专题2.3 二次根式及其乘除法（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦二次根式及其乘除法核心知识点，构建从概念（定义、成立条件）到性质（双重非负性、两大化简性质）再到运算（乘除法法则及逆用）的完整学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 资料通过分层题型设计（即学即练、基础到综合变式题）培养运算能力与推理意识，复合二次根式化简结合完全平方公式发展创新意识。课中助力教师突破重难点，课后学生可通过练习题查漏补缺，巩固知识。

专题2.3 二次根式及其乘除法 教学目标 1.掌握二次根式定义与成立条件，能准确判断式子是否为二次根式，求字母取值范围。 2.熟记二次根式三条核心性质，区分与，规范完成根式化简计算。 3.理解乘除法公式及适用范围，会计算带系数根式，能逆用法则化简根式。 4.规避取值、符号、拆分根式等常见错误，熟练完成基础题型的求值与化简。 教学重难点 重点： 1.二次根式概念与双重非负性，根据被开方数取值判断根式有无意义。 2.二次根式两大化简性质，能结合字母正负分类化简类代数式。 3.二次根式乘除运算法则与逆用，掌握带系数根式的乘除化简步骤。 难点： 1.混淆和的取值条件，化简含负字母根式时遗漏绝对值。 2.忽略乘除公式限制条件，错误拆分负数乘积、分母取 0 进行根式运算。 3.运用双重非负性联立方程求值，处理多个根式相加等于 0 的综合题型。 知识点01二次根式的概念 1.定义 一般地，形如（）的式子叫做二次根式，符号称为二次根号，、、等都是二次根式。 2.二次根式成立的两个必备条件 式子中必须带有二次根号；根号内的被开方数必须是非负数。 3.二次根式有无意义的判定条件 （1）二次根式有意义：被开方数； （2）二次根式无意义：被开方数。 【即学即练】 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 2．当时，二次根式的值为__________． 知识点02二次根式性质 1.双重非负性 表示的算术平方根，因此，同时被开方数，常用于含字母根式求值题型。 2.二次根式性质：，多用于二次根式化简计算。 3.二次根式性质：，分情况化简：时；时；时。 【即学即练】 3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 4．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 知识点03二次根式的乘法法则 1.乘法法则 ；二次根式相乘，被开方数相乘，根指数保持不变。 2.法则推广 多个二次根式相乘：；带系数二次根式相乘，类比单项式乘法：，系数相乘作新系数，被开方数相乘作新被开方数。 3.乘法逆用（积的算术平方根性质） ，主要用于化简二次根式；推广：。 【即学即练】 5．计算的结果是_____． 6．计算的结果为_________． 知识点04二次根式的除法法则 1.除法法则 ；二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。 2.法则推广 带系数二次根式相除：。 3.注意事项 公式成立前提，不能等于0；若被开方数为带分数，计算前必须先化为假分数。 【即学即练】 7．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 8．把化去分母中的根号后得______． 题型01判断二次根式 【例1】下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【例2】下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下面式子中，不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 题型02二次根式有意义的条件 【例3】下列各数中，可使式子有意义的的值是（   ） A． B． C． D． 【例4】如果有意义，那么字母x的取值范围是 _____． 【变式2-1】当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若都是实数，且，则的算术平方根是______． 【变式2-3】当_____时二次根式有最小值． 题型03二次根式的乘法 【例5】估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【例6】计算的结果是___________． 【变式3-1】与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．不能确定 【变式3-2】对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 【变式3-3】设，用含的式子表示，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型04二次根式的除法 【例7】计算：（     ） A． B． C． D． 【例8】下列选项中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】估计的值在（     ） A．3到4之间 B．6到7之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式4-3】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的值为____________． 题型05二次根式的乘除混合运算 【例9】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例10】计算： (1) (2) 【变式5-1】化简______． 【变式5-2】计算：． 【变式5-3】计算： (1)； (2)． 乘除属于同级运算，遵循从左到右的顺序依次计算；也可以统一转化为乘法，整体合并所有被开方数再化简。 存在多个带系数根式时，先把全部系数合并相乘除，再把所有被开方数合并相乘除，最后统一开方化简。 题型06根据二次根式的性质化简 【例11】计算的结果是_____． 【例12】如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 【变式6-1】若，，且，则的值是_______． 【变式6-2】实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简___________． 【变式6-3】若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 化简，适用条件，化简结果直接等于；若为负数，该式子无意义，不能化简。 化简，可取全体实数，结果等于，分三种情况讨论：结果为，结果为0，结果为。 复合型根式先整理根号内部算式，凑出完全平方式，再分层去根号，有绝对值的根据数字正负去掉绝对值符号。 题型07含隐含条件的参数范围化简 【例13】把 化简得（     ） A． B． C． D． 【例14】化简___________（所有字母为非负数）． 【变式7-1】若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】化简：________． 【变式7-3】把中根号外的移入根号内得________． 题目给出根式、分式、平方等限制条件，先挖掘题干隐藏的取值范围，确定字母正负，再进行化简。 出现、这类根式，直接写出隐含不等式，确定的正负大小，用来去掉化简中的绝对值。 题型08复杂的复合二次根式化简 【例15】利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【例16】阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【变式8-1】，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【变式8-2】计算：_______． 【变式8-3】阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 一、单选题 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 3．要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．若是整数，则正整数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．12 5．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．若的计算结果为整数，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 二、填空题 7．当__________时，二次根式的值是0． 8．当时，代数式的值为________． 9．计算的结果是______． 三、解答题 10．计算：．（） 11．计算： (1)； (2)．（均大于0） 12．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 1．为任何实数，下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 2．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 3．已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 4．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 5．阅读下列解题过程： ， ， ，… 根据上面的解题思路，完成下列问题： (1)计算的值； (2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； (3)利用上面的规律，计算的值． 6．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次根式及其乘除法 教学目标 1.掌握二次根式定义与成立条件，能准确判断式子是否为二次根式，求字母取值范围。 2.熟记二次根式三条核心性质，区分与，规范完成根式化简计算。 3.理解乘除法公式及适用范围，会计算带系数根式，能逆用法则化简根式。 4.规避取值、符号、拆分根式等常见错误，熟练完成基础题型的求值与化简。 教学重难点 重点： 1.二次根式概念与双重非负性，根据被开方数取值判断根式有无意义。 2.二次根式两大化简性质，能结合字母正负分类化简类代数式。 3.二次根式乘除运算法则与逆用，掌握带系数根式的乘除化简步骤。 难点： 1.混淆和的取值条件，化简含负字母根式时遗漏绝对值。 2.忽略乘除公式限制条件，错误拆分负数乘积、分母取 0 进行根式运算。 3.运用双重非负性联立方程求值，处理多个根式相加等于 0 的综合题型。 知识点01二次根式的概念 1.定义 一般地，形如（）的式子叫做二次根式，符号称为二次根号，、、等都是二次根式。 2.二次根式成立的两个必备条件 式子中必须带有二次根号；根号内的被开方数必须是非负数。 3.二次根式有无意义的判定条件 （1）二次根式有意义：被开方数； （2）二次根式无意义：被开方数。 【即学即练】 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 2．当时，二次根式的值为__________． 【答案】2 【详解】解：当时，． 知识点02二次根式性质 1.双重非负性 表示的算术平方根，因此，同时被开方数，常用于含字母根式求值题型。 2.二次根式性质：，多用于二次根式化简计算。 3.二次根式性质：，分情况化简：时；时；时。 【即学即练】 3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 4．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 知识点03二次根式的乘法法则 1.乘法法则 ；二次根式相乘，被开方数相乘，根指数保持不变。 2.法则推广 多个二次根式相乘：；带系数二次根式相乘，类比单项式乘法：，系数相乘作新系数，被开方数相乘作新被开方数。 3.乘法逆用（积的算术平方根性质） ，主要用于化简二次根式；推广：。 【即学即练】 5．计算的结果是_____． 【答案】 【详解】解：根据二次根式乘法法则可得 ． 6．计算的结果为_________． 【答案】 【详解】解： . 知识点04二次根式的除法法则 1.除法法则 ；二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。 2.法则推广 带系数二次根式相除：。 3.注意事项 公式成立前提，不能等于0；若被开方数为带分数，计算前必须先化为假分数。 【即学即练】 7．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式. 8．把化去分母中的根号后得______． 【答案】 / 【详解】解：由二次根式有意义及分式有意义可得，， ∴，， ∴原式． 题型01判断二次根式 【例1】下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次根式要求被开方数是非负数． A、中的，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项A不符合题意； B、中的，当时不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项B不符合题意； C、中的，当时，，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项C不符合题意； D，中的，符合被开方数为非负数，故是二次根式，选项D符合题意． 【例2】下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：被开方数为负，根指数为3，均不是二次根式． 当时，的被开方数小于0，不是二次根式． ∵， ∴ ∴一定是二次根式． 【变式1-1】下列各式不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.是二次根号下的式子，形式符合二次根式定义，是二次根式； B.，根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C.的根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的定义，不是二次根式； D.，根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式. 【变式1-2】下面式子中，不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A中，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意； 选项B中被开方数，不满足二次根式的要求，不是二次根式，该选项符合题意； 选项C中，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意； 选项D中对任意实数都有，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意． 【变式1-3】下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2，被开方数为非负数两个条件 选项A中，当时，无意义，不一定是二次根式，不符合要求； 选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，不符合要求； 选项C中，根指数为2，被开方数，满足二次根式的所有条件，一定是二次根式，符合要求； 选项D中，根指数为3，是三次根式，不是二次根式，不符合要求 题型02二次根式有意义的条件 【例3】下列各数中，可使式子有意义的的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意，． 解得． 四个选项中只有，满足条件． 【例4】如果有意义，那么字母x的取值范围是 _____． 【答案】 【详解】解：若有意义， 则被开方数满足 ， 解不等式得． 【变式2-1】当时，下列二次根式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 二次根式没有意义的是． 【变式2-2】若都是实数，且，则的算术平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴，， 解得， 把代入，得， ∴， ∵的算术平方根为， ∴的算术平方根是． 【变式2-3】当_____时二次根式有最小值． 【答案】12 【详解】解： 二次根式的被开方数满足非负要求， ， 的最小值为，此时， 解得， 即当时二次根式有最小值． 题型03二次根式的乘法 【例5】估计的值在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【详解】解：， ， ， ． 【例6】计算的结果是___________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3-1】与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵， ∴乘积为的两个数互为倒数，因此二者是互为倒数的关系． 【变式3-2】对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则_____． 【答案】 【详解】解：∵新运算定义为，本题中，， ∴． 【变式3-3】设，用含的式子表示，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 又， ， ． 题型04二次根式的除法 【例7】计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【例8】下列选项中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对选项A：∵ ，∴ A错误； 对选项B：∵ ，等式成立 ，∴ B正确； 对选项C：∵ ，∴ C错误； 对选项D：∵ ，， ，∴ D错误． 【变式4-1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【变式4-2】估计的值在（     ） A．3到4之间 B．6到7之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【详解】解： ， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的值在6到7之间． 【变式4-3】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，，， ． 题型05二次根式的乘除混合运算 【例9】化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 【例10】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ． 【变式5-1】化简______． 【答案】 【详解】解：原式 【变式5-2】计算：． 【答案】 【详解】解：． 【变式5-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 乘除属于同级运算，遵循从左到右的顺序依次计算；也可以统一转化为乘法，整体合并所有被开方数再化简。 存在多个带系数根式时，先把全部系数合并相乘除，再把所有被开方数合并相乘除，最后统一开方化简。 题型06根据二次根式的性质化简 【例11】计算的结果是_____． 【答案】 【分析】详解】解：原式． 【例12】如图，数轴上点表示的数是，化简为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，则， ∴． 【变式6-1】若，，且，则的值是_______． 【答案】或 【分析】详解】解：， 或， 解得或， ， ， 或， 解得或， ， ， 或． 【变式6-2】实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简___________． 【答案】 【分析】详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ． 【变式6-3】若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：，， 原式， ， ，， 去掉绝对值化简得，． 化简，适用条件，化简结果直接等于；若为负数，该式子无意义，不能化简。 化简，可取全体实数，结果等于，分三种情况讨论：结果为，结果为0，结果为。 复合型根式先整理根号内部算式，凑出完全平方式，再分层去根号，有绝对值的根据数字正负去掉绝对值符号。 题型07含隐含条件的参数范围化简 【例13】把 化简得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 【例14】化简___________（所有字母为非负数）． 【答案】 【详解】解：． 【变式7-1】若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴． 【变式7-2】化简：________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 【变式7-3】把中根号外的移入根号内得________． 【答案】 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 题目给出根式、分式、平方等限制条件，先挖掘题干隐藏的取值范围，确定字母正负，再进行化简。 出现、这类根式，直接写出隐含不等式，确定的正负大小，用来去掉化简中的绝对值。 题型08复杂的复合二次根式化简 【例15】利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【答案】 【详解】解：， 原式 【例16】阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【答案】(1)，, (2)①；② 【详解】（1）略 （2）解：①原式 ； ②原式 ． 【变式8-1】，像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【答案】 【详解】解：． 【变式8-2】计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式8-3】阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 一、单选题 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的根指数为3，不是二次根式，故C选项不符合题意； 与的被开方数取值不确定，可能为负数，不一定是二次根式，故A、D选项不符合题意； 的根指数为2，被开方数为正数，符合二次根式的定义，故B选项符合题意； 2．当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入二次根式可得． 3．要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：将各选项x的值分别代入计算判断： ∵当时， ，，3是有理数，符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求． 4．若是整数，则正整数的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．12 【答案】B 【详解】解：先对进行化简，， 已知是整数，是正整数， ∴必须是整数，即是完全平方数， ∴ 正整数的最小值是． 5．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 是整数，是正整数， ∴ 必须是整数，即是完全平方数， ∵ ，要使为完全平方数，需要补充质因数和，使所有质因数的指数均为偶数， ∴ 正整数的最小值为． 6．若的计算结果为整数，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：由题意得：， ， ∵的计算结果为整数， ∴为整数，即是完全平方数， 观察四个选项可知，只有当时，，符合题意． 二、填空题 7．当__________时，二次根式的值是0． 【答案】 【详解】解：由题意，得， 两边平方，得． 移项，得， 系数化为1，得， 故答案为：． 8．当时，代数式的值为________． 【答案】 【详解】当时， ． 9．计算的结果是______． 【答案】/ 【详解】解： ． 三、解答题 10．计算：．（） 【答案】 【详解】解： ． 11．计算： (1)； (2)．（均大于0） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 1．为任何实数，下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、取，，则，故A错误； B、取，，则，但、无意义，等式不成立，故B错误； C、，且，，故C正确； D、取，，则，故D错误． 2．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 3．已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 4．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 5．阅读下列解题过程： ， ， ，… 根据上面的解题思路，完成下列问题： (1)计算的值； (2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； (3)利用上面的规律，计算的值． 【答案】(1)29 (2) (3)2025 【分析】 【详解】（1）解：； （2）略 （3）解： ． 6．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2)46或14 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ∵ ∴， ∵a，m，n为正整数， ∴， 即， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，a的值为46或14． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $