1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦用空间向量研究线线角、线面角、面面角，从必修空间角知识导入，通过问题链建立新旧联系，以导入问题、公式推导、微思考辨析、例题及方法总结构建递进学习支架。 其亮点在于注重逻辑推理（如微思考区分向量夹角与空间角关系）和数学运算（一题多解对比基底法与坐标法），拓展最小角定理等深化理解，小结表格系统呈现三种角的范围和公式。学生能提升空间观念与运算能力，教师可借助分层训练实施差异化教学。

第二课时　用空间向量研究夹角问题 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.会用向量法求线线角、线面角、面面角（数学运算）. 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系（逻辑 推理）. 情境导入 　　在必修课程中，我们学习过异面直线所成的角，直线与平面相交所成的角，以及两个平面相交所成的二面角.这些角能否借助直线的方向向量、平面的法向量来求解呢？ 目 录 CONTENTS 知识点一　两异面直线所成的角 知识点二　直线与平面所成的角 知识点三　两个平面的夹角 小结与自测 教材挖掘　最小角与最大角定理 课时作业 知识点一　两异面直线所成的角 目录 5 问题　（1）异面直线l1，l2所成的角与它们的方向向量u和v的夹角之间 有什么关系？ 提示：相等或互补. （2）能不能借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角？ 提示：可以.可转化为两条异面直线的方向向量的夹角问题来解决. 数学·选择性必修第一册 目录 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则 cos θ＝｜ cos ＜u，v＞｜＝ 　｜ ｜　＝ 　 　. ｜ ｜　 　 数学·选择性必修第一册 目录 【微思考】 求两异面直线所成的角θ时，为什么不能用 cos θ＝ cos ＜u，v＞？ 提示：因为两异面直线所成角θ的范围是（0， ］，而两个向量夹角＜ u，v＞的范围是[0，π]，事实上，当＜u，v＞是锐角时，θ＝＜u，v ＞， cos θ＝ cos ＜u，v＞；当＜u，v＞是钝角时，θ＝π－＜u，v＞， cos θ＝－ cos ＜u，v＞. 数学·选择性必修第一册 目录 〔一题多解〕（链接教材P36例7）如图所示，在四棱锥P-ABCD中， PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝ AD＝1，求 PB与CD所成的角. 数学·选择性必修第一册 目录 解：法一　由题意知｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ＋ . 因为PA⊥平面ABCD，所以 · ＝ · ＝ · ＝0， 因为AB⊥AD，所以 · ＝0，因为AB⊥BC，所以 · ＝0， 所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ＋ ）＝ ＝1. 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ， 所以＜ ， ＞＝60°， 所以PB与CD所成的角为60°. 数学·选择性必修第一册 目录 法二　由题意得AB，AD，AP两两垂直，所以建立如图所示的空间直角 坐标系， 则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）， 所以 ＝（－1，0，1）， ＝（1，－1，0）， cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ . 所以＜ ， ＞＝120°， 故PB与CD所成的角为60°. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 求异面直线所成的角的方法 （1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题目中，经常采用取定基底的 方法，在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则 与 可分别 作为a，b的方向向量，则 cos θ＝ ，根据条件可以把 与 用基底表示，再进行计算； （2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出各相关点 的坐标，进而利用公式求解.利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作 角的步骤，使过程变得更简单. 数学·选择性必修第一册 目录 训练1　如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，则异面直线BA1 和AC所成角的大小为 ⁠. 60° 数学·选择性必修第一册 目录 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x 轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），A1 （a，0，a），所以 ＝（0，－a，a）， ＝（－ a，a，0）.所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ，所以＜ ， ＞＝120°.又因为异面直线所成角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，所以异面直线BA1和AC所成角的大小为60°. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点二　直线与平面所成的角 目录 15 问题　如图，直线AB与平面α相交于点B，AC垂直于平面α，直线AB与平 面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，你认为θ 与＜u，n＞之间有什么关系？ 提示： sin θ＝｜ cos ＜u，n＞｜. 数学·选择性必修第一册 目录 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直 线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 sin θ＝｜ cos ＜u，n＞｜ ＝ 　｜ ｜　＝ 　 　. ｜ ｜　 　 数学·选择性必修第一册 目录 提醒：（1）直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影 所成的角，其范围是［0， ］；（2）若＜u，n＞是一个锐角，则θ＝ －＜u，n＞；若＜u，n＞是一个钝角，则θ＝＜u，n＞－ . 数学·选择性必修第一册 目录 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2， ∠ABC＝60°，M是AB的中点. 数学·选择性必修第一册 目录 （1）求直线BE与平面EAC所成角的正弦值； 解：连接MC，因为EA＝EB，M是AB的中点，所以EM⊥AB， 因为平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，EM⊂平面 ABE，所以EM⊥平面ABCD，又CM⊂平面ABCD， 所以EM⊥CM， 在菱形ABCD中，因为∠ABC＝60°， 所以△ABC是正三角形， 所以MC⊥AB，所以ME，MC，MB两两垂直. 所以以点M为坐标原点，MB，MC，ME所在直线分别为x，y，z轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 数学·选择性必修第一册 目录 则M（0，0，0），A（－1，0，0），B（1，0，0），C（0， ， 0），E（0，0， ）， ＝（1， ，0）， ＝（1，0， ）， ＝（－1，0， ），设m＝（x，y，z）是平面ACE的一个法向量， 则 即令z＝1，得m＝（－ ，1，1）， 设直线BE与平面EAC所成的角为θ， 则 sin θ＝｜ cos ＜ ，m＞｜＝ ＝ ＝ ， 所以直线BE与平面EAC所成角的正弦值为 . 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求直线EC与平面EAD所成角的余弦值. 解：由（1）知，D（－2， ，0）， ＝（－1， ，0）， ＝ （1，0， ）， ＝（0， ，－ ）. 设平面EAD的法向量为n＝（x1，y1，z1）， 则 令z1＝1，得x1＝－ ，y1＝－1， 所以n＝（－ ，－1，1）. 数学·选择性必修第一册 目录 设直线EC与平面EAD所成的角为α， 则 sin α＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ， 所以 cos α＝ ＝ ＝ . 所以直线EC与平面EAD所成角的余弦值为 . 数学·选择性必修第一册 目录 变式　本例条件不变，若点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的 角为45°，求出 的值. 解：由题意可知，平面ABE的一个法向量为n＝（0，1，0）， ＝（1，0， ）， ＝（0， ，－ ）， 设 ＝λ ＝（0， λ，－ λ），0≤λ≤1， 则 ＝ ＋ ＝（1， λ， － λ）， 因为直线AP与平面ABE所成的角为45°， 数学·选择性必修第一册 目录 所以 sin 45°＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ＝ ， 整理可得4－6λ＝0，解得λ＝ ，所以 ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 向量法求直线与平面所成角的步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）求直线的方向向量 ； （3）求平面的法向量n； （4）设线面角为θ，则 sin θ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 训练2　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点， 则直线A1B与平面BDE所成的角为（　　） A. B. C. D. √ 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　以D为原点建立空间直角坐标系（图略），可求得平面BDE的 法向量为n＝（1，－1，2），而 ＝（0，1，－1），所以 cos ＜n， ＞＝ ＝－ ，则＜n， ＞＝ ，故直线A1B与平面BDE所 成的角为 . 数学·选择性必修第一册 目录 知识点三　两个平面的夹角 目录 29 问题　（1）如图，图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形 成的二面角有什么关系？ 提示：图中有四个二面角，夹角与二面角相等或互补. （2）两个平面的夹角与两平面的法向量的夹角有何关系？ 提示：两平面的夹角等于两平面的法向量的夹角或其补角. 数学·选择性必修第一册 目录 1. 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，把这四个二面角中 ⁠ 的二面角称为平面α与平面β的夹角. 不大 于90°　 数学·选择性必修第一册 目录 2. 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1 和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ n1，n2＞｜＝ 　｜ ｜　＝ 　 　. 提醒：（1）两个平面夹角的范围是［0， ］，二面角的范围是[0，π]， 若夹角为 ，则两个平面垂直；（2）因为两个平面法向量的方向不确定， 故＜n1，n2＞∈[0，π]，若＜n1，n2＞为钝角，应取其补角. ｜ ｜　 　 数学·选择性必修第一册 目录 （链接教材P37例8）如图所示，在三棱锥S-ABC中，O为BC的中 点，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°， 求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值. 数学·选择性必修第一册 目录 解：因为△SAB与△SAC均为等边三角形，所以AB＝AC. 连接OA，则OA⊥BC. 以O为坐标原点，OB，OA，OS所在直线分别为x轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设B （1，0，0），则C（－1，0，0），A（0，1，0），S （0，0，1），O（0，0，0）. 所以 ＝（0，1，－1）， ＝（－1，0，－1）， ＝（0，1，0）. 设平面SAC的法向量为n＝（x，y，z），则 数学·选择性必修第一册 目录 令x＝1，则z＝－1，y＝－1，所以n＝（1，－1，－1）. 易知平面SBC的一个法向量为 ＝（0，1，0）. 设平面SAC与平面SBC的夹角为θ， 所以 cos θ＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ， 所以平面SAC与平面SBC夹角的余弦值为 . 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 向量法求两平面夹角的步骤 （1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标； （2）求出两个平面的法向量n1，n2； （3）设两平面的夹角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜n1，n2＞｜. 数学·选择性必修第一册 目录 训练3　（1）（2026·洛阳强基联盟联考）设a＝（1，1，0），b＝ （t，0，1）分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则实数t 的值为（　C　） A. 1 B. －1 C. －1或1 D. 2 C 解析：因为法向量a，b的夹角与两平面所成的角相等或互补，所以 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝± ，解得t＝±1. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧 棱长为1，则平面ABC与平面AB1C1的夹角的大小为（　A　） A A. B. C. D. 解析：以C为原点，在平面ABC中，过C作BC的垂线为 x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空 间直角坐标系，如图，则A（ ，1，0），B1（0，2， 1），C1（0，0，1），则 ＝（－ ，1，1）， 数学·选择性必修第一册 目录 ＝（－ ，－1，1），设平面AB1C1的法向量为n＝（x，y，z）， 则 得 令x＝1，得n＝（1，0， ）为平面AB1C1的一个法向量.易知平面ABC的一个法向量为m＝（0， 0，1），所以｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ .设平面ABC与平面 AB1C1的夹角为θ，则 cos θ＝ ，所以θ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 40 数学·选择性必修第一册 目录 1. 若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝（0，－2，－1），b＝（2， 0，4），则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（　　） A. － B. C. － D. 解析：　因为a·b＝－4，｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，设l1与l2的夹角 为θ，所以 cos θ＝｜ cos ＜a，b＞｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝ . √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 已知两平面的法向量分别为m＝（0， ，0），n＝（ ， ， 2），则两平面所成的二面角为（　　） A. 60° B. 30°或150° C. 60°或120° D. 90° 解析：　 cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ ，所以＜m，n＞＝ 60°，因为二面角与二面角的两个半平面的法向量夹角相等或者互补，所 以两平面所成的二面角为60°或120°. √ 数学·选择性必修第一册 目录 3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为（　） A. B. 解析：　设该正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如 图所示.则D（0，0，0），B（1，1，0），B1（1，1， 1）， ＝（0，0，1），易知平面ACD1的一个法向量为 ＝（1，1，1）.设BB1与平面ACD1所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ . C. D. √ 数学·选择性必修第一册 目录 4. 已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB， 求平面PAB与平面PCD的夹角. 解：如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1， 则A（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）， 于是 ＝（0，1，0）. 取PD的中点E，连接AE，则E（0， ， ），∴ ＝（0， ， ）， 易知 是平面PAB的一个法向量， 是平面PCD的一个法向量， ∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ， ∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°. 数学·选择性必修第一册 目录 教材挖掘　最小角与最大角定理 目录 46 　最小角定理：如图，平面的斜线和它在平面内的射影所 成的锐角，是这条斜线和平面内任一直线所成角中的最小 者，即线面角是最小的线线角.（由三余弦定理 cos ∠PAB ＝ cos θ· cos ∠OAB可得） 最大角定理：如图，对于一个锐二面角，在其中一个半平 面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角的最大值 等于二面角的平面角，即二面角是最大的线面角.（由三正 弦定理 sin θ＝ sin α· sin ∠PAB可得） 数学·选择性必修第一册 目录 （1）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA 上的点（不含端点）.记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面 ABC所成的角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则（　B　） A. β＜γ，α＜γ B. β＜α，β＜γ C. β＜α，γ＜α D. α＜β，γ＜β 解析：由最小角定理可得β＜α.记二面角V-AB-C的平面角为γ'（显然γ'＝ γ）.由最大角定理有β＜γ'＝γ. B 数学·选择性必修第一册 目录 （2）在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，∠ADB＝ ，二面角B- AD-C的大小为α，则α的取值范围是（　C　） A. （0， ］ B. （0， ］ C. （0， ］ D. （0， ］ 解析：（最小角定理）因为BD⊥DA，所以二面角B-AD-C的平面角即为 直线BD与平面ACD所成的角，由线面角最小知α≤∠BDC＝ . C 数学·选择性必修第一册 目录 【迁移应用】 1. 如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行 射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点沿墙面上的 射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观 察点P的仰角θ的大小.若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝ 30°，则tan θ的最大值是 .（仰角θ为直线AP与平面 ABC所成角） ​ 数学·选择性必修第一册 目录 解析：由二面角最大定理知，直线AP与平面ABC所成角的最大角即二面角D-AC-B，如图，将其放进长方体中，易知BD＝ ，BF＝12，所以（tan θ）max＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 2. 〔一题多解〕如图，在△ABC中，AB＝1，BC＝2 ，∠ABC＝ ， 将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使平面ABP⊥平面ABC，D是边BC的中 点，设Q是线段PA上的动点，当PC与DQ所成的角取得最小值时，线段 AQ的长度为 ⁠. ​ 数学·选择性必修第一册 目录 解析：法一（正方体模型＋线面角最小定理）　将三棱锥放进棱长为2的正方体内（如图1），由最小角定理知，PC与DQ所成的角取得最小值时，即PC与平面PAD所成的角，过点C作CH⊥EF，则∠CPH为PC与平面PAD所成的角，需DQ∥PH，延长PH，AF交于点M，计算得FM＝ ，AM＝ ，所以 ＝ ＝ ，即AQ＝ AP＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 法二（线面角最小＋三余弦定理）　如图2，取BP的中点G，连接DG，有PC∥GD. 由最小角定理知，当DQ恰好是GD在平面PAD内的投影时所成的角最小.连接AG，过点G作GO⊥DQ. 计算得DG＝ ，AG＝1，GO＝ ，由三余弦定理 cos ∠ADG＝ cos ∠ADQ· cos ∠GDQ知 cos ∠ADQ＝ ，所以AQ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 法三（坐标法）　如图3，过点C作CO⊥AB，交BA的延 长线于点O，连接PO. 以点O为原点，以OB所在直线为 x轴、OC所在直线为y轴、OP所在直线为z轴建立空间直 角坐标系.则O（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0， 2），C（0，2，0），B（2，0，0），D（1，1，0）.设 ＝λ ，有 ＝ ＋ ＝（－λ，－1，2λ）， ＝（0，2， －2），所以 cos ＜ ， ＞＝ ≤ ，当λ＝ 时取到等 号，此时AP＝ ，AQ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：105分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 56 1. 设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a， n＞＝ ，则l与α所成的角为（　　） A. B. C. D. 解析：　线面角的范围是 .∵＜a，n＞＝ ，∴l与法向量所在 直线所成角为 ，∴l与α所成的角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 如图，已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若 cos ＜m，n ＞＝－ ，则二面角α-l-β＝（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：　设二面角α-l-β为θ，0°≤θ≤180°，由题图可知， cos θ＝ cos ＜m，n＞＝－ ，∴θ＝120°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 3. 已知平面α的一个法向量为a＝（1，2，2），平面β的一个法向量为b＝ （－1，2，0），则两平面的夹角的余弦值为（　　） A. B. 解析：　设两平面的夹角为θ，又平面α的一个法向量为a＝（1，2， 2），平面β的一个法向量为b＝（－1，2，0），所以 cos θ＝｜ cos ＜ a，b＞｜＝ ＝ ＝ ＝ . 故选D. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 4. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则直线 BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所 在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1 （0，2，1），∴ ＝（－2，0，1）， ＝（－2，2，0），且易证 为平面BB1D1D的一个法向量.设直线BC1与平面BB1D1D所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ .∴直线BC1 与平面BB1D1D所成角的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 5. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，若沿EF将 正方形折成一个直二面角，则AF与CE所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　由题意知，AE，DE，EF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝EF＝CD＝2，则E（0，0，0），A（1，0，0），F（0，2，0），C（0，2，1），所以 ＝（－1，2，0）， ＝（0，2，1），所以｜ cos ＜ ， ＞｜＝ ＝ ＝ ，所以 AF与CE所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 6. 〔多选〕直线l的方向向量为a，两个平面α，β的法向量分别为n，m， 则下列命题为真命题的是（　　） A. 若a⊥n，则直线l∥平面α B. 若a∥n，则直线l⊥平面α C. 若 cos ＜a，n＞＝ ，则直线l与平面α所成角的大小为 D. 若 cos ＜m，n＞＝ ，则平面α，β夹角的大小为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：对于A，若a⊥n，则直线l∥平面α或在平面α内，故选项A不正确；对于B，若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线l⊥平面α，故选项B正确；对于C，直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若 cos ＜a，n＞＝ ，则直线l与平面α所成角的大小为 ，故选项C正确；对于D，若 cos ＜m，n＞＝ ，则平面α，β夹角的大小为 ，故选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 7. 〔多选〕如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD， ∠CBA＝∠DBC＝120°，则（　　） A. 异面直线AD与BC所成角的大小为90° B. 异面直线AB与CD所成角的余弦值为 C. 直线AD与平面BCD所成角的大小为45° D. 直线AD与平面BCD所成角的大小为60° √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz.设AB＝2，则B（0，0，0），A（0，－1， ）， C（0，2，0），D（ ，－1，0），所以 ＝（ ， 0，－ ）， ＝（0，2，0）， ＝（0，1，－ ）， ＝（ ，－3，0）.因为 · ＝0，所以AD⊥BC，即异面直线AD与BC所成角的大小为90°，故A正确.因为｜ cos ＜ ， ＞｜ ＝ ＝ ，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为 ，故B正 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 确.设直线AD与平面BCD所成的角为θ，θ∈[0°，90°]，因为n＝（0，0，1）是平面BCD的一个法向量，所以 sin θ＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ，所以θ＝45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，故C正确，D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 8. 如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝ PA，点O，D分 别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的 正弦值为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a，则OP＝ a， ＝（－ a，0， a），可求得平面PBC的法向量为 n＝（－1，1， ），所以 cos ＜ ，n＞＝ ＝ ，设直线OD与平面PBC所成的角为θ，则 sin θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 9. 在空间中，已知平面α过A（3，0，0）和B（0，4，0）及z轴上一点P （0，0，a）（a＞0），如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a ＝ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：平面Oxy的一个法向量为n＝（0，0，1）.设平面α的法向量为u＝ （x，y，z），又 ＝（－3，4，0）， ＝（－3，0，a），则 即 即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝ （ ， ，1）.而｜ cos ＜n，u＞｜＝ ＝ ，又∵a＞0，∴a ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 10. （13分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q 分别为A1B1，BC的中点. （1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； 解：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分 别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC， OO1⊥OC，OO1⊥OB. 以O为原点，OB，OC，OO1所 在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 因为AB＝AA1＝2，所以A（0，－1，0），B（ ，0，0），C（0，1，0），A1（0，－1，2），B1（ ，0，2），C1（0，1，2）. （1）因为P为A1B1的中点， 所以P（ ，－ ，2），从而 ＝（－ ，－ ，2）， 又 ＝（0，2，2）， 故 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ . 因此异面直线BP与AC1所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值. 解：因为Q为BC的中点，所以Q（ ， ，0）， 因此 ＝（ ， ，0）， 又 ＝（0，2，2）， ＝（0，0，2）. 设n＝（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量， 则 即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 不妨取n＝（ ，－1，1）. 设直线CC1与平面AQC1所成角为θ， 则 sin θ＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ＝ ，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 11. 在正四棱锥P-ABCD中，PA＝AB＝4，M为棱PC的中点，则异面直 线AC，BM所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　如图，∵M为PC的中点，∴ ＝ － ＝ － ，且 ＝ － ，∠BPC＝∠APB＝60°，由 于PA＝PC＝4，AC＝ AB＝4 ，故PA2＋PC2＝AC2， 则∠APC＝90°，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝4， ∴ · ＝（ － ）·（ － ）＝ － · － · ＋ · ＝ ×16－0－4×4× ＋4×4× ＝8，又｜ ｜＝ 2 ，｜ ｜＝4 ，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .故异面直线AC，BM所成角的余弦值为 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 12. 如图，三棱锥A-BCD中，AB＝BC＝AC＝DB＝DC，且平面ABC与 底面BCD垂直，E为BC中点，EF􀰿AD，则平面ADB与平面ABF夹角的 余弦值为（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　连接AE，DE，因为AB＝BC＝AC＝DB＝ DC，E为BC中点，所以AE⊥BC，DE⊥BC，又平面 ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂ 平面ABC，所以AE⊥平面BCD，故ED，EB，EA两 两垂直.以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系.设AB＝2，由EF􀰿AD，可得A（0，0， ），D（ ，0，0），B（0，1，0），F（－ ，0， ）.则 ＝（0，1，－ ）， ＝（ ，0，－ ）， ＝（－ ，0，0）.设平面ADB的一个法向量为m＝（x，y，z），则有 所以 取z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 ＝1，得x＝1，y＝ ，则m＝（1， ，1）.设平面ABF的一个法向量为n＝（a，b，c），则有 所以 取c＝1，得a＝0，b＝ ，则n＝（0， ，1）.则 cos ＜m，n＞＝ ＝ ＝ ，则平面ADB与平面ABF夹角的余弦值为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 13. 三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1， AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足 ＝λ ，则直线 PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：如图所示，以AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系.则P（λ，0，1），B（1，0， 0），C（0，1，0），N（ ， ，0）， ＝（ －λ， ，－1）.易知平面ABC的一个法向量为n＝（0，0， 1），设直线PN与平面ABC所成的角为θ，所以 sin θ＝ ＝ ，所以当λ＝ 时，（ sin θ）max＝ ，此时角θ最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 14. （15分）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及 其内部）以AB边所在的直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 的中点. （1）设P是 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； 解：因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB∩AP＝A，AB， AP⊂平面ABP， 所以BE⊥平面ABP. 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP. 又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）当AB＝3，AD＝2时，求平面AGE与平面ACG夹角的大小. 解：以B为坐标原点，BE，BP，BA所在的直线分 别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得A（0，0，3），E（2，0，0），G（1， ， 3），C（－1， ，0），则 ＝（2，0，－3）， ＝（1， ，0）， ＝（2，0，3）， 设m＝（x1，y1，z1）是平面AGE的法向量. 由 得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 取z1＝2，可得m＝（3，－ ，2）. 设n＝（x2，y2，z2）是平面ACG的法向量. 由 得 取z2＝－2，可得n＝（3，－ ，－2）， 所以｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ . 因此平面AGE与平面ACG夹角的大小为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 15. （15分）（2026·广东部分学校联考）如图，在四棱台ABCD- A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB＝3AA1＝2A1B1＝6，AA1⊥平面 ABCD. （1）求直线DD1与平面BCC1B1所成角的正弦值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解：因为AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面 ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD， 又底面ABCD是正方形，AB⊥AD，故AB，AD，AA1两两互相垂直. 以A为原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略）， 则A（0，0，0），B（6，0，0），B1（3，0，2）， C（6，6，0），D（0，6，0），D1（0，3，2）， 所以 ＝（0，6，0）， ＝（－3，0，2）， ＝（0，－3，2）. 设平面BCC1B1的法向量为m＝（x1，y1，z1）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 则 令x1＝2，则y1＝0，z1＝3，故平面 BCC1B1的一个法向量为m＝（2，0，3）. 设直线DD1与平面BCC1B1所成的角为θ， 则 sin θ＝｜ cos ＜ ，m＞｜＝ ＝ ＝ ， 故直线DD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）若棱BC上有一点P，使得二面角P-AD1-D的余弦值为 ，求线段 BP的长. 解：设点P（6，λ，0），λ∈[0，6]， 则 ＝（6，λ，0）， ＝（0，3，2）. 设平面AD1P的法向量为n＝（x2，y2，z2）， 则 令y2＝－6，得z2＝9，x2＝λ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 故平面AD1P的一个法向量为n＝（λ，－6，9）. 易知平面ADD1的一个法向量为v＝（1，0，0）， 所以｜ cos ＜n，v＞｜＝ ＝ ＝ ， 解得λ＝2或－2（舍去）， 故BP＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 $