1.3 第1课时 并集与交集(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦并集与交集，引导学生理解概念含义、掌握运算方法及性质。情境导入通过Venn图阴影提问，关联集合包含关系，搭建从集合关系到运算的学习支架。 以问题驱动概念生成，结合实例观察抽象并集、交集本质，用Venn图和数轴直观呈现，培养数学抽象与直观想象。分层训练与规律方法总结，提升数学运算能力，助力学生掌握集合运算技巧，适合自主学习与课堂教学。

第一课时　并集与交集 课标要求 情境导入 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集（数学抽象、数学运算）. 2.在具体情境中，了解全集的含义（数学抽象）. 3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（数学抽象、数学运算）. 4.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用（数学运算、直观想象）. 　　通过前面的学习，我们知道两实数存在大小关系，两个集合存在包含、相等关系.观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A，集合B有什么关系？ 知识点一　并集 问题　观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{1，2，3，4}.你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？ 1.并集的概念 提醒：（1）A∪B仍是一个集合；（2）并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. 【微思考】 集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？ 2.并集的运算性质 A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪⌀＝A；A∪B＝A⇔B⊆A；A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）. （1）（链接教材P10例1）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x｜x2－1＝0}，则A∪B＝（　　） A.{1，2，3} B.{－1，1，2，3} C.{1} D.{－1，0，1，2，3} （2）（链接教材P10例2）已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x｜－1≤x≤4}，则P∪Q＝（　　） A.{x｜－1≤x＜3} B.{x｜－1≤x≤4} C.{x｜x≤4} D.{x｜x≥－1} 听课记录 规律方法 并集的运算技巧 （1）若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性； （2）若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值. 训练1　（1）已知集合M＝{x｜－3＜x≤5}，N＝{x｜x＜－5或x＞5}，则M∪N＝（　　） A.{x｜x＜－5或x＞－3} B.{x｜－5＜x＜5} C.{x｜－3＜x＜5} D.{x｜x＜－3或x＞5} （2）已知集合A∪{1}＝{1，2，3}，则满足条件的集合A共有　　　　个. 知识点二　交集 问题　观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}，你能说出集合C中的元素与集合A，B有什么关系？ 1.交集的概念 提醒：（1）A∩B仍是一个集合，且A∩B中任一元素都是A与B的公共元素；（2）如果两个集合没有公共元素，即A∩B＝⌀. 2.交集的运算性质 A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩⌀＝⌀；A∩B＝A⇔A⊆B；（A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B. （1）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A.{3} B.{－3，2} C.{2} D.{－2，3} （2）设集合M＝{x｜0＜x＜4}，N＝{x｜≤x≤5}，则M∩N＝　　　　. 听课记录 规律方法 求两集合交集的方法 （1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可； （2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共部分，要注意端点值的取舍. 训练2　（1）已知A＝{x｜x是等腰三角形}，B＝{x｜x是直角三角形}，则A∩B＝　　　　； （2）若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤－1或x≥4}，则A∪B＝　　　　，A∩B＝　　　　　　　. 提能点　根据并集与交集运算求参数范围 已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a，且a＞0}. （1）若A∪B＝B，求实数a的取值范围； （2）若A∩B＝{x｜3＜x＜4}，求实数a的值. 变式　在本例（2）中，将条件“A∩B＝{x｜3＜x＜4}”变为“A∩B＝⌀”，则实数a的取值范围为　　　　. 规律方法 利用集合交集、并集的性质求参数的策略 （1）若集合中元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系； （2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解或解集的取值范围，从而确定参数的值或取值范围. 训练3　（1）设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝（　　） A.{0，2} B.{0，5} C.{0，2，2，5} D.{0，2，5} （2）设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x｜x≤a}，若A∩B有两个元素，则a的取值范围是　　　　. 1.集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　） A.{1，2，3，4} B.{2，3，4} C.{2，4} D.{1} 2.已知集合M＝{x｜－4＜x≤1}，N＝{x｜－1＜x＜3}，则M∪N＝（　　） A.{x｜－4＜x＜3} B.{x｜－1＜x≤1} C.{0，1，2} D.{x｜－1＜x＜4} 3.已知A＝{x｜x为矩形}，B＝{x｜x为菱形}，则A∩B＝　　　　. 4.已知集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{－1，2，3，9}，则实数a的值为　　　　. 完成课后作业　第一章　1.3　第一课时 答案 第一课时　并集与交集 知识点一 导入新知 问题　提示：集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素都属于集合C；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的. 学习新知 1.或　A∪B　{x｜x∈A，或x∈B} 微思考 提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和. 【例1】　（1）B　（2）C　解析：（1）B＝{x｜x2－1＝0}＝{1，－1}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}. （2）在数轴上表示出两个集合，如图，可得P∪Q＝{x｜x≤4}. 训练1　（1）A　（2）2　解析：（1）在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x｜x＜－5或x＞－3}.故选A. （2）若A∪{1}＝{1，2，3}，则A＝{2，3}或A＝{1，2，3}，共有2个. 知识点二 导入新知 问题　提示：集合C中的元素既属于集合A，又属于集合B. 学习新知 1.且　A∩B　{x｜x∈A，且x∈B} 【例2】　（1）C　（2）{x｜≤x＜4} 解析：（1）根据题意，图中阴影部分表示集合A，B的公共部分，即A∩B.因为集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，所以A∩B＝{2}. （2）因为M＝{x｜0＜x＜4}.N＝{x｜≤x≤5}，画出数轴如图所示.所以M∩N＝{x｜≤x＜4}. 训练2　（1）{x｜x是等腰直角三角形}　（2）R　{x｜4≤x＜5}　解析：（1）A∩B＝{x｜x是等腰三角形}∩{x｜x是直角三角形}＝{x｜x是等腰直角三角形}. （2）如图，借助数轴可知A∪B＝R，A∩B＝{x｜4≤x＜5}. 提能点 【例3】　解：（1）因为A∪B＝B，所以A⊆B，画出数轴（如图）. 观察数轴可知所以≤a≤2. 经检验端点符合题意，故实数a的取值范围为{a｜≤a≤2}. （2）画出数轴如图，A∩B＝{x｜3＜x＜4}. 观察图形可知解得a＝3. 变式　{a｜a≥4，或0＜a≤} 解析：由于A∩B＝⌀，结合数轴（图略）得a≥4，或3a≤2.又因为a＞0，所以a≥4或0＜a≤.故实数a的取值范围是{a｜a≥4，或0＜a≤}. 训练3　（1）D　（2）{a｜2≤a＜3} 解析：（1）若A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则A∪B＝{0，2，5}.故选D. （2）将集合B在数轴上表示出来，如图所示，易知当2≤a＜3时符合题意. 随堂自测 1.B　2.A　3.{x｜x为正方形}　4.±3 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $