1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦空间中点、直线和平面的向量表示，通过“用空间向量解决立体几何问题需先表示基本图形”的情境导入，衔接平面向量知识，搭建从平面到空间的学习支架，引导学生理解位置向量、方向向量和法向量的概念。 资料以问题驱动结合实例，通过微思考（如方向向量是否唯一）、正方体模型例题及求法向量步骤总结，帮助学生抽象空间图形的向量表示，培养数学抽象和直观想象能力。分层训练题（单选、多选、解答）强化数学运算，适合自主学习与课堂互动，有效提升核心素养。

第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 课标要求 情境导入 1.能用向量语言表述直线和平面（数学抽象）． 2.理解直线的方向向量与平面的法向量（直观想象）． 3.会求直线的方向向量与平面的法向量（数学运算）． 　　我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的点、直线和平面． 知识点一　空间中点、直线的向量表示 问题　我们知道，在平面中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l．那么在空间中，若给定一个点A和一个方向能唯一确定一条直线l吗？ 1.点的位置向量 如图，在空间中，取一定点O作为　　　　，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，向量称为点P的　　　　　　． 2.空间直线的向量表示 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=＋ta①，将=a代入①式，得=　　　　②． ①式和②式都称为空间直线的向量表达式． 3.空间任意直线都可以由直线上一点及直线的　　　　　　唯一确定． 【微思考】 直线l的方向向量唯一吗？ （1）已知直线l的一个方向向量m=（2，－1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（－1，2，z）两点，则y＋z=（　　） A．0　 B．1 C．　 D．3 （2）〔多选〕如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则（　　） A．以A为基点，点C1的一个位置向量为（1，1，1） B．以B为基点，点D的一个位置向量为（0，1，0） C．直线BC1的一个方向向量为（0，1，1） D．直线B1D的一个方向向量为（1，1，1） 听课记录　　 　　 规律方法 　　求直线的方向向量的关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算． 训练 1　（1）〔多选〕若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则下列可作为直线l方向向量的是（　　） A．（2，2，6）　 B．（1，1，3） C．（3，1，1）　 D．（－3，0，1） （2）已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为v=（1，0，0）的直线上的一点，若||=3，则点P的坐标是　　　　． 知识点二　空间中平面的向量表示 问题　（1）向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？ （2）如果点P在平面ABC内，则，，之间有什么关系？如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？ 1.空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使=　　　　　　． 2.平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的　　　　．过空间一点A，且以向量a为法向量的平面α，可以用集合表示为　　　　　　． 【微思考】 （1）过空间一点作平面的法向量，法向量唯一吗？ （2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？ （1）〔多选〕在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（　　） A．平面CDD1C1的一个法向量为（0，1，0） B．平面A1BC的一个法向量为（1，1，1） C．平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D．平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1） （2）已知平面α经过点O（0，0，0），且e=（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　． 听课记录　　 　　 规律方法 1.如果n为平面α的一个法向量，A为平面α内的一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即•n=0.从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 2.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取． 训练 2　（1）若n=（2，－3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（　　） A．（0，－3，1）　 B．（2，0，1） C．（－2，－3，1）　 D．（－2，3，－1） （2）已知n=（－3，1，2）是平面α的一个法向量，点A（0，－3，1），B（k，2k，4）在平面α内，则k=　　　　． 提能点　求平面的法向量 （链接教材P28例1）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB=AP=1，AD=，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 变式 　本例条件不变，求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量． 规律方法 求平面法向量的步骤 训练 3　在△ABC中，A（1，－1，2），B（3，3，1），C（3，1，3），设M（x，y，z）是平面ABC内任意一点． （1）求平面ABC的一个法向量； （2）求x，y，z满足的关系式． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线l的方向向量是唯一的．（　　） （2）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则•n=0.（　　） （3）空间中任意一个平面都可由它上面的一个定点及与它平行的两个不共线向量唯一确定．（　　） 2.〔多选〕已知A（－4，6，－1），B（4，3，2），则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的法向量的是（　　） A．（－，1，9）　 B．（，1，－9） C．（－15，4，36）　 D．（15，4，－36） 3.已知直线l1的方向向量a=（2，－3，5），直线l2的方向向量b=（－4，x，y），若a∥b，则x，y的值分别为　　　　． 4.已知直线l的一个方向向量为a=（2，1，1），且过点M（1，0，－1）．若平面α过直线l与点N（1，2，3），则平面α的一个法向量是　　　　　． 完成课后作业　第一章　1.4　1.4.1　第一课时 答案 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 知识点一　 导入新知 问题　提示：能． 学习新知 1.基点　位置向量　2.＋t 3.方向向量 微思考 提示：不唯一，空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． 【例 1】　（1）D　（2）AC　解析：（1）∵A（0，y，3），B（－1，2，z），∴=（－1，2－y，z－3），∵直线l的一个方向向量为m=（2，－1，3），故设=km．∴－1=2k，2－y=－k，z－3=3k．解得k=－，y=z=．∴y＋z=3. （2）当以A为基点时，点C1的位置向量为=（1，1，1），∴A正确；当以B为基点时，点D的位置向量为=（－1，1，0），∴B不正确；连接AD1，∵AD1∥BC1，=（0，1，1），∴C正确；∵=（－1，1，－1），∴直线B1D的一个方向向量为（－1，1，－1），又（－1，1，－1）与（1，1，1）不共线，∴D不正确． 训练 1　（1）AB　（2）（－3，1，1）或（3，1，1） 解析：（1）∵=（1，1，3），M，N在直线l上，∴向量（1，1，3），（2，2，6）都可作为直线l的方向向量． （2）设P（x，y，z），则=（x，y－1，z－1），因为∥v，所以=λv，即解得x=λ，y=z=1，所以P（λ，1，1）， ||==3，解得λ=±3.所以点P的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）． 知识点二　 导入新知 问题　（1）提示：存在唯一的有序实数对（x，y），使得p=xa＋yb． （2）提示：共面；存在有序实数对（x，y），使得=x＋y． 学习新知 1.＋x＋y 2.法向量　{P|a•=0} 微思考 （1）提示：过空间一点作平面的垂线有且只有一条，但法向量有无限多个，它们是共线向量． （2）提示：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线时能确定． 【例 2】　（1）AC　（2）x＋2y－3z=0 解析：（1）对于A，由AD⊥平面CDD1C1，知=（0，1，0）是平面CDD1C1的一个法向量，故A正确；对于B，由AB1⊥平面A1BC，知AB1=（1，0，1）是平面A1BC的一个法向量，故B错误；对于C，由AC1⊥平面B1CD1，知AC1=（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，故C正确；对于D，由DA1⊥平面ABC1D1，知DA1=（0，－1，1）是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误．故选A、C． （2）由题意得e⊥，则•e=（x，y，z）•（1，2，－3）=0，故x＋2y－3z=0. 训练 2　（1）D　（2）9　解析：（1）问题转化为求与n共线的一个向量．易知（2，－3，1）=－（－2，3，－1）．故选D． （2）由A（0，－3，1），B（k，2k，4），得=（k，2k＋3，3），因为n=（－3，1，2）是平面α的一个法向量，点A，B在平面α内，所以n⊥，所以n•=（－3，1，2）•（k，2k＋3，3）=－3k＋2k＋3＋6=0，解得k=9. 提能点　 【例 3】　解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），E（0，，），C（1，，0）， 于是=（0，，），=（1，，0）． 设n=（x，y，z）为平面ACE的法向量， 则即 所以 令y=－1，则x=z=． 所以平面ACE的一个法向量为n=（，－1，）． 变式　解：由例3知，P（0，0，1），C（1，，0），所以=（1，，－1）即为直线PC的一个方向向量． 设平面PCD的法向量为n=（x，y，z）， 因为D（0，，0），所以=（0，，－1）， 则即 所以令y=1，则z=． 所以平面PCD的一个法向量为n=（0，1，）． 训练 3　解：（1）设平面ABC的法向量为n=（a，b，c）．因为=（2，4，－1），=（2，2，1）， 所以 所以 令b=2，则a=－3，c=2.所以平面ABC的一个法向量为n=（－3，2，2）． （2）因为点M（x，y，z）是平面ABC内任意一点， 所以⊥n，所以－3（x－1）＋2（y＋1）＋2（z－2）=0，所以3x－2y－2z－1=0. 故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1=0. 随堂自测 1.（1）×　（2）√　（3）√ 2.BD　设平面AOB（O是坐标原点）的法向量是u=（x，y，z），则即令y=1，解得令y=4，解得故u=（，1，－9）或u=（15，4，－36）．故选B、D． 3.6，－10　解析：因为a∥b，a=（2，－3，5），则存在唯一的实数λ，使得b=λa，即（－4，x，y）=λ（2，－3，5）=（2λ，－3λ，5λ），所以解得所以x，y的值分别是6，－10. 4.（1，－4，2）（答案不唯一）　解析：依题意，=（0，2，4），显然与a不共线，设平面α的一个法向量为n=（x，y，z），则取z=2，得y=－4，x=1，因此n=（1，－4，2）是平面α的一个法向量． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $