第1章 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词命题和存在量词命题的否定”核心知识点，通过实例分析、规律总结、综合应用的脉络，构建从具体命题到形式化否定的学习支架，衔接前期量词命题概念，夯实逻辑推理基础。 该资料以问题链引导学生观察矩形、素数等实例，总结否定形式规律，培养用数学眼光发现数量关系的抽象能力。结合符号语言（∀、∃）与真假判断训练，发展逻辑推理思维，课中辅助教师引导探究，课后通过课时对点练帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的应用意识。

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 学习目标　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点) 导语 对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.例如“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”等.这节课，我们就来研究利用存在量词对全称量词命题的否定，以及利用全称量词对存在量词命题的否定. 一、全称量词命题的否定 问题1　分析下列三个命题： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x+|x|≥0. 它们有什么共同点？请试着写出三个命题的否定，并归纳它们与原命题在形式上有什么变化？各自的真假如何？ 提示　上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形，命题(1)为真命题，其否定为假命题. 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，有的素数不是奇数，命题(2)为假命题，其否定为真命题. 命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x+|x|≥0”，也就是说，∃x∈R，x+|x|<0，命题(3)为真命题，其否定为假命题. 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题，否定后命题的真假与原命题的真假都相反. 知识梳理 1.全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x).也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 例1　(课本例3)写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 解　(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上. (3)该命题的否定：∃x∈Z，x2的个位数字等于3. 例1　写出下列全称量词命题的否定： (1)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； (2)∀x∈R，使得5x-12=0. 解　命题(1)的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上. 命题(2)的否定：∃x∈R，使得5x-12≠0. 反思感悟　全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. (2)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词并明确结论是关键. 跟踪训练1　写出下列命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q； (2)任意奇数的平方还是奇数； (3)每个平行四边形都是中心对称图形. 解　命题(1)的否定：∃n∈Z，n∉Q. 命题(2)的否定：存在一个奇数的平方不是奇数. 命题(3)的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形. 二、存在量词命题的否定 问题2　分析下列三个命题： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2-2x+3=0. 它们有什么共同点？请试着写出三个命题的否定，并归纳它们与原命题在形式上有什么变化？各自的真假如何？ 提示　这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数，命题(1)为真命题，其否定为假命题. 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形，命题(2)为真命题，其否定为假命题. 命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2-2x+3=0”，也就是说，∀x∈R，x2-2x+3≠0，命题(3)为假命题，其否定为真命题. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.否定后命题的真假与原命题的真假都相反. 知识梳理 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x).也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题. 例2　(课本例4)写出下列存在量词命题的否定： (1)∃x∈R，x+2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数. 解　(1)该命题的否定：∀x∈R，x+2>0. (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形. (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 例2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在k∈R，函数y=kx+b随x值的增大而y值减小. 解　命题(1)的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分.命题的否定为真命题. 命题(2)的否定：对任意k∈R，函数y=kx+b不随x值的增大而y值减小.命题的否定为假命题. 反思感悟　存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. (2)存在量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x). 跟踪训练2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)∃x∈R，x2+x+≠0； (2)∃a≥3，a2=3a-2. 解　命题(1)的否定：∀x∈R，x2+x+=0， 因为当x=1时，x2+x+≠0， 所以命题(1)的否定是假命题. 命题(2)的否定：∀a≥3，a2≠3a-2，由于a2=3a-2的实数根a=1和a=2均小于3，所以命题(2)的否定是真命题. 三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用 例3　命题“存在x>1，使得2x+a<3”是假命题，求实数a的取值范围. 解　命题“存在x>1，使得2x+a<3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x>1，2x+a≥3”是真命题， 因为对任意x>1，都有2x+a>2+a， 所以2+a≥3， 所以a≥1，即实数a的取值范围为{a|a≥1}. 延伸探究　若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围. 解　由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题， 故有>1，所以a<1，即实数a的取值范围为{a|a<1}. 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，通常转化为存在量词命题“∃x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，通常转化为全称量词命题“∀x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. 1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的否定. (2)命题真假的判断. (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：忽略命题与其否定的真假性相反. 1.命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是(　　) A.∀x∈R，|x|+x2<0 B.∀x∈R，|x|+x2≤0 C.∃x∈R，|x|+x2<0 D.∃x∈R，|x|+x2≥0 答案　C 解析　此全称量词命题的否定为∃x∈R， |x|+x2<0. 2.命题“∃x>0，2x2=5x-1”的否定是(　　) A.∀x>0，2x2≠5x-1 B.∀x≤0，2x2=5x-1 C.∃x>0，2x2≠5x-1 D.∃x≤0，2x2=5x-1 答案　A 解析　存在量词命题的否定是全称量词命题. 3.已知命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.a<1 B.a>3 C.a≤3 D.a≥3 答案　D 解析　¬p：∀x∈{x|1<x<3}，x-a<0，¬p是真命题， 即对∀x∈{x|1<x<3}，a>x恒成立， 于是得a≥3. 4.命题“任意两个正方形都相似”的否定为 　　　　　　　　　　　　　　　　. 答案　存在两个正方形，它们不相似 解析　根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“任意两个正方形都相似”的否定为“存在两个正方形，它们不相似”. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(　　) A.¬p：∀x∈A，2x∈B B.¬p：∀x∉A，2x∉B C.¬p：∃x∉A，2x∈B D.¬p：∃x∈A，2x∉B 答案　D 解析　命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，¬p：∃x∈A，2x∉B. 2.关于命题p“∃x∈R，x2-x+1<0”的否定，下列说法正确的是(　　) A.¬p：∀x∈R，x2-x+1>0，为假命题 B.¬p：∀x∈R，x2-x+1>0，为真命题 C.¬p：∃x∈R，x2-x+1≥0，为假命题 D.¬p：∀x∈R，x2-x+1≥0，为真命题 答案　D 解析　因为x2-x+1=>0， 故命题p为假命题，则¬p为真命题； 又“∃x∈R，x2-x+1<0”的否定为“∀x∈R，x2-x+1≥0”. 3.(2024·新课标全国Ⅱ)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则(　　) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 答案　B 解析　对于命题p，取x=-1， 则有|x+1|=0<1， 故p是假命题，¬p是真命题， 对于命题q，取x=1， 则有x3=13=1=x， 故q是真命题，¬q是假命题， 综上，¬p和q都是真命题. 4.已知命题“存在x∈{x|0<x<3}，使得等式2x-m=0成立”是假命题，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≤0或m≥6} B.{m|m<0或m>6} C.{m|m<0或m≥6} D.{m|m≤0或m>6} 答案　A 解析　命题“存在x∈{x|0<x<3}，使得等式2x-m=0成立”是假命题， 即命题“任意x∈{x|0<x<3}，等式2x-m=0不成立”是真命题， 即∉{x|0<x<3}， 所以≤0或≥3， 解得m≤0或m≥6. 5.若“∀x∈M，|x|>6”为真命题，“∃x∈M，使x<5”为假命题，则集合M可以是(　　) A.{x|x>6} B.{x|x<-6} C.{x|x<6} D.{x|x>-6} 答案　A 解析　“∀x∈M，|x|>6”为真命题， ∴M⊆{x|x>6或x<-6}， “∃x∈M，使x<5”为假命题， ∴“∀x∈M，x≥5”为真命题， M⊆{x|x≥5}，∴M⊆{x|x>6}. 6.(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2+1≠0”的叙述，正确的是(　　) A.¬p：∃x∈R，x2+1=0 B.¬p：∀x∈R，x2+1=0 C.p是真命题，¬p是假命题 D.p是假命题，¬p是真命题 答案　AC 解析　命题p：“∀x∈R，x2+1≠0”的否定是“∃x∈R，x2+1=0”. 所以p是真命题，¬p是假命题. 7.(多选)下列命题的否定是假命题的是(　　) A.等圆的面积相等，周长相等 B.∀x∈N，x2≥1 C.任意两个等边三角形都是相似的 D.有些梯形的对角线相等 答案　ACD 解析　A的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，假命题； B的否定：∃x∈N，x2<1，真命题； C的否定：有些等边三角形不相似，假命题； D的否定：所有梯形的对角线都不相等.如等腰梯形的对角线相等，假命题. 8.(5分)命题“∀x∈R，n∈N*，使得n≥x2”的否定是　　　　　　　　　　　　. 答案　∃x∈R，n∈N*，使得n<x2 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀x∈R，n∈N*，使得n≥x2”的否定为“∃x∈R，n∈N*，使得n<x2”. 9.(5分)已知命题p：“∃x≥3，使得2x-1<m”是假命题，则实数m的最大值是　　　　　. 答案　5 解析　因为命题p：“∃x≥3， 使得2x-1<m”是假命题， 所以¬p：“∀x≥3，2x-1≥m”是真命题， 故m≤5. 10.(10分)写出下列命题的否定： (1)有些四边形有外接圆；(3分) (2)末位数字为9的整数能被3整除；(3分) (3)∃x∈R，x2+1<0.(4分) 解　(1)所有的四边形都没有外接圆. (2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除. (3)∀x∈R，x2+1≥0. 11.(多选)下列说法错误的是(　　) A.命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1<3x” B.命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0” C.命题“所有五边形的内角和都是540°”的否定为“所有的五边形的内角和都不是540°” D.命题“对任意x∈R，总有x2>0”是真命题 答案　ACD 解析　对于A，命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故A错误； 对于B，命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，故B正确； 对于C，该命题的否定应为“存在一个五边形，它的内角和不是540°”，故C错误； 对于D，当x=0时，x2=0，故D错误. 12.(5分)已知命题p：∀x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}，且¬p是假命题，则实数a的取值范围为　　　　　　. 答案　{a|-3≤a≤1} 解析　因为¬p是假命题，所以p是真命题， 又∀x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}， 所以{x|-3≤x≤2}⊆{x|a-4≤x≤a+5}， 则 解得-3≤a≤1， 即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}. 13.(5分)已知命题“∃x∈R，使4x2+x+(a-2)=0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　　. 答案　 解析　∵命题“∃x∈R，使4x2+x+(a-2)=0”是假命题，∴命题“∀x∈R，4x2+x+(a-2)≠0恒成立”是真命题，即判别式Δ=12-4×4×(a-2)<0，即a>.故实数a的取值范围为. 14.(10分)已知命题p：∃x∈R，x2-2x+m=0，命题q：-2<m<2.若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围. 解　由p是真命题，得Δ=4-4m≥0，所以m≤1. 若p为真命题，q为假命题， 则解得m≤-2； 若p为假命题，q为真命题，则 解得1<m<2. 所以实数m的取值范围为{m|m≤-2或1<m<2}. 15.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x+1”的否定形式是(　　) A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n<2x+1 B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n<2x+1 C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n<2x+1 D.∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x+1 答案　D 解析　由题意可知，全称量词命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x+1”的否定形式为存在量词命题“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x+1”. 16.(12分)已知集合A={x|6≤x≤20}，集合B={x|x≤2a}，命题p：∃x∈A，x∈B，命题q：∀x∈R，x2+2x-a>0. (1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(5分) (2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)若命题p为真命题，则A∩B≠∅， 所以2a≥6，所以a≥3， 所以当命题p为假命题时，a的取值范围为{a|a<3}. (2)当命题q为假命题时，即“∃x∈R，x2+2x-a≤0”为真命题， 所以Δ=4+4a≥0，解得a≥-1， 所以a的取值范围为{a|a≥-1}， 所以当命题p，q均为假命题时，a的取值范围为 {a|a<3}∩{a|a≥-1}={a|-1≤a<3}， 所以当命题p和命题q至少有一个为真命题时，a的取值范围为{a|a<-1或a≥3}. 学科网（北京）股份有限公司 $