第一章 因式分解 单元测试B卷 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 湘教版八年级上册《因式分解》单元测试B卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，全面考查因式分解概念、方法及几何应用，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解概念、公因式确定|结合真题情境（如2025年期末题），考查基础辨析| |填空题|8/24|公式法分解、代数式求值|注重逆向思维（如已知分解结果求参数）| |解答题|8/66|分组分解、配方法、几何背景应用|通过阅读材料（配方法）、几何图形面积问题，培养数学思维与应用意识|

第一章《因式分解》（B卷）—湘教版数学八年级上册单元测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．（2025八上·叙永期末）下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025八下·宝安期末）多项式ma2-mb2的公因式是（　　） A．m B．m2 C．ma D．mb 3．多项式8m2n+2mn中各项的公因式是（　　） A．2mn B．mn C．2 D．8m2n 4．（2024八上·阿图什期末）多项式与多项式的公因式是(　　) A． B． C． D． 5．（2025·鄞州模拟）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（　　） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错 6．（2025八上·衡山期末）与相等的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024·浙江模拟）把因式分解，结果正确的是(　　) A． B． C． D． 8．（2025八下·南海期中）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 9．若，则代数式 A的值为（　　） A．m B．mn C．mn2 D．m2n 10．（2025八下·深圳期中）如果是的一个因式，则的值是（　　） A． B． C．0 D．1 二、填空题（每题3分，共24分） 11．（2025八下·青羊期中）若二次三项式可分解为，则的值为　 　． 12．（2024·扬州）分解因式：　 　． 13．（2025八上·潮阳期末）因式分解：　 　． 14．（2022八下·杭州期末）已知，，则的值是　 　. 15．（2026·遵义模拟）因式分解的结果是　 　． 16．（2024八上·天水期中）若，则代数式　 　． 17．（2025·德阳模拟）已知，则　 　，　 　． 18．（2024八下·柯桥期中）已知x= +1，则代数式x2﹣2x+1的值为　 　. 三、解答题（共8题，共66分） 19．分解因式： （1）； （2）． 20．（2025八下·深圳期中）计算 （1）； （2） 21．（2024八上·九台期末）阅读下列材料： 一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如： 因式分解：am+bm+an+bn ＝（am+bm）+（an+bn） ＝m（a+b）+n（a+b） ＝（a+b）（m+n）． （1）利用分组分解法分解因式： ①3m﹣3y+am﹣ay； ②a2x+a2y+b2x+b2y． （2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝　 　（直接写出结果）． 22．（2024八上·雨花期末）观察下面的因式分解过程： am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b） 利用这种方法解决下列问题： （1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm （2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状． 23．（2025八下·深圳期中）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用. 例如： ①用配方法因式分解：a2+6a+8 原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2) ②求2x2+12x+22的最小值. 解：2x2+12x+22=2(x2+6x+11)先求出x2+6x+11的最小值 x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2； 由于(x+3)2是非负数，所以(x+3)2≥0，可得到(x+3)2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2. 进而2x2+12x+22的最小值为4. 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　 （2）用配方法因式分解：a2+12a+35； （3）求2x2-4x+10的最小值. （4）已知实数x，y满足-x2+5x+y-3=0，求x+2y的最小值，并指出此时y的值. 24．若一个整数能表示成 是正整数) 的形式，则称这个数为 “丰利数”．例．如： 2 是 “丰利数”， 因为 ； 再．如， 是正整数)， 所以 也是 “丰利数”． （1）请写一个最小的三位 “丰利数”是　 　，并判断 20 　 　 “丰利数” (填“是”或“不是”)； （2） 已知 是整数， 是常数)， 要使 为 “丰利数”， 试求出符合条件的一个 值 ， 并说明理由． 25．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考： 型式子的因式分解 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢? 在第102页的练习第2题中，我们发现，.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 ① 利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此这是一个型的式子.利用①式可得. 上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）. 这样，我们也可以得到. 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式：　 　； （2）【知识应用】，则　 　，　 　； （3）【拓展提升】如果，其中m，p，q均为整数，求m的值. 26．（2025七下·杭州月考）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记A、B、C三类，拼成了一个如图2所示的正方形 （1）根据用两种不同的方法表示图2中正方形的面积，直接写出一个因式分解的等式　 　. （2）若要拼出一个面积为（a+2b）（3a+4b）的矩形，则需要A类卡片　 　张，B类卡片　 　张，C类卡片　 　张。 （3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n=5，m2+n2=20，求mn和（m-n）2的值. ②已知（x-2023）2+（x-2025）2=34，求x-2024. （4）如图3，用三张边长为x的正方形纸片，五张长为x，宽为1的长方形纸片和两张边长为1的正方形纸片。试一试，能否把这些纸片拼成一个长方形，若能，求出新长方形的长和宽。 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】因式分解的概念 【解析】【解答】解：A．为多项式乘法，不符合题意； B．，结果不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； C．，符合因式分解的定义，符合题意； D．，结果中存在分式，不是整式的积的形式，不符合题意． 故选C． 【分析】本题考查因式分解的定义(把多项式转化为几个整式的积的形式），逐一分析选项：选项A是多项式乘法；选项B结果不是整式的积；选项C将多项式转化为两个整式的积；选项D结果中含有分式，不是整式的积. 2．【答案】A 【知识点】公因式的概念 【解析】【解答】解：由题意可得： ma2-mb2=m(a2-b2) 故答案为：A 【分析】根据公因式的定义即可求出答案. 3．【答案】A 【知识点】公因式的概念 【解析】【解答】解：∵8与2的最大公约数是2，字母的的公因式是mn，因此各项的公因式为2mn， 故答案为：A. 【分析】公因式寻找：找系数的最大公约数，找相同字母的最低次. 4．【答案】A 【知识点】完全平方公式及运用；公因式的概念 【解析】【解答】解： ∴多项式与多项式的公因式是 故答案为：A． 【分析】根据公因式的定义求解。先利用完全平方公式因式分解，再寻找公因式． 5．【答案】B 【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法 【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图①得： ， ∴， ∴， ∴， ∴，（负根舍去） 由图②得： ， ∴， ∴， ∴， ∴图②所示的大正方形的面积 ， ∴，（负根舍去），故甲的说法错误； ∴． 故答案为：B． 【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意列出等式得到，，再根据完全平方公式的变形求出，整体代入解题即可． 6．【答案】C 【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解的应用；因式分解的应用-简便运算 【解析】【解答】解：， 故答案为：C． 【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可求解. 7．【答案】D 【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法 【解析】【解答】解：原式． 故答案为：D． 【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式进行分解因式即可得出答案． 8．【答案】D 【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法 【解析】【解答】解：A、右边不是整式的积的形式，故A不符合题意； B、右边不是整式的积的形式，故B不符合题意； C、属于整式的乘法运算，不属于因式分解，故C不符合题意； D、是因式分解，故D符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，据此逐项进行判断即可. 9．【答案】A 【知识点】因式分解的应用 【解析】【解答】解：∵A（m2﹣3n）＝m3﹣3mn＝m（m2﹣3n）， ∴A＝m． 故答案为：A． 【分析】把等式右边利用提取公因式法分解因式后，即可得出A的值． 10．【答案】B 【知识点】因式分解的应用 【解析】【解答】解：∵是的一个因式， ∴当时，， 解得：， 故选：B． 【分析】将x=2代入代数式建立方程，解方程即可求出答案. 11．【答案】 【知识点】因式分解的应用 【解析】【解答】解：， ∵二次三项式可分解为， ∴ ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【分析】利用多项式乘以多项式的法则可得到，再根据对应项系数相等，可得到关于n、m的方程组，解方程组求出m、n的值，然后将m、n的值代入代数式进行计算. 12．【答案】​​​​​​​ 【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法 【解析】【解答】解： = 故答案为：. 【分析】先提公因式2，再根据完全平方公式进行因式分解，得出答案为：. 13．【答案】 【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法 【解析】【解答】解： ． 故答案为：． 【分析】先提公因式，然后利用平方差公式因式分解求解即可. 14．【答案】 【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：∵，， ∴ ∴ 故答案为：. 【分析】根据二次根式的加减法法则可得a+b、a-b的值，由平方差公式可得a2-b2=(a+b)(a-b)，据此计算. 15．【答案】 【知识点】因式分解﹣公式法 【解析】【解答】解：． 故答案为：． 【分析】 本题聚焦因式分解的基础方法：提公因式法. 熟练掌握公因式的提取规则，是解决这类问题的核心. 解题时，先观察多项式的结构，提取各项的公因式，再将剩余部分整理为整式乘积的形式，即可完成因式分解. 16．【答案】5 【知识点】因式分解的应用；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解： 故答案为：5. 【分析】先求出，再将其代入计算即可. 17．【答案】1；4 【知识点】因式分解﹣公式法；绝对值的非负性 【解析】【解答】解：原方程等价于， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：1，4． 【分析】利用几个非负数之和为0则每一个数都为0，可得到关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值. 18．【答案】2 【知识点】因式分解的应用 【解析】【解答】解：原式为： ， 将 代入上式， 原式 故答案为：2. 【分析】根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”可得x2-2x+1=(x-1)2，由已知的等式可得x-1=，然后整体代换可求解. 19．【答案】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案. （2）提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案. （1）解：原式； （2）解：原式 ． 20．【答案】（1）解：原式= （2）解：原式= = 【知识点】分式的约分；分式的乘除法；分式的乘法；分式的除法 【解析】【分析】 (1)计算两个分式相乘，只需通过约分简化即可； （2）分式除法运算，需要先将除法转化为乘法，再通过因式分解和约分进行化简。 21．【答案】（1）解：①原式＝（3m−3y）＋（am−ay） ＝3（m−y）＋a（m−y） ＝（m−y）（3＋a）； ②原式＝（a2x＋a2y）＋（b2x＋b2y） ＝a2（x＋y）＋b2（x＋y） ＝（x＋y）（a2＋b2）； （2）（a＋b＋1）（a＋b−1） 【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法 【解析】【解答】解：（2）a2＋2ab＋b2−1 ＝（a＋b）2−1 ＝（a＋b＋1）（a＋b−1）． 故答案为：（a＋b＋1）（a＋b−1）． 【分析】（1）①直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可； ②直接将前两项组合，后两项组合，提取公因式分解因式即可； （2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案． 22．【答案】（1）解：2a+6b﹣3am﹣9bm ＝（2a+6b）﹣（3am+9bm） ＝2（a+3b）﹣3m（a+3b） ＝（a+3b）（2﹣3m）； 或 2a+6b﹣3am﹣9bm ＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm） ＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m） ＝（2﹣3m）（a+3b）； （2）解：∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0， ∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0， ∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0， ∴（a﹣c）（a﹣b）＝0， ∴a﹣c＝0或a﹣b＝0， ∴a＝c 或 a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． 【知识点】因式分解-分组分解法 【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，利用分组分解因式即可； （2）先将代数式a2﹣ac﹣ab+bc＝0变形为（a﹣c）（a﹣b）＝0，求出a＝c 或 a＝b，即可得到△ABC是等腰三角形。 23．【答案】（1）4 （2）解： （3）解： 最小值为8。 （4）解：，所以y=x2-5x+3，代入x+2y中，得到 x+2（x2-5x+3）=， 当取得最小值，即 此时，将代入，得：， 解得：。 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解-完全平方公式 【解析】【解答】解： a2+4a+4=（a+2）2 故答案为：（1）4. 【分析】完全平方公式，即（a±b）2=a2±2ab+b2， （1）题利用完全平方公式对应为4a=2ab，即b=2，因此b2=4，因此得出答案。 （2）先将12a看做2ab，对应的b就是6，b2就是36，继续凑数并利用平方差公式进行进一步计算即可。 （3）先提取公因数2，然后利用完全平方公式将x2-2x进行变形，最后变为2（x-1）2+8，∵2（x-1）2≥0，所以该式的最小值即可得出； （4）先将原式用x来表示y，并带入x+2y中，结合完全平方公式进行变形，即可得出时对应的x+2y的最小值，最后代入计算即可求出y的值。 24．【答案】（1）100；是 （2）解：原式 ， 当 是正整数的平方时， 为零时， 是 “丰利数”， 故 的一个值可以是 10． 【知识点】因式分解的应用；因式分解-分组分解法 【解析】【解答】解：（1）， 最小的三位 丰利数是 100， 能表示成两个正整数平方和的形式， 20是丰利数， 故填：100，是； 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解新概念“丰利数”是解题的关键． （1）根据丰利数的定义解答即可； （2）将原式变形为，根据丰利数的定义，得到 为0时，即可解答． 25．【答案】（1） （2）-4；-1 （3）由，∴， ∵m，p，q均为整数，∴，此时； 或者，此时；或者，此时； 或者，此时；或者，此时； 或者，此时；综上，的值为： 【知识点】因式分解﹣十字相乘法 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴，故答案为：； （2）由， ∴，解得，，故答案为：； 【分析】 （1）根据阅读材料中提供的方法进行解答即可； （2）先将等号右边的括号括号展开合并，根据对应项的系数相等可得结论； （3）找到所有可能的p和q的值，使得pq=6，同时m=p+q即可。 26．【答案】（1） （2）3；10；8 （3）解：①， ∴ ∴ ∴ ②设，则，， ∴，即 （4）解：，即新长方形的长为，宽为. 【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；因式分解﹣十字相乘法；数形结合 【解析】【解答】解：（1）由图2可知，. 故答案为：； （2）∵. ∴ 需要A类卡片3张，B类卡片10张，C类卡片8张. 故答案为：3、10、8. 【分析】（1）由图2可知，边长为（a+b）的正方形面积可由两个边长分别为a、b的正方形面积加上2个边长为a、b的长方形面积求和所得，于是有； （2）先计算，根据结果、、的系数得出结果； （3）①由（1）可得，然后代入条件 m+n=5，m2+n2=20计算出mn，从而进一步计算出 （m-n）2的值；②设，将条件 （x-2023）2+（x-2025）2=34转化成以y表示，并求出的值，从而通过开平方根求出的值； （4）根据题意得出拼后的图形面积为，然后可发现可因式分解为，从而可知能拼成1个新长方形，以及得到长与宽. 学科网（北京）股份有限公司 $