第三章 一次方程与方程组 单元练习卷 2026-2027学年沪科版数学七年级上册

**基本信息** 沪科版七上第三章一次方程与方程组单元卷，立足基础概念与运算，融合古代数学文化（如《孙子算经》问题）和实际应用情境（租车、救灾物资运输），适配单元复习，培养运算能力、模型意识与几何直观。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|一元一次方程定义（第1题）、等式性质（第2题）、二元一次方程概念（第6题）|基础概念辨析，结合古代数学典籍素材| |填空题|4|解方程错误分析（第11题）、含参数方程固定解（第13题）|突出易错点与思维灵活性| |解答题|9|方程组解法（第15题）、实际应用（第22题租车方案）、动态几何问题（第23题）|分层设计，综合考查模型构建与运算推理，体现跨情境应用|

2026-2027学年沪科版数学七上第三章一次方程与方程组单元练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 2．已知，下列变形中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 4．解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 5．《孙子算经》中记载了这样一道题，原文是：今有三人共车．二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．若是关于，的二元一次方程，则的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．0 7．已知有理数，满足方程组，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．已知与是同类项，则x和y的值分别为（   ） A．5和1 B．1和5 C．和5 D．和1 9．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（   ） A．4定绢价50贯，3定布价90贯 B．4定绢价90贯，3定布价50贯 C．4定布价90贯，3定绢价50贯 D．4定布价50贯，3定绢价90贯 10．一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（    ） A．325 B．217 C．433 D．541 二、填空题 11．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为______． 12．如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，部分数据如图所示，则每个小长方形的面积为______． 13．已知关于x，y的二元一次方程，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是______． 14．已知关于、的方程组有正整数解，则的值为______． 三、解答题 15．解方程或方程组 (1)； (2)． 16．若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 17．甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，求原方程组的正确解． 18．已知关于x，y的方程组 (1)若方程组的解满足，求k的值． (2)无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 19．已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解恰为，则此方程称为“合并式方程”． 例如：，，且是方程的解，此方程为“合并式方程”． 请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)关于的一元一次方程是“合并式方程”，求n的值． 20．阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 21．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 22．古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．伴着三月的春风，哼着欢快的曲调，我们踏上了研学之路．方树泉中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有 人； (2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (3)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？ 23．将两个完全相同的长方形，按如图所示方式放置在数轴上． (1)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． (2)若长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度在数轴上相向而行，设两个长方形重叠部分的面积，移动时间为秒． ①在整个运动过程中，的最大值是多少？持续时间为多少秒？ ②当是长方形的面积的一半时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年沪科版数学七上第三章一次方程与方程组单元练习卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C A A A B B B 1．D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，“只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0”．根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）是分式方程，故（1）不符合题意； （2），即，符合一元一次方程的定义，故（2）符合题意； （3），即，符合一元一次方程的定义，故（3）符合题意； （4）的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故（4）不符合题意； （5），即，符合一元一次方程的定义，故（5）符合题意； （6）中含有2个未知数，属于二元一次方程．故（6）不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，不符合题意；     C. ，故该选项正确，不符合题意；         D. 当时，，故该选项不正确，符合题意；     故选：D． 3．A 【分析】本题考查了方程的解的定义，解一元一次方程；由解的定义可得，即可求解；理解“能使方程成立的未知数的值叫做方程的解．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 解得：； 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查去分母解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数6，注意不要漏乘常数项，并正确应用乘法分配律即可． 【详解】解：， 去分母得，， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设共有x辆车，依题意得：， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义得出，再求出即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， 故选：A． 7．A 【分析】根据方程组中两个方程的特点，由①+②即可求出的值； 【详解】解：上述两个二元一次方程相加，可得，． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法，把方程组中的方程灵活变形运用“整体思想”是解决问题的关键． 8．B 【分析】本题考查了同类项、二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义，二元一次方程组的解法是解题的关键．结合与是同类项，可列出二元一次方程组，解方程组求x和y的值即可解答． 【详解】解：与是同类项， ， 解得：， 和y的值分别为1和5． 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，古代数学问题，根据题意列出方程组是解题的关键． 设有绢定，布定，根据方程组中求解即可． 【详解】设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组 ∵ ∴题中用“……，……”表示的缺失条件应为4定绢价90贯，3定布价50贯． 故选：B． 10．B 【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上的数字为，则原来的三位数表示为：，新数表示为：,故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【详解】解：设个位、十位、百位上的数字为 依题意得： , 解得 原来的三位数字是217 故选：B 【点睛】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解答此题的关键是列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解． 11． 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可． 【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为， ， 把代入，得 ， 解得， 所以原方程为 ， ， ， ， 故答案为： ． 12．270 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设小长方形的长为，根据大长方形的长和宽，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则：小长方形的宽为， 由图可知：， 解得：， ∴； ∴小长方形的面积为：； 故答案为：270 13． 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．根据无论m如何变化，二元一次方程总有一个固定的解，列出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得 ， ∴这个固定解为； 故答案为：． 14．或或 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次方程等知识点，由及、为正整数得出或或是解题的关键． 由①可得，由、为正整数可得或或，进而得出方程组的正整数解，然后代入方程②即可求出的值． 【详解】解：， 由①可得：， ∵、为正整数， ∴或或， ∴或或， 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组的方法，解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解二元一次方程组的方法，利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解；， 由①得， 将③代入②，得， 解得：， 将代入③，得， 所以方程组的解为：． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 17． 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，首先将甲的解代入②，乙的解代入①求出a与b的值，然后应用代入消元法，求出原方程组的正确解即可． 【详解】解：甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的， 解得， , 解得， 乙看错了方程②中的，解得， , 解得， 原方程组为， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 将代入③得， 方程组的解为． 18．(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意，联立方程得，可求得x，y的值，再将x，y代入，即可求得k的值． （2）无论实数k取何值，方程总有一个公共解，即的取值与无关，求得，将所求x的值代入，可求得y的值，即为所求的公共解． 【详解】（1）解：联立与， 得      解得 把 代入方程中， 得 ， 解得 （2）∵无论实数k取何值，方程总有一个公共解， ∴的取值与无关， ∴，即方程化为，解得 无论实数k取何值，方程总有一个公共解，该公共解为. 19．(1) 一元一次方程不是“合并式方程”， 理由如下：，把代入方程的左右两边，左边， 左边右边， 不是方程的解， 一元一次方程不是“合并式方程”； (2) 【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行计算即可； （2）由“合并式方程”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：一元一次方程是“合并式方程” 是方程的解 ， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解一元一次方程的解得定义以及“合并式方程”的定义是解题的关键． 20．(1)2，16 (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握“整体思想”是解题的关键． （1）参照题干中小逸的作法求解； （2）由，得出，即可求解． 【详解】（1）解： 由，可得， 由，可得． 故答案为：2，16； （2）解： 由，可得， 方程组的解满足， ， 解得． 21．(1)需甲车型8辆，需车型10辆； (2)方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为非负整数，求出x，y，z的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得： ， 解得：， 答：需甲车型8辆，需车型10辆； （2）解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得： ， 消去z得， ∴， 因x，y是非负整数，且不大于18，得，5，10，15， 则，10，8，6； 又z是非负整数，解得z=6，3，0， ∴或或， ∴共有三种运送方案： 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 22．(1)420； (2)客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元； (3)共有3种租车方案，租用60座客车7辆时最省钱． 【分析】（1）根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：， ， 参加此次活动的七年级师生共有420人． 故答案为：420； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元； （3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆， 根据题意得：， ． 又m，n均为自然数， 或或， 共有3种租车方案， 方案1：租用60座客车7辆，所需租车费用为（元）； 方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆，所需租车费用为（元）； 方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆，所需租车费用为（元）． ， 租用60座客车7辆时最省钱． 【点睛】本题主要考查列方程解决实际问题，以及最优方案的问题，解题的关键是列方程需要找到等量关系式，最优方案需要比较所有满足情况的方案费用最少，其难点是所设未知数必须满足整数的要求，得出具体几种方案． 23．(1)1； (2)①；秒；②或4． 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离的应用，动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件得出，设，则，再根据列方程，求解即可得点表示的数， （2）①结合图形可得，当点和点重合时，到点和点重合时，重叠所形成的部分为长和宽均为的正方形时，面积最大，即可求出的最大值，根据，，可得持续的距离，从而列式求解即可；②本题求解时应根据当在之间时，点在之间时，根据是长方形面积一半列方程，可得结论． 【详解】（1）解：由图可得： ∴设，则， ∵ ∴， 解得：， ∵， ∴点表示的数为1． （2）解：①由图可得， ∵长方形，完全相同， ∴， ∴当点和点重合时，到点和点重合时，重叠所形成的部分为长和宽均为的正方形时，面积最大， ∴重叠所形成的部分最大面积为：， ∵，， ∴持续的距离为， ∵长方形，分别以每秒2个单位长度和1个单位长度在数轴上相向而行， ∴， 解得：， ∴最大值为，持续时间为秒． ②解：∵，， ∴长方形的面积为：， 当是长方形的面积的一半时，即面积为：， 当在之间时，如图： ∵，， ∴， ∴移动距离为 ∴， 解得： 当点在之间时，如图： 同理可得，移动距离为， ∴， 解得：， 综上可得：的值为或4． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $