第一章因式分解单元测试卷 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学因式分解单元复习，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，覆盖提公因式法、公式法及综合应用，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|提公因式法、公式法辨析、几何与因式分解|结合几何拼图（第1题）、密码情境（第6题），考查直观想象与应用意识| |填空题|6/18|公因式确定、实数范围分解（第15题）|基础与拓展结合，培养抽象能力| |解答题|8/72|分组分解法（第21题）、数形结合（第22题）、密码生成（第24题）|综合应用层次分明，如密码生成题体现模型意识与创新思维|

上册第一章因式分解单元测试卷（解析版 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，将两张边长为b的正方形纸片和两张长、宽分别为，b的矩形纸片拼成一个大 的矩形.该过程所揭示的关于因式分解的等式是() a 6 6 A. 2a2+ab=a(2a+b) 2a2+2ab=2a(a+b) C.26+ab=26(a+b) D 2b2+2ab=2b(a+b) 2.把多项式武mn-mm 因式分解时，提取的公因式是m ,则k的值可能为() A.1 B.2 C.3 D.5 3.已知a-b=1,ab=6,则2a2b-2ab2的值为() A.6 B.7 C.12 D.14 4.下列式子中，因式分解正确的是() A.a2-9=(a-3) B.-w+2y=-y(g-2x) C.2r-8x+8=2x(x-4)+8 D.x2-2y+y2=(x-y} 5.一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的 是() A.x-y=(x+y)(r-)) B.x2-2xy+y2=(x-y) 试卷第1页，共3页 c.xy-=x(x-y) D.r-x=x2-) 6,小丁喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：X-y,4-b-广 +y,分别对应下列四个字：安，美，好，古，现将-)-少)因式分解，结 果呈现的密码信息可能是() A.好美 B.美好 C.吉安美 D.吉安好 7.已知关于'的二次三项式术+6x-n有一个因式 为+)，则”的值为《) A.8 B.-8 c.-40 D.24 8.分解因式：x3+x2-x-1=() A.-1x+12 B.(x+1I0x-12 C.(-D(-x+D)D.(+IX+x-1) 「4a+2b+c=0 a-b+c=0 9.若 满足 ,则分解因式 等于() a,b,c a≠0 ax2+bx+c A.（x+2(x-) B.(ar-2)(x+1) c.a(r-2(x+1) D.(x-2(x+1) 10.3?-4×3+11×3能被下列哪个数整除() A.7 B.8 C.10 D.11 二、填空题（每题3分，共18分) 武8ry与4ry 11.单项式 的公因式是 12.将3ab(a-b+6ab6-)因式分解，应提取的公因式是 13.m-n=3,则3m2-6mn+3n2的值为 试卷第2页，共3页 14.二次三项式3r-ar-6有一个因式是 3x+2 ,则实数“的值为 15.在实数范围内分解因式：x3-2x= 16.因式分解：(a2+3a°-9(a2+3a)+20 三、解答题（每题9分，共72分） 17.因式分解： 16r-4gr2 24-6a2+9a 18.分解因式： 2-6xy+9y2-1 (1) 2(a+b)°+(a+b)(a-3b) 19.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为（x+n),得， x2-4x+m=(x+3)(x+n) 2-4x+m=x2+(n+3)x+3n 则 ,n+3=-4 m=3n, 解得n=-7,m=-21, 4另一个因式为红-7)，m的值为21 问题：仿照以上方法解答下面问题： ①已知二次三项式+x+m有一个因武是+2），求另一个因式以及m的值. 试卷第3页，共3页 ②)尼知二次三项式2+3x+有一个因式是x-3 ,求另一个因式以及的值. 20.材料1：将多项式乘法x+px+9）=+p+g）r+p四从右到左使用。即 +(p+g)x+P9=(x+p(x+9）,可以帮助我们因式分解。 x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3) 例如，分解因式： 材料2：因式分解：(x+)+2(x+)+1 解：将“+y”看成一个整体，设x+y=A,则原式4+2A+1=(4+ 再将“A”还原，得原式(+少+ (1)根据材料1，分解因式：x2-3x-4: (2)结合材料和材料2，分解因式：(x-少+5(x-)+4 21,常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法.但有更多的多项式只用上述方法无法 2-4y2-2x+4y 分解，如 细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项 可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整 个式子的分解因式了.过程如下： x2-4y2-2x+4y=(x-2y)(x+2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2) 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式： x2-2y+y2-16 x2-y2-2y+2x x+y=9,x-y=7 (2)先因式分解，再求值： 其中 22.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示 2+2ab+b2=(a+b)2 一些代数恒等式，将一些多项式因式分解.例如：利用图1可以得到 试卷第4页，共3页 a a a 图1 图2 (1)观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式： (2)在图2中，若大长方形的周长为30，且b=6,求阴影部分的面积. 23.求证：当n为整数时， (+2}-(3n+4)能被2整除。 24.人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式， 再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形 成密码.例如，多项式b-b,将其分解因式为 (a+1)(a-1 ,取a=16,b=山，则有 b=11,a+1=17,a-1=15.其中11,17,15分别为因式码，将这三个因式码按从小到 大的顺序排列就形成密码111517.取另外一些适当的数字，则得出其它的密码. 【问题解决】 )尼知多项式4r-2 当x=10,y=2 时，用上述方法形成的密码是_： (2)已知多项式x+ax2+bx,用上述方法形成的密码是121416，若密码的每个因式码都是 两位数，求a,b的值. 试卷第5页，共3页 上册第一章因式分解单元测试卷（解析版 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】长方形的面积为，正方形的面积为，面积和为，整个长方形的面积表示为，根据同一个图形的面积相等，建立等式求解即可； 【详解】解：根据题意，得； 2．把多项式因式分解时，提取的公因式是，则k的值可能为（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】公因式中相同字母的次数取多项式各项中该字母的最低次数，据此确定k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵提取的公因式为，多项式中第一项的次数为， ∴第二项中的次数满足， ∵选项中只有满足， ∴的值可能为． 3．已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 【答案】C 【分析】把所求代数式因式分解得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 4．下列式子中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，符合平方差形式，正确分解为，不等于，故A错误； 对于选项B，提公因式不完整，正确分解应为，故B错误； 对于选项C，因式分解要求最终结果为几个整式的乘积，该式结果仍为和的形式，不符合要求，故C错误； 对于选项D，由完全平方公式可得，因式分解正确，故D正确． 5．一次课堂练习，小敏同学做了如下四道因式分解的习题，你认为小敏同学分解不彻底的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，分解彻底，不符合要求； B选项：，分解彻底，不符合要求； C选项：，分解彻底，不符合要求； D选项：，其中仍可利用平方差公式继续分解为，因此该选项分解不彻底，符合题意． 6．小丁喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列四个字：安，美，好，吉，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．好美 B．美好 C．吉安美 D．吉安好 【答案】C 【分析】先利用提取公因式法和平方差公式对原式因式分解，再结合已知的式子与汉字的对应关系，得到结果对应的密码信息． 【详解】解：∵ ， 由已知对应关系，对应美，对应吉，对应安， ∴ 三个因式对应的汉字为美、吉、安， 结果呈现的密码信息是吉安美． 7．已知关于的二次三项式有一个因式为，则的值为（     ） A．8 B． C． D．24 【答案】B 【分析】若多项式含有因式，则当时，该多项式的值为，代入即可求出的值. 【详解】解：∵ 二次三项式有一个因式为 ， ∴ 当时，， 将代入等式得： ， 化简计算得：， 解得：. 8．分解因式：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【详解】解：． 9．若满足，则分解因式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解含有字母参数的二元一次方程组，因式分解；根据已知条件可求出关于的表达式，代入二次三项式后进行分解因式即可得到结果． 【详解】解： 由得，可得， 将代入得，可得， 将代入得：． 故选：C． 10．能被下列哪个数整除（     ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据题意对原式提取公因式可得，通过计算可得结果为，可知原式能被整除，即可解答． 【详解】解： ， 原式能被整除． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．单项式与的公因式是________ 【答案】 【分析】本题考查了单项式的公因式，熟悉掌握公因式的概念是解题的关键． 根据公因式的概念解答即可． 【详解】解：与的公因式是：； 故答案为：． 12．将因式分解，应提取的公因式是_______． 【答案】（此处答，也可） 【详解】解： ， ∴将因式分解，应提取的公因式是． 13．，则的值为______． 【答案】 【分析】对所求多项式因式分解后，将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 14．二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 【答案】 【分析】已知二次三项式的一个一次因式，可设出另一个一次因式，根据多项式乘法法则展开后，利用多项式相等对应项系数相等列方程求解． 【详解】设另一个因式为， 由题意得， 即， ，解得． 15．在实数范围内分解因式：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式x，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 16．因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先逆用完全平方公式，再利用平方差公式即可得到答案； （2）先提取公因式，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题关键． 19．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)另一个因式为，的值为 【分析】（1）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可； （2）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可. 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：， ∴另一个因式为的值为． （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 20．材料1：将多项式乘法从右到左使用，即，可以帮助我们因式分解． 例如，分解因式： 材料2：因式分解：． 解：将“”看成一个整体，设，则原式 再将“”还原，得原式． (1)根据材料，分解因式：； (2)结合材料和材料，分解因式：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 原式 ， 再将“”还原，得 原式． 21．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 原式． 22．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； (2)在图2中，若大长方形的周长为30，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)图2面积为，也可以表示为， (2)26 【分析】（1）用两种方式表示出大长方形的面积，从而即可得出结果； （2）由大长方形的周长得出，再结合完全平方公式计算得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可知，图2面积为，也可以表示为， ． （2）解：由图可知，大长方形的周长， ． ，， ， ， ∴阴影部分面积． 23．求证：当n为整数时，能被2整除． 【答案】证明：， 当n为奇数时，则是偶数，是偶数，故能被2整除 ； 当n为偶数时，则是奇数，是偶数，故能被2整除 ； 综上所述，能被2整除． 【分析】根据整式的乘法，整式的加减，化简后，分类解答即可； 【详解】略 24．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，，则有，，．其中11，17，15分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码111517．取另外一些适当的数字，则得出其它的密码． 【问题解决】 (1)已知多项式，当，时，用上述方法形成的密码是 ； (2)已知多项式，用上述方法形成的密码是121416，若密码的每个因式码都是两位数，求，的值． 【答案】(1)101822 (2)，或，或， 【分析】（1）将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可； （2）设，且，分三种情况，结合题中定义求得m， n，再计算a、b值即可． 【详解】（1）解：， 当，时，，，， 将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码101822； （2）解：∵形成的密码是121416， ∴设，且， 分三种情况： 若，则，， 解得，， ∴， ∴，； 若，则，， 解得，， ∴， ∴，； 若，则，， 解得，， ∴， ∴，， 综上，满足条件的a、b为，或，或，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $