第三章 一次方程与方程组 单元练习卷 2026-2027学年沪科版七年级上册数学

**基本信息** 沪科版七上数学第三章一次方程与方程组单元卷，120分钟150分，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖方程概念、解法及应用，融合数学文化与现实情境，适配单元复习，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元一次方程定义、等式性质、二元一次方程识别|第9题引用《九章算术》“粟米问题”，渗透文化传承| |填空题|4/20|解方程错解分析、参数方程、同解方程组|第13题含k参数方程，考查推理意识，培养数学思维| |解答题|9/90|解方程、方程组解法创新、应用题（购物/运输/方案设计）、新定义“美满方程”|21题新能源汽车购进方案、22题蔬菜运输费用优化，体现模型意识；23题绝对值与方程结合，发展几何直观|

2026-2027学年沪科版七上数学第三章一次方程与方程组单元练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（    ） A． B．1 C．2 D．或1 2．下列变形符合等式性质的是 （    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．是下列方程（     ）的解． A． B． C． D． 4．下列解一元一次方程的过程，正确的是（   ） A．将方程两边同除以，得 B．将方程移项，得 C．将方程去括号，得 D．将方程去分母，得 5．用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺?设井深x尺，则可列方程（    ） A． B． C． D． 6．方程2x﹣＝0，3x+y＝0，2x+xy＝1，5x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 8．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（   ） A． B． C． D． 9．《九章算术》中有一个“粟米问题”，大意是“今有粟米与稻米共重96斗，粟米与稻米的重量比为”．设粟米为x斗，稻米为y斗，下列所列二元一次方程组正确的是（    ）． A． B． C． D． 10．某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本，共需21元；若购买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本，共需35元．购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需（   ） A．8元 B．7元 C．6元 D．不能确定 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．在解方程时，小明去分母时出现错误，得到，因而求得方程的解为，方程正确的解应为___________． 12．一个正方形的一边长减少后，得到的长方形的周长为，设正方形的边长为，可列方程是_____． 13．已知关于x的方程＝1+中，a、b、k为常数，若无论k为何值，方程的解总是x＝1，则a+b的值为 ___． 14．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 三.（本题共16分） 15． 解方程： ； 16．解方程： ． 四.（本题共16分） 17． 甲、乙两人同时解方程组甲看错了b，求得的解为乙看错了a，求得的解为你能求出原题中正确的a，b吗？ 18．阅读下列方程组的解法，然后解答相关问题： 解方程组时，若直接利用消元法解，那么运算比较繁杂，采用下列解法则轻而易举 解：①②，得，即．③ ②③，得． 把代入③，解得．故原方程组的解是． (1)请利用上述方法解方程组． (2)直接写出关于x，y的方程组的解． 五．（本题共20分） 19．定义：如果两个一元一次方程的解的和为10，我们就称这两个方程为“美满方程”．例如：方程和为“美满方程”． (1)若关于的方程与方程是“美满方程”，则__________； (2)已知一对“美满方程”的两个解的差为，若其中一个解为，求的值； (3)已知无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程都是“美满方程”，求的值． 20．周末，小明、小亮等同学随家人一同到公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话： 爸爸：成人门票每张35元，学生门票5折优惠，我们共12人，共需350元． 小明：爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式是否可以更省钱． 票价： 成人：35元/张，学生：按成人5折优惠 团体票：（16人以上含16人）按成人票6折优惠 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮小明算一算用哪种方法买票更省钱？说明理由． 六.（本题共12分） 21．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多25万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共50万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为200万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 七.（本题共12分） 22．要将新鲜蔬菜240吨由地运往地．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载且只运输一次） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 10 16 20 汽车运费（元/辆） 800 1000 1200 (1)同时用甲、乙、丙三种车型运送全部蔬菜，甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车需要多少辆． (2)若全部蔬菜用甲、乙两种车型运送完，需运费16400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (3)若全部蔬菜用甲、乙、丙三种车型同时参与运送完，已知它们的总辆数为16辆，请你列出全部运输方案，并说明哪种运输方案总费用最少，最少总费用为多少元？ 八.（本题共14分） 23．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ； (2)找出所有符合条件的整数x，使得取最小值时，相应的x的整数解是 ； (3)对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并求出x的整数解；如果没有，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年沪科版七上数学第三章一次方程与方程组单元练习卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D A B B B B A B 1．A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为 1 且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴ 且， 由得或， 但，即， ∴． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查等式的基本性质，利用等式性质1和等式性质2，逐一判断各选项的变形是否正确即可． 【详解】解：A：若，两边同时加3，得，本选项变形错误； B：若，两边同时加2，得，本选项变形错误； C：若，两边同时除以，得，本选项变形错误； D：若，两边同时乘以，得，本选项变形正确． 3．D 【详解】解：A．；，不是2.5，排除； B．；，，，不是2.5，排除； C． ，不是2.5，排除； D． ，符合题意． 4．A 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键在于正确掌握解方程步骤． 根据一元一次方程的解法步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），结合等式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵对于选项A，将方程两边同除以，即两边同乘2，得，步骤正确，符合题意． ∵对于选项B，将方程移项，移项要变号，应得，而非，步骤错误，不符合题意． ∵对于选项C，将方程去括号，应得，而非，步骤错误，不符合题意． ∵对于选项D，将方程去分母，两边同乘6（2和3的最小公倍数），应得，而非，步骤错误，不符合题意． 故选：A． 5．B 【分析】设井深尺，由绳子的长度不变，可得出关于的一元一次方程，即可得到答案． 【详解】解：设井深尺， 依题意，得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．B 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：2x﹣=0是分式方程，不是二元一次方程； 3x+y=0是二元一次方程； 2x+xy=1是二元二次方程； 5x+y-2x=0是二元一次方程； x2-x+1=0是一元二次方程． 所以二元一次方程有②④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 7．B 【分析】本题考查已知式子的值，求二元一次方程组的参数，将方程组转化为与相关的式子，代入计算即可． 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得， 故选B． 8．B 【详解】将①代入②，得， 去括号，得． 9．A 【分析】根据“今有粟米与稻米共重96斗，粟米与稻米的重量比为”列方程组即可． 【详解】解：设粟米为x斗，稻米为y斗， ∵今有粟米与稻米共重96斗， ∴， ∵粟米与稻米的重量比为， ∴， ∴． 10．B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是根据购买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本，共需要21元，若购买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需35元列出方程组． 【详解】解：购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元 由题意得： 得：． 故选：B． 11． 【分析】本题考查方程的解及解一元一次方程，熟记一元一次方程的解法步骤是解决问题的关键． 先将小明解的错解代入方程，求出参数，再解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：小明解得到， 将代入方程得， 即， 解得， 将代入原方程， 得， 去分母得， 即， 整理得， 移项得， 即， ， 故答案为：． 12． 【分析】由题意可得长方形的一边为，另一边长为，根据长方形的周长公式列方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系是解题的关键． 13． 【分析】将代入方程，然后令的系数为0，得到关于的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：将代入方程＝1+得 由题意可得：，解得 则 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次方程解的含义以及二元一次方程组的求解，解题的关键是理解题意，掌握二元一次方程组的求解． 14． 4 【分析】先解方程组，再由关于x，y的方程组与有相同的解得到x，y的值，将x，y的值代入通过解二元一次方程组求得a，b的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴关于x，y的方程组的解也是， ∴，解得． 15． （1）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 16． 方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 解：方程组整理，得， ②①，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 故原方程组的解为． 17．能，，． 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①，得， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②，得， 得， 即，． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的新解法，整体换元思想和理解应用是本题的关键． （1）分析题干中的信息，应用计算即可； （2）分析题干中的信息，应用计算即可． 【详解】（1）解：， ①②，得，即③， ②③，得， 解得， 把代入③，解得． 故这个方程组的解是． （2）解：， ①②，得，即③， ②③，得，解得， 把代入③，解得． 故这个方程组的解是． 19．(1)12 (2)6，4 (3)1 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据“美满方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答，即可． （1）解出和的解，再根据“美满方程”的定义，即可； （2）根据“美满方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，即可； （3）先解出的解，再根据“美满方程”的定义得出另一个方程的解，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵关于的方程与方程是“美满方程”， ∴， ∴． （2）∵“美满方程”的两个解的和为10，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∵一对“美满方程”的两个解的差为， ∴，或， 解得：， ∴或． （3）∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， \解得：， ∴． 20．(1)去了8个成人，4个学生 (2) 按16人买团体票更省钱， 理由：若购买16张团体票，需要（元） 而 ∴按16人买团体票更省钱． 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设一共去了x个成人，则有个学生．根据“成人票与学生票共需350元”列出方程，求解即可； （2）计算购买16张团体票的花费，进行比较即可解答． 【详解】（1）解：设一共去了x个成人，则有个学生．根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． （2）略 21．(1)A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为15万元 (2)共有3种购进方案：方案1为购进A种型号7辆和B种型号4辆；方案2为购进A种型号4辆和B种型号8辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号12辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， 答：A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为15万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案1为购进A种型号7辆和B种型号4辆；方案2为购进A种型号4辆和B种型号8辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号12辆． 22．(1)4辆 (2)需要8辆甲型车，10辆乙型车 (3) 方案一：6辆甲型车、5辆乙型车、5辆丙型车； 方案二：4辆甲型车、10辆乙型车、2辆丙型车； 4辆甲型车、10辆乙型车、2辆丙型车方案运费最少，最少总费用为15600元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据题意列出算式求解即可； （2）设需要辆甲型车，辆乙型车，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （3）设需要辆甲型车，辆乙型车，则需要辆丙型车，根据题意列出方程求出，然后根据均为正整数，得到，或，进而求解即可． 【详解】（1）（辆） 答：丙型车需要4辆； （2）设需要辆甲型车，辆乙型车 ，解得 答：需要8辆甲型车，10辆乙型车． （3）设需要辆甲型车，辆乙型车，则需要辆丙型车， ， 均为正整数， ，或 ①当，时，， 运费为：（元） ②当时，， 运费为：（元） ， 4辆甲型车、10辆乙型车、2辆丙型车方案运费最少 答：4辆甲型车、10辆乙型车、2辆丙型车方案运费最少，为15600元． 23．(1)3； (2)，0，1，2； (3)1； (4)有最小值，最小值为7，x的整数解，0，1 【分析】本题考查绝对值的最值问题，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义求解； （3）根据绝对值的几何意义求解； （4）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：， 即数轴上表示和两点之间的距离是3， 故答案为：3； （2）解：根据绝对值的定义，可表示为x到与2两点距离的和， 根据绝对值的几何意义知， 当x在的左边时，x到2的距离大于，则可表示为x到与2两点距离的和大于3， 当x在与2之间时，x到与2两点距离的和为3， 当x在2的右边时，x到的距离大于3，则可表示为x到与2两点距离的和大于3， ∴当x在与2之间时，有最小值3，x的整数解为：，0，1，2， 故答案为：，0，1，2； （3）解：∵ ∴可以理解为数轴上表示x的点到点的距离，与到点2的距离之和， 由（2）知：当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，的最小值为0， ∴当时，有最小值为3， 故答案为：1； （4）解：表示x到，，1，2这四个点的距离之和． 令， 时，， 时，， 时，， 时，， 观察数轴， 当时，由于四点分列在x两边，恒有， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综合以上： 即有最小值，最小值为7．x在和1之间时取最小值，x的整数解是：，0，1． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $