2.2平方根与立方根 教学设计 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦算术平方根、平方根、立方根的定义、表示及运算，通过面积25m²正方形边长和体积8m³正方体棱长问题导入，回顾平方、立方运算，搭建从已知运算到逆运算的学习支架。 以情境导入激发数学眼光，对比辨析发展数学思维，结合实际问题培养数学语言。如用正方形面积、正方体体积问题引入，对比三者定义性质，例题含自由下落时间计算和梯子靠墙问题，帮助学生清晰区分概念，提升运算与应用能力，为教师提供层次分明的教学方案。

2.2 平方根与立方根 2026—2027学年 北师大版八年级数学上册 课时：1课时 一、教学目标 1. 能说出算术平方根、平方根、立方根的定义，会用 、±、 正确表示。 2. 会求完全平方数、完全立方数及简单分数、小数的开方结果。 3. 能区分平方根与算术平方根，理解 与 的成立条件。 4. 会借助估算与计算器求 、的近似值，能用开方解决简单的实际问题。 二、教学重点与难点 重点：算术平方根、平方根、立方根的定义与性质；开方运算与估算。 难点：区分平方根与算术平方根；理解（ <0 时结果为 − ）。 三、教学过程 （一）情境导入 出示两个问题： ① 面积为 25 m² 的正方形草坪，边长是多少？ ② 体积为 8 m³ 的正方体收纳箱，棱长是多少？ 引导学生列出 x²=25、x³=8，回顾平方、立方运算，顺势引出：已知平方、立方的结果反过来求底数，就是今天要学的平方根与立方根。 （二）探究新知 同学们，我们已经学习了平方运算。现在，请大家观察下面这张图，图中给出了四个正方形的面积，它们的边长分别是多少呢？ （1）根据图填空：， ， ， 。 我们很容易算出， , , , 。这几个边长都是我们已经学过的有理数。 那么，如果我们反过来思考：已知一个正方形的面积是2，它的边长是多少呢？这个问题相当于，是否存在一个正数 ，使得 ？这样的 其实就是我们今天要学习的一个新概念。 一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 就叫作 的算术平方根，记作 ，读作“根号 ”。 1. 算术平方根。已知正方形面积为 2，边长 x 满足 x²=2，这样的 x 怎么表示？ 归纳：如果一个正数 x 的平方等于（x²= ），那么这个正数 x 叫作 的算术平方根，记作；规定 。如 ，，面积 2 的正方形边长记作 。 思考：当 ≥0 时， 成立吗？ <0 时呢？()²= 中的 是什么数？ 归纳：≥0 时，，()²= ； <0 时 （即）。 2. 平方根。满足 x²=4 的数有几个？（2 和 −2） 归纳：如果一个数 x 的平方等于 （x²= ），那么 x 叫作 的平方根。正数 有两个平方根 与 −，合记作 ±；0 的平方根是 0；负数没有平方根。求平方根的运算叫开平方。 3. 立方根。已知几何体体积 216 cm³，若 x³=216，则 x=6。 归纳：如果一个数 x 的立方等于（x³= ），那么 x 叫作 的立方根，记作。每个实数都有唯一一个立方根：正数立方根为正，负数立方根为负，0 的立方根为 0。求立方根的运算叫开立方。 与平方根对比：= 、()³= 对任意实数 都成立（无≥0 的限制），因此立方根不能用 ± 表示。 （三）例题巩固 例1 求下列各数的算术平方根：(1) 900；(2) ；(3) 14。 (1) 30²=900，且 30≥0，∴ 。 (2) 49=7²，64=8²，∴ 。 (3) 14 不是完全平方数，其算术平方根保留根号，记作 ≈3.7417，(无理数）。 例2 求下列各数的平方根：(1) 64；(2) ；(3) 0.0004。 (1) (±8)²=64，∴ 64 的平方根为 ±8。 (2) 49=7²，121=11²，∴ 的平方根为 。 (3) 0.0004=(±0.02)²，∴ 平方根为 ±0.02。 例3 求下列各数的立方根：(1) −27；(2) ；(3) 0.216。 (1) (−3)³=−27，∴。 (2) 8=2³，125=5³，∴ 。 (3) 0.6³=0.216，∴ 。 例4 由静止自由下落的物体下落的距离 （单位：m）与下落时间 （单位：s）之间的关系为 。有一个铁球从 高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多少时间？ 解： 这是一个实际问题建模 + 开平方运算的应用题。我们按步骤分析： 第一步：代入已知量，建立方程 已知 ，代入公式 ，得： 第二步：解关于 的方程两边同时除以 ： 计算： （因为 ）， 所以 第三步：求 （注意物理意义！） 由 ，得 。 但时间 是物理量，必须是非负数（不能有“负2秒”）， 所以只取正根： ✅ 答：铁球到达地面需要 秒。 例5： 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定。如图，现有一架长度为 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达 高的墙头吗？ 解： 梯子为斜边，长 ； 底端到墙距离为直角边之一： ； 墙高（即另一条直角边）设为 ，即顶端高度。 由勾股定理： 现在判断 是否大于 ： 计算 ，而 ， 所以 。 ✅ 因此，梯子顶端高度超过 ，能抵达墙头。 （补充说明： ，进一步验证） （四）课堂小结 ① 算术平方根 （≥0，结果唯一非负）；平方根 ±（正数有两个）；立方根 （每个实数唯一一个）。 ② 开方运算要先判断被开方数，再求满足条件的数；结果能开尽方要化为最简，开不尽方保留根号。 ③ 实际应用列方程后注意结合意义取舍（如时间取算术平方根）。 四、板书设计 算术平方根 定义：如果一个正数 x 的平方等于（x²= ），那么这个正数 x 叫作 的算术平方根，记作 性质： ≥0 时，，()²= ； <0 时 （即） 平方根 定义：如果一个数 x 的平方等于 （x²= ），那么 x 叫作 的平方根，记作 ±。 性质：正数有 2 个（±）；0 有 1 个（0）；负数没有 立方根 定义：如果一个数 x 的立方等于（x³= ），那么 x 叫作 的立方根，记作。 性质：每个实数只有 1 个立方根；= 、()³= （ 任意实数） 五、教学反思 以面积、体积两个生活问题引入，学生容易联想到平方、立方的逆运算，进入状态快；通过算术平方根→平方根→立方根的顺序逐层推进，并用表格对比三者的定义、表示与性质，学生区分得较好；例题覆盖整数、分数、小数及实际情境，巩固充分。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $