专题07正多边形与圆及扇形精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦正多边形与圆的内嵌关系、四大基础概念（外接圆半径、边心距等）及计算模型，系统梳理扇形弧长与面积公式，衔接圆锥相关知识，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料通过失分点提示、分层题型设计，结合实例培养几何直观与推理能力，解题思路清晰，课中辅助突出教学重点，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与迁移能力。

专题07正多边形与圆及扇形精讲学案 正多边形判定依据 需要同时满足各边相等、各内角相等两个条件；菱形只等边、矩形只等内角，二者都不属于正四边形，不可单一条件判定正多边形。 正多边形与圆的内嵌关系 将圆n等分，顺次连接分点得到圆的内接正n边形；过等分点作圆切线，切线相交形成圆外切正n边形；任意正多边形拥有同心的外接圆、内切圆，公共圆心为正多边形中心。 四大基础概念精准区分 ①外接圆半径R：中心到正多边形顶点的线段； ②边心距r：中心到正多边形任意一条边的垂线段，等于内切圆半径； ③中心角：单条边对应圆心角，计算公式； ④边长a：正多边形单边长。 正多边形计算核心模型 半径R、边心距r、边长的一半构成直角三角形，依靠勾股定理、锐角三角函数完成边长、边心距、半径互相换算。 角度计算公式 正n边形内角：；外角恒为，多边形外角和固定360； 重点区分：正六边形中心角60，内角120。 周长与面积计算 周长C=na；面积统一公式S=周长边心距，原理是把正多边形拆分为n个全等的等腰三角形求和。 对称性特征 正n边形有n条对称轴，全部经过图形中心；偶数边正多边形兼具轴对称、中心对称性，奇数边正多边形只有轴对称，无中心对称。 可尺规作图正多边形 正方形、正六边形可直接尺规作图，可拓展作出正八边形、正十二边形。 扇形定义界定 由一段弧、弧两端的两条半径围成的封闭图形；缺少半径的弧形、弓形不属于扇形，不能套用扇形公式。 弧长计算公式 圆心角n，圆半径R，弧长l=，本质为圆周长按圆心角比例截取。 扇形面积两套公式灵活选用 ①已知圆心角、半径：S扇形=； ②已知弧长、半径（简便计算）：S扇形=lR，类比三角形面积记忆。 不规则阴影面积解题方法 采用和差法、割补法：整体图形减去空白扇形、三角形面积，零散小扇形可拼接为整圆、半圆简化运算。 前后知识点衔接（圆锥铺垫） 扇形的母线长=圆锥母线，扇形弧长=圆锥底面圆周长，是圆综合题型的关键过渡知识点。 （课堂着重强调，直击失分点，直白易懂） 1. 角度概念混淆：把正多边形中心角直接当作内角度数计算，如正六边形内角错算60°。 2. 对称性判断错误：默认所有正多边形都是中心对称图形，奇数边正多边形无中心对称属性。 3. 直角三角形模型出错：将边心距当作斜边，正多边形直角三角形斜边固定为外接圆半径R。 4. 正多边形面积计算漏乘边数：直接用单个等腰三角形面积当作整体多边形面积。 5. 扇形公式参数错误：直接带入圆周角计算，未换算成对应圆心角；公式内n无需标注角度符号，多余符号造成步骤扣分。 6. 扇形概念误判：侧边不是圆半径的弧形图形判定为扇形，强行使用扇形面积公式计算。 7. 扇形面积公式选用不合理：已知弧长依旧使用圆心角公式计算，加大计算量，提升计算失误概率。 8. 几何衔接误区：忽略扇形弧长等于圆锥底面周长的等量关系，圆锥填空、计算题列式错误。 题型 考察方向 难度 题型一 求正多边形的中心角 ★ 题型二 尺规作图 —— 正多边形 ★ 题型三 已知正多边形的中心角求边数 ★★ 题型四 正多边形和圆的综合 ★★ 题型五 求弧长 ★★ 题型六 求扇形半径 ★★ 题型七 求圆心角 ★★ 题型八 求某点的弧形运动路径长度 ★★ 题型九 求扇形面积 ★★ 题型十 求图形旋转后扫过的面积 ★★ 题型十一 求弓形面积 ★★ 题型十二 求其他不规则图形的面积 ★★★ 题型十三 求圆锥侧面积 ★★★ 题型十四 求圆锥底面半径 ★★★ 题型十五 求圆锥的高 ★★★ 题型十六 求圆锥侧面展开图的圆心角 ★★★ 题型十七 圆锥的实际问题 ★★★ 题型十八 圆锥侧面上最短路径问题 ★★★ 拔高题 解答题10题 ★★★ 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：求正多边形的中心角 解题思路：直接套用核心公式中心角=，n代表正多边形的边数，把已知边数代入式子，直接算出角度，无需额外变形。 1．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 2．正十边形的中心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正多边形的中心角的定义解决问题即可． 【详解】解：正十边形中心角的度数， 故选：A． 3．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 题型二：尺规作图 —— 正多边形 解题思路： 1. 作正四边形：先画出圆的两条互相垂直的直径，依次连接直径与圆的4个交点，得到正方形； 2. 作正六边形：以圆的半径为弦长，在圆周上连续截取6个等分点，顺次连接所有分点； 3. 拓展延伸：平分正四边形的弧可作出正八边形，平分正六边形的弧可作出正十二边形。 4．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 5．如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______． 【答案】12 【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题． 【详解】如图，连接OA、OC、OB． ∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键． 6．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 题型三：已知正多边形的中心角求边数 解题思路：将中心角公式逆向变形为n=，把题目给出的中心角度数代入，计算得出的正整数就是正多边形的边数。 7．若正边形的半径等于它的边长，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接、，证明是等边三角形，得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵正边形的半径等于它的边长， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即该正边形的中心角为， 又∵正边形所有中心角的和为， ∴． 8．如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先求出边数，进而即可得解． 【详解】解：多边形边数， ∴内角和为． 故答案为：． 9．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 题型四：正多边形和圆的综合 解题思路： 1. 把正n边形分割成n个全等的等腰三角形； 2. 取单个等腰三角形，作底边高，拆分成直角三角形； 3. 在直角三角形中，利用外接圆半径R、边心距r、半边长，结合勾股定理或者锐角三角函数，完成边长、半径、边心距的互算； 4. 最后结合周长、面积公式完成最终计算。 10．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用正六边形的性质，可得正六边形的边长等于其外接圆的半径，再结合圆的面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵正六边形的中心角为， ∴外接圆的圆心与正六边形任意两个相邻顶点构成顶角为的等腰三角形，该三角形为等边三角形， ∴外接圆的半径等于正六边形的边长， ∵正六边形边长为， ∴， ∴外接圆的面积． 11．如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 【答案】/112.5度 【分析】设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，则，求出正八边形中心角，再利用三角形内角和定理求出，最后再利用平角的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接， 则， ∵， ∴， ∴． 12．如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 【答案】B 【分析】根据正五边形的性质得出 ，由点 、 运动速度相同得出 ，结合三角形外角性质推导． 【详解】解：如图，五边形 是正五边形 ， ∴， 点、分别从点B、C开始以相同的速度在 上逆时针运动， ， ∴， ∴． 题型五：求弧长 解题思路：锁定公式l=，先找准两个关键量：弧所对的圆心角n、所在圆的半径R，再代入数值进行计算。 13．折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的长． 14．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形和圆的对称性，易得阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和，进行求解即可. 【详解】解：观察可知，阴影部分的周长为的长与正方形的边长的和， ∵正方形的边， ∴， ∴的长为， ∴阴影部分的周长为. 15．如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 【答案】 【分析】连接，设，的半径为，根据弧长公式得到，由圆周角定理和已知条件推出，据此由弧长公式可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，的半径为， ∵的长度为， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴的长度是． 题型六：求扇形半径 解题思路：分两种已知条件选用变形公式： 1. 已知弧长l与圆心角n：将弧长公式变形为R=； 2. 已知扇形面积S与弧长l：由S=l变形得到R=。 16．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 17．图1是某款“不倒翁”的实物图，其主视图如图2所示，，分别与相切于点A，B，“不倒翁”与水平面的接触点C是的中点．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B的对应点刚好与水平面接触，如图3．若，水平线上点C与点的距离为，则所在圆的半径是_____．    【答案】3 【分析】连接，再根据题意可得的度数，然后可得，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，      设圆的半径为r， ∵，分别与相切于点A，B， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据题意得：点C为的中点， ∴， ∵点C与点的距离为， ∴的长度为 ∴， 解得：， 即所在圆的半径是． 18．《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，若取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（    ） A．30平方尺 B．35平方尺 C．40平方尺 D．45平方尺 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥底面半径的计算以及弧长的计算． 设圆锥的底面半径为尺，根据米堆底部的弧长为9尺求出底面半径，再由这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积和计算即可得出答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为9尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺． 故选：A． 题型七：求圆心角 解题思路：根据已知条件灵活变形公式： 1. 已知弧长l、半径R：n=； 2. 已知扇形面积S、半径R：n=。 19．已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆心角度数，掌握弧长公式是解题的关键． 设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】∵ 弧长 ，其中 ，， ∴ ， 简化得：， ∴ ， ∴ 。 故选：B． 20．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 重物上升，即弧长是，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：设旋转角度为，由题意得， ， 解得． 故选D． 题型八：求某点的弧形运动路径长度 解题思路： 1. 先确定三个要素：旋转中心、动点到旋转中心的距离（旋转半径）、旋转角； 2. 旋转角就是弧长公式里的圆心角，旋转半径就是弧所在圆的半径； 3. 代入弧长公式，计算出弧形路径的长度。 22．如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴B点经过的路线长． 23．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 【答案】68.56 【分析】通过观察可以发现圆转动时四个角上各转动了个圆，利用弧长公式即可计算，然后再加上矩形的周长即可． 【详解】解： 答：圆心所经过的路线长度是． 24．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 题型九:求扇形面积 解题思路：两套公式按需选择，减少计算量： 1. 已知圆心角n、半径R：S=； 2. 已知弧长l、半径R：优先使用S= lR。 25．如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：与是同弧所对的圆周角与圆心角，， ， ， 扇形的面积． 26．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 【答案】 【分析】重物上升，则滑轮转过的弧长也是，再由，即可求出半径转过的面积． 【详解】解：由题意得，半径转过的弧长为， 则半径转过的面积． 27．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 题型十：求图形旋转后扫过的面积 解题思路： 1. 找准旋转中心、旋转半径与旋转角度； 2. 图形扫过的区域大多是单个或多个扇形； 3. 可以用多个扇形面积相加，或是用大面积减去空白小扇形面积来求解。 28．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质．由于将绕点C旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 29．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，边恰好经过点．若线段扫过的图形面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得 ，，从而判断 为等腰三角形，利用三角形内角和定理求出旋转角 的度数，最后根据扇形面积公式列方程求解即可 ． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∵边恰好经过点， ∴点在线段上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段扫过的图形面积为， ∴， ∴（负值已舍）． 30．如图，在中，已知，，． 把以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至边延长线上的处，那么边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再利用阴影面积求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 由旋转得，，， 阴影面积 ． 题型十一：求弓形面积 解题思路：弓形面积依靠扇形与三角形做和差运算： 1. 劣弧弓形：S弓形=S扇形-S等腰三角形； 2. 优弧弓形：S弓形=S整圆-(S扇形-S等腰三角形)。 31．如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，再根据即可得到解答． 【详解】解：∵扇形， ∴， 又∵， ∴为大圆的直径， ∴， ∴， ∴ ， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质和扇形面积公式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 32．“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 【答案】 / 【分析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解． 【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为， 如图所示， 根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E， ∴，则， ∴，，，4个空白半圆的面积为， ∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：， ∴在中，弓形的面积为， 同理，大圆内4个花瓣的面积和为， ∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 33．如图，内接于，为的切线，且，若的半径为2，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】连接，过点O作于点E，由切线性质得，结合推出．利用扇形面积公式得，利用垂径定理和含的直角三角形的性质算出面积为，二者作差即得阴影面积． 【详解】解：连接，过点O作于点E，如下图， ∴， 是的切线， ，即， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半径， ∴， ∵，且，， ∴，， ∴， ∴． 题型十二：求其他不规则图形的面积 解题思路：使用割补法、和差法、等积转化法： 1. 将零散的小扇形拼接成半圆、四分之一圆、整圆，简化计算； 2. 用整体多边形面积减去空白三角形、扇形的面积； 3. 把不规则阴影等量替换成扇形、三角形这类规则图形再计算。 34．如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．先根据旋转的性质得，，再利用面积的和差得到，即有，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵半圆AB绕点A顺时针旋转，点B旋转到C的位置， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 35．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】过C作交的延长线于点F，先利用平行四边形的性质得到，，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，由阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：过C作交的延长线于点F，如图所示， ∵四边形是平行四边形，，， ，， ， ， ，， ， ∴阴影部分的面积为 ． 36．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和垂径定理，证明，从而推出这两个三角形的面积相等，即可知道三角形的面积即是扇形的面积，利用平行线的性质和圆周角定理推出，即可知道度数，最后利用扇形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：， ， ， ，， ， ． 阴影部分的面积为． ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 题型十三：求圆锥侧面积 解题思路：圆锥侧面展开图为扇形，扇形半径是圆锥母线l，扇形弧长等于圆锥底面周长；直接套用公式S侧= r l（r为圆锥底面半径，l为母线长）。 37．如图，绕直角边旋转一周，它的其他各边所成的面围成了一个圆锥，已知，．则圆锥的侧面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，圆锥的底面半径，高 在中，由勾股定理得母线长， 圆锥的侧面积． 38．如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】先求出底面圆的半径，再由圆锥的侧面积公式计算． 【详解】解：圆锥的高为12，母线长为13， 圆锥的底面圆的半径， 该圆锥的侧面积为． 39．如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，分别为上下两个圆锥的母线，，若圆柱的高，，上下两个底面的直径与顶点都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥侧面积公式可知，底面半径相等时，侧面积之比等于母线长之比.，由题意可知为直角三角形，利用勾股定理求出的长，进而求出比值． 【详解】解：设圆柱的底面半径为，则上下两个圆锥的底面半径均为， 圆锥的侧面积公式为（为母线长）， ∴上下两个圆锥的侧面积之比为， ， ∴，即为直角三角形， 在中，，， ∴由勾股定理得：， 上下两个圆锥的侧面积之比为． 题型十四：求圆锥底面半径 解题思路：抓住核心等量关系：圆锥侧面扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长； 列式=2 r，化简得到r=，代入母线l、展开图圆心角n，求出底面半径r。 40．小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 【详解】解：由题意得：扇形的半径等于正方形的边长，即，圆心角， 扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， ， ． 41．如图用圆心角为度，半径为的扇形，如果将，重合围成一个圆锥，那么圆锥底面的半径是______cm． 【答案】3 【分析】设这个圆锥的底面圆的半径是rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解关于r的方程即可求得答案． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径是rcm， 由题意得：， 解得：． ∴这个圆锥的底面圆的半径是cm． 42．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为， 对应的弧长， 设圆锥底面半径为r，则． ． 题型十五：求圆锥的高 解题思路：圆锥母线l、底面半径r、高h构成直角三角形，母线为斜边； 利用勾股定理列式：h=，已知其中两个量，即可求出第三个量。 43．四位同学测量圆锥高的方法如下，你认为正确的是（  ） A．楠楠 B．晶晶 C．依依 D．笑笑 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的认识及特征．圆锥的高是指圆锥的顶点到底面圆心之间的距离，据此即可解答． 【详解】解：∵圆锥的高是指圆锥的顶点到底面圆心之间的距离， ∴正确的测量方法为 ． 故选：D 44．哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 即， 解得． 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以圆锥的高为． 45．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 题型十六：求圆锥侧面展开图的圆心角 解题思路：利用“扇形弧长=底面圆周长”建立等式： =2r，化简得n=，代入底面半径r和母线l，算出展开图的圆心角。 46．一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥底面圆的周长等于其侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形的半径，利用该关系列方程即可求解圆心角度数． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为， ∵母线长为，底面圆半径为，且圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长， ∴底面圆周长为，侧面展开扇形的弧长为， ∴， 解得， ∴侧面展开图圆心角度数为． 47．草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为________． 【答案】/216度 【分析】先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角． 【详解】解：由圆锥母线长、高，得底面半径为， 底面周长为， 扇形弧长公式为， 化简得， 解得， ∴扇形卡纸的圆心角的度数为． 48．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键要抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 根据圆锥的侧面积是底面积的3倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥母线长为，弧长为，扇形面积为，底面积为，圆心角度数为， ， ， ， ，即， 又， ， 故选：B． 题型十七：圆锥的实际问题 解题思路： 1. 把漏斗、粮堆、烟囱帽等实物抽象成圆锥几何模型； 2. 分清母线、底面半径、高对应的实际长度； 3. 结合侧面积、底面积公式，解决用料、造价、容积类计算问题。 49．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，列式计算即可． 【详解】解：设底面圆的半径为，母线长为， 由题意，得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查求圆锥的母线长．熟练掌握圆锥底面圆的周长是侧面展开图扇形的弧长，是解题的关键． 50．假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，灵活运用圆锥体积公式及反比例函数的增减性是解题的关键．根据圆锥体积公式，先求出圆锥的体积，进而得到底面积关于高的反比例函数表达式，再结合反比例函数的性质及的取值范围，求出底面积的取值范围． 【详解】解：由题意得，已知圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的底面积：， ∴圆锥体积：， 圆锥体积不变， ， 整理得， 是关于的反比例函数，比例系数， 当时，随的增大而减小， ∵， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最大值，为， 此底面积的取值范围为． 51．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr，解方程求出r，然后求得直径即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r 根据题意得2 πr， 解得r＝1， 侧面积= ， 底面积= 所以圆锥的表面积=， 故选：B． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系： （1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； （2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 题型十八：圆锥侧面上最短路径问题 解题思路： 1. 把圆锥的侧面沿母线剪开，铺平成扇形平面图形； 2. 两点之间线段最短，在展开的扇形上连接两点，这条线段就是最短路径； 3. 构造三角形，利用扇形圆心角、母线长，结合勾股定理或三角函数求出线段长度。 52．已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 53．如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【答案】 /3厘米 【分析】蚂蚁从圆锥底部边缘爬行到顶部的最短路线长即为圆锥的母线长，也就是侧面展开图扇形的半径，利用扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，， ∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ， 将，，代入扇形面积公式， 可得，， 解得， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 54．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 解答题 1．如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】先过点作，再分别在上截取，即可得出，即可证明四边形是平行四边形，根据得出四边形是矩形，根据可得四边形是正方形． 【详解】略 2．如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【答案】(1) 正六边形如图所示， (2)平方米． 【分析】本题考查的是尺规作图，正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可； （2）连接、，过作于，证明是等边三角形，得出，求出，，再求出，据此计算即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：连接、，过作于， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 平方米． 3．如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 4．如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵直线经过上的点C，， ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线． (2) 【分析】（1）连接，三线合一得到，即可得出结论； （2）用直角三角形的面积减去扇形的面积即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴阴影部分的面积. 5．如图，为的直径，点、在上，且点是的中点，过点作的垂线交直线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明即可； （2）连接，由圆周角定理求出，由弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：连接，如图， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，以为直径的交于点，为上的一点，连接，． (1)若，求证：是的切线; (2)若，且的长为，求的半径． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由同弧所对的圆周角相等，结合已知可得，可得，由三角形的内角和定理，可得，即可证得结论； （2）连接，由圆周角定理可得，设的半径为，根据的长即可得的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵为的直径， ∴是的切线．        （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为， ∵的长为， ∴， ∴， ∴的半径为． 7．已知扇形，以为直径作半圆得到如图所示图形．如果阴影部分（甲）的面积是白色部分（乙）面积的倍，求扇形的圆心角度数． 【答案】 【详解】解：设，， ，， ， ， ， ， ． 8．如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)求出围成的圆锥的侧面积； (2)求出该圆锥的高． 【答案】(1) (2)圆锥的高为 【分析】此题考查求圆锥的侧面积、底面半径，勾股定理，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键： （1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积； （2）先求出圆锥的底面半径，然后可得圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形，再根据勾股定理求解． 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是． （2）解：扇形的弧长是， ∴底面半径为， ∵圆锥的高和母线以及底面的半径组成直角三角形， ∴圆锥的高， ∴该圆锥的高为． 9．综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 【答案】(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下： 设滤纸围成的圆锥侧面展开图的扇形圆心角为． ∵漏斗口直径与母线均为， ∴滤纸围成的圆锥底面直径与母线均为， ，解得． 正好与将圆形滤纸两次对折后撑开得到的扇形圆心角相同， ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁； (2) 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与扇形的相关计算，关键是利用圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系，判断形状是否匹配，并计算侧面积． （1）验证“滤纸折叠后形成的扇形”与“漏斗侧面展开的扇形”是否完全匹配，关键看圆心角是否一致； （2）核心逻辑是“圆锥的侧面积=其侧面展开图扇形的面积”，滤纸围成的圆锥，其侧面展开图是半径为的半圆，计算其面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：滤纸围成的圆锥的侧面展开图是半径为的半圆， ∴侧面积为半圆的面积，即：． 10．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解； （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短； 故答案为两点之间线段最短； （2）剪开后，，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为， （3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 圆锥的底面周长为， ， 解得：， 该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 蚂蚁爬行的最短距离为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07正多边形与圆及扇形精讲学案 正多边形判定依据 需要同时满足各边相等、各内角相等两个条件；菱形只等边、矩形只等内角，二者都不属于正四边形，不可单一条件判定正多边形。 正多边形与圆的内嵌关系 将圆n等分，顺次连接分点得到圆的内接正n边形；过等分点作圆切线，切线相交形成圆外切正n边形；任意正多边形拥有同心的外接圆、内切圆，公共圆心为正多边形中心。 四大基础概念精准区分 ①外接圆半径R：中心到正多边形顶点的线段； ②边心距r：中心到正多边形任意一条边的垂线段，等于内切圆半径； ③中心角：单条边对应圆心角，计算公式； ④边长a：正多边形单边长。 正多边形计算核心模型 半径R、边心距r、边长的一半构成直角三角形，依靠勾股定理、锐角三角函数完成边长、边心距、半径互相换算。 角度计算公式 正n边形内角：；外角恒为，多边形外角和固定360； 重点区分：正六边形中心角60，内角120。 周长与面积计算 周长C=na；面积统一公式S=周长边心距，原理是把正多边形拆分为n个全等的等腰三角形求和。 对称性特征 正n边形有n条对称轴，全部经过图形中心；偶数边正多边形兼具轴对称、中心对称性，奇数边正多边形只有轴对称，无中心对称。 可尺规作图正多边形 正方形、正六边形可直接尺规作图，可拓展作出正八边形、正十二边形。 扇形定义界定 由一段弧、弧两端的两条半径围成的封闭图形；缺少半径的弧形、弓形不属于扇形，不能套用扇形公式。 弧长计算公式 圆心角n，圆半径R，弧长l=，本质为圆周长按圆心角比例截取。 扇形面积两套公式灵活选用 ①已知圆心角、半径：S扇形=； ②已知弧长、半径（简便计算）：S扇形=lR，类比三角形面积记忆。 不规则阴影面积解题方法 采用和差法、割补法：整体图形减去空白扇形、三角形面积，零散小扇形可拼接为整圆、半圆简化运算。 前后知识点衔接（圆锥铺垫） 扇形的母线长=圆锥母线，扇形弧长=圆锥底面圆周长，是圆综合题型的关键过渡知识点。 （课堂着重强调，直击失分点，直白易懂） 1. 角度概念混淆：把正多边形中心角直接当作内角度数计算，如正六边形内角错算60°。 2. 对称性判断错误：默认所有正多边形都是中心对称图形，奇数边正多边形无中心对称属性。 3. 直角三角形模型出错：将边心距当作斜边，正多边形直角三角形斜边固定为外接圆半径R。 4. 正多边形面积计算漏乘边数：直接用单个等腰三角形面积当作整体多边形面积。 5. 扇形公式参数错误：直接带入圆周角计算，未换算成对应圆心角；公式内n无需标注角度符号，多余符号造成步骤扣分。 6. 扇形概念误判：侧边不是圆半径的弧形图形判定为扇形，强行使用扇形面积公式计算。 7. 扇形面积公式选用不合理：已知弧长依旧使用圆心角公式计算，加大计算量，提升计算失误概率。 8. 几何衔接误区：忽略扇形弧长等于圆锥底面周长的等量关系，圆锥填空、计算题列式错误。 题型 考察方向 难度 题型一 求正多边形的中心角 ★ 题型二 尺规作图 —— 正多边形 ★ 题型三 已知正多边形的中心角求边数 ★★ 题型四 正多边形和圆的综合 ★★ 题型五 求弧长 ★★ 题型六 求扇形半径 ★★ 题型七 求圆心角 ★★ 题型八 求某点的弧形运动路径长度 ★★ 题型九 求扇形面积 ★★ 题型十 求图形旋转后扫过的面积 ★★ 题型十一 求弓形面积 ★★ 题型十二 求其他不规则图形的面积 ★★★ 题型十三 求圆锥侧面积 ★★★ 题型十四 求圆锥底面半径 ★★★ 题型十五 求圆锥的高 ★★★ 题型十六 求圆锥侧面展开图的圆心角 ★★★ 题型十七 圆锥的实际问题 ★★★ 题型十八 圆锥侧面上最短路径问题 ★★★ 拔高题 解答题10题 ★★★ 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：求正多边形的中心角 解题思路：直接套用核心公式中心角=，n代表正多边形的边数，把已知边数代入式子，直接算出角度，无需额外变形。 1．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．正十边形的中心角度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 题型二：尺规作图 —— 正多边形 解题思路： 1. 作正四边形：先画出圆的两条互相垂直的直径，依次连接直径与圆的4个交点，得到正方形； 2. 作正六边形：以圆的半径为弦长，在圆周上连续截取6个等分点，顺次连接所有分点； 3. 拓展延伸：平分正四边形的弧可作出正八边形，平分正六边形的弧可作出正十二边形。 4．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 5．如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______． 6．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型三：已知正多边形的中心角求边数 解题思路：将中心角公式逆向变形为n=，把题目给出的中心角度数代入，计算得出的正整数就是正多边形的边数。 7．若正边形的半径等于它的边长，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为______． 9．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 题型四：正多边形和圆的综合 解题思路： 1. 把正n边形分割成n个全等的等腰三角形； 2. 取单个等腰三角形，作底边高，拆分成直角三角形； 3. 在直角三角形中，利用外接圆半径R、边心距r、半边长，结合勾股定理或者锐角三角函数，完成边长、半径、边心距的互算； 4. 最后结合周长、面积公式完成最终计算。 10．若正六边形的边长为2，则它的外接圆的面积为（     ） A． B． C． D． 11．如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 12．如图五边形是的内接正五边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，与交于点P．则的度数是（     ） A． B． C． D．没有确定值 题型五：求弧长 解题思路：锁定公式l=，先找准两个关键量：弧所对的圆心角n、所在圆的半径R，再代入数值进行计算。 13．折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 14．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则阴影部分的周长是（     ） A． B． C． D． 15．如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 题型六：求扇形半径 解题思路：分两种已知条件选用变形公式： 1. 已知弧长l与圆心角n：将弧长公式变形为R=； 2. 已知扇形面积S与弧长l：由S=l变形得到R=。 16．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 17．图1是某款“不倒翁”的实物图，其主视图如图2所示，，分别与相切于点A，B，“不倒翁”与水平面的接触点C是的中点．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B的对应点刚好与水平面接触，如图3．若，水平线上点C与点的距离为，则所在圆的半径是_____．    18．《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周九尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为9尺，米堆的高为5尺，若取3，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（    ） A．30平方尺 B．35平方尺 C．40平方尺 D．45平方尺 题型七：求圆心角 解题思路：根据已知条件灵活变形公式： 1. 已知弧长l、半径R：n=； 2. 已知扇形面积S、半径R：n=。 19．已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 21．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 题型八：求某点的弧形运动路径长度 解题思路： 1. 先确定三个要素：旋转中心、动点到旋转中心的距离（旋转半径）、旋转角； 2. 旋转角就是弧长公式里的圆心角，旋转半径就是弧所在圆的半径； 3. 代入弧长公式，计算出弧形路径的长度。 22．如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 23．如图，将半径为的圆形纸板，沿着边长分别为和的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长度是______（）． 24．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 题型九:求扇形面积 解题思路：两套公式按需选择，减少计算量： 1. 已知圆心角n、半径R：S=； 2. 已知弧长l、半径R：优先使用S= lR。 25．如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 26．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 27．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 题型十：求图形旋转后扫过的面积 解题思路： 1. 找准旋转中心、旋转半径与旋转角度； 2. 图形扫过的区域大多是单个或多个扇形； 3. 可以用多个扇形面积相加，或是用大面积减去空白小扇形面积来求解。 28．如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为（    ） A． B． C． D． 29．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，边恰好经过点．若线段扫过的图形面积为，则的长为______． 30．如图，在中，已知，，． 把以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至边延长线上的处，那么边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 题型十一：求弓形面积 解题思路：弓形面积依靠扇形与三角形做和差运算： 1. 劣弧弓形：S弓形=S扇形-S等腰三角形； 2. 优弧弓形：S弓形=S整圆-(S扇形-S等腰三角形)。 31．如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（    ）． A． B． C． D． 32．“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 33．如图，内接于，为的切线，且，若的半径为2，，则图中阴影部分的面积为______． 题型十二：求其他不规则图形的面积 解题思路：使用割补法、和差法、等积转化法： 1. 将零散的小扇形拼接成半圆、四分之一圆、整圆，简化计算； 2. 用整体多边形面积减去空白三角形、扇形的面积； 3. 把不规则阴影等量替换成扇形、三角形这类规则图形再计算。 34．如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 35．如图，在平行四边形中，，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点E，连接，则阴影部分的面积是______． 36．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 题型十三：求圆锥侧面积 解题思路：圆锥侧面展开图为扇形，扇形半径是圆锥母线l，扇形弧长等于圆锥底面周长；直接套用公式S侧= r l（r为圆锥底面半径，l为母线长）。 37．如图，绕直角边旋转一周，它的其他各边所成的面围成了一个圆锥，已知，．则圆锥的侧面积等于（     ） A． B． C． D． 38．如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积为________． 39．如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，分别为上下两个圆锥的母线，，若圆柱的高，，上下两个底面的直径与顶点都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（   ） A． B． C． D． 题型十四：求圆锥底面半径 解题思路：抓住核心等量关系：圆锥侧面扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长； 列式=2 r，化简得到r=，代入母线l、展开图圆心角n，求出底面半径r。 40．小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 41．如图用圆心角为度，半径为的扇形，如果将，重合围成一个圆锥，那么圆锥底面的半径是______cm． 42．斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 题型十五：求圆锥的高 解题思路：圆锥母线l、底面半径r、高h构成直角三角形，母线为斜边； 利用勾股定理列式：h=，已知其中两个量，即可求出第三个量。 43．四位同学测量圆锥高的方法如下，你认为正确的是（  ） A．楠楠 B．晶晶 C．依依 D．笑笑 44．哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 45．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 题型十六：求圆锥侧面展开图的圆心角 解题思路：利用“扇形弧长=底面圆周长”建立等式： =2r，化简得n=，代入底面半径r和母线l，算出展开图的圆心角。 46．一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为（     ） A． B． C． D． 47．草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的圆心角的度数为________． 48．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A． B． C． D． 题型十七：圆锥的实际问题 解题思路： 1. 把漏斗、粮堆、烟囱帽等实物抽象成圆锥几何模型； 2. 分清母线、底面半径、高对应的实际长度； 3. 结合侧面积、底面积公式，解决用料、造价、容积类计算问题。 49．如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 50．假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为_______． 51．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型十八：圆锥侧面上最短路径问题 解题思路： 1. 把圆锥的侧面沿母线剪开，铺平成扇形平面图形； 2. 两点之间线段最短，在展开的扇形上连接两点，这条线段就是最短路径； 3. 构造三角形，利用扇形圆心角、母线长，结合勾股定理或三角函数求出线段长度。 52．已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 53．如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 54．如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 解答题 1．如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 2．如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 3．如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 4．如图，直线经过上的点C，并且． (1)求证：直线是的切线． (2)若，求阴影部分的面积． 5．如图，为的直径，点、在上，且点是的中点，过点作的垂线交直线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为，求的长． 6．如图，在中，以为直径的交于点，为上的一点，连接，． (1)若，求证：是的切线; (2)若，且的长为，求的半径． 7．已知扇形，以为直径作半圆得到如图所示图形．如果阴影部分（甲）的面积是白色部分（乙）面积的倍，求扇形的圆心角度数． 8．如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)求出围成的圆锥的侧面积； (2)求出该圆锥的高． 9．综合与实践 （主题）滤纸与漏斗 （素材）如图甲所示： 1：一张直径为10cm的圆形滤纸； 2：一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗． （实践操作） 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图乙所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图甲所示漏斗中． （实践探索） (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，直接写出滤纸围成圆锥形的侧面积．（结果保留π） 10．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题． 问题情境： 如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是___________； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和） 拓展迁移： （3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $