最值问题，三角形的面积公式，掌握好相关知识是关键． ▌题型08 角平分线性质的实际应用 角平分线性质实际应用题，核心是角平分线上的点到角两边距离相等。读懂实际场景，抽象出几何模型，找到角平分线与垂直距离。缺少垂线时要作辅助线，把实际条件转化为线段相等。区分性质与判定，结合全等或方程计算线段，答题写出几何推理，不可直接套用生活直觉，最后检验结果是否符合题意。 【典例】（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·上海·期末）如图，有三条公路a、b、c两两相交于A、B、C三点．现要建设一个商场P，使得它到三条公路的距离相等． (1)小海同学发现，符合条件的商场P的位置一共有4个，其中有一个在的内部．请用尺规作出在外部的另外3个符合要求的点P（保留作图痕迹，不必写作法，可将作出的三个点分别标记为、和）； (2)猜想：请你写出根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形 ． 【答案】(1) 、和如图所示： (2)是锐角三角形 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，三角形的分类，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，故分别作出的角平分线，它们的交点分别记为、和，即可作答． （2）观察（1）的图，得出三角形是锐角三角形，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）的要求作出的三个点所围成的三角形所具有的一个特征：三角形是锐角三角形． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【答案】(1)，， (2) 成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴＝． 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案； （2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）略 ▌题型09 角平分线的性质与判定综合 【典例】（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，请按小明的思路进行证明． (2)小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接请按小刚的思路进行证明． (3)如图③，在四边形中，对角线平分，，，过点作，垂足为点，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明∶如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴． (2)小刚的证明思路∶如图②，延长到，使，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)解∶；理由如下： 如图：作于M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）小明的证明方法：证出，再证明可得，再利用等量代换即可证明结论； （2）小刚的证明方法：证出得出，再证明，再利用等角对等边以及等量代换即可证明结论； （3）如图：作于M，先根据角平分线的性质得出，证明得出，证明得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1】（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，． (1)若，，点，分别是，上的点，且．试探究线段，，之间的数量关系． 小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：________°； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：________． (2)如图，若，点，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图，若，，点，分别是，延长线上的点，若，求的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由如下： 延长到点，使，连接，如图所示： ， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， 又， ， 结论仍然成立； (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用、角平分线的判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先由“”证明，得到、，进而推导出，再证明，即可得角的度数和线段关系； （2）利用可推导出，沿用（1）的截长补短构造全等的思路，先证明，再证明，判断结论是否成立； （3）采用截长补短法，在上截取，先证明，得到、，再证明，结合角的和差关系推导与的数量关系． 【详解】（1）解：①延长到点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ； ②由①知，、， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略； （3）解：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·安徽宿州·期末）在锐角三角形中，，、分别为的角平分线，、相交于点． （1）则的度数为________； （2）若平分，当，，的面积为时，则的面积为________． 【答案】 /度 【分析】过点作于点，过点作于点，根据角平分线性质定理得，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，再通过证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可． 【详解】解：（1），，分别为的角平分线， ， ； （2）如图，过点作于点，过点作于点， ∵，平分， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， 为的角平分线，，， ， ， 的面积． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，和均为等腰直角三角形，其中，点D在线段上，连接，过点C作，垂足为点F． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：和均为等腰直角三角形 在与中 ． (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，从而得出，最后根据即可证明； （2）证明得，由三线合一得，代入数据，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ 平分 过点作 在与中 ∴ 又 又 ∵，， ∴ ▌题型10 角平分线的新定义问题 【典例】（24-25八年级上·上海·期中）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们______（填是或不是）友谊三角形； (2)如图，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． 【详解】（1）解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2）平分， ， ，，与是友谊三角形， ， 在上取一点，使得，连接，如图 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 【变式1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）我们定义：顶角等于的等腰三角形为黄金三角形． 如图，中，且，则为黄金三角形． (1)利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；（保留作图痕迹，不写作法） (2)说说（1）中的三角形是“黄金三角形”的理由． 【答案】(1) 就是所求作的黄金三角形： (2) 解：， ， 由作图可知，平分， ， ， ， 所以是黄金三角形． 【分析】本题主要考查了角平分线的作图，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质及角平分线的作图是解答本题的关键． （1）根据定义可知，黄金三角形需满足两个条件：①等腰三角形，②顶角为．因此满足条件的黄金三角形不唯一，例如以为一个角构造黄金三角形，只需作的平分线交于点D，则是黄金三角形； （2）由及三角形内角和定理可知，由角平分线的定义可得，则，所以，故是黄金三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是_________；（填序号） ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． (2)猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1)③； (2)， 理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，，, ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）略 （3）略 【变式3】（25-26八年级上·山东德州·期中）【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形，如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． (1)如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； (2)如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【答案】(1) 正确，理由如下： 作交延长线于点，作于点， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又，， 为的角平分线． (2) ，理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【详解】略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $