第五讲 全称量词与存在量词导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦全称量词与存在量词，涵盖量词意义、命题否定及真假判断等核心知识点。课堂导入可从已学命题逻辑切入，通过基础概念辨析搭建学习支架，逐步过渡到结合集合、韦恩图的综合应用，帮助学生构建完整知识脉络。 资料亮点在于题型分类系统，从基础概念到参数范围问题层层递进。结合集合与韦恩图培养数学眼光中的抽象能力，通过命题否定与真假判断训练数学思维的逻辑推理，用符号语言规范表达提升数学语言的精确性，助力学生高效掌握核心考点。

第五讲 全称量词与存在量词 【学习目标】1.全称量词与存在量词的意义； 2.全称量词命题和存在量词命题真假的判断. 【学习重点】全称量词命题和存在量词命题真假的判断. 【学习难点】全称量词命题和存在量词命题真假的判断. 必考题型全归纳： 题型一、基础概念类（填空、选择概念辨析） 知识点 1：全称量词、存在量词符号与定义 全称量词：所有、任意、每一个、一切，符号；全称量词命题： 存在量词：存在一个、至少有一个、有一个、有些，符号；存在量词命题： 1．全称量词与存在量词: （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示； （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示. 2．全称量词与全称量词命题： （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． （3）全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：________，读作“对任意属于，有成立”． 3．（1）在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题，在命题中，诸如“所有”“________”“________”“________”这样的词叫作全称量词，用符号“”表示． （2）在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题，在命题中，诸如“有些”“有一个”“________”这样的词叫作存在量词，用符号“”表示． 4．存在量词与存在量词命题： （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． （3）存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为：________，读作“存在中的元素，使成立”． 知识点 2：区分全称量词命题 、存在量词命题 含 “任意 、 所有、 一切” 为全称命题；含 “存在 、 至少有一个 、 有一个” 为存在命题；无明显量词但描述全体也是全称命题 5．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 6．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 题型二、命题否定类（高频单选考点） 知识点 3：全称量词命题的否定 规则： 的否定是 ；改量词，否定结论，条件不变 7．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 知识点 4：存在量词命题的否定 的否定是 ；改量词，否定结论 9．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 10．已知命题，，命题的否定为命题，则是“________”；的真假为________（填“真”或“假”）． 题型三、命题真假判断类 知识点 5：判断全称量词命题真假 真命题：集合内所有元素都满足结论；假命题：找到 1 个反例即可推翻 11．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 12．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 知识点 6：判断存在量词命题真假 真命题：找到 1 个元素满足结论；假命题：全部元素都不满足 13．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 题型四、结合集合、韦恩图的量词命题判断 知识点 8：集合包含关系下的存在 / 全称命题 ：A、B 有公共元素（A∩B≠∅），真命题只需举 1 个公共元素； ：A 中有元素不在 B，A 不是 B 子集才为真； ：A⊆B，全部 A 元素都在 B 才为真； ：A∩B=∅，无公共元素才为真。 14．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 15．（多选）已知集合，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点 9：韦恩图（Venn 图）结合量词与集合运算 交集、补集、并集、德摩根定律，结合存在 、全称命题判断对错 16．已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 题型五、已知命题真假求参数范围 知识点 10：全称命题恒成立求参 二次函数恒正：且；一次函数单独讨论系数 17．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 18．若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点 11：命题为假→转化其否定为真求参 逻辑：原命题假 ⇔ 命题的否定为真，再列式计算参数 19．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 知识点 12：充分不必要条件、必要不充分条件结合量词命题 小范围⇒大范围；充分不必要：条件集合是结论集合真子集 21．已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 知识点 13：集合包含与充分条件结合求参 A 是 B 充分条件 ⇔ ，分空集、非空集讨论 22．已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)设集合，求实数的取值范围. 23．已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 知识点 14：为真命题（两集合有交集）求参数 A、B 存在公共元素，联立不等式有解； 同时搭配全称命题为假（A 不是 B 子集）综合求参 24．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点 15：文字命题转、符号语言 描述全体事物→；描述存在某个事物→； 几何定理、代数语句规范符号书写 25．用符号“”与“”表示下面含有量词的命题： (1)实数的平方大于等于0； (2)存在一对实数对，使成立； (3)勾股定理． 26．用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 27．将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 28．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 巩固提升： 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 3．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 4（多选）．下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲 全称量词与存在量词 【学习目标】1.全称量词与存在量词的意义； 2.全称量词命题和存在量词命题真假的判断. 【学习重点】全称量词命题和存在量词命题真假的判断. 【学习难点】全称量词命题和存在量词命题真假的判断. 必考题型全归纳： 题型一、基础概念类（填空、选择概念辨析） 知识点 1：全称量词、存在量词符号与定义 全称量词：所有、任意、每一个、一切，符号；全称量词命题： 存在量词：存在一个、至少有一个、有一个、有些，符号；存在量词命题： 1．全称量词与存在量词: （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示； （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示. 【答案】 ∀ ∃ 2．全称量词与全称量词命题： （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． （3）全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：________，读作“对任意属于，有成立”． 【答案】， 3．（1）在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题，在命题中，诸如“所有”“________”“________”“________”这样的词叫作全称量词，用符号“”表示． （2）在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题，在命题中，诸如“有些”“有一个”“________”这样的词叫作存在量词，用符号“”表示． 【答案】 每一个 任意 一切 存在一个 4．存在量词与存在量词命题： （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． （3）存在量词命题的表述形式：存在中的一个，使成立，可简记为：________，读作“存在中的元素，使成立”． 【答案】， 知识点 2：区分全称量词命题 、存在量词命题 含 “任意 、 所有、 一切” 为全称命题；含 “存在 、 至少有一个 、 有一个” 为存在命题；无明显量词但描述全体也是全称命题 5．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 6．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的概念进行区分，再判断真假即可求出答案. 【详解】AC是全称量词命题，不符合题意，BD为存在量词命题， 对于B，当时，此时，，故为真命题，符合题意， 对于D，因为恒成立，故不存在，即为假命题，不符合题意. 故选：B. 题型二、命题否定类（高频单选考点） 知识点 3：全称量词命题的否定 规则： 的否定是 ；改量词，否定结论，条件不变 7．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定规则，更换量词并否定结论即可求解． 【详解】全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”． 所以命题“，”的否定是“，”． 8．下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【答案】C 【分析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，保持条件不变、否定结论，据此判断选项即可. 【详解】命题“若实数，则”等价于“任意,成立”， 故其否定为“存在,成立”. 知识点 4：存在量词命题的否定 的否定是 ；改量词，否定结论 9．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的否定规则，更换量词、保留原变量的取值范围、否定结论即可求解. 【详解】原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为. 10．已知命题，，命题的否定为命题，则是“________”；的真假为________（填“真”或“假”）． 【答案】 ， 假 【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，因此命题的否定为，； 举反例：当时，，不满足，因此为假命题． 题型三、命题真假判断类 知识点 5：判断全称量词命题真假 真命题：集合内所有元素都满足结论；假命题：找到 1 个反例即可推翻 11．下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论. 【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C 12．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A．，方程有实数根 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若，则 D．存在一个实数x，使等式成立 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的概念及命题真假判断，即可作出选择. 【详解】因为B，D是存在量词命题，故应排除; 对于A，当时，方程无实数根，故A错误， 由不等式性质知，C是真命题. 故选：C. 知识点 6：判断存在量词命题真假 真命题：找到 1 个元素满足结论；假命题：全部元素都不满足 13．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题进行区分，再判断命题的真假即可． 【详解】由题知，AC是全称量词命题，不符合题意；BD为存在量词命题； 对于B，恒成立，故不存在，使得，故B为假命题，故B不符合题意； 对于D，时，，则是真命题，符合题意． 故选：D． 题型四、结合集合、韦恩图的量词命题判断 知识点 8：集合包含关系下的存在 / 全称命题 ：A、B 有公共元素（A∩B≠∅），真命题只需举 1 个公共元素； ：A 中有元素不在 B，A 不是 B 子集才为真； ：A⊆B，全部 A 元素都在 B 才为真； ：A∩B=∅，无公共元素才为真。 14．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 【详解】对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足 且，故选项A正确； 对于B， ，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 对于C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 15．（多选）已知集合，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系，命题，存在量词以及全称量词的定义求解即可. 【详解】因为，，所以是的真子集， 所以，；，；即AD选项正确，BC选项错误. 故选：AD. 知识点 9：韦恩图（Venn 图）结合量词与集合运算 交集、补集、并集、德摩根定律，结合存在 、全称命题判断对错 16．已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 【答案】ACD 【分析】根据韦恩图（Venn diagram）可知，集合 与集合 有公共部分，但互不包含.结合集合的交集、补集、并集的定义及运算性质，逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域. 由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分）， 这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ， 这与图形不符，故选项B错误； 选项C：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在 与 并集中的元素集合，故选项D正确. 题型五、已知命题真假求参数范围 知识点 10：全称命题恒成立求参 二次函数恒正：且；一次函数单独讨论系数 17．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 18．若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用函数性质求出，根据全称命题为真直接求参即可. 【详解】由，得，要使，有，只需， 所以实数m的取值范围是 知识点 11：命题为假→转化其否定为真求参 逻辑：原命题假 ⇔ 命题的否定为真，再列式计算参数 19．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为“，”为真命题，结合二次函数性质列不等式可得结论. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 则，解得，即的取值范围是． 20．若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 知识点 12：充分不必要条件、必要不充分条件结合量词命题 小范围⇒大范围；充分不必要：条件集合是结论集合真子集 21．已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． 知识点 13：集合包含与充分条件结合求参 A 是 B 充分条件 ⇔ ，分空集、非空集讨论 22．已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)设集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由命题为真命题，可知关于的方程无解， 则，解得， 故集合； （2）由条件可知， ①当时，，解得，满足； ②当，则需使，解得. 由①②可知，实数的取值范围为. 23．已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知命题为真命题， 则关于的方程至少有一个实数根. 当时：方程变为，存在实数满足方程，所以符合题意； 当时：至少有一个实数根的话，其判别式， 则，即且. 综上所述，实数的取值集合 （2）已知集合，，将集合写成， 因是的充分条件，则集合是集合的子集， ①当集合为空集时，可得，符合题意； ②当集合不为空集时，则有,解得. 综上，可得，即实数的取值范围是. 知识点 14：为真命题（两集合有交集）求参数 A、B 存在公共元素，联立不等式有解； 同时搭配全称命题为假（A 不是 B 子集）综合求参 24．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得，因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得， 故选：A. 知识点 15：文字命题转、符号语言 描述全体事物→；描述存在某个事物→； 几何定理、代数语句规范符号书写 25．用符号“”与“”表示下面含有量词的命题： (1)实数的平方大于等于0； (2)存在一对实数对，使成立； (3)勾股定理． 【答案】(1)，； (2)，，，使得； (3)，则． 【详解】（1），； （2），，，使得； （3），则． 27．用量词符号“”“”表示下列命题： (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程有实数解； (3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0． 【答案】(1)一个有理数都能写成分数形式 (2)，使方程成立 (3)，它乘以任意一个实数都等于0 【分析】（1）根据全称量词命题书写形式进行书写； （2）（3）根据存在量词命题书写形式进行书写. 【详解】（1）这是全称量词命题，一个有理数都能写成分数形式． （2）这是存在量词命题，，使方程成立． （3）这是存在量词命题，，它乘以任意一个实数都等于0． 27．将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的意义，改写命题. 【详解】（1）． （2）． （3）． 28．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解． 【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 巩固提升： 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】理解全称量词和存在量词，存在就是有就可以，任意是所有的都要满足，利用这些知识进行求解即可得到答案． 【详解】， A．，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且，故选项A正确； B．，这是存在性命题，集合中的元素都在集合中，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； C．，这是全称命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； D．，这是全称命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 2．设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 因为⫋， 故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 3．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 4（多选）．下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】根据全称量词命题的特征可判断. 【详解】对于A，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，A正确； 对于B，含有存在量词，不是全称量词命题，B错误； 对于C，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，C正确； 对于D，含有全称量词，是全称量词命题，但不是真命题，例如当时，，这是假命题，D错误. 故选：AC 5．已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 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