1.5.1 全称量词与存在量词(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案围绕全称量词与存在量词展开，通过学校团体操表演情境导入，引导学生分析“所有”“全部”等词的含义，建立全称量词、全称量词命题与存在量词、存在量词命题的概念，形成从具体到抽象的学习支架。 资料突出数学抽象与逻辑推理核心素养，通过问题链引导学生判断命题类型及真假，结合实例（如二次函数、集合）设计分层训练，从基础判断到参数范围求解，培养学生用数学语言表达的能力，提升逻辑思维与问题解决能力。

1.5.1　全称量词与存在量词 课标要求 情境导入 1.理解全称量词、全称量词命题的定义（数学抽象）. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义（数学抽象）. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假（逻辑推理）. 　　学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演，这1 000名学生符合下列条件： 　　（1）所有学生都来自高二年级； 　　（2）高二（1）班的全部学生参加表演； 　　（3）每一个学生都有固定表演路线. 知识点一　全称量词与全称量词命题 问题　情境导入中的三个语句都是命题吗？三个语句中“所有”“全部”“每一个”含义相同吗？ 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等 符号 ∀ 全称量词命题 含有　　　　　　的命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“　　　　　　　” 提醒：有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来.例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. （链接教材P27例1）判断下列说法是否为命题？若是命题，是否为全称量词命题，并判断其真假. （1）2x＋1是整数； （2）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点； （3）自然数的平方大于或等于零； （4）∀x∈R，有｜x＋1｜＞1. 规律方法 判断一个语句是全称量词命题及其真假的思路 （1）判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的”“任意一个”“一切”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别； （2）判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立. 训练1　（1）〔多选〕下列全称量词命题中真命题有（　　） A.负数不能开根号 B.对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥0 C.二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点 D.∀x∈R，y∈R，都有x2＋｜y｜＞0 （2）命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”，用数学符号表示为　　　　. 知识点二　存在量词与存在量词命题 问题　阅读下面的例子，并回答提出的问题： （1）2x＋1＝3； （2）x能被2和3整除； （3）存在一个x∈R，使2x＋1＝3； （4）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 以上语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号 ∃ 存在量词命题 含有　　　　　　的命题 形式 “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“　　　　　　　” 提醒：（1）从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题；（2）有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. （链接教材P28例2）下列命题是否为存在量词命题？若是，请指出存在量词，并判断其真假. （1）存在一个实数对（x，y），使2x＋3y＋3＜0； （2）∃x∈R，（2x－3）2≥0； （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除； （4）有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0. 规律方法 判断一个语句是存在量词命题及其真假的思路 （1）判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别； （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 训练2　（1）〔多选〕下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（　　） A.有些菱形是正方形 B.若x＞2，则2x＋1＞5 C.∃x∈R，x2－2x＋1≤0 D.∃x∈R，x2－2x＋1＞0 （2）用量词符号“∀”“∃”表示下列命题. ①有的实数不能写成小数形式：　　　　　　　　　　　　　； ②凸n边形的外角和都等于360°：　　　　　　　　　　　　　. 提能点　由含量词命题的真假求参数范围 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠⌀，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 【破题思维】 题目信息 信息转化 B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠⌀ 联想到集合为非空集合的条件m＋1≤2m－1 命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题 联想到“全称量词命题为真”的含义，可转化为B⊆A 变式　把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，则m的取值范围为　　　　. 规律方法 依据含量词命题的真假求参数范围的方法 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围. 训练3　若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围. 1.下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方法的是（　　） A.存在一个实数x，使得x2＞3成立 B.有些实数x，使得x2＞3成立 C.对于任意实数x，都有x2＞3成立 D.至少存在一个实数x，使得x2＞3成立 2.〔多选〕下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A.所有的正方形都是矩形 B.有些梯形是平行四边形 C.∃x∈R，3x＋2＞0 D.至少有一个整数m，使得m2＜1 3.已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是　　　　. 4.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假： （1）存在一个实数x，使等式x2＋2x－3＝0成立； （2）每个二次函数的图象都与x轴相交. 完成课后作业　第一章　1.5　1.5.1 答案 1.5.1　全称量词与存在量词 知识点一 导入新知 问题　提示：是；相同. 学习新知 全称量词　∀x∈M，p（x） 【例1】　解：（1）2x＋1是整数不能判断真假，故不是命题. （2）是命题；含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.因为在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题. （3）是命题；省略了全称量词，可以表示为∀n∈N，n2≥0.故是全称量词命题，真命题. （4）是命题；且为全称量词命题，当x＝0时，不满足｜x＋1｜＞1，所以“∀x∈R，有｜x＋1｜＞1”为假命题. 训练1　（1）BC　（2）∀x∈R，x2＋2x＋1≥0　解析：（1）对于A：在实数范围内，负数只是不能开偶次方根，可以开奇次方根，故A为假命题；对于B：对任意的实数a，b，a2＋b2≥0，故B为真命题；对于C：因为Δ＝（－a）2－4×（－1）＝a2＋4＞0，所以二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点，故C为真命题；对于D：当x＝y＝0时，x2＋｜y｜＝0，故D为假命题.故选B、C. （2）含有全称量词“任意一个”，用符号“∀”表示，“不小于零”就是“≥0”，因此该命题用数学符号表示为“∀x∈R，x2＋2x＋1≥0”. 知识点二 导入新知 问题　提示：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题；语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使（3）（4）变成了可以判断真假的陈述句. 学习新知 存在量词　∃x∈M，p（x） 【例2】　解：（1）是，存在量词是“存在一个”； 因为存在一个实数对（－1，－2），使得2×（－1）＋3×（－2）＋3＜0，所以存在量词命题“存在一个实数对（x，y），使2x＋3y＋3＜0”是真命题. （2）是，存在量词是“∃”； 因为∀x∈R，（2x－3）2≥0，所以存在量词命题“∃x∈R，（2x－3）2≥0”是真命题. （3）是，存在量词是“有些”； 因为存在整数6，既能被2整除，又能被3整除，所以存在量词命题“有些整数既能被2整除，又能被3整除”是真命题. （4）是，存在量词是“有一个”； 由于Δ＝4－4×4＜0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实根，所以存在量词命题“有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0”是假命题. 训练2　（1）ACD　（2）①∃x∈R，x不能写成小数形式　②∀x∈{x｜x是凸n边形}，x的外角和等于360° 解析：（1）对于A，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满足该条件，故A正确；对于B，等价于∀x＞2，则2x＋1＞5，这不是存在量词命题，故B错误；对于C，当x＝1时x2－2x＋1＝1－2＋1＝0≤0，故C正确；对于D，当x＝0时x2－2x＋1＝1＞0，故D正确.故选A、C、D. （2）①∃x∈R，x不能写成小数形式；②∀x∈{x｜x是凸n边形}，x的外角和等于360°. 提能点 【例3】　解：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠⌀， 所以解得2≤m≤3. 即m的取值范围为{m｜2≤m≤3}. 变式　{m｜2≤m≤4}　解析：p为真，则A∩B≠⌀，因为B≠⌀，所以m≥2.所以或解得2≤m≤4.即m的取值范围为{m｜2≤m≤4}. 训练3　解：∵命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题， ∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根， 则Δ＝（－4）2－4a≥0，解得 a≤4. 即实数a的取值范围为{a｜a≤4}. 随堂自测 1.C　2.CD　3.{m｜m≥0} 4.解：（1）存在量词命题.因为x2＋2x－3＝0，所以x1＝－3，x2＝1，即存在－3或1，使等式x2＋2x－3＝0成立.所以该命题为真命题. （2）全称量词命题.如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $