第07讲 点、直线与圆的位置关系 讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦点与圆、直线与圆的位置关系核心知识，系统梳理距离与半径比较的判定方法，切线的双条件判定与性质应用，切线长定理及三角形内切圆等内容，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料通过6个易错辨析精准破解认知误区，10个典例精讲覆盖多样题型，以数形结合转化几何关系为代数比较，培养学生几何直观与推理意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺提升应用能力。

第07讲 点、直线与圆的位置关系 （核心知识+6易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】点与圆的位置关系 设⊙O的半径为，点P到圆心O的距离为，则点与圆有三种位置关系，且为双向等价关系： 1. 点P在圆内 2. 点P在圆上 3. 点P在圆外 核心本质：将点与圆的几何位置关系，转化为点到圆心的距离与半径的代数大小比较，实现数形结合解题。 【知识点02】直线与圆的位置关系 设⊙O的半径为，圆心O到直线l的垂线段长度为（唯一判定距离），直线与圆有三种位置关系： 位置关系 公共点个数 数量关系 相关名称 相交 2个 割线 相切 1个（唯一） 切线、切点 相离 0个 无 关键结论：位置关系与数量关系双向等价，可互相推导，是解题核心依据。 【知识点03】切线的判定定理 定理内容：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 必备双条件（缺一不可）：①直线经过半径外端点；②直线与该半径互相垂直。 两种判定辅助线思路 1. 有交点，连半径，证垂直：已知直线与圆有明确公共点，连接圆心与公共点，证明连线与直线垂直； 2. 无交点，作垂直，证半径：未知直线与圆公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径。 【知识点04】切线的性质定理 定理内容：圆的切线垂直于经过切点的半径。 几何语言：若直线l切⊙O于点A，则。 常用辅助线：题目出现切线条件，优先连接圆心与切点，构造垂直关系，是几何解题高频套路。 【知识点05】切线长及切线长定理 1.切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长. 注意：切线是一条直线，无法度量;切线长是切线上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离，可以度量. 2.切线长定理 文字语言 符号语言 图示 ​∗ 过圆外一点可作圆的两 条切线，切线长相等. 如图，∵𝑃𝐴,𝑃𝐵是⊙𝑂 的两条切线，切点分别为𝐴，𝐵 ，∴𝑃𝐴=𝑃𝐵 . 【知识点06】三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，这个三角形叫作圆的外切三角形. 2.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫作三角形的内心（是三角形三条角平分线的交点）． 3.三角形内心的性质 （1）三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径； （2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分对应的内角. 4.三角形内切圆的作法 如图，已知△ABC . 求作：与△ABC 的各边都相切的圆. 作法：（1）分别作∠BAC,∠ABC的平分线AD， BE，AD与BE 的交点为O ； （2）过点O作OM⊥AB，垂足为M ; （3）以点O为圆心，OM长为半径作⊙O .⊙O 即为所求. 易错1 距离判定标准混淆 ❌ 错误做法：判断直线与圆位置关系时，用直线上任意一点到圆心的距离对比半径； ✅ 正确规则：必须使用圆心到直线的垂线段长度d判定，这是唯一标准，直线上其他点距离无判定意义。 易错2 切线判定条件缺失 ❌ 常见误区：①垂直于半径的直线是切线；②过半径端点的直线是切线； ✅ 正确规则：必须同时满足过半径外端、垂直于该半径两个条件，缺一不可。 易错3 切线性质理解片面 ❌ 错误认知：切线垂直于圆的任意一条半径； ✅ 正确结论：切线仅垂直于经过切点的那条半径，并非所有半径。 易错4 点到圆的最值距离漏分类讨论 经典题型：已知点P到圆的最近距离为3，最远距离为7，求圆的半径。 ❌ 错误：只计算一种结果，遗漏情况； ✅ 完整解法：分点在圆外、圆内两种情况： 1. 点在圆外：直径，半径； 2. 点在圆内：直径，半径； 最终答案：或。 易错5 外心、内心概念混淆 圆心类型 对应交点 等距对象 外心（外接圆） 三边垂直平分线交点 三角形三个顶点 内心（内切圆） 三条内角平分线交点 三角形三条边 易错6 相切概念文字陷阱 ❌ 错误表述：直线有一个点在圆上，即为直线与圆相切； ✅ 正确定义：直线与圆有且只有一个公共点，才是相切关系。 【题型一】判断点与圆的位置关系 【典例1】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的直径为，当线段时，则点在（    ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】先求出圆的半径，再比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据判定规则得出结论． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， 又∵，即点A到圆心O的距离等于半径， ∴点A在上． 【点睛】点到圆心的距离d等于圆半径r时，点在圆上；d大于r时，点在圆外；d小于r时，点在圆内． 【典例2】．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）的半径为，则点与的位置关系是___________． 【答案】点A在外 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】通过比较点A到圆心O的距离与圆的半径的大小关系来判断位置. 【详解】解：∵的半径为， ， ∴， 故点A在外. 【典例3】．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm， (1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______． 【答案】(1)作图如下，点B在圆上，点C和点D在圆外 (2)6<r<10 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】（1）根据题意画出图形， 结合图形即可判断点与圆的位置关系． （2）根据勾股定理计算出对角线AC的长度，则半径的取值范围为AB<r<AC． 【详解】（1）由图可知：点B在圆上，点C和点D在圆外． （2）连接AC，在Rt△ABC中，AC=， ∴6<r<10． 故答案为：6<r<10． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 【变式1-1】．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可． 【详解】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4， ∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求； B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求． 【变式1-2】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知的半径为3，，则点P与的位置关系是：点P在________． 【答案】外 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，一个圆的圆心到一个点的距离为d，圆的半径为，则当时，该点在圆外；当时，该点在圆上，当时，该点在圆内，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点P与的位置关系是点P在外， 故答案为：外． 【变式1-3】．阅读下列材料： 平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． （1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：　 　； （2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系． 【答案】（1）；（2）点A在⊙C的内部． 【知识点】已知两点坐标求两点距离、判断点与圆的位置关系 【分析】（1）先设圆上任意一点的坐标（x，y），根据圆的标准方程公式求解即可； （2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A到圆心的距离d，然后与半径r相比较，d＞r，点在圆外，d=r，点在圆上，d＜r，点在圆内，即可判断点A与圆的位置关系． 【详解】解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y）， ∴， 故答案为； （2）∵⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22， ∴圆心坐标为C（2，0）， ∵点A（3，﹣1），AC= ∴点A在⊙C的内部． 【点睛】本题考查两点距离公式的拓展内容，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键． 【题型二】由点与圆位置关系求半径取值范围 【典例4】．已知的半径为5，点到圆心的距离为，如果点在圆内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：点在圆内，且的半径为5， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． 【典例5】．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是_________． 【答案】 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，点和圆的位置关系．设交轴于点，连接，利用勾股定理求得，根据点和圆的位置关系即可求解． 【详解】解：如图，设交轴于点，连接， ∵点，的半径为5， ∴，， ∴， 若点在内， ∴， 故答案为：． 【典例6】．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内 (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、判断点与圆的位置关系、利用点与圆的位置关系求半径、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，，在圆外，，在圆上，，在圆内判断是解题关键． （1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较与半径的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在内时，以及当至少有一点在外时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． 【变式2-1】．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置的关系． 根据题意，则只有B点在圆内才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 【变式2-2】．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，以点D为圆心，半径长为r作⊙D，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是 ___________． 【答案】4＜r＜5 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：在RtADC中，∠C=90，AC=4，CD=3， ∴． ∵BC=7，CD=3， ∴BD=BCCD=73=4． ∵以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内， ∴r的范围是4＜r＜5， 故答案为：4＜r＜5． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 【变式2-3】．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 【答案】(1)2 (2)8 (3)当，无距离等于3的点，当，有且只有一个距离为3的点，当，有且只有两个距离为3的点，当，有三个，当，有四个 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题主要考查了点与圆的关系，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）根据垂线段最短，则要使上有且只有一个点到直线l的距离等于3，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径是； （2）根据点O到直线l的距离为5，要使上有且只有三个点到直线l的距离等于3，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是； （3）结合上述两种特殊情况分、、、、五种情况即可解答． 【详解】（1）解：如图：上有且只有一个点到直线距离等于3，即． 故答案为：2． （2）解：如图：上有且只有三个点到直线距离等于3，即． 故答案为8． （3）（3）当时，上没有点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3， 当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3． 【题型三】判断直线与圆的位置关系 【典例7】．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知的半径为2，点O到直线l的距离为5，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】B 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是熟练掌握圆心到直线的距离与半径的关系． 根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵的半径，点O到直线l的距离，且， ∴直线l与相离． 故选：B． 【变式3-1】．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查直线与圆的位置关系的判定，根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断位置关系，当时直线与圆相离，时相切，时相交． 【详解】∵的半径，圆心到直线的距离，且，即， ∴与直线的位置关系是相离． 故选：A． 【变式3-2】．（25-26九年级上·江苏南通·期末）的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是__________． 【答案】相交 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系；由题意得出，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为， ∴， 即， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交， 故答案为：相交． 【变式3-3】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若的半径为4，圆心到直线的距离为5，则直线与的位置关系是__________（填相交、相切或相离） 【答案】相离 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查直线和圆的位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，圆心到直线的距离为5， ∴, ∴直线与圆相离， 故答案为：相离． 【题型四】已知直线与圆位置关系，求半径/距离取值范围 【典例8】．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（　　） A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．＜r≤6 D．＜r≤8 【答案】C 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【详解】解：由题意可知，线段AB必须经过圆C才有两个交点，过点C作AB的垂线， 因为AC＝6，BC＝8，通过等面积法计算得出垂线段为， 当r<，AB与圆C没有交点，当r>6时与AB最多只有一个交点，所以. 考点：圆于直线的位置关系 点评：该题是常考题，主要考查学生对圆与直线交点的个数与半径长度之间的关系，建议学生通过作图分析计算． 【变式4-1】．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（　　） A．0＜OA≤或2.5≤OA＜5 B．0＜OA或OA＝2.5 C．OA＝2.5 D．OA＝2.5或 【答案】B 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后即可得到OA的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：如右图所示， 当圆心从O1到O3的过程中，⊙O与三角形边的交点个数为3，当恰好到达O3时则变为4个交点， 作O3D⊥BC于点D， 则∠O3BD＝∠ABC， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， 设O3A＝a，则O3B＝5﹣a， ∴ ，得 ， ∴当 时，⊙O与三角形边的交点个数为3， 当点O为AB的中点时，⊙O与三角形边的交点个数为3，此时OA＝2.5， 由上可得， 或OA＝2.5时，⊙O与三角形边的交点个数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、勾股定理，准确画出图形，利用数形结合的思想进行解答是解题的关键． 【变式4-2】．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，理解题意是解题的关键．以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线m上，圆与直线l的位置关系是相交，据此即可判断． 【详解】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线l上． 则直线l到圆心O的距离是：或． 圆O与直线l相交，因而该圆的半径r的取值范围是． 故答案为：． 【变式4-3】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是_______．    【答案】或 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点D，由，得，由勾股定理求出，若与射线只有个公共点，则或，即可得半径r的取值范围． 【详解】解：作于点D，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，与射线相切，此时与射线只有一个公共点； 当时，与射线有两个公共点， ∴若与射线只有个公共点，则或， ∴半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 【题型五】圆的平移运动问题 【典例9】．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 【典例10】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移______，才能使与相切? 【答案】或/或 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 【变式5-1】．如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是_______． 【答案】4≤d≤ 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离 【分析】当圆O运动到圆P处时，运动距离最短，当圆O运动到圆E处时，运动距离最长，分别求得PO和OE的长即可得出d的取值范围． 【详解】解：如图， 当圆O运动到圆P处时，运动距离最短， 当圆O运动到圆E处时，运动距离最长， 由正方形的性质可知： 在Rt△BEF中，由勾股定理得： 所以 故答案为 【点睛】本题主要考查的是正方形的性质和直线和圆的位置关系，利用正方形的性质和直线和圆相切，确定出平移后圆心的位置是解题的关键． 【变式5-2】．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 【变式5-3】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图． (1)已知点， ①当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_______，_______； ②点是点关于点的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由； (2)如图2，点的坐标为，以为圆心，1为半径作圆，直接写出在上点关于点的“伴随点”的个数以及的纵坐标对应的取值范围． 【答案】(1)①；；② (2)当“伴随点”的个数为0个时，或；当“伴随点”的个数为1个时，或；当“伴随点”的个数为2个时， 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离、一次函数与几何综合、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【分析】（1）①作轴于点，通过证明得到，，再根据点的坐标分2种情况讨论即可求解；②由①中的结论得到，，再结合图形以及点的坐标列出关于的方程组，消去整理得到与之间的关系，即可得出结论； （2）同理（1）可得，点的运动路径所对应的函数表达式为，先求出直线与相切时对应的值，观察图象，再利用直线与圆的位置关系即可解答． 【详解】（1）解：①作轴于点，则， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； 当，时， ，， ∴， ∴； 当，时， ，， ∴， ∴； 故答案为：；； ②，理由如下： 由①得，，， 又∵，，， ∴， ∴，即， ∴点的运动路径所对应的函数表达式为； （2）解：设点是点关于点的“伴随点”， ∵点的坐标为，且， ∴同理（1）可得，点的运动路径所对应的函数表达式为， 设直线与轴、轴分别交于点、， 令，则；令，则，解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 当直线与相切时，“伴随点”的个数为1个， 设切点为，过点作轴交直线于点，则，， ∴是等腰直角三角形，， ∵的半径为1， ∴， ∴， 令，则，解得， ∴， 又∵点的坐标为， ∴， 解得或， ∴当“伴随点”的个数为1个时，或； 由图象得，当“伴随点”的个数为0个时，或；当“伴随点”的个数为2个时，时； ∴综上所述，当“伴随点”的个数为0个时，或；当“伴随点”的个数为1个时，或；当“伴随点”的个数为2个时，． 【点睛】本题考查旋转的性质、一次函数与几何综合、直线与圆的位置关系、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是探究点的运动路径，题目比较难，属于中考压轴题． 【题型六】切线证明解答题 【典例11】．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）中，，点O在上，以为半径的圆交于点D，交于点E，且，求证：是圆的切线． 【答案】 证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是圆的切线． 【知识点】证明某直线是圆的切线、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，通过证明可得，，因此是圆的切线． 【详解】略 【典例12】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，点在圆上，．过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)24 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】（1）连接，，由垂径定理的推论得到，由直径得到，推出，得到，即可证明是的切线； （2）作，由垂径定理得到，利用勾股定理求出，得到四边形是矩形，根据矩形性质可得长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作交于点F， ∵， ∴ 在中，由勾股定理得： ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【典例13】．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是上一点，以为直径的经过点，且． (1)求证：所在直线是的切线； (2)若的直径为6，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， ， ， ， ，即， ， 是圆的半径， 所在直线是的切线； (2)4 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理和勾股定理，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，可得，利用等腰三角形的性质和角之间的等量代换，易证，即可证明； （2）设，根据线段之间的关系，求出，再根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 的直径为6， 半径， 则， 在中，， 则，解得， 答：的长为4． 【变式6-1】．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，是的外接圆，为的直径，点为的内心，连接并延长交于点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：是的内心， ，， ，，， ， ． (2) 直线与相切，理由如下： 连接． 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是的切线． 【知识点】证明某直线是圆的切线、利用弧、弦、圆心角的关系求证、同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形内心有关应用 【分析】（1）欲证明，只要证明； （2）欲证明直线为的切线，只要证明即可； 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 【变式6-2】．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，， (1)用直尺和圆规作图； ①作的平分线交于； ②作，使得圆心在上且圆经过点、； (2)判定与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1) ①如下图，即为所求作； ②如下图， 即为所求作； (2) 与相切，理由如下： 证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴与相切． 【知识点】证明某直线是圆的切线、确定圆心(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查的是尺规作图—作角平分线及作圆，切线的判定， （1）①作平分线即可；②作的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接，证明，得出，即可证明结论． 【变式6-3】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，与交于点C，的平分线交于点D，，垂足为E，，． (1)求证：是的切线； (2)求的半径； (3)连接，则的长为_______． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示，则， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． (2) (3) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键； （1）连接，如图所示，则，由的平分线交于点D，得，所以，则，则，即可证明是的切线； （2）作于点F，则四边形是矩形，所以，，再利用勾股定理建立方程即可求解； （3）由是的直径，得，而，所以即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：作于点F，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． ∴的半径为． （3）解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型七】切线的性质定理 【典例14】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，连接若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，结合切线的性质和可求的度数，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是⊙的切线， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-1】．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，是的切线，切点为B，连接与交于点C，点D为上一点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理．连接，由切线的性质得出，由圆周角定理可得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-2】．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 【答案】/74度 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 【变式7-3】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图1，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． (1)求证：平分； (2)如图2，延长交直线于点，连接．若，求与、组成的图形的面积． 【答案】(1) 证明：如图1，连接， ∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴平分． (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】本题考查圆的切线性质、角平分线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形判定及扇形面积计算，解题中用到转化思想（将圆的性质转化为线段 / 角度关系）、勾股定理法（计算线段长度）、面积割补法（求阴影面积），解题关键是利用切线性质与矩形判定关联线段，结合圆的直径性质与勾股定理计算长度，通过面积割补求图形面积． （1）连接，由切线性质得，结合，证平分． （2）证四边形为矩形，用勾股定理求线段长，判定为等边三角形，通过 “面积减扇形面积” 得图形面积． 【详解】（1） 略 （2）解：如图2，作于点F， ∵，， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴为的直径，, , ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴与、组成的图形的面积是． 【题型八】切线的性质和判定的综合应用 【典例15】．如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（    ） A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm 【答案】B 【知识点】切线的性质和判定的综合应用 【分析】根据切线长定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得△AMN的周长． 【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N， ∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE， ∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm， ∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm）， ∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得AE和AD的长，难度不大． 【典例16】．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的弦，是的切线．若，则______． 【答案】 【知识点】切线的性质和判定的综合应用 【分析】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，接、，由切线的性质得，再由圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 与相切于点，与相切于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式8-1】．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D为BC边的中点，O为AD上一点，⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为_______． 【答案】 【知识点】切线的性质和判定的综合应用 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径． 【详解】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F． ∵AB、BC是⊙O的切线， ∴点E、F是切点， ∴OE、OF是⊙O的半径； ∴OE＝OF； 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴由勾股定理，得BC＝6； 又∵D是BC边的中点， ∴S△ABD＝S△ACD， 又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD， ∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即10×OE+3×OE＝4×6， 解得OE＝， ∴⊙O的半径是， 故答案为． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形和勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式8-2】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) 证明：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 【变式8-3】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）在矩形中，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动两点在分别到达两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与四边形的一边（或者边所在的直线）相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形的边有4个公共点，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)当t为2秒或4秒时，的面积等于． (2)①当或或或或时，与四边形的一边相切．②当时，与四边形有四个交点． 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用 【分析】（1）根据题意得，，由此根据三角形面积公式建立方程求解即可； （2）①由题意可知圆Q与不相切．如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．此时与相切；如图2，当与相切的第2个位置时，切点为，连接，结论方程即可，当正好与四边形的边相切时，如图3所示．建立方程即可．如图4，当重合，重合，同理可得：此时，与相切，②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点；如图3所示：当圆Q与相切时，与四边形有三个公共点．由①可得，此时，如图，当过时，连接，可得，（舍去）．可得当时，与四边形有四个交点． 【详解】（1）解：∵当运动时间为t秒时，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积等于， ∴． ∴． 解得：，． 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于． （2）解：①由题意可知圆Q与不相切． 如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合． ∵， ∴． ∴． ∴为圆Q的切线． 此时与相切； 如图2，当与相切的第2个位置时，切点为，连接， 此时四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， 当正好与四边形的边相切时，如图3所示． 由题意可知：． 在中，由勾股定理可知：，即． 解得：，（舍去）； 如图4，当重合，重合， 同理可得：此时，与相切， 综上所述可知当或或或时，与四边形的一边相切． ②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点； 如图3所示：当圆Q与相切时，与四边形有三个公共点． 由①可得，此时， 如图，当过时，连接， 由题意可知：． 由勾股定理可知：，． ∵， ∴，即． 整理得：． 解得：，（舍去）． ∴当时，与四边形有四个交点． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质，切线的性质，三角形的面积公式、勾股定理，一元二次方程的解法，根据题意画出图形是解题的关键． 【题型九】应用切线长定理求解与证明 【典例17】．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是12，面积是24，则的半径是（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】此题重点考查切线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 设与四边形的各边分别相切于点，连接，设的半径为，则，由，且四边形的周长是12，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与四边形的各边分别相切于点，连接，如图所示： ，、、， 设的半径为，则， ，且， ， 四边形的周长是12， ， ， ， 故选：C． 【变式9-1】．如图，是的切线，为切点，连接．若，则=__________． 【答案】65° 【知识点】等边对等角、应用切线长定理求证 【分析】根据切线长定理即可得出AB=AC，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】解：∵是的切线， ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠A）=65° 故答案为：65°． 【点睛】此题考查的是切线长定理和等腰三角形的性质，掌握切线长定理和等边对等角是解决此题的关键． 【变式9-2】．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【答案】 解：与相等 如图，连接、， 是小圆的两条切线，切点分别为、， ，， 又是大圆的弦，， ，， ． 【知识点】利用垂径定理求值、应用切线长定理求证 【分析】本题考查垂径定理，切线长定理，掌握知识点是解题的关键． 连接、，根据切线长定理，得到，，，再由垂径定理，得到，，则，即可解答． 【详解】略 【变式9-3】．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键． （1）由切线的性质得到，则由四边形内角和定理可求出的度数，证明，可推出； （2）由切线长定理得到，再根据三角形周长计算公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵都是的切线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵都是的切线， ∴， ∴的周长 ． 【题型十】三角形外接圆与内切圆综合 【典例18】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知中，，．请按照题意用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)请在图中作一个能覆盖且面积最小的，则的半径为 ； (2)请在图的纸片中剪出一个面积最大的，则的半径为 ． 【答案】(1) 解：如图，即为所求： (2) 解：如图，即为所求： 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求；设线段的垂直平分线交于点，结合等腰三角形的性质可得直线过点，由勾股定理可求得的长；设的半径为，则，在中，由勾股定理得，，代入求出的值即可； （2）分别作和的平分线，相交于点，再过点作的垂线，交于点，以点为圆心，线段的长为半径画圆，则即为所求；为的内切圆，记与相切于点，与相切于点，连接，设的半径为，结合等腰三角形的性质可得直线过点，，由勾股定理可求得的长；根据三角形的面积公式以及，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 设线段的垂直平分线交于点， ． ， 为等腰三角形， 直线过点， ． 设的半径为，则． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的半径为． 故答案为：； （2）解：如图，分别作和的平分线，相交于点，再过点作的垂线，交于点，以点为圆心，线段的长为半径画圆， 由题意得，为的内切圆， 记与相切于点，与相切于点，连接， 设的半径为， ， 为等腰三角形， 直线过点，， ， ， ， ， 解得， 的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—复杂作图：作垂直平分线、作角平分线、作垂线，等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆与内切圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【典例19】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1) 证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； (2)． 【知识点】三角形角平分线的定义、三角形内切圆与外接圆综合、等腰三角形的性质和判定、三角形内心有关应用 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 【变式10-1】．（2024·江苏南京·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 【答案】(1) 如图①，⊙O即为所求， (2) ①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点，作图如下： ②i）如图⑤或图⑥，即为所求． 思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，以O为圆心，为半径作． 思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E，可得；在上截取，可知；过点N作，交于点O，以O为圆心，为半径作． ii）如图⑦，，分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上（点P不与G，H重合）． 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、作角平分线(尺规作图)、等边三角形的性质 【分析】本题考查了作三角形的内切圆，等边三角形，角平分线； （1）作角平分线的交点，作三角形的内切圆； （2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点； ②i）如图⑤或图⑥，即为所求．思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E；ii），分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上． 【变式10-2】．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)如图①，作出的外接圆； (2)如图②，作出的内切圆； (3)如图③，点是上一点，过点作的切线； (4)如图④，切于点，作出直线，使与相切，且； (5)如图⑤，切于点，作出一条直线，使与相切，且与的夹角中有一个角为． 【答案】(1) 如图： (2) 如图： (3) 如图： (4) 如图： (5) 如图： 【知识点】作垂线(尺规作图)、切线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了作图-复杂作图，三角形的外接圆及内切圆，线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点，连接，以点为圆心，为半径作圆，则即为所求； （2）作的角平分线，交于点，过点作的垂线，交于点，以点为圆心，为半径作圆，则即为所求； （3）连接并延长至，使得，作的垂直平分线，则直线即为所求； （4）作直线交于点，过点作直线，则直线即为所求； （5）连接，以点为圆心，为半径作，交于点，以点为圆心，（即）为半径作，交于点，则为等边三角形，所以，连接，过点作直线，交直线于点，则，故直线即为所求． 【详解】（1）解：作的垂直平分线，交于点，连接，以点为圆心，为半径作圆，则即为所求； （2）解：作的角平分线，交于点，过点作的垂线，交于点，以点为圆心，为半径作圆，则即为所求； （3）解：连接并延长至，使得，作的垂直平分线，则直线即为所求； （4）解：作直线交于点，过点作直线，则直线即为所求； （5）解：连接，以点为圆心，为半径作，交于点，以点为圆心，（即）为半径作，交于点，则为等边三角形，所以，连接，过点作直线，交直线于点，则，故直线即为所求 【变式10-3】．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1) 证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． (2) 证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． (3) 证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形内心有关应用 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 1. 核心思想：本节所有位置关系问题均围绕数形结合，将几何位置关系转化为距离d与半径r的大小比较，简化解题思路。 2. 两类位置关系核心 点与圆：比较点到圆心的距离与半径； 直线与圆：比较圆心到直线的垂线段距离与半径。 3. 重难点：切线的性质与判定 性质：见切线，连切点半径，得垂直； 判定：牢记双条件，熟练掌握“证垂直”和“证半径”两种辅助线方法。 4. 两个特殊圆心区分 外心对应外接圆，定顶点、等距顶点；内心对应内切圆，定边角、等距三边，切勿混淆。 5. 解题关键提醒 遇到点到圆的最近、最远距离问题，必须分类讨论，避免漏解；所有位置判定严格遵循垂线段距离标准。 6. 通用解题步骤：确定圆的圆心和半径→计算对应距离d→对比d与r的大小→判定位置关系。 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知的半径为2，若点在内，则的长可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：∵的半径为2，点在内， ∴， ∴的长可能为1． 故选：D 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（    ）． A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了圆和直线位置关系的判断；比较圆心到直线的距离和半径的大小即可确定． 【详解】解：∵的直径为6， ∴半径， ∵点O到直线l的距离为4， ∴， ∴直线l与相离； 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 直线与半径为的相交，且点到直线的距离，按照即可得到问题的答案． 【详解】解：直线与半径为的相交，且点到直线的距离为， ， 比较四个选项中的数，只有D选项中的，满足题意， 故选：D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 5．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（    ）时，直线是的切线． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线． 【详解】解：当时，直线是的切线． 证明：如图，连接OA． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴直线是的切线． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了坐标与图形的性质．先计算点A到坐标原点O的距离，再将该距离与的半径比较，依据点与圆的位置关系判定规则得出结论 【详解】∵点的坐标为，为坐标原点， ∴， 又∵的半径， ∴， ∴点在上， 故选：B 7．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴的一个交点为．若的半径为5，点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的切线性质、勾股定理应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度． 过点作轴于点，连接、；由与轴相切于点，得轴，从而确定点的坐标；在中，利用勾股定理求出的长度，再结合的长度求出的长度，进而得到点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，连接、． 与轴相切于点，且半径为， ，，， 点的坐标为， ，． 在中，，， 由勾股定理得：， ， 点的坐标为． 故选：． 8．如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 【答案】D 【分析】连接OA、OB、OC，由切线性质得OB⊥PB、OA⊥PA，从而求得∠AOB的度数，再由切线长定理得到DB=DC，从而证得OD平分∠BOC，同理得OE平分∠AOC，最后由∠DOE=∠AOB得到∠DOE的度数． 【详解】解：如下图 连OA、OB、OC ∵PB切⊙O于B，PA切⊙O于A ∴OB⊥PB，OA⊥PA 又∠P=50° ∴∠AOB=130° ∵DB切⊙O于B，DE切⊙O于C ∴DB=DC且OC⊥DC ∴OD平分∠BOC，即∠DOC=∠BOC 同理得∠EOC=∠AOC ∴∠DOE=∠DOC+∠EOC =∠BOC+∠AOC =(∠BOC+∠AOC) =∠AOB=×130° =65°． 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质、切线长定理，发现∠DOE=∠AOB是关键． 9．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 二、填空题 11．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知的半径为，线段的长为，则点P在_______（填“内”、“外”或“上”）． 【答案】外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．设圆的半径为r，点到圆心的距离d，则有点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内． 【详解】解：∵的半径为，线段的长为， 即点到圆心的距离大于圆的半径， ∴点P在外． 故答案为：外． 12．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，P为外一点，切于点A，若，，则的半径是________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，连接，由切线的性质可得，则可证明是等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵切于点A， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的半径是3， 故答案为：3． 14．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）已知平面内有和点．若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为___________． 【答案】相交或相切 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 根据点A和点B到圆心O的距离与半径的比较，判断点A和点B与圆的位置关系，从而推断直线与圆的位置关系． 【详解】∵的半径为，线段，线段， ∴点A在以O为圆心长为半径的圆上，点B在以O为圆心长为半径的上 当时，如图1所示，由知，直线与相切； 当与不垂直时，如图2所示，过点O作于点D，则，所以直线与相交； ∴直线与的位置关系为相交或相切． 故答案为：相交或相切． 15．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）的内切圆半径为，的周长为，则的面积是______． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形的内心的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键． 利用三角形内切圆的性质，三角形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的一半． 【详解】设的内切圆圆心为，切点为点，，，连接，，，，，， 则到各边的距离均等于内切圆半径， ，，， ， 的面积可表示为、、的面积之和，即，， ； 故答案是：． 16．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且始终满足，连接，以点为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边有且只有三个公共点时，长等于_______． 【答案】或2 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．当与相切时及当过点时，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图，当与相切时，与矩形的边有三个公共点， 四边形是矩形， ， 与相切， ， 四边形是矩形， ， ， ， 可设，则， 在中，， ， ， ； 解：如图，当过点时，与矩形的边有三个公共点， 设，则， 在中，， ， ，， 在中，， ， 或（舍去）， ； 故答案为：或2． 三、解答题 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)存在，秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及割补法求三角形面积，本题关键在于设未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设运动秒钟后的面积为，利用割补法将的面积用含x的式子表式出来，列方程，解出x即可． （2）为半径的圆正好经过点即为，即，根据勾股定理将、分别用x表示出来，列方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：设运动秒钟后的面积为， 则，，，， ， ， ， ，解得：，． 答：运动2秒或4秒后的面积为． （2）假设运动开始后第秒时，满足条件，则：， ∵， ， ∴， 整理，得：，解得：， ∵， ∴运动开始后第秒时，点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上． 18．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 【答案】(1) ①选择小明． 理由：如图①，过点O分别作，，垂足分别为E、F，连接、， ∵，且过圆心O， ∴， ∵，且经过点O， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即O到、的距离相等； ②选择小红． 证明：如图①，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对等边即可得证； （2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作角平分线的交点即可； ②因为得满足与三边相交，所以找临界值相切时值，再看最短的，就作为另一个临界值． 【详解】（1）略 （2）解：如图②中，即为所求． ∵， ∴， ∴， 当是的内切圆时， 则有， 解得， 当过点时可得， 又因为得满足与三边相交， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，圆心角，弧，弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1) 如图所示，点D为所求： (2) 点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【详解】（1）解：∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 20．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 解：直线与相切，理由如下： ∵是的直径， ∴． ∴． 又∵， ∴，即∠DAB=90°， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切． (2)12 【分析】（1）由且知，即，再根据切线的判定定理即可证明结论； （2）根据勾股定理和三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】等面积法是求线段的长度的常用方法． 21．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）在中，是上一点，以为半径作，与相切于点． (1)如图1，连接，证明：； (2)如图2，与交于点，且是的中点，若，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图1，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ； (2)4 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、含30度直角三角形的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明即可； （2）连接，根据圆周角定理、平角的定义求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即的半径为4． 22．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】（1）已知给出示例，我们仿照例子，连接，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得． （2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：如图2，连接．   ， ； （2）， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ，，． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养， 23．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到____________． 【深入理解】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点是轴上一点．若点，当最大时，点的坐标为____________． 【答案】 （1）证明：取的中点O，连接，如图， ，， ， ，B，C三点在以的中点为圆心，为半径圆上； （2）；（3） 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握题干中的方法，添加适当的辅助圆是解题的关键． （1）取的中点，连接，利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可； （2）以点A为圆心，为半径作辅助圆，利用圆周角定理解答即可； （3）由题意得：当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，以点A为圆心，为半径作辅助圆， ， 点C、D必在上， 是的圆周角，且是圆心角， ， 故答案为：； （3）解：如图所示，根据三角形外角的性质得， ∵， ∴， ∴当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，如图， 设圆心为C，连接，过点C作于点E，连接，则， ，， ，， ， ， ， 与y轴相切于点N， ， ，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 点N的坐标为， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，在矩形中，边长，，其中a，b（）分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为秒．在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点Q． (1)______． (2)如图2，当t为多少时，点O运动到的角平分线上，此时，半圆O与有怎样的位置关系，并加以说明． (3)如图3，当半圆O与的边有两个交点时，求t的取值范围． 【答案】(1)5 (2)，与相切 (3)或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、切线的性质定理、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）先解一元二次方程，得到，根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）运用角平分线性质定理得，可得是圆的切线，根据面积可求出，即可得到的值； （3）根据题意，分为当半圆与有2个交点；当点半圆与有1个交点，与有1个交点；当点半圆与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：由，即， 解得：，， 边长，，其中，分别是方程的两个根， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 故答案为：5； （2）解：如图，过点作，垂足为点， 是的平分线， 又在矩形中，，，， ， ， 是的切线，即与相切， 又， ， ，即， ， ； （3）解：如图，当半圆与相切时，此时半圆与△的边有1个交点，即为切点，设切点为，连接， 由（2）知，， 如图，当点与点重合时，此时半圆与的边有2个交点， 此时，为半圆的直径，， ， 当时，半圆与有2个交点， 即半圆与的边有2个交点； 如图，此时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆与相切时，此时半圆与的边有3个交点，设与半圆的切点为，连接， ， ， 当时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 即半圆与的边有2个交点； 如图，当半圆与经过点时，此时半圆与的边有3个交点； 连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ， ， 如图，当点与点重合时，此时点停止运动， ， ， 当时，半圆与有1个交点，与有1个交点， 即半圆与的边有2个交点； 综上，半圆与的边有两个交点时，或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 点、直线与圆的位置关系 （核心知识+6易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】点与圆的位置关系 设⊙O的半径为，点P到圆心O的距离为，则点与圆有三种位置关系，且为双向等价关系： 1. 点P在圆内 2. 点P在圆上 3. 点P在圆外 核心本质：将点与圆的几何位置关系，转化为点到圆心的距离与半径的代数大小比较，实现数形结合解题。 【知识点02】直线与圆的位置关系 设⊙O的半径为，圆心O到直线l的垂线段长度为（唯一判定距离），直线与圆有三种位置关系： 位置关系 公共点个数 数量关系 相关名称 相交 2个 割线 相切 1个（唯一） 切线、切点 相离 0个 无 关键结论：位置关系与数量关系双向等价，可互相推导，是解题核心依据。 【知识点03】切线的判定定理 定理内容：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 必备双条件（缺一不可）：①直线经过半径外端点；②直线与该半径互相垂直。 两种判定辅助线思路 1. 有交点，连半径，证垂直：已知直线与圆有明确公共点，连接圆心与公共点，证明连线与直线垂直； 2. 无交点，作垂直，证半径：未知直线与圆公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径。 【知识点04】切线的性质定理 定理内容：圆的切线垂直于经过切点的半径。 几何语言：若直线l切⊙O于点A，则。 常用辅助线：题目出现切线条件，优先连接圆心与切点，构造垂直关系，是几何解题高频套路。 【知识点05】切线长及切线长定理 1.切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长. 注意：切线是一条直线，无法度量;切线长是切线上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离，可以度量. 2.切线长定理 文字语言 符号语言 图示 ​∗ 过圆外一点可作圆的两 条切线，切线长相等. 如图，∵𝑃𝐴,𝑃𝐵是⊙𝑂 的两条切线，切点分别为𝐴，𝐵 ，∴𝑃𝐴=𝑃𝐵 . 【知识点06】三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，这个三角形叫作圆的外切三角形. 2.三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫作三角形的内心（是三角形三条角平分线的交点）． 3.三角形内心的性质 （1）三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径； （2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分对应的内角. 4.三角形内切圆的作法 如图，已知△ABC . 求作：与△ABC 的各边都相切的圆. 作法：（1）分别作∠BAC,∠ABC的平分线AD， BE，AD与BE 的交点为O ； （2）过点O作OM⊥AB，垂足为M ; （3）以点O为圆心，OM长为半径作⊙O .⊙O 即为所求. 易错1 距离判定标准混淆 ❌ 错误做法：判断直线与圆位置关系时，用直线上任意一点到圆心的距离对比半径； ✅ 正确规则：必须使用圆心到直线的垂线段长度d判定，这是唯一标准，直线上其他点距离无判定意义。 易错2 切线判定条件缺失 ❌ 常见误区：①垂直于半径的直线是切线；②过半径端点的直线是切线； ✅ 正确规则：必须同时满足过半径外端、垂直于该半径两个条件，缺一不可。 易错3 切线性质理解片面 ❌ 错误认知：切线垂直于圆的任意一条半径； ✅ 正确结论：切线仅垂直于经过切点的那条半径，并非所有半径。 易错4 点到圆的最值距离漏分类讨论 经典题型：已知点P到圆的最近距离为3，最远距离为7，求圆的半径。 ❌ 错误：只计算一种结果，遗漏情况； ✅ 完整解法：分点在圆外、圆内两种情况： 1. 点在圆外：直径，半径； 2. 点在圆内：直径，半径； 最终答案：或。 易错5 外心、内心概念混淆 圆心类型 对应交点 等距对象 外心（外接圆） 三边垂直平分线交点 三角形三个顶点 内心（内切圆） 三条内角平分线交点 三角形三条边 易错6 相切概念文字陷阱 ❌ 错误表述：直线有一个点在圆上，即为直线与圆相切； ✅ 正确定义：直线与圆有且只有一个公共点，才是相切关系。 【题型一】判断点与圆的位置关系 【典例1】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知的直径为，当线段时，则点在（    ） A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【典例2】．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）的半径为，则点与的位置关系是___________． 【典例3】．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm， (1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______． 【变式1-1】．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【变式1-2】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知的半径为3，，则点P与的位置关系是：点P在________． 【变式1-3】．阅读下列材料： 平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． （1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：　 　； （2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系． 【题型二】由点与圆位置关系求半径取值范围 【典例4】．已知的半径为5，点到圆心的距离为，如果点在圆内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例5】．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是_________． 【典例6】．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【变式2-1】．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，以点D为圆心，半径长为r作⊙D，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是 ___________． 【变式2-3】．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 【题型三】判断直线与圆的位置关系 【典例7】．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知的半径为2，点O到直线l的距离为5，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【变式3-1】．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式3-2】．（25-26九年级上·江苏南通·期末）的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是__________． 【变式3-3】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若的半径为4，圆心到直线的距离为5，则直线与的位置关系是__________（填相交、相切或相离） 【题型四】已知直线与圆位置关系，求半径/距离取值范围 【典例8】．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB有且只有两个公共点，则r的取值范围是（　　） A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．＜r≤6 D．＜r≤8 【变式4-1】．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．点O为边AB上一点（不与A重合）⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆．当⊙O与三角形边的交点个数为3时，则OA的范围（　　） A．0＜OA≤或2.5≤OA＜5 B．0＜OA或OA＝2.5 C．OA＝2.5 D．OA＝2.5或 【变式4-2】．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 【变式4-3】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是_______．    【题型五】圆的平移运动问题 【典例9】．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【典例10】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移______，才能使与相切? 【变式5-1】．如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是_______． 【变式5-2】．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【变式5-3】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，且，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，称点为点关于点的“伴随点”，图1为点关于点的“伴随点”的示意图． (1)已知点， ①当点的坐标分别为时，点关于点的“伴随点”的坐标分别为_______，_______； ②点是点关于点的“伴随点”，探究点的运动路径所对应的函数表达式，并说明理由； (2)如图2，点的坐标为，以为圆心，1为半径作圆，直接写出在上点关于点的“伴随点”的个数以及的纵坐标对应的取值范围． 【题型六】切线证明解答题 【典例11】．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）中，，点O在上，以为半径的圆交于点D，交于点E，且，求证：是圆的切线． 【典例12】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，点在圆上，．过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【典例13】．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是上一点，以为直径的经过点，且． (1)求证：所在直线是的切线； (2)若的直径为6，，求的长． 【变式6-1】．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，是的外接圆，为的直径，点为的内心，连接并延长交于点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【变式6-2】．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，， (1)用直尺和圆规作图； ①作的平分线交于； ②作，使得圆心在上且圆经过点、； (2)判定与的位置关系，并证明你的结论． 【变式6-3】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，与交于点C，的平分线交于点D，，垂足为E，，． (1)求证：是的切线； (2)求的半径； (3)连接，则的长为_______． 【题型七】切线的性质定理 【典例14】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，连接若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，是的切线，切点为B，连接与交于点C，点D为上一点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 【变式7-3】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图1，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． (1)求证：平分； (2)如图2，延长交直线于点，连接．若，求与、组成的图形的面积． 【题型八】切线的性质和判定的综合应用 【典例15】．如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（    ） A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm 【典例16】．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的弦，是的切线．若，则______． 【变式8-1】．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D为BC边的中点，O为AD上一点，⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为_______． 【变式8-2】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【变式8-3】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）在矩形中，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动两点在分别到达两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与四边形的一边（或者边所在的直线）相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形的边有4个公共点，请直接写出的取值范围______． 【题型九】应用切线长定理求解与证明 【典例17】．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是12，面积是24，则的半径是（   ） A． B．3 C．4 D．6 【变式9-1】．如图，是的切线，为切点，连接．若，则=__________． 【变式9-2】．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【变式9-3】．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 【题型十】三角形外接圆与内切圆综合 【典例18】．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知中，，．请按照题意用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)请在图中作一个能覆盖且面积最小的，则的半径为 ； (2)请在图的纸片中剪出一个面积最大的，则的半径为 ． 【典例19】．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【变式10-1】．（2024·江苏南京·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 【变式10-2】．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)如图①，作出的外接圆； (2)如图②，作出的内切圆； (3)如图③，点是上一点，过点作的切线； (4)如图④，切于点，作出直线，使与相切，且； (5)如图⑤，切于点，作出一条直线，使与相切，且与的夹角中有一个角为． 【变式10-3】．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 1. 核心思想：本节所有位置关系问题均围绕数形结合，将几何位置关系转化为距离d与半径r的大小比较，简化解题思路。 2. 两类位置关系核心 点与圆：比较点到圆心的距离与半径； 直线与圆：比较圆心到直线的垂线段距离与半径。 3. 重难点：切线的性质与判定 性质：见切线，连切点半径，得垂直； 判定：牢记双条件，熟练掌握“证垂直”和“证半径”两种辅助线方法。 4. 两个特殊圆心区分 外心对应外接圆，定顶点、等距顶点；内心对应内切圆，定边角、等距三边，切勿混淆。 5. 解题关键提醒 遇到点到圆的最近、最远距离问题，必须分类讨论，避免漏解；所有位置判定严格遵循垂线段距离标准。 6. 通用解题步骤：确定圆的圆心和半径→计算对应距离d→对比d与r的大小→判定位置关系。 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知的半径为2，若点在内，则的长可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（    ）． A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 3．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 5．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（    ）时，直线是的切线． A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 7．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴的一个交点为．若的半径为5，点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 9．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知的半径为，线段的长为，则点P在_______（填“内”、“外”或“上”）． 12．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 13．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，P为外一点，切于点A，若，，则的半径是________． 14．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）已知平面内有和点．若的半径为，线段，，则直线与的位置关系为___________． 15．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）的内切圆半径为，的周长为，则的面积是______． 16．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，点是边上的一个动点，且始终满足，连接，以点为圆心，长为半径作圆，当与矩形的边有且只有三个公共点时，长等于_______． 三、解答题 17．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动． (1)几秒钟后的面积等于； (2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． 18．（25-26九年级上·江苏常州·期中）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 19．（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 20．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 21．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）在中，是上一点，以为半径作，与相切于点． (1)如图1，连接，证明：； (2)如图2，与交于点，且是的中点，若，求的半径． 22．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 23．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到____________． 【深入理解】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点是轴上一点．若点，当最大时，点的坐标为____________． 24．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，在矩形中，边长，，其中a，b（）分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为秒．在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点Q． (1)______． (2)如图2，当t为多少时，点O运动到的角平分线上，此时，半圆O与有怎样的位置关系，并加以说明． (3)如图3，当半圆O与的边有两个交点时，求t的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $