精品解析：辽宁省部分重点高中2025～2026学年高一上学期12月联考数学试题

辽宁省部分重点高中2025~2026学年度上学期高一12月联考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程两根分别为，，则（ ） A. B. C. 7 D. 3. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数零点存在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. ，若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知函数为偶函数，若，则的值为 （ ） A. B. C. 2019 D. 2025 8. 设，则（　　） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意实数x，y，z，下列命题是真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 是“”的充要条件 C. “”是不等式成立的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 已知正实数满足，则（　　） A. B. C. D. 11. 若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． 13. 若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为______． 14. 已知函数，且存在实数且，使得成立.若正整数的最大值为5，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； （2）若在上的最大值为4，求实数的值. 16. 已知函数． （1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性； （2）解不等式． 17. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 18. 已知定义在上的奇函数和偶函数，若. （1）求的值； （2）若函数 ①当时，求的最大值； ②是否存在，使得关于的不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省部分重点高中2025~2026学年度上学期高一12月联考 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D 2. 已知方程两根分别为，，则（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用韦达定理，化简所求式子，即可求解. 【详解】已知方程两根分别为，，由韦达定理 得：， 故 故选：B 3. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数在区间上的值域，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】当时，函数，则， 因此函数在上的值域为，函数在上递增， 因此函数在上的值域为，即， 由，，使得， 得函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 4. 函数零点存在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性和零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上单调递增， 的零点所在区间为， 故选:B． 5. ，若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式分离参数，利用构造函数法，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】因为函数，所以关于的不等式 可化为，即， 令，即． 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 且； 当时，， 在上单调递减，且． 如图所示，结合函数图象及取时的函数值可知， 要使的解集中有且仅有个整数，这两个整数解只能是和， 所以实数的取值范围为，即． 故选：A 6. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：D 7. 已知函数为偶函数，若，则的值为 （ ） A. B. C. 2019 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，利用定义法证明为奇函数，则，即可求解. 【详解】由，得， 设，易知函数的定义域为R， 则 ， 所以，即为奇函数. 所以，即， 所以，又， 所以. 故选：B 8. 设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性进行比较即可. 【详解】因为是R上的单调递减函数， 所以； 因为是R上单调递增函数， 所以； 因为在上单调递增， 所以； 又因为， 即， 又因为， 综上，. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意实数x，y，z，下列命题是真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 是“”的充要条件 C. “”是不等式成立的充要条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】A根据集合之间的包含关系判断；B D必要性举反例；C解分式不等式. 【详解】，则“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 若则必有，但若，，则不成立，故B错误； ，则或，得，故C错误； 若，则；反之，若，则但， 故“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：AD 10. 已知正实数满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断AB；特殊值法计算判断C；变形给定等式，利用基本不等式求解判断D. 【详解】正实数满足， A，，则，解得，即，当且仅当时取等号，A正确； B，，则，即，解得，当且仅当时取等号，B正确； C，由，得，而，则，当时，，C错误； D，由，得，而，则， ，当且仅当时取等号， 由，解得，所以当时，取得最小值，D正确. 故选：ABD 11. 若实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用指数式与对数式的互化，结合基本不等式、对数运算的性质，对数函数的单调性逐项分析判断. 【详解】由得，， 对于A，，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，即，则，D错误. 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用判别式与韦达定理求解即可. 【详解】因为有两个不等实根，故. , 设两个正实数根为, 由题可知，有,整理得, 解得,因此. 故答案为：. 13. 若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为______． 【答案】0或1 【解析】 【分析】消去整理可得，分和两种情况讨论，分别求出的取值． 【详解】由消去整理可得． 当时，解得，此时方程组的解为符合题意； 当时，则，解得，此时方程组的解为符合题意． 综上可得或． 故答案为：0或1. 14. 已知函数，且存在实数且，使得成立.若正整数的最大值为5，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设，得到函数的值域，进而得到函数的值域，再根据正整数的最大值为5，列不等式求解实数的取值范围. 【详解】设函数， 因为，所以， 所以，则. 当时，，所以. 要使得正整数的最大值为5，则， 解得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； （2）若在上的最大值为4，求实数的值. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为方程有两个不相等的正数解，结合根与系数的关系，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，利用二次函数的性质，分和，两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由有两个不相等的正数解，即有两个不相等的正数解， 即方程有两个不相等的正数解， 设方程有两个不相等的正数解分别为和， 则满足 ，解得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为的图象开口向上，且对称轴为， 又因为在上的最大值为， ①当时，即时，，解得，符合题意； ②当时，即时，，解得，符合题意， 综上可得，或，即实数的值为或. 16. 已知函数． （1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性； （2）解不等式． 【答案】（1），偶函数 （2）当时不等式解集为，，当时不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）定义域，根据对数函数真数大于$0$的性质，列出不等式组求解；判断奇偶性，通过计算并与比较，依据奇偶性定义得出结论；  （2）对于解不等式，先化简不等式，再根据对数函数单调性（分和两种情况）求解. 【小问1详解】 由题意得解得：， 函数的定义域是，定义域关于原点对称，， 所以函数是偶函数； 【小问2详解】 即， 化简得：， 当时，由题意得：， 解得：， 当时，由题意得：， 解得， 综上所述当时不等式解集为，， 当时不等式解集为. 17. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元 【解析】 【分析】（1）利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式； （2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 即，整理得. 【小问2详解】 当时，是对称轴为且开口向上的抛物线， 所以当时，； 当时，， 因为，当且仅当即取等号， 所以； 综上所述，当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 18. 已知定义在上的奇函数和偶函数，若. （1）求的值； （2）若函数 ①当时，求的最大值； ②是否存在，使得关于的不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）① 因为，且是关于的增函数，所以， 的对称轴为直线， 当时，所以； 当时，所以. ②，， 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求出值，根据定义在上的奇函数的性质,求出值后检验即可； （2）①在求出的表达式后，设，得，函数化成，利用二次函数在给定区间上的图象性质即可求得其最大值, ②依题意，的解集为等价于关于的不等式的解集为，利用一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系建立方程组，求解即可. 【小问1详解】 因为为偶函数，则恒成立，即， 即， 因为，所以，即，所以，因为对所有都成立，所以； 因为函数为奇函数，且定义域为，所以，即，所以， 即，因为，所以符合题意； 【小问2详解】 因为，， 则， 令，则， ①略 ②因为，则， 所以若的解集为， 则关于的不等式的解集为， 则是方程的两根，且需， 由， 解得，，满足，即恒成立， 所以当，时，不等式的解集为． 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 【答案】（1）， （2） 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； （3）4039 【解析】 【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论； （3）先由推导出，结合（2）中的结论，可得，，满足条件，可得出的最小值. 【小问1详解】 由， 根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若正整数满足条件，在，时恒成立， 即， 所以所以， 所以，在，时恒成立， 所以， 又由（2）中的结论可知，，时，满足条件， 因此，的最小值为4039． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $