1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，通过旗杆与地面垂直的情境导入，以问题驱动引导学生用向量语言表述和证明垂直关系，搭建起向量知识与空间垂直的学习支架。 资料以数学抽象、逻辑推理和数学运算为核心素养，设置一题多解、规律方法总结及探索性问题，帮助学生从数学角度观察空间关系，通过向量运算与推理理解垂直本质，提升自主探究与解决问题的能力，便于教师教学与学生学习评估。

第三课时　空间中直线、平面的垂直 课标要求 情境导入 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系（数学抽象、逻辑推理）． 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系（逻辑推理、数学运算）． 　　观察图片，我们知道图中旗杆所在直线和地面垂直．那么如何用向量来表示二者的关系呢？ 知识点一　直线与直线垂直 问题　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔　　　　⇔　　　　． 提醒：两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． 如图，已知正三棱柱ABC －A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=CC1．求证：AB1⊥MN． 规律方法 证明两直线垂直的方法及步骤 （1）坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直； （2）基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 训练 1　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD=90°，AB∥CD，AD=CD=a，AB=2a．若AE⊥PB于E，求证：DE⊥PB． 知识点二　直线与平面垂直 问题　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 线面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔　　　⇔∃λ∈R，使得　　　　． 【微思考】 若直线的方向向量与平面内的两直线的方向向量的数量积为零，则直线与平面垂直，对吗？ 〔一题多解〕如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC． 规律方法 用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤 基向 量法 把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，分别证明它们垂直 坐标法 利用线 线垂直 （1）建系后，将直线的方向向量用坐标表示； （2）找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； （3）分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0 利用平面 的法向量 （1）建系后，将直线的方向向量用坐标表示； （2）求出平面的法向量； （3）判断直线的方向向量与平面的法向量平行 训练 2　如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AD=AB=2，M，N分别为AB，PC的中点．求证：MN⊥平面PCD． 知识点三　平面与平面垂直 问题　设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 面面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔　　　　　　　⇔　　　　　　． 〔一题多解〕在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS=AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD． 规律方法 向量法证明面面垂直的两种思路 （1）证明两个平面的法向量互相垂直； （2）根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个平面． 训练 3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面EAD1⊥平面EFD1. 提能点　垂直关系中的探索性问题 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，PC=PD=，在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【破题思维】 题目信息 信息转化 平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD= 联想到△PDC为等腰三角形，可取底边DC的中点O，以O为坐标原点建系 在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD 联想到设出点M的坐标，但直接设点M坐标有3个未知量，考虑到点D，P坐标易求，点M在PD上，可设=λ，进而得到点M的坐标，再利用•=0求解 规律方法 　　有关是否存在一点，使得直线、平面之间满足垂直关系的探索性问题，解答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐标，将直线、平面的垂直关系转化为直线的方向向量、平面的法向量之间关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程（组）．若方程（组）有解，则点存在；否则，点不存在． 训练 4　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BC的中点． （1）在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE？ （2）在B1D1上是否存在一点P，使平面PAE⊥平面ABCD？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直．（　　） （2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．（　　） （3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．（　　） （4）若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量垂直，则l⊥α．（　　） 2.已知直线l的方向向量为a=（4，k－1，－k），平面α的法向量为b=（k，，k＋1），若直线l⊥平面α，则k的值为（　　） A．－2　 B．3 C．－2或3　 D．或－2 3.〔多选〕已知e为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列说法中正确的有（　　） A．e⊥n1⇔l∥α B．n1⊥n2⇔α⊥β C．n1∥n2⇔α∥β D．e⊥n1⇔l⊥α 4.在三棱锥S－ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=．证明：直线SC与BC垂直． 完成课后作业　第一章　1.4　1.4.1　第三课时 答案 第三课时　空间中直线、平面的垂直 知识点一　 导入新知 问题　提示：垂直． 学习新知 u1⊥u2　u1•u2=0 【例 1】　证明：设AB的中点为O，作OO1∥AA1交A1B1于点O1，连接OC．以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． 由已知得A（－，0，0），B（，0，0），C（0，，0），N（0，，），B1（，0，1）， ∵M为BC的中点，∴M（，，0）． ∴=（－，，），=（1，0，1）， ∴•=－＋0＋=0. ∴⊥， ∴AB1⊥MN． 训练 1　证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA就是PB与底面ABCD所成的角，所以∠PBA=30°， 所以PA=a． 所以A（0，0，0），B（2a，0，0），D（0，a，0），P（0，0，a）． 所以=（0，a，0），=（2a，0，－a）． 因为•=（0，a，0）•（2a，0，－a）=0， 所以PB⊥AD．又PB⊥AE，且AD⋂AE=A，AD，AE⊂平面ADE，所以PB⊥平面ADE，所以PB⊥DE． 知识点二　 导入新知 问题　提示：平行（共线）． 学习新知 u∥n　u=λn 微思考 提示：不对．需要证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量的数量积均为零，才可得出直线与平面垂直． 【例 2】　证明：法一　设=a，=c，=b， 则=＋=（＋）=（＋）=（＋－）=（－a＋b＋c）． 因为=＋=a＋b， 所以•=（－a＋b＋c）•（a＋b）=（b2－a2＋c•a＋c•b）=（|b|2－|a|2＋0＋0）=0. 所以⊥，即EF⊥AB1． 同理，EF⊥B1C．又AB1⋂B1C=B1，AB1，B1C⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC． 法二　设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）． 所以=（－1，－1，1），=（0，2，2），=（－2，2，0）． 所以•=（－1，－1，1）•（0，2，2）=（－1）×0＋（－1）×2＋1×2=0， •=（－1，－1，1）•（－2，2，0）=2－2＋0=0， 所以⊥，⊥， 所以EF⊥AB1，EF⊥AC． 又AB1⋂AC=A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC． 法三　由法二得=（0，2，2），=（－2，2，0），=（－1，－1，1）． 设平面B1AC的法向量为n=（x，y，z），则•n=0，•n=0， 即 取x=1，则y=1，z=－1， 所以n=（1，1，－1），所以=－n， 所以∥n，所以EF⊥平面B1AC． 训练 2　证明：如图，因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，故PA，AB，AD两两垂直，以A为原点， ，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系． 又PA=AD=AB=2，M，N分别为AB，PC的中点，则P（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），M（1，0，0），N（1，1，1）， 所以=（0，1，1），=（0，－2，2），=（2，0，0），设平面PCD的法向量为n=（x，y，z）， 则有 得x=0，y=z，令y=1，则z=1，所以n=（0，1，1），则∥n，所以MN⊥平面PCD． 知识点三　 导入新知 问题　提示：垂直． 学习新知 n1⊥n2　n1•n2=0 【例 3】　证明：设AS=AB=1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），E（，，）． 法一　连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为（，，0）． 易知=（0，0，1），=（0，0，）， ∴=，∴OE∥AS． 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD． 又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD． 法二　设平面BDE的法向量为n1=（x，y，z）． 易知=（－1，1，0），=（－，，）， ∴ 即 取x=1，可得平面BDE的一个法向量为n1=（1，1，0）．∵AS⊥平面ABCD， ∴平面ABCD的一个法向量为n2==（0，0，1）． ∵n1•n2=0，∴平面BDE⊥平面ABCD． 训练 3　证明：如图，建立空间直角坐标系，则E（0，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，1），F（，2，0），=（－1，1，0），=（0，－1，1），=（，1，0），设平面EAD1的法向量为n=（x，y，z）， 则即令x=1，则y=z=1，所以n=（1，1，1）． 设平面EFD1的法向量为m=（x′，y′，z′）， 则 即令x′=2，则y′=z′=－1， 所以m=（2，－1，－1）． 因为n•m=2×1＋1×（－1）＋1×（－1）=0，所以n⊥m， 所以平面EAD1⊥平面EFD1． 提能点　 【例 4】　解：连接AC，交BD于点F，因为底面ABCD为矩形，所以F为BD的中点， 假设在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD． 取CD的中点为O，连接PO，FO， 因为底面ABCD为矩形，故BC⊥CD， 而F为BD的中点，故OF∥BC，所以OF⊥DC． 因为PC=PD=，故PO⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，平面PCD⋂平面ABCD=CD，故PO⊥平面ABCD， 故以O为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A（1，－1，0），D（0，－1，0），B（1，1，0），P（0，0，1）， 设=λ（λ∈［0，1］），M（x，y，z），则=λ， 即（x，y，z－1）=λ（0，－1，－1），则可得M（0，－λ，1－λ）， 故=（－1，1－λ，1－λ），=（－1，－2，0）， 因为AM⊥BD，故•=0，即1－2（1－λ）=0，解得λ=，即在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD，此时=． 训练 4　解：（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A（1，0，0），E（，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1）， =（0，－1，－1），=（－，0，－1）． 假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE，设N（1，b，c）， 则因为=（1，b，c－1）， 所以解得 故平面AA1B1B上存在点N（1，，），使D1N⊥平面B1AE． （2）假设在B1D1上存在点P，使平面PAE⊥平面ABCD，故可设P（λ，λ，1）， 则=（λ－1，λ，1），=（λ－，λ－1，1）， 设平面AEP的法向量为n=（x，y，z）， 则 即 令x=1，则n=（1，，1－λ）， 又平面ABCD的法向量为=（0，0，1）， 由平面PAE⊥平面ABCD，得n•=0， 即1－λ=0，解得λ=， 故在B1D1上存在点P（，，1），使平面PAE⊥平面ABCD． 随堂自测 1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）√ 2.A　因为直线l⊥平面α，所以a∥b，易知k=0或k=－1时不满足题意，则==，解得k=－2.故选A． 3.BC　因为e为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），所以e⊥n1⇒l∥α或l⊂α，A、D错误；n1⊥n2⇔α⊥β，B正确；n1∥n2⇔α∥β，C正确． 4.证明：如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由AC=2，BC=，SB=，得B（－，2，0），S（0，0，2），C（0，2，0），=（0，2，－2），=（－，0，0）．因为•=0，所以SC⊥BC． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $